文档文本内容
3.2 导数与函数的单调性
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、导数研究单调性................................................................................................................3
方法总结1：含参数单调性讨论.........................................................................................................3
方法总结2：根据函数单调性求参数.................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................7
题型一：无参函数的单调性讨论........................................................................................................7
题型二：含参函数单调性 —— 一次型分类讨论............................................................................7
题型三：含参函数单调性 —— 指对结合一次型............................................................................8
题型四：含参函数单调性 —— 可因式分解二次型........................................................................9
题型五：含参函数单调性 —— 不可因式分解二次型..................................................................10
题型六：含参函数单调性 —— 指对结合二次型..........................................................................11
题型七：单调性的应用：比较大小与解不等式..............................................................................13
题型八：根据单调性逆向求解参数范围..........................................................................................14
05 课后拓展精练................................................................................................................................16
知识点一、导数研究单调性
1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间
内，①如果
，那么函数
在这个区间内单调递增
②如果
，那么函数
在这个区间内单调递减
③如果
，那么函数
在这个区间内为常数函数
2、求单调区间的方法：
①通过解不等式
或
(等号可要可不要)；
②求
，并可适当整理，尽量将
整理成
，
，
，
…
之积商的形式，借助数
轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性．
注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“
”．
⑵若
在某个区间上单调递增，则
；若
在某个区间上单调递减，则
；
⑶设
，
，且
，那么
①
在
是增函数
恒成立
②
在
是减函数
恒成立
方法总结1：含参数单调性讨论
第一步：求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个
连续的区间)
第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或
恒负，无需单独讨论的部分)
第三步：恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)
第四步：然后再求有效根
第五步：根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)
第六步：导数图像定区间
方法总结2：根据函数单调性求参数
1、函数
在区间
内单调递增(或递减)，可得
(或
)在该区间恒成立，而不是
(或
)恒成立，
＝
不能少
“
”
.必要时还需对
＝
进行检验
“
”
.
2、若函数
在
内存在单调递增区间，则当
时，
有解；若函数f(x)在(a,b)内
存在单调递减区间，则当
时，
有解.
1．（2026·北京·高考真题）下列函数
是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为
（ ）．
A．
B．e
C．
D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值
范围是______.
4．（2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若函数
在
单调递增，求
的取值范围．
7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
8．（2022·北京·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(3)证明：对任意的
，有
．
9．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数
，其中
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
的图象与
轴没有公共点，求a 的取值范围.
10．（2021·全国甲卷·高考真题）已知
且
，函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
题型一：无参函数的单调性讨论
【典例1-1】下列区间中，函数
单调递增的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】已知函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
和
【变式1-2】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
【变式1-3】设函数
的导函数为
，若函数
在区间
上是减函数，且函数
在区间
上
是增函数，称
在区间
上是
缓减函数
，区间
“
”
称为
的
缓减区间
，若
“
”
，下列区间不是
的
缓减区间
的是（
“
”
）
A．
B．
C．
D．
题型二：含参函数单调性 —— 一次型分类讨论
【典例2-1】（2026·陕西咸阳·三模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
【典例2-2】已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【变式2-1】已知函数
（
）．求函数
的单调区间；
【变式2-2】已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
【变式2-3】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性．
题型三：含参函数单调性 —— 指对结合一次型
【典例3-1】已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
【典例3-2】已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
【变式3-1】已知函数
，
．
(1)求
的单调区间；
【变式3-2】已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
【变式3-3】已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
题型四：含参函数单调性 —— 可因式分解二次型
【典例4-1】已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
【典例4-2】已知函数
，其中
．
(1)讨论函数
的单调性；
【变式4-1】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
【变式4-2】已知函数
．
(1)若
，求
的极值；
(2)讨论函数
的单调性；
题型五：含参函数单调性 —— 不可因式分解二次型
【典例5-1】已知函数
(1)求
的值．
(2)讨论
的单调性．
【典例5-2】已知函数
，
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线的斜率；
(2)当
时，讨论函数
的单调性；
【变式5-1】已知函数
.
(1)当
时，求
的图象在
处的切线方程；
(2)当
时，讨论
的单调性；
【变式5-2】（2026·河北张家口·三模）已知函数
，
，
．
(1)讨论
的单调性；
题型六：含参函数单调性 —— 指对结合二次型
【典例6-1】已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论函数
的单调性．
【典例6-2】已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
【变式6-1】已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)讨论
的单调性.
【变式6-2】（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数
，
(1)当
时，讨论
的单调性；
【变式6-3】已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
题型七：单调性的应用：比较大小与解不等式
【典例7-1】（2026·广东肇庆·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例7-2】若定义在
上的函数
的图象如图所示，其导函数为
，且
，则不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】已知函数
在定义域
内可导，其图象如图所示，记
的导数为
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型八：根据单调性逆向求解参数范围
【典例8-1】设函数
，已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例8-2】若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】若函数
的单调递减区间是
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【变式8-4】已知函数
在区间
上是减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-5】已知
，函数
在区间
上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-6】（2026·高三·山东淄博·开学考试）已知函数
在
单调递增，则
的取
值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-7】已知
，设函数
在
上是增函数，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-8】函数
在
上存在单调递增区间，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
，若对任意的
，都有
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·山西·模拟预测）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在平面直角坐标系
中，将函数
的图象绕坐标原点逆时针方向旋转
后，所得
到的曲线仍然是某个函数的图象，则称
为“
旋转函数
．现有以下
”
4 个命题，其中所有的真命题
为（ ）．
①存在“
旋转函数
；
”
②“
旋转函数
一定是
”
“
旋转函数
；
”
③若
为“
旋转函数
，则
”
；
④若
为“
旋转函数
，则
”
．
A．①③④
B．①②④
C．①④
D．①③
6．已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·高三·云南曲靖·阶段检测）已知函数
为增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·河南·三模）已知函数
，正数
满足
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若函数
在
是增函数，则
的取值范围是__________．
10．（2026·海南三亚·一模）若函数
的减区间为
，则函数
的值域为______．
11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
，对于
，
，且当
时，恒
有
，则实数
的取值范围为________．
12．设函数
，当
时单调递增，则
的取值范围是______.
13．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数
是
上的单调递增函数，则
的值为______.
14．若函数
在
上不单调，求
满足的条件为_____.
15．已知函数
．若函数
在
处的切线与直线
垂直，求函数
的单
调区间．
16．已知函数
．
(1)当
时，曲线
的一条切线方程为
，求实数
的值；
(2)求函数
的单调区间．
17．已知函数
，求
在
内的单调性．
18．已知函数
，若
为增函数，求实数a 的取值范围．
19．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)讨论
的单调性；
20．已知函数
.
(1)若
，求函数在
的最值；
(2)讨论
的单调性；
21．已知函数
.
(1)求函数
的单调性；
22．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的最大值；
(2)当
时，求
的单调区间．
23．已知函数
，a∈R.
(1)讨论
的单调性；
