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专题 06 特殊平行四边形的两种考法全攻略
类型一、最值问题
例1．（将军饮马）如图，在菱形 中， ，E是 边的中点，P是 边上一动点，
的最小值是 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．0.5
【答案】D
【详解】解：连接 交 于P，连接 ，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得 关于 对称，则 ，
∴ ， ，
即 就是 的最小值，∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵E是 边的中点
∴ ，
∴ （等腰三角形三线合一的性质）
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
∴
当 时 最小
∵
∴
故选：D
例2．（中点模型）如图，矩形 ，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，当点
A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ， ，矩形 ， ， ，
， ，
点 是 的中点，
，
，
，点 是 的中点，
，
在 中， ，
当点 在 上时， ，
的最大值为 ，
故选：A．
例3．（截补模型）如图，在 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的动
点．且 ，连接 、 ，则 的最小值为______．
【答案】
【详解】解：过B作 ，在 上截取 ，连接 ，∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当A、D、F在同一直线上时， 的最小值为 的长，
延长 到G，使 ，连接 ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ， ，
∴四边形 为正方形，且边长为2，
∴ ， ，
∴ ，即 的最小值为 ，
故答案为： ．
例4．（瓜豆模型）如图，平面内三点 ， ， ， ， ，以 为对角线作正方形 ，
连接 ，则 的最大值是______．【答案】
【详解】解：如图，将 绕点D顺时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ (舍负)，
∴当 的值最大时， 的值最大，
∵ ， ， ，
∴ ，（A、C、M三点共线时取等号）
∴ 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．
【变式训练1】如图，矩形 中， ， 为 的中点， 为 上一动点， 为 中
点，连接 ，则 的最小值是___________．
【答案】
【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在 处， ，
当点F与点E重合时，点P在 处， ，
∴ 且 ．
当点F在 上除点C、E的位置处时，有 ．
由中位线定理可知： 且 ．
∴点P的运动轨迹是线段 ，
∴当 时， 取得最小值．
∵矩形 中， ， 为 的中点，
∴ 、 、 为等腰直角三角形， ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ 的最小值为 的长．
在 中， ，
∴ ，∴ 的最小值是 ．
故答案是： ．
【变式训练2】如图，已知线段 ，点C在线段 上，且 是边长为4的等边三角形，以
为边的右侧作矩形 ，连接 ，点M是 的中点，连接 ，则线段 的最小值为
_______________．
【答案】6
【详解】∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，点M是 的中点，∴DM＝CM，
在 与 中， ， ∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即直线 的位置是固定的，
∴当 时， 有最小值，此时 ．
【变式训练3】如图，在正方形 中，边长 ，点Q是边 的中点，点P是线段 上的动点，
则 的最小值为 _____．【答案】
【详解】解：连接 ，交 于点P，连接 、 ．
∵四边形 是正方形，∴点B与点D关于 对称，
∴ ，∴ ．
∵ ，点Q是边 的中点，∴ ， ，
在 中， ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为: ．
【变式训练4】如图，在菱形 中， ， ，点 ， 在 上，且 ，连接 ，
，则 的最小值为 ______
【答案】
【详解】解：连接 ，交 于点 ，过 作 ，且 ，连接 ．四边形 是平行四边形，
，
，
即 的最小值为 ，
四边形 是菱形， ，
，
又 ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【变式训练5】如图，在 中， ，且 ， ，点D是斜边 上的一个动点，
过点D分别作 于点M， 于点N，连接 ，则线段 的最小值为_____．
【答案】【详解】解：连接 ，
∵ ，且 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴当 时， 的值最小，
此时， 的面积 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
故答案为： ．
类型二、动点问题
例1．如图，在正方形 中，E为 的中点，以A为原点， 、 所在直线为x轴、y轴，建立平
面直角坐标系．正方形 的边长是方程 的根．点P从点B出发，沿 向点D运
动，同时点Q从点E出发，沿 向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒
1个单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒， 的面积
为S．(1)求点C的坐标；
(2)求S关于t的函数关系式；
(3)当 是以 为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【详解】（1）∵正方形 的边长是方程 的根，
解方程 ，
得 ，
∴正方形 的边长为4，
∴ ， ，
∴点C的坐标为 ；
（2）∵E为 的中点，
∴
由题意得： ，
分两种情况：
① 时，如图由题意得： ， ，
∴ ，
；
② 时，如图
由题意得： ， ，
∴ ， ， ，
，
∴
，
∴S关于t的函数关系式为
（3）分两种情况：
① 时，如图：由题意得： ， ，
∴ ， ，
当 时， ，
∴ ，解得 (舍去)或2，
∴ ，
∴当 ， 是以 为底边的等腰三角形时， ；
② 时，如图：
由题意得： ， ，
∴ ，
，
，
，当 时， ，
∴ ，解得 (舍去)或4，∴ ，∴ ；
∴当 ， 是以 为底边的等腰三角形时， ，
综上所述，当 是以 为底边的等腰三角形时，点P的坐标为 或
例2.如图，在长方形 中， ， ，点 为 延长线上一点，且 ，点 从点 出发，
沿 — — — 向终点 运动．同时点 从点 出发，沿 — — — 向终点 运动，它们的速度均
为每秒1个单位长度．设 的面积为 ，点 运动的时间为 秒．
(1)当 时， ；当 时， ．
(2)当 时，用含 的代数式表示 ．直接写出结果并化简．
(3)当点 在 边上，且 为等腰三角形时，直接写出 的取值或者范围．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 秒或 秒或 秒
【详解】（1）解：根据题意，
当 时， ， ，∴ ；
当 时， ， 的高为 ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2）解：当 时，如图所示，
∵ ， ，
∴ ；
当 时，如图所示，
∵ ， 的高为 ，∴ ；
当 时，如图所示，
∵ ， ， ， ，
∴
；∴ ；
（3）解：当点 在 边上，且 为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当 时，如图所示，
设 ，则 ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
解得 （舍去）， ，∴ ；
②当 时，如图所示：
设 ，则 ， ，∴ ，∵ ，∴ ，解得 ，∴ ；
③当 时，如图所示：
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
综上所述， 的值为 秒或 秒或 秒．
【变式训练1】如图，在 中， 为锐角， ， ， ．动点 从点 出发，
以每秒2个单位的速度沿 运动．同时，动点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿
运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 的运动时间为
秒．
(1)点 在 上运动时， _____________；点 在 上运动时， _____________．（用含 的代
数式表示）
(2)点 在 上， 时，求 的值．(3)当直线 平分 的面积时，求 的值．
(4)若点 的运动速度改变为每秒 个单位．当 ， 的某两个顶点与 、 所围成的四边形
为菱形时，直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或
(4)
【详解】（1）根据题意：
当点 在 上运动时， ，
当点 在 上运动时， ，
故答案为： ；
（2）当点 在 上， 时，点 在 上，且 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的值为：
（3）∵当点 依次在 、 、 、 上时，
的取值范围依次为： 、 、 、 ，
当点 依次在 、 、 、 上时，
的取值范围依次为： 、 、 、 ，
由于当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．
∴当 ，点 在 上，点 在 上时，直线 平分 的面积，
∴ ，即 ，
解得： ，
当 ，点 在 上，点 在 上时，直线 平分 的面积，
∴ ，即 ，
解得： ，
综上所述：当直线 平分 的面积时， 的取值为： 或
（4）∵ ，
∴ ，
∴点 在 上，
∴ ，且 ，
∴ 的某两个顶点与 、 所围成的菱形只能是： ，∴点 在边 上， ，
∵此时： ，
∴ ，
【变式训练2】如图，长方形 中， ， ， ，动点P从点
B出发，以每秒 的速度沿 的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒 的速度沿
的方向向终点C运动．以 为边向右上方作正方形 ，其中一个动点到达终点时，另一个动
点也随之停止运动，设点 同时出发，运动时间为t秒 ．
(1)当 时， ＝______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在 边上时，求t的值；
(3)当正方形 与长方形 的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形 与长方形 的重叠部分为三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)当 时， ；当 时，
(4)当 或 时，正方形 与长方形 的重叠部分为三角形
【详解】（1）当 时， ；
故答案为： ；
（2）如图1，∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）由（2）知， 时，正方形 在长方形 的内部，
∴ ，正方形 与长方形 的重叠部分为四边形，
∴ ；
如图2，当P点运动到A点处， ，此时正方形 与长方形 的重叠部分为三角形，如图3，当M点运动到D点处时，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴当 时，正方形 与长方形 的重叠部分为三角形，
∴ 时，正方形 与长方形 的重叠部分为三角形；
如图4，当Q点运动与C点时， ，此时正方形 与长方形 的重叠部分为三角形；
∴ 时，正方形 与长方形 的重叠部分为四边形，
如图5，＝
＝ ；
综上所述：当 时， ；当 时， ；
（4）由（3）可知当 时，正方形 与长方形 的重叠部分为三角形；
当 时，正方形 与长方形 的重叠部分为三角形；
综上所述：当 或 时，正方形 与长方形 的重叠部分为三角形．
【变式训练3】已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点M在AD上，且AM＝4，动点P从点B出发，以
每秒1个单位长度的速度，沿B﹣C﹣D﹣A向终点A运动，运动时间为t秒．
(1)当点P在BC边上时，BP＝ ，CP＝ ．（用含t的代数式表示）
(2)点P在运动过程中，△ABP是直角三角形时，t的取值范围为 ．
(3)点P在运动过程中，△DMP是等腰三角形时，t的值为 ．
(4)连接CM，当点P在线段CM的垂直平分线上时，t的值为 ．
【答案】(1)t，9﹣t
(2)0＜t≤9或13≤t＜22(3)1或7或6.5
(4)4.9或13.9
【解析】（1）
解：当点P在BC边上时，BP＝t，CP＝9﹣t，
故答案为：t，9﹣t；
（2）
当点P在线段BC，线段AD上运动时，△ABP是直角三角形．
因为BC=9，BC+CD=13，BC+CD+DA=22
∴t的取值范围：0＜t≤9或13≤t＜22．
故答案为：0＜t≤9或13≤t＜22；
（3）
过点M作MH⊥BC于点H，则四边形AMHB是矩形．
∴MH＝AB＝4，AM＝BH＝4，CH=DM＝AD﹣AM＝5．
∴PH=
∴当MP＝MD时，
，
∴t＝1或7．
当PM＝PD时，点P是CH的中点，BP＝BH+ CH=4+2.5＝6.5，
∴t＝6.5，
综上所述，满足条件的t的值为1或7或6.5．
故答案为：1或7或6.5；
（4）
当点P在CM的垂直平分线上时，PM＝CP．当点P在线段BC上时，CP=MP=9-t，PH=t-4，MH=4，
∵△MPH是直角三角形，
∴
即 ，
∴t＝4.9，
当点P在线段AD上时，同法可得PM＝CP
CP=MP=18-t，DP=t-13，CD=4
∵△CDP是直角三角形，
∴
即 ，
∴t＝13.9．
综上所述，满足条件的t的值为4.9或13.9．
故答案为：4.9或13.9．
