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专题01 函数的概念与性质
题型1 求函数的定义域
1、求具体函数的定义域的策略
根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使
函数解析式有意义，又要使实际问题有意义．
2、求抽象函数的定义域的策略
（1）若已知函数
的定义域为
，则复合函数
的定义域由不等式
求出；
（3）若已知函数
的定义域为
，则
的定义域为
在
上的值域．
【注意】的形式如何，定义域均是指其中的自变量
的取值集合．
1．（24-25 高三上·北京·月考）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·安徽六安·月考）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·甘肃白银·月考）已知函数
的定义域为
，则函数
的定
义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·河北承德·月考）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 求函数的解析式
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方
程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
2、换元法：主要用于解决已知
f g x
的解析式，求函数
f x 的解析式的问题．
（1）先令
g x
t ，注意分析t 的取值范围；（2）反解出x，即用含t 的代数式表示x；（3）将
f g x
中的x 度替换为t 的表示，可求得
f t 的解析式，从而求得
f x ．
3、配凑法：由已知条件
f g x
F x ，可将
F x 改写成关于
g x 的表达式，然后以x 替代
g(x)，便得
f x 的解析式．
4、方程组法：主要解决已知
f x 与
f
x 、
1
f
x
、
1
f
x
……的方程，求
f x 解析式．
例如：若条件是关于
f x 与
f
x 的条件（或者与
1
f
x
）的条件，可把x 代为x （或者把x 代为
x
1
）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
f x ．
5．（24-25 高三下·黑龙江牡丹江·开学考试）已知对任意的
，都有
，
则一次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·江西上饶·月考）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·四川内江·月考）若
，则
的解析式为 ．
8．（24-25 高三上·辽宁·期末）已知函数
满足
，则
.
题型3 分段函数及其应用
分段函数求值问题的解题思路：
（1）求函数值：当出现
的形式时，应从内到外依次求值．
（2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记
要代入检验．
9．（24-25 高三下·浙江杭州·月考）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．e
10．（24-25 高一上·福建莆田·期末）设函数
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
11．（24-25 高三下·河北沧州·月考）已知
且
，定义在
上的函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（24-25 高三下·甘肃·模拟预测）已知函数
则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 确定函数的单调性(单调区间)
判断函数的单调性的四种方法
1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；
2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判
断单调性；
3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx 的超越函数）判断函数的单调性；
4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性．
13．（24-25 高三上·广东普宁·一调）函数
的单调减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·江西·一模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（24-25 高一上·甘肃白银·期末）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（24-25 高三上·天津河北·期末）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是奇函数，递减区间是
B．
是奇函数，递减区间是
C．
是偶函数，递增区间是
D．
是偶函数，递增区间是
题型5 已知函数单调性求参数范围
利用单调性求参数的三种情况：
1、直接利用题意条件和单调性代入求参；
2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；
3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题．
17．（2025·山西·二模）若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2025·河北·模拟预测）已知函数
在
上单调，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（24-25 高三上·福建漳州·月考）已知函数
是
上的减函数，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（24-25 高三上·江苏南通·开学考试）已知函数
是
上的增函数，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6 与函数最值(值域)有关的问题
求函数最值（值域）的方法
（1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法．
【注意】对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数法等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利
用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域．
21．（24-25 高三上·山东济南·月考）已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
22．（25-26 高三上·河北衡水·一调）已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
23．（2025·云南昆明·模拟预测）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
的值域为
，则
的值为
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
题型7 判断函数的奇偶性
1、判断函数奇偶性的要点
（1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；
（2）若定义域关于原点对称，则判断
与
是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断
(奇函数)或
（偶函数)是否成立．
2、在公共定义域内：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，
偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数．
25．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数
，则下列是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8 函数奇偶性的应用
1、求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
2、求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；
3、求参数：利用待定系数法求解，根据
得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等
性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值．
29．（2025·湖北黄冈·三模）已知
为奇函数，则实数
的值是 ．
30．（2025·山东济南·三模）已知函数
，则
．
31．（2025·江苏连云港·模拟预测）设
是定义在
上的函数，若
是奇函数，
是偶
函数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（2025·广东广州·三模）已知奇函数
和偶函数
的定义域均为
，且满足
，
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
题型9 函数的周期性及应用
常见求周期的技巧：（a 是不为0 的常数）
（1）若
f x
a
f x ，则
T
a ； （2）若
f x
a
f x
a ，则
2
T
a ；
（3）若
f x
a
f x ，则
2
T
a ； （4）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a ；
（5）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a
； （6）若
f x
a
f x
b ，则
T
a
b （
a
b
）
33．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．
34．（24-25 高三下·甘肃白银·月考）已知函数
，
的定义域均为R，
为偶函数，
为
奇函数，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．2025
35．（2025·甘肃白银·三模）已知对于
，
，
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
36．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R 的函数
，其图象关于直线
对称，已知
为
奇函数，且
，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
题型10 函数的对称性及应用
1、关于线对称：若函数
满足
，则函数
关于直线
对称，特别
地，当a＝b＝0 时，函数
关于y 轴对称，此时函数
是偶函数．
2、关于点对称：若函数
满足
2
2
f
a
x
b
f x ，则函数
关于点(a，b)对称，特别
地，当a＝0，b＝0 时，
，则函数
关于原点对称，此时函数
是奇函数．
37．（2025·四川·三模）已知函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于直线
对称
D．关于直线
对称
38．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数
的图象关于
对称，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
39．（2025·山东·模拟预测）函数
与函数
的图象所有交点的横坐标之和为
（ ）
A．
B．ln2
C．0
D．1
40．（2025·江苏苏州·三模）已知函数
，定义域为R 的函数
满足
，若函数
与
的图象有四个交点，分别为
，
，
，
，则
（ ）
A．0
B．4
C．8
D．12
题型11 利用函数性质比较大小
比较函数值的大小：先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
41．（24-25 高三上·江苏南通·期末）定义在R 上的奇函数
满足
，且
在
上
单调递增.设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
42．（24-25 高三上·天津·月考）已知函数
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递增，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
43．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数
，
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
44．（2025·重庆·三模）已知函数
是R 上的偶函数，对任意
且
都有
，若
则
的大小关系是（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
题型12 利用函数性质解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成
或
的形
式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相
反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．
45．（24-25 高三下·福建福州·模拟预测）设
为偶函数，当
时，
，则使
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
46．（2025·海南·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
47．（2025·河北邢台·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
. 则不等式
在
上的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
48．（2025·河北石家庄·三模）已知
是定义在
上的奇函数，当
、
且
时，都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型13 函数性质的综合应用
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解
题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一个区间的单调性，即实现区间的转换，
再利用单调性解决相关问题．
49．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在
上的偶函数
和奇函数
满足
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
是以8 为周期的周期函数
C．
D．
50．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知定义在
上的可导函数
是偶函数，且满足
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的图象关于点
中心对称
C．
的图象关于
对称
D．
51．（2025·山东·模拟预测）（多选）已知函数
的图象关于原点对称，且
为偶函数，
当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．当
时，
52．（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型14 抽象函数的性质及其应用
1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出
某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令
等特殊值求抽象函数的函数值．
2、判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试．
** 错误的表达式 **若给出的是“和型”抽象函数
y
x
f
，判断符号时要变形为：
1
1
1
2
1
2
)
(
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
2
1
2
1
2
)
(
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
；
** 错误的表达式 **若给出的是“积型”抽象函数
xy
f
，判断符号时要变形为：
1
1
2
1
1
2
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
1
2
2
1
2
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
．
53．（24-25 高三上·江苏徐州·期中）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
是增函数
D．
是减函数
54．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．方程
无解
C．
D．
55．（24-25 高三上·福建漳州·月考）（多选）已知定义在
上的函数
不恒等于
，且对任
意的
，有
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
的图象关于点
中心对称
D．
是
的一个周期
56．（24-25 高三上·山东德州·月考）已知函数
对任意实数
恒有
，且当
时，
，又
．
(1)判断
的奇偶性；
(2)判断
在
上的单调性，并证明你的结论；
(3)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
