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2025第二章
极限与连续第 4 节
连续与间断第二部分 题型解析
题型一、函数的连续性(★★)
相关知识点
一、函数的连续性
1.定义 如果 lx i→ m
x
0
f ( x ) = f ( x
0
) (或 lim y = 0)，则称函数
x→0
f ( x ) 在 x
0
处连
续．
2.连续函数 如果函数 y = f ( x ) 在区间I 上处处连续，则称 f ( x ) 为区间
I 上的连续函数.3.连续函数的性质
(1)基本初等函数在其定义域内处处连续，初等函数在其定义区间内
处处连续．
(2)连续函数的和、差、积、商(分母不等于零)仍为连续函数．
(3)连续函数的复合函数仍为连续函数．
(4)两个连续函数的复合函数仍为连续函数.解题思路：判断函数 f (x)的连续性的思路：
思路 1——非分段点利用连续函数的性质(如初等函数定义区间内处处
连续)来判断是否连续.
− +
思路 2——分段点的连续性通过 f (x ) = f (x ) = f (x )来判断.
0 0 0【例2.4.1】 f ( x ) =
−
1 ,
1 ,
x
x
0
0
, g ( x ) =
2
x
x
−
,
−
a
b
−
x
,
,
1
x
x
x
0
−
1
0 ，若函数
( ) ( )
f x + g x 在 R 上连续，则( ).
(A)a = 3,b = 1 (B) a = 3 , b = 2 (C)a = −3,b = 1 (D)a = −3,b = 2题型二、函数间断点的类型判定(★★★)
知识点回顾——间断点的分类
第一类间断点:
x
l
→
i m
x
0
−
f ( x ) 与
x
l
→
i m
x
0
+
f ( x ) 都存在的间断点.
1.若
x
l
→
i m
x
0
−
f ( x ) =
x
l
→
i m
x
0
+
f ( x ) 但不等于 f ( x
0
) , 或 f ( x ) 在 x = x
0
无定
义，则称 x
0
为可去间断点；
2.若 lim f (x)
−
x→x
0
x
l
→
i m
x
0
+
f ( x ) ,则称 x
0
为跳跃间断点.第二类间断点:
x
l
→
i m
x
0
−
f ( x ) 与
x
l
→
i m
x
0
+
f ( x ) 中至少有一个不存在的间断点.
1.若
x
l
→
i m
x
0
−
f ( x ) 与
x
l
→
i m
x
0
+
f ( x ) 中至少有一个为无穷大, 则称 x 为无穷间
0
断点；
2.当 lx i→ m
x
0
f ( x ) 在某个范围内振荡, 称 x
0
为振荡间断点.解题思路：求 f ( x ) 的间断点并判断类型，应
第一步：找出可疑间断点——区间内无定义的点(肯定是)、分段点
(可能是).
第二步：求这些点的极限，根据极限的结果判断是否为间断点并判
断类型.(ex + e)tan x
【例2.4.2】 函数 f ( x) = 在
1
x e x − e
[ , ] − 上的第一类间断点是 x =
( ).
(A)0 (B)1 (C)
2
−
(D)
2 x
, x 0
tan x
【例2.4.3】 设 f ( x) = 0, x = 0，求
1
sin , x 0
x2 − 1
f ( x ) 的间断点并判别类型.题型三、已知函数间断点，反求参数(★★)
解题思路——如果已知 f ( x ) 的间断点，则知间断点的极限情况，于是
问题可转化成已知极限反求参数问题.【例2.4.4】 试确定 a , b
ex − b
的值,使 f (x) = 有无穷间断点 x = 0,
(x − a)(x − 1)
有可去间断点 x = 1 .
