(10)-高数4连续与间断课件笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第二章 极限与连续第 4 节 连续与间断第二部分 题型解析 题型一、函数的连续性(★★) 相关知识点 一、函数的连续性 1.定义 如果 lim f (x) = f (x )(或 lim y = 0)，则称函数 f (x)在 0 x→x x→0 0 x 0 处连 续． 2.连续函数 如果函数 y = f (x)在区间I 上处处连续，则称 f (x)为区间 I 上的连续函数.3.连续函数的性质 (1)基本初等函数在其定义域内处处连续，初等函数在其定义区间内 处处连续． (2)连续函数的和、差、积、商(分母不等于零)仍为连续函数． (3)连续函数的复合函数仍为连续函数． (4)两个连续函数的复合函数仍为连续函数.解题思路：判断函数 f (x)的连续性的思路： 思路 1——非分段点利用连续函数的性质(如初等函数定义区间内处处 连续)来判断是否连续. 思路 2——分段点的连续性通过 f (x − ) = f (x + ) = f (x )来判断. 0 0 02 − ax, x  −1 −1, x  0  【例2.4.1】 f ( x ) = , g ( x ) = x, − 1  x  0，若函数   1, x  0   x − b, x  0  ( ) ( ) f x + g x 在 R 上连续，则( D ). (A)a = 3,b = 1 (B)a = 3,b = 2 (C)a = −3,b = 1 (D)a = −3,b = 2 fix + 9mn) * X = - 1BX = 0 D =+ q] M2fM -ax + = We [fN qm] U[ x) + = ++ = 2 Ha = i = + f() 9H) + = + + 2 + a = a+ 1(fI9T MHxx U = M [f(x 9) = (x-b)= + b f(0) 1 + 9 , ) = - b b. 2 1 = = = -题型二、函数间断点的类型判定(★★★) 知识点回顾——间断点的分类 第一类间断点: lim f (x)与 lim f (x)都存在的间断点. − + x→x x→x 0 0 1.若 lim f (x)= lim f (x)但不等于 f (x ), 或 f (x)在 x = x 无定 0 0 − + x→x x→x 0 0 义，则称 x 为可去间断点； 0 2.若 lim f (x)  lim f (x),则称 x 为跳跃间断点. 0 − + x→x x→x 0 0第二类间断点: lim f (x)与 lim f (x)中至少有一个不存在的间断点. − + x→x x→x 0 0 1.若 lim f (x)与 lim f (x)中至少有一个为无穷大, 则称 x 为无穷间 0 − + x→x x→x 0 0 断点； 2.当 lim f (x)在某个范围内振荡, 称 x→x 0 x 0 为振荡间断点.解题思路：求 f (x)的间断点并判断类型，应 第一步：找出可疑间断点——区间内无定义的点(肯定是)、分段点 (可能是). 第二步：求这些点的极限，根据极限的结果判断是否为间断点并判 断类型.(ex + e)tan x 【例2.4.2】 函数 f ( x) = 在[−,]上的第一类间断点是  1  x e x − e     x = A ( ).   (A)0 (B)1 (C)− (D) 2 2 + el tax * Le - Ith um (+e) um = = - - = - (e* . * 0 x(e e) o e) e - - * 0-EE Cheme = 0 X = -e22 -I 7 ex + e l - tax + ta) = Jus I co = X = * (e / X e) - U ↓ ↓ O et tel Co ↑ T + el tax Le - na = = 0 = x = = x(e e) 12 - * Iz ↓ ↓ + t e) (e - x , x  0  tan x  【例2.4.3】 设 f ( x) =  0, x = 0，求 f (x)的间断点并判别类型.  1 sin , x  0  x2 − 1 XCOAG X KA = KE (KEET EX ① = , Y E = nu 4 (k) - = 0 = = #tex T - K7+] D X nu + E (k) 25- = 0 = x = kn - T O [mx * 1+= ↓ coEEEX ② X0#J X = 1 , Us =F T F & = . X= 1 . ③ X= 0, I tx o 1 MS = - Sm) = - 0-K X =题型三、已知函数间断点，反求参数(★★) 解题思路——如果已知 f (x)的间断点，则知间断点的极限情况，于是 问题可转化成已知极限反求参数问题.ex − b 【例2.4.4】 试确定a,b的值,使 f (x) = 有无穷间断点 x = 0, (x − a)(x − 1) 有可去间断点 x = 1. F 0 -: X = fit M M(xa)(x · = 0 = = = = 13 75 = X= et (x) Mr W fin = · x m (e) b) b :b . - = 0 = e - = 0 . = e #