文档文本内容
2026 年高考数学一轮复习
专题10：利用导数研究函数的极值、最值
知识点一 函数的极值
1、函数的极小值：
若函数y＝f (x)在点x＝a 的函数值f (a)比它在点x＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在
点x＝a 附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a 叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f
(x)的极小值．
2、函数的极大值：
若函数y＝f (x)在点x＝b 的函数值f (b)比它在点x＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在
点x＝b 附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b 叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f
(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点二 函数的最值
求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值．
求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极
值，这个极值就是最值．
一、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数
；
（2）求方程
的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数
的符号如何变化．
①如果
的符号由正变负，则
是极大值；
②如果由负变正，则
是极小值．
③如果在
的根x＝x0的左右侧
的符号不变，则不是极值点．
二、等式恒成立问题常见的转化策略
(1)a＞f (x)恒成立⇔a＞f (x)max，a＜f (x)恒成立⇔a＜f (x)min.
(2)f (x)＞g(x)＋k 恒成立⇔k＜[f (x)－g(x)]min.
(3)f (x)＞g(x)恒成立⇔f (x)min＞g(x)max.
考点一 求函数的极值或极值点
【例1】函数
的极小值点是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-1】求下列函数的极值．
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【变式1-2】已知函数f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f (x)的极值．
考点二 由极值与极值点求参数
【例2】已知函数
，当
时函数
的极值为
，则
__________．
【变式2-1】若函数
在区间[1，2]上无极值点，则实数
的取值范围是 .
【变式2-2】已知函数
在
上存在极值点，则实数a 的取值范围
是_____________.
考点三 求函数的最值（不含参）
【例3】已知函数
.
（1）求
的单调区间；
（2）求函数
在区间
上的最大值与最小值.
【变式3】设函数
，
（1）求
、
的值；
（2）求
在
上的最值．
1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知
，函数
的极小值为
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
3.若函数
在区间
上存在最小值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（多选题）函数
的定义域为R，它的导函数
的部分图象如图所示，则下面结论正确的
是（ ）
A．在
上函数
为增函数
B．在
上函数
为增函数
C．在
上函数
有极大值
D．
是函数
在区间
上的极小值点
5.（多选题）已知函数
（e 为自然对数的底数，
），则关于函数
，下列结论
正确的是（ ）
A．有2 个零点
B．有2 个极值点
C．在
单调递增
D．最小值为1
6.（多选题）已知
．则下列说法正确的有（ ）
A．函数
有唯一零点
B．函数
的单调递减区间为
C．函数
有极大值
D．若关于x 的方程
有三个不同的根．则实数a 的取值范围是
7.已知函数
，若函数
在
上有极值，则实数a 的取值范围为 ．
8.已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若对任意的
，
恒成立，求实数a 的取值范围．
