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3.3 利用导数研究函数的极值与最值（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1.（2025·北京）已知函数
的导函数
的图像如图所示，若
在
处有极值，则
的值为（ ）
A．-3
B．3
C．0
D．4
【答案】C
【解析】由函数
的导函数
的图像可知当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递减，
故
为函数
的极大值点，即
，
故选：C
2．（2024 内蒙古赤峰·开学考试）已知函数
有极值
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】B
【解析】由题目条件可得：函数
的定义域为
，
.
令
，得
；
令
，得
.
所以函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增.
则
是函数
的极小值点，
故
，解得
.
故选：B
3（2025 湖北）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】因为函数
定义域为
，所以依题可知，
，
，而
，所以
，即
，所以
，因此函数
在
上递增，在
上递减，
时取最大值，满足题意，即有
．
故选：B.
4.（2024 湖南益阳·期中）已知
（a 为常数）在
上有最大值3，则此函数
在
上的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知：
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
上单调递增，则
上单调递减，
则函数的最大值为
，
此时
，且
，
，
可知当
时，函数
取得最小值为
.
故选：A.
5.（2025·江西赣州·一模）已知函数
，
，若
恰有3 个极值点，则正数ω 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以当
时，
，
因为
恰有3 个极值点，所以
，
解得
，即
的取值范围为
.
故选：D
6．（2025 河北）已知当
时，函数
取得最大值2，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，因为当
时，函数
取得最大值2，
所以
，即
，解得
，
所以
，
，
令
，得
；令
，得
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，符合题意，
所以
.
故选：C.
7．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数
的极值点为
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】D
【解析】由
得
，
，
设
，则
，所以
在
单调递减，
又
，
，由零点存在定理知，存在
，使得
，
所以当
时，
，
，函数
单调递增；
当
时，
，
，函数单调递减，
，
所以
是函数
的极大值点，则
，即
.
所以
.
故选：D
8（2025 湖南）设
，若函数
的最小值为
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若
，当
时，
为增函数，且
，不符合题意.
若
，最小值为
.
若
，当
时，
的最小值为
.
当
时，
，若
，则
，若
，则
，
在
在，在
上递
增，故
的最小值为
.
由
，
，
，设
，它在
上是增函数，且
，
所以
的解是
．
可得
综上，常数
的取值范围为
.
故选：B．
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
是
上的可导函数，
的导函数
的图象如图，则下列结
论不正确的是（ ）
A．
分别是极大值点和极小值点
B．
分别是极大值点和极小值点
C．
在区间
上是增函数
D．
在区间
上是减函数
【答案】ABD
【解析】根据
的图象可知：
当
时，
，
单调递减；当
时，
，且不恒为零，
单调递增；
对AB：根据单调性可知，
只有极小值点
，没有极大值点，故AB 错误；
对CD：根据单调性可知，
在
单调递增，在
也单调递增，故C 正确，D 错误.故选：ABD.
10（24-25 高三上·青海·期中）已知函数
的极小值点为1，极小值为
.则（ ）
A．
B．
C．
有3 个零点
D．直线
与
的图像仅有1 个公共点
【答案】ACD
【解析】由题意得
则
，解得
，故A 正确.
由
，解得
，故B 错误.
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
的极大值为
，
画出草图，所以
有3 个零点，故C 正确；
直线
与
的图像仅有1 个公共点，故D 正确.
故选：ACD.
11（24-25 高三下·河北邢台·阶段练习）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
时，曲线
的切线斜率最小值为
B．
时，
有最大值
C．
时，
有两个零点
D．
时，
有最小值
【答案】AD
【解析】函数
的定义域为
，且
，
对于A 选项，当
时，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以，
时，曲线
的切线斜率最小值为
，A 对；
对于B 选项，当
时，
对任意的
恒成立，
所以，当
时，函数
在
上为增函数，则
无最大值，B 错；
对于CD 选项，当
时，
，
，
由
可得
，由
可得
，
此时，函数
的减区间为
，增区间为
，
则
，所以，
，
所以，当
时，函数
有最小值，函数
无零点，C 错D 对.
故选：AD.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（24-25 高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知在等比数列
中，首项
，公比
是函数
的两个极值点，则数列
的前10 项和是 .
【答案】2046
【解析】
，则
，
令
，解得
，
∵
，∴
，
∴
，
∴数列
的前10 项和
.
故答案为：2046
13．（2025 河南洛阳·阶段练习）若函数
在区间
上有最大值，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【解析】
，
令
解得
；令
，解得
或
由此可得
在
上时增函数，在
上是减函数，在
上是增函数，
故函数在
处有极大值，在
处有极小值，
，解得
故答案为：
14．（2025 山东）已知函数
有两个极值点，则实数m 的取值范围为 .
【答案】
【解析】
的定义域为
，
.
要使函数
有两个极值点，
只需
有两个不同正根
，并且在
的两侧
的单调性相反，在
的两侧
的单调性
相反.
由
得，
.
令
，
，要使函数
有两个极值点，只需
和
有两个交点.
，令
得：x>1；令
得：0<x<1；
所以
在
上单减，在
上单增.
当
时，
；当
时，
；
作出
和
的图像如图，
所以-1<m<0
即实数m 的取值范围为
.故答案为：
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2025·陕西渭南·二模）已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
在
上的最值.
【答案】(1)
(2)最小值为
，最大值为
【解析】（1）
，
，
，
所求切线方程为
.
（2）由（1）知
，
令
，得
或
；
令
，得
.
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
又
，
函数
在
上的最小值为
，最大值为
.
16．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)若
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
时，
在区间
上的最小值为
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
且
，
所以
，
故切线方程为
，即
，
（2）
，
由
，存在
，使得
，即
，
当
时，
，此时
单调递减，
当
时，
，此时
单调递增，
故
，
，
故
在
单调递减，又
，
故
17．（24-25 高三上·北京·期中）已知函数
在
处有极值-1.
(1)求实数a，b 的值;
(2)求函数
的单调区间.
【答案】(1)
(2)
的单调递增区间为
，单调递减区间为
【解析】（1）已知函数
，则
，
由题意
，解得
，
当
时，
，
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
上均单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处有极小值
，满足题意，
综上所述，
符合题意；
（2）由题意
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
的单调递增区间为
，
的单调递减区间为
.
18．（2024·广东汕头·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
既存在极大值，又存在极小值，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）当
时，函数
，求导得
，则
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，
求导得
，
当
时，
，由
，得
，由
，得
，
则函数
在
上递增，在
上递减，函数
只有极大值
，不合题意；
当
时，由
，得
或
，
①若
，即
，由
，得
或
，由
，得
，
则函数
在
上递增，在
上递减，
因此函数
的极大值为
，极小值为
，符合题意；
②若
，即
，由
，得
或
，由
，得
，
则函数
在
上递增，在
上递减，
因此函数
的极大值为
，极小值为
，符合题意；
③若
，即
，由
在
上恒成立，得
在
上递增，
函数
无极值，不合题意，
所以
的取值范围为
.
19．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知函数
.
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个极值点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）函数
的定义域为
，
，
故
，
，
所以，
在点
处切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，且
，
有两个极值点等价于
有两个不等正根，
即
有两个不等正根，
设
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，所以
，
如下图所示：
当
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
设这两个交点的横坐标分别为
、
，
由图可知，当
或
时，
，则
，
当
时，
，则
，
所以，函数
的增区间为
、
，减区间为
，
此时，函数
的极大值点为
，极小值点为
，
故当
时，
有两个极值点，
综上，
的取值范围为
.
