专题3.5 导数之三次函数
3.5.1 三次函数的单调性、极值、零点
知识点梳理
1.三次函数的一般形式：f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d (a≠0 )，其导函数为
f '( x)=3a x
2+2bx +c (a≠0 )，其Δ= 4 b
2−12ac = 4(b
2−3ac).
（1）三次函数的单调性、极值
①若b
2−3ac≤0，当a>0时，f ( x)在R上单调递增；当a<0时，f ( x)在R上单调递
减.f ( x)均无极值.
②若b
2−3ac>0
，记：x1= −b−
❑√b
2−3ac
3a
, x2= −b+
❑√b
2−3ac
3a
.
当a>0时，f ( x)在(−∞, x1), ( x2,+∞)上单调递增，在( x1, x2)上单调递减，
f ( x)极大值= f ( x1), f ( x)极小值= f ( x2).
当a<0时，f ( x)在(−∞, x1), ( x2,+∞)上单调递减，在( x1, x2)上单调递增.
f ( x)极小值= f ( x1), f ( x)极大值= f ( x2).
（2）三次函数的零点的判断
①若b
2−3ac≤0，则f ( x)为单调函数，故f ( x)在R上有且仅有一个零点.
②若b
2−3ac>0，
当f ( x1)f ( x2)>0，则f ( x)有且仅有一个零点.
当f ( x1)f ( x2)=0，则f ( x)有两个零点；且其中一个零点恰为极值点.
当f ( x1)f ( x2)<0，则f ( x)在三个单调区间各有一个零点，共三个零点.
2.三次函数的韦达定理：若三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)有三个零点
x1, x2, x3,则:{
x1+x2+x3=−b
a
x1x2+x2x3+x3x1=c
a
x1x2x3=−d
a
)
.
典型例题
例1.（多选）设函数f ( x)= 1
2 x
3−2 x
2+2 x，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数x0使得f（x0）＝f'（x0）
B．方程f（x）＝3 有唯一正实数解
C．方程f（x）＝﹣1 有唯一负实数解
D．f（x）＝1 有负实数解
例2.已知三次函数f(x)=2x
3+a x
2+6x+1的极小值点为b，极大值点为2b，则a+b等于
（ ）
A. 4 ❑√2 B.
4
−
❑√2 C. ±4 ❑√2 D. ±5❑√2
例3.已知函数f(x)=a x
3+ bx
2+cx+d在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则
c
a+b
的取值范围是 .
例4.已知f(x)={
|2x+1|,
x<1
log2(x
1),
−
x>1)，g(x)为三次函数，其图象
如图所示.若y=f(g(x))−m有9个零点，则m的取值范围是 .
例5.( 多选题) 已知三次函数f(x)=a x
3+x
2+cx+1
27
有三个不同的零点
x1,x2,x3(x1<x2<x3),函数 g(x)=f(x) 1
−.则（ ）
A. 3ac<1
B. 若x1,x2,x3成等差数列,则a∈( 1,0)∪(0,1)
−
C. 若g(x)恰有两个不同的零点m ,n( m <n), 则2m +n=−1
3a
D. 若g(x)有三个不同的零点t1,t2,t3(t1<t2<t3), 则x1
2+x2
2+x3
2=t1
2+t2
2+t3
2
随堂演练
1.（多选）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax（x≥0），则（ ）
A．若f（x）min＝f（1），则a＝1
B．若f（x）min＝f（1），则a=−1
3
C．若a＝1，则f（x）在（0，1）上单调递减
D．若a=−1
3
，则f（x）在（1，3）上单调递增
2.三次函数f(x)= m x
3−x在( ∞,+∞)
−
上是减函数，则m的取值范围是（ ）
A. m <0 B. m <1 C. m ≤0 D. m ≤1
3.函数f(x)=x
3
3
−x
2+1是减函数的区间为（ ）
A. ( ∞,2)
−
B. (0,2) C. ( ∞,0)
−
D. (2,+∞)
4.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)
2(x−b)的极大值点，则（ ）
A. a<b B. a>b C. ab<a
2 D. ab>a
2
5. 已知m ,n,p∈R, 若三次函数f(x)=x
3+ m x
2+nx+ p有三个零点a,b,c, 且满足
f( 1)=
−
f(1)<−1, f(0)=f(2)> 1
3
,则1
a +1
b +1
c
的取值范围是（ ）
A. (
1
3 ,1)
B. (
1
4 , 1
3)
C. (
1
4 ,1
2)
D. (2,3)
6.一般地, 对于一元三次函数 f(x), 若f
″(x0)=0, 则(x0,f(x0))为三次函数f(x)
的对称中心, 已知函数f(x)=x
3+a x
2+1图像的对称中心的横坐标为x0(x0>0), 且f(x)
有三个零点,则实数a的取值范围是（ ）
A. (
∞,
−
−
3❑√2
2
) B. ( ∞,0)
−
C. ( 1,0)
−
D.
(−3❑√2
2
, 1
−)
7.函数f(x)=x
3
15
−
x
2
33
−
x+6的单调减区间为 .
8. 已知函数f(x)=a(x−x1)(x−x2)(x−x3) (a>0) ，设曲线y=f(x)在点
(xi,f(xi))处切线的斜率为ki (i=1,2,3)，若x1,x2,x3均不相等，且k2= 2
−，则
k1+4k3的最小值为 .
9.已知函数f(x)=x
3−x
2+ax+1.
（1）讨论f(x)的单调性.
（2）求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.
10.已知三次函数f(x)的导函数f
′(x)=3x
2
3
−ax, f(0)=b, a,b为实数.
（1）若曲线y=f(x)在点(a+1,f(a+1))处切线的斜率为12, 求a的值.
（2）若f(x)在区间[ 1,1]
−
上的最小值、最大值分别为
2
−、1,且1<a<2,求函数f(x)
的解析式.
3.5.2 三次函数的对称性
知识点梳理
三次函数是中心对称曲线，其图像关于点(−b
3a ,f(−b
3a))
中心对称.
相关性质：
①三次函数f ( x)的对称中心(−b
3a ,f(−b
3a))
的横坐标为二阶导数f
″( x)=6ax +2b
的零点,则点(−b
3a ,f(−b
3a))
为f ( x)拐点.
②若已知三次函数f ( x)的对称中心, 则其解析式可设为
f ( x)=a(x + b
3a)
3
+ k(x + b
3a)+ f(−b
3a)
.
典型例题
例1.（多选）设函数f ( x)=2 x
3−3a x
2+1,则（ ）
A. 当a>1时,f(x)有三个零点
B. 当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C. 存在a,b, 使得x= b为曲线y=f(x)的对称轴
D. 存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
例2.设函数y = f
″( x)是y = f
′( x)的导函数. 某同学经过探究发现, 任意一个三次函数
f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)的图像都有对称中心( x0,f ( x0)),其中x0
满足f
″( x0)=0. 已
知三次函数f ( x)= x
3+2 x +2
,若x1+ x2=0, 则f ( x1)+ f ( x2)= .
随堂演练
1.（多选）已知函数f ( x)= x
3−3 x +3，则（ ）
A. f ( x)有两个极值点
B. 点(0,3)是曲线y = f ( x)的对称中心
C. f ( x)有三个零点
D. 若方程f ( x)=k有两个不同的根，则k =1或5
2.（多选）已知函数f(x)=x
3−x+1，则（ ）
A. f ( x)有两个极值点
B. f ( x)有三个零点
C. 点(0,1)是曲线y = f ( x)的对称中心
D. 直线y =2 x是曲线y = f ( x)的切线
3.（多选）函数f ( x)= x
3−a x
2−x +1，则下列结论正确的是（ ）
A. 若函数f ( x)在(−1
2 , 1
3)
上为减函数，则−1≤a≤1
4
B. 若函数f ( x)的对称中心为(1,−2)，则a= 3
2
C. 当a=1时，若f ( x)=m有三个根x1, x2, x3，且x1< x2< x3，则x1< 9m−16
16
D. 当a=1时，若过点(−1,n)可作曲线y = f ( x)的三条切线，则0<n< 64
27
4.（多选）已知三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx −1，若函数g( x)= f (−x)+1的图象关于
点(1,0)对称，且g(−2)<0，则（ ）
A. a<0 B. g( x)有3 个零点
C. f ( x)的对称中心是(−1,0) D. 12a−4 b+c<0
5.( 多选题) 定义：f
″( x)是函数f
′( x)的导数，若方程f
″( x)=0有实数解，则称点
( x0,f ( x0))为函数y = f ( x)
“
”
“
”
“
的拐点．经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点且拐
”
点就是三次函数图象的对称中心．已知函数 f ( x)=a x
3−b x
2+ 1
3 (ab≠0)的对称中心为
(−1,−1).
则下列选项正确的有（ ）
A. a= 1
3 ,b=−1
B. f (0)+ f(−1
10)+ f(−2
10)+⋯+ f(−19
10)+ f (−2)的值是−21
C. 函数f ( x)有一个零点
D. 过(−3, 1
6)
可以作三条直线与y = f ( x)图象相切
6.对于三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)给出定义:设f
′( x)是函数y = f ( x)的导数，
f
″( x)是f
′( x)的导数，若方程f
″( x)=0有实数解x0
，则称点( x0,f ( x0))为函数y = f ( x)的
“
”
“
”
拐点，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中
心，且拐点就是对称中心，若f ( x)= 1
3 x
3−1
2 x
2+3 x−5
12
，请你根据这一发现计算:
f(
1
2024)+ f(
2
2024)+ f(
3
2024)+⋯+ f(
2023
2024)=（ ）
A. 2021
B. 2022
C. 2023
D. 2024
7.已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数f ( x)= x
3+a x
2+bx +c，
M ( x0,f ( x0))为曲线y = f ( x)的对称中心，则必有g
′( x0)=0(其中函数g( x)= f
′( x)).若实
数m,n满足{
m
3+6m
2+13m=10
n
3+6n
2+13n=−30)
，则m+n=（ ）
A. -4 B. -3 C. -2 D. -1
