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考向 08 函数与方程
1．（2022年北京卷第14题）设函数 ，若 存在最小值，则 的一个取值为
， 的最大值为________．
【答案】 （答案不唯一），1
【解析】由题意知，函数最值于函数单调性相关，故可考虑以 为分界点研究函数 的性质，
当 时， ，该段的值域为 ，故整个函数没有最小值；当
时， 该段值域为 ，而 的值域为 ，故此时
的值域为 ，即存在最小值为 ，故第一个空可填写 ；当 时， ，
该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足
，于是可得 ；当 时， ，该段的值域为 ，
而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，此
不等式无解。综上， 的取值范围是 ，故 的最大值为1.
2．（2022年浙江卷第14题）已知 ，则 ；若当 时，
，则 的最大值为 ．【答案】
【解析】由题可知： ，所以 ．
当 时，令 ，解得 ；
当 时，令 ，解得 ．
所以 的解集为 ．
所以 的最大值为 ．
3．（2022年天津卷第15题）定义函数 代表 与 中较小的数，
若 至少有 个零点，求 的取值范围____________
【答案】
【解析】
设 在 上的零点才会成为 的零点，
只有在 时才会成为 的零点， 至少有个零点有以下三种情况：
① 且 在 上有两个零点，
转化为 与 的交点
②
且 在 上有两个零点③ 且 在 上至少有一个零点，
综上所述： 的取值范围是
1.判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图
象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点
的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2.根据函数零点的情况求参数的3种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
3.利用函数零点位置的对称性求和
（1）将函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题；
（2）①如果两个函数图像都关于直线x=a对称，那么这两2个函数图像的交点也关于直线x=a对称，则对
应的两零点之和为2a。
②如果两个函数图像都关于点（a，0）对称，那么这两个函数图像的交点也关于点（a，0）对称，则对应
的两零点之和为2a。
有关函数零点的三个结论
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．3.连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
【易错点1】函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴
交点的横坐标．
【易错点2】函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个
数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．
1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是( )
A．(1，2) B．(2，3) C．和(3，4) D．(4，＋∞)
【答案】B
【解析】选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.
2.函数f(x)＝log x＋x－2的零点所在的区间为( )
3
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【答案】 B
【解析】 方法一(定理法)：函数f(x)＝log x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调
3
递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log 2>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，
3
函数f(x)＝log x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．
3
方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标
3
所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.
3．已知实数a>1，01，00，由零点存在性定
理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
4．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【答案】D
【解析】选D.令f(x)＝0得x＝ln x，作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，
显然y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
5.函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】 B
【解析】 方法一(方程法)：由f(x)＝0，得或
解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．
方法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
6．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 C
【解析】选C.令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.
7．函数f(x)＝若方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则实数a满足( )
A．a＝1 B．a>1 C．0≤a<1 D．a<0
【答案】 A
【解析】方程f(x)＝a有且只有一个实数根，即直线y＝a与f(x)的图象有且只有一个交点，作出函数
f(x)的图象如图所示，当a＝1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有且只有一个交点，故选A.8.已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．
【答案】[－1，＋∞)
【解析】函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函
数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，
－a≤1，解得a≥－1.
9．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (0，1]
【解析】当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)
＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x.因为0<2x≤20＝1，所以0t)，则t<－1，t≥－1.
1 2 2 1 1 2
当t<－1时，t ＝f(x)有一解；当t≥－1时，t ＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a
1 1 2 2
有三个不同的零点．一、单选题
1．（2022·江西赣州·二模（文））下列四个命题中正确的是（ ）
A．若函数 的定义域为 ，则 的定义域为
B．若正三角形 的边长为 ，则
C．已知函数 ，则函数 的零点为
D．“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】对于A选项，若函数 的定义域为 ，
对于函数 ，则有 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，A错；
对于B选项，若正三角形 的边长为 ，则 ，B错；
对于C选项，已知函数 ，令 ，解得 ，
所以，函数 的零点为 ，C错；
对于D选项，若 ，则 、 无意义，即“ ” “ ”；
若 ，可取 ， ，则 ，即“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，D对.
故选：D.
2．（2021·河南·模拟预测（理））已知 是方程 的解， 是方程 的解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，令 ，则有 ，因为 与 互为反函数，图象关于 对称.
依题意可知 ， 就是直线 与曲线 ， 交点的横坐标，
所以 ，所以 ，即 .
故选：C.
3．（2022·北京西城·一模）如图，曲线 为函数 的图象，甲粒子沿曲线 从 点向目的
地 点运动，乙粒子沿曲线 从 点向目的地 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的 倍，
当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为 ，乙
粒子的坐标为 ，若记 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 在区间 上是增函数
B． 恰有 个零点
C． 的最小值为
D． 的图象关于点 中心对称
【答案】B
【解析】由题意得： ，
所以 ，
由 得 ，
令 ，则 ，因为 在 上递减， 在 上递增，所以 在区间 上是减函数，故A错误；
令 ，得 或 ，解得 或 ，故B正确；
因为 ，所以 的最小值为 ，故C错误；
因为 ，关于 对称，是轴对称图形，
所以 不可能关于点 中心对称，故D错误；
故选：B
4．（2021·四川·成都七中三模（理））已知函数 ，下列对于函数 性质的描述，
错误的是（ ）
A． 是 的极小值点
B． 的图象关于点 对称
C． 有且仅有三个零点
D．若 区间 上递增，则 的最大值为
【答案】D
【解析】 .
A： ， ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，所以 是
的极小值点，故本选项描述正确；
B：因为 ，所以 的图象关于点 对称，因此本选项描述正确；
C：令 ，函数 在同一直角坐标系内的图象如下图所示：
通过图象可知两个函数的图象有三个交点，因此 有且仅有三个零点，所以本选项描述正确；
D： ，
当 时，则有： ，
因此函数的增区间为： ，显然有 ，
所以 的最大值为 ，因此本选项描述不正确，
故选：D
5．（2021·浙江绍兴·二模）已知 ， ，设函数 ，若对任意的实数 ，
都有 在区间 上至少存在两个零点，则（ ）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
【答案】B
【解析】 ，若 ，则 或 ，
若 ，则 ；①当 时， 与 一定是函数的零点，满足题意；
②当 时，可能的零点是 与 ，
因为至少存在两个零点，所以 ，而 ，所以 .
故选：B.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个
不同的值，就有几个不同的零点.
6．（2021·四川凉山·二模（文））集合 ， 是 到 的函数，方程 恰
好有两个不同的根，且 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．4
【答案】C
【解析】函数 是 到 的函数，意思为 ， ， ， 分别与 ， ， ，
中的某一个对应，
又 ，
①当是 或 或 这三种情况，
比如1对2，2对2，3对3，4对3，
即 ， ，有 ， 两个零点，
②当是 或 这两种情况，
比如1对4，2对2，3对2，4对2，则 ， ，此时只有 一个零点，
故选：C．
二、多选题
7．（2022·山东威海·三模）已知函数 ，则（ ）
A．当 时，函数 的定义域为
B．当 时，函数 的值域为
C．当 时，函数 在 上单调递减
D．当 时，关于x的方程 有两个解
【答案】BCD
【解析】A. 当 时， ，由 ，解得 或 ，所以函数 的定义
域为 ，故错误；
B.当 时， ，定义域为R，当 时， ，当 时， ，所以函数 的
值域为 ，故正确；
C.当 时， ，当 时， ，在 上递减，当
时， ，在 上递减，又 ，所以函数 在 上单调递减，故正确；
D. 易知 ， ，即为 ，设 ，则 ，即
，若方程 有两个解则 ，故正确.
故选：BCD
8．（2022·全国·模拟预测）已知定义域为R的偶函数 有4个零点 ， ， ， ，
并且当 时， ，则下列说法中正确的是（ ）A．实数a的取值范围是
B．当 时，
C．
D． 的取值范围是
【答案】BC
【解析】因为 为偶函数且有4个零点，则当 时 有2个零点，即 ，解得 ，
A不正确；
当 时， ，则 ，B正确；
偶函数 的4个零点满足： ，则 是方程 的两个根，
则有 ， 且 ， ，于是得 ，C正确；
由C选项知， ，且 ，而函数 在 上单调递减，
从而得 ，D不正确.
故选：BC
9．（2022·河北保定·一模）已知 、 分别是方程 ， 的两个实数根，则下列选项中正确
的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】函数 在同一坐标系中的图象如下：所以 ，所以
所以
所以 ，
故选：BD
10．（2021·全国·二模）已知函数 ，则下列关于函数 说法正确的是
（ ）
A．函数 有一个极大值点
B．函数 在 上存在对称中心
C．若当 时，函数 的值域是 ，则
D．当 时，函数 恰有6个不同的零点.
【答案】ACD
【解析】当 时， ，易知函数 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减， ， .
对于A.如图可知，函数 有一个极大值点1，故A正确；
对于B.由图象可知，函数 在 上不存在对称中心，故B错误；对于C.由 ，结合图象易知C正确；
对于D.由 ，可得 ，即 或 .由图像可
知 与 有2个公共点，当 时， 与 有4个公共点，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
11．（2021·四川成都·模拟预测（文））已知 是定义在 上的奇函数，当 时，
有下列结论：
①函数 在 上单调递增；
②函数 的图象与直线 有且仅有 个不同的交点；
③若关于 的方程 恰有 个不相等的实数根，则这 个实数根之和为 ；
④记函数 在 上的最大值为 ，则数列 的前 项和为 .
其中所有正确结论的编号是___________.
【答案】①④【解析】当 时， ，此时不满足方程；
若 ，则 ，即
若 ，则 ，即
作出函数在 时的图像，如图所示，
对于①，由图可知，函数 在 上单调递增，由奇函数性质知，函数 在 上单调递增，
故①正确；
对于②，可知函数在 时的图像与与直线 有1个交点，结合函数 的奇偶性知， 的图象
与直线 有3个不同的交点，故②错误；
对于③，设 ，则关于 的方程等价于 ，解得：
或
当 时，即 对应一个交点为 ；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1） ，即 对应3个交点，且 ， ，此时4个实数根的和为8；（2） ，即 对应3个交点，且 ， ，此时4个实数根的和为4，故③错
误；
对于④，函数 在 上的最大值为 ，即 ，由函数的解析式及性质可知，数列 是首
项为1，公比为 的等比数列，则数列的前 项和为 ，故④正确.
故答案为：①④
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解
12．（2022·北京房山·一模）函数 的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若 在区间（0,2）
上存在零点，则 ”为假命题的一个函数 的解析式可以为 =___________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】函数 的图象在区间（0，2）上连续不断，且“若 在区间（0,2）上存在零点，则
”为假命题，可知函数 满足在（0,2）上存在零点，且 ，所以满足题意的
函数解析式可以为 .
故答案为： （答案不唯一）.1．（2020·全国高考真题（理））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D错误.
2．（2019·浙江高考真题）已知 ，函数 ，若函数
恰有三个零点，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，得 ；
最多一个零点；
当 时， ，
，
当 ，即 时， ， 在 ， 上递增， 最多一个零
点．不合题意；
当 ，即 时，令 得 ， ，函数递增，令 得 ， ，函数递
减；函数最多有2个零点；
根据题意函数 恰有3个零点 函数 在 上有一个零点，在 ，
上有2个零点，如图：
且 ，
解得 ， ， ．
故选 ．
3.(2018全国卷Ⅰ)已知函数 ， ．若 存在2个零点，则a的取
值范围是（ ）
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】函数 存在 2个零点，即关于 的方程 有2 个不同的实根，即
函数 的图象与直线 有2个交点，作出直线 与函数 的图象，如图所
示，由图可知， ，解得 ，故选C．
y
3
2
1
x
–2 –1 O 1 2 3
–1
–2
4．（2017新课标Ⅲ）已知函数 有唯一零点，则 ( )
A． B． C． D．1【答案】C
【解析】令 ，则方程 有唯一解，
设 ， ，则 与 有唯一交点，
又 ，当且仅当 时取得最小值2．
而 ，此时 时取得最大值1，
有唯一的交点，则 ．选C．
5．（2014·山东高考真题（理））已知函数 若方程 有两个不相等
的实根，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，函数 的图象有两个公共点，画图可知当直线介于
之间时，符合题意，故选B.
6．（2010新课标）已知函数 ，若 ， ， 均不相等，且 = =
，则 的取值范围是
A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)【答案】C
【解析】画出函数的图象，
如图所示，不妨设 ，因为 ，所以 ， 的取值范围是 ，所
以 的取值范围是 ．
y
12
x
O 1 10
7.(2018全国卷Ⅲ)函数 在 的零点个数为_____．
【答案】3
【解析】由题意知， ，所以 ， ，
所以 ， ，当 时， ；当 时， ；
当 时， ，均满足题意，所以函数 在 的零点个数为3．
8．(2011全国新课标)函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之
和等于________.
【答案】D
1
y
x1 y 2sinx(2 x4) 2 x 4
【解析】图像法求解． 的对称中心是 也是 的中心， 他
们的图像在 的左侧有4个交点，则 右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为
x x ,x ,x ,x ,x ,x ,x x x x x x x x x 2
1, 2 3 4 5 6 7 8，则 1 8 2 7 3 6 4 5 ，所以选D.
f(x)sin(x )(0)
5 f(x)
9.（2019全国Ⅲ理12节选）设函数 ，已知 在 有且仅有5个零点．
的取值范围是____________.
【解析】当 时， ，因为 在 有且仅有 5 个零点，所以
x[0,2]
，所以 .10．（2019·江苏高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期
为2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中 .
若在区间 上，关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
【答案】3
【解析】 ,由题可知 ，或
解得 ,或 故有3个零点．
