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4.5 三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质（k∈Z）
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
递增区间
[－π＋2kπ，2kπ]
递减区间
[2kπ，π＋2kπ]
无
对
称
性
对称中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
无对称轴
零点
kπ
kπ＋
kπ
[常用结论]
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与
对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2．奇偶性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z).
考点一 三角函数图像（五点法）
考点二 三角函数的定义域
考点三 三角函数的值域(最值)
考点四 利用三角函数的值域(最值)求参数
考点五 三角函数的周期性以及求参数
考点六 三角函数的对称性以及求参数
考点七 三角函数的奇偶性以及求参数
考点八 三角函数的单调性以及求参数
考点九 三角函数中零点问题
考点十 三角函数综合应用
考点一 三角函数图像（五点法）
1．（25-26 高三上·江苏连云港·期末）（1）用“五点法”画出函数
在一个周期内
的简图；
（2）若函数
在区间
上的最大值为1，最小值为
，求
，
的值.
2．（25-26 高三上·江苏南通·阶段检测）某同学用“五点法”画函数
在某一个周
期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
5
0
(1)求函数
的解析式及
在
上的单调增区间；
(2)将函数
图象上各点横坐标变为原来
倍，纵坐标不变，再将图像向左平移
个单位，得到函数
的图象．若关于
的方程
在
上有两个不同的解，求实数
的取值范围．
3．（25-26 高三上·北京延庆·期中）已知函数
，
.
0
3
0
0
(1)写出决定
在
上形状的关键的五个点，在答题卡上完成上表；
(2)若
，且
是函数
的一个零点，直线
是函数
的一条对称轴，求
的值；
(3)当
时，求直线
与
的交点个数.
4．（25-26 高三上·河南南阳·期中）函数
．
(1)请用五点作图法画出函数
的图象（先填表，再画图）；
(2)若
有2 个根，求实数m 的取值范围；
(3)若
在
上的值域为
，求
的取值范围．
考点二 三角函数的定义域
5．（25-26 高三上·江西南昌·期中）函数
的定义域为______．
6．（25-26 高三上·上海普陀·阶段检测）函数
的定义域是________.
7．（25-26 高三上·北京房山·期中）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·上海杨浦·模拟预测）函数
的定义域为__________．
9．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的定义域为________．
10．（25-26 高三上·北京·期中）函数
的定义域为______．
考点三 三角函数的值域(最值)
11．（25-26 高二下·福建福州·阶段检测）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期及单调递增区间；
(2)若
，求函数
的值域．
12．（25-26 高三上·广东清远·期中）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（25-26 高三上·贵州遵义·期中）函数
在区间
上的最大值为__________.
14．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
的最小正周期为
C．
的图象关于直线
对称
D．
在
上的值域为
15．（2026·广西崇左·二模）（多选）已知函数
，下列命题正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．
的图象关于点
对称
D．
在
，
上单调递减
16．（25-26 高三上·全国·课堂例题）（1）函数
的定义域为________；
（2）函数
的值域为________．
考点四 利用三角函数的值域(最值)求参数
17．（25-26 高三上·河南南阳·期中）若函数
在
上有最大值没有最小值，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（25-26 高三上·河南南阳·期中）关于x 的方程
在区间
有两解，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（25-26 高三上·山西运城·期中）函数
在
上有最小值，没有最大值，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（25-26 高三上·北京朝阳·期中）已知函数
的图象在区间
上有且只有4 个最高
点，则实数
的取值范围是__________.
21．（25-26 高三下·浙江杭州·阶段检测）已知函数
在闭区间
上的最大值为4，最小值为2，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（25-26 高三上·山东·阶段检测）若命题“
，
”为真命题，则实数a 的取值范围为
______.
考点五 三角函数的周期性以及求参数
23．（2026·湖南·模拟预测）已知函数
的最小正周期为4，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
24．（2026·贵州毕节·三模）函数
，满足
，且
的最小值为
，
则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
25．（2026·湖南邵阳·模拟预测）函数
是（ ）
A．最小正周期为
的奇函数
B．最小正周期为
的偶函数
C．最小正周期为
的奇函数
D．最小正周期为
的偶函数
26．（25-26 高三上·北京·期中）已知函数
的最小正周期是
．则
在
上
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
考点六 三角函数的对称性以及求参数
27．（2026·云南·三模）若函数
的相邻两对称中心的距离为
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
28．（2026·辽宁·三模）（多选）下列四个函数中，周期为
且在区间
上单调递减的有（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
，
．若
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
30．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数
，（
）的最小正周期为
，则它的一条对称轴是
（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的最小正周期为
，则
的一个对称中心
的坐标可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（25-26 高三上·江西赣州·期中）（多选）若函数
与函数
（
，
）图象的对称中心完全一致，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
33．（2026·云南曲靖·二模）若曲线
的一个对称中心为
，则
不可能是（ ）
A．2
B．5
C．8
D．12
34．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期中）已知点
是函数
的图象的一个对称中心，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七 三角函数的奇偶性以及求参数
35．（25-26 高二·全国·暑假作业）函数
是（ ）
A．最小正周期为
的偶函数
B．最小正周期为
的奇函数
C．最小正周期为
的偶函数
D．最小正周期为
的奇函数
36．（25-26 高三上·北京西城·期中）把函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图
象，若函数
为偶函数，则
的一个可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
37．（25-26 高三上·北京房山·期中）“
”是“函数
是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
38．（2026·北京海淀·三模）已知函数
，则
的最大值为______，将函数
图
象向右平移
个单位
得到函数
，若对任意
，都有
成立，则常数
的最小值为
______．
39．（25-26 高三上·上海·阶段检测）已知函数
，且
，则
________．
40．（25-26 高三上·河北沧州·开学考试）将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，若
为奇函数，则
的最小值是 _____________ ．
考点八 三角函数的单调性以及求参数
41．（25-26 高三上·云南昆明·期中）已知函数
.
(1)求
的对称轴和
在
上的值域；
(2)将函数
的图象先向右平移
个单位长度，再向上平移1 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原
来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，求函数
的单调递增区间.
42．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数
（
）在区间
上单调递增，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
43．（2026·河北保定·三模）已知函数
的最小正周期是
，
则下列
区间中，函数f(x)单调递增的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
44．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知常数
，若
，
，使得
成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
45．（25-26 高三上·吉林长春·期中）（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期是
B．直线
是函数
图象的一条对称轴
C．函数
的值域是
D．函数
的单调递减区间是
46．（2026·江苏南京·三模）已知函数
在
上单调，则
的最大值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
考点九 三角函数中零点问题
47．（2026·北京丰台·二模）已知函数
，
，若
的最大值为
，则（ ）
A．
，
有2 个零点
B．
，
有3 个零点
C．
，
有2 个零点
D．
，
有3 个零点
48．（2026·河南驻马店·三模）（多选）已知函数
的图象过点
和点
，则（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．直线
为
图象的一条对称轴
C．将
的图象向左平移
个单位长度可得函数
的图象
D．
在区间
上仅有两个零点
49．（2026·湖南长沙·一模）已知函数
其中实数
.
(1)若
的最小正周期为
，求
在
处的切线方程；
(2)若
在区间
上恰有三个极值点、两个零点，求
的取值范围.
50．（2026·山东临沂·二模）若
为函数
的一个零点，且
的最小正周期
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
51．（25-26 高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数
，若
在
上恰有三个
零点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
52．（25-26 高三上·安徽阜阳·期末）（多选）已知函数
，下列叙述正确的有（ ）
A．函数
是偶函数
B．函数
在区间
上单调递增
C．函数
在区间
上有
个零点
D．
的最大值为
53．（25-26 高三上·广东汕尾·期中）已知函数
，
(1)求函数
的最小正周期；
(2)求函数
的单调递减区间和对称中心；
(3)若
时，函数
有三个零点，求
的取值范围.
54．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
．
(1)求函数的最小正周期、对称轴和零点；
(2)若
，
，求
的值；
(3)若关于x 的方程
在
上有两个不同的解
、
，求实数m 的取值范围及
的值．
考点十 三角函数综合应用
55．（25-26 高三上·江西南昌·期中）（多选）已知函数
的最小正周期为
，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于点
对称
D．
在
上的最小值为
56．（25-26 高三上·云南·阶段检测）（多选）已知
，其中相邻的两个极值点的
距离为
，且
经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
时，
的值域为
D．
时，
与
的交点数为
个
57．（25-26 高三上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知函数
的图象过点
和
，则（ ）
A．
B．当
时，
的值域
C．
的最小值为
D．函数
有三个零点
58．（25-26 高二上·广东汕头·期末）（多选）已知函数
的部分图象如图所示，其中
，
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
C．
在
上单调递减
D．
在
上有6 个零点
59．（25-26 高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期．
(2)若关于
的方程
在
上有两个不同的实根，求实数
的取值范围．
60．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知函数
，
，函数
图象的两条
相邻对称轴间的距离为
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
在区间
上单调递增，求实数m 的最大值；
(3)若
，求
的取值范围．
1．（2026·福建福州·模拟预测）当函数
取得最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·全国·单元测试）在
内，函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·陕西汉中·阶段检测）将函数
的图象向左平移
个单位后，所得到的图象
对应的函数为偶函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·广东河源·阶段检测）已知函数
在区间
上单调递减，则
的最
大值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
5．（25-26 高三上·广东汕尾·期中）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·广西河池·模拟预测）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·山东潍坊·期中）已知函数
的图象关于直线
对称，若将函数
的图像向左或向右平移
个单位长度后，得到函数
的图象关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·重庆渝中·三模）已知点
为函数
的一个对称中心，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·云南昆明·期中）（多选）若函数
，则下列说法中正确的有（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的定义域为
C．
图象的对称中心的坐标为
D．
的单调递增区间为
10．（2026·云南·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的最大值为2
C．函数
关于
对称
D．函数
在区间
上单调递增
11．（25-26 高三下·甘肃武威·阶段检测）（多选）下列函数中，最小正周期为
，且在
上单调递增的为
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·江西九江·模拟预测）（多选）已知函数f (x)= A sin (ωx +φ)( A >0, ω>0)，则下列条件中是“
为奇函数”的充要条件的有（ ）
A．
B．
的图象关于原点对称
C．
，使得
D．
13．（2026·全国一卷·高考真题）已知
（
，
）是偶函数，
在区间
单
调递增．则
__________，
__________．
14．（25-26 高三上·河北·期中）若函数
在区间
上单调，且
，则
的取
值范围为________．
15．（25-26 高三上·上海·期中）已知
，若
，则
__________．
16．（25-26 高三上·天津·期末）已知函数
.
(1)求
的定义域、值域；
(2)求
的最小正周期，奇偶性和单调区间.
17．（2026·天津·高考真题）已知
．
(1)求最小正周期；
(2)若
，求
的最大值和最小值；
(3)若
，
，求
．
18．（2026·北京·三模）已知函数
（
）．
(1)若
，求
及
的单调递增区间；
(2)已知
在区间
上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在且唯一确定，求
的最小正周期.
条件①：
；
条件②：点
在
的图象上；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
