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6.3 空间几何体空间角与空间距离（精讲）
考向一 线线角向量法
【例1-1】（2025 高三·全国·专题练习）在正四棱台
中，
，
，且该正四棱台的体积
为28，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解法一：过点
作
，交
于点
，则
为异面直线
与
所成的角或其补角.
设该正四棱台的高为，则
，得
.
，故
.
过点
作
交
于点
，则
，
.连接
，易得
，
在
中，利用余弦定理可得
，
故异面直线
与
所成角的余弦值为
.
解法二：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为
，
，连接
，由题知
，得
.由正四棱台的性质知
平面
，
以
为坐标原点，过点
分别与
平行的直线为
轴，
轴，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系如图
所示，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
故异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：D.
【例1-2】（2025·江西景德镇·模拟预测）在正方体
中，
为线段
上的动点，则直线
与
所成角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】正方体
中，
，所以
为等边三角形.
因为
，所以
或其补角为直线
与
所成的角.
当点
与线段
的端点重合时，直线
与
所成的角取得最小值
；
当点
与线段
的中点重合时，直线
与
所成的角取得最大值
.
故直线
与
所成角的取值范围
.
故选：D.
【例1-3】（2025·四川巴中·二模）已知三棱柱
的各条棱长相等，且
，
则异面直线AB 与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设三棱柱棱长为
，
所以
，
，
，
，
，则
，
设异面直线
与
所成角为
，
.故选：D
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱
中，
为
边中点，
则异面直线
与
所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】取
中点
，连接
，因为
，所以
，
以
为原点，
分别为
轴，过点
且垂直于面
的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以
，
所以
，
所以
，
所以异面直线
与
所成角为
，.
则
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故答案为：
.
2．（2025·福建三明·模拟预测）在直三棱柱
中，
，
，
，
分别是
，
的中点，则直线
与直线
所成角的余弦值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为直三棱柱
，所以
底面
，
又
底面
，所以
，
，
又因为
，所以
两两垂直，
以
为
轴建立如图所示坐标系，
设
，则
，
，
，
，所以
，
，
设直线
与直线
所成角为
，则
，
所以直线
与直线
所成角的余弦值为
.故选：B
3．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱
的各条棱长相等，且
，则异面直线
与
所成角为 .
【答案】
/
【解析】不妨设三棱柱
的各条棱长均为2，
因为
，所以
，
，
因为
，
所以
，
即
，且
，
所以
，又异面直线夹角的取值范围为
，
所以异面直线
与
所成角为
．故答案为：
．
考向二 线面角向量法
【例2】（2025·北京·模拟预测）已知三棱锥
，底面
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，平面
平面
，
是棱
的中点，
在棱
上，满足
平面
.
(1)求
的值；
(2)若
，
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)1(2)
【解析】（1）因为底面
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，所以
，
又平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，又因为满足
平面
，所以
，
又
是棱
的中点，则
为
的中位线，故
是棱
的中点，所以
；
（2）以
点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
因为
，
，则
，
又
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，则
，
故
，
，取
中点
，连接
，则
，
又
，故设
，根据三棱锥
的体积相等，
，可得
，
解得
，所以设
，故
，
，设平面
的法向量为
，则
，解得
，令
，则
，
则
，即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【一隅三反】
1．（2025·河北秦皇岛·二模）如图①，已知正方形
的边长为4，
分别为
的中点，沿
将四边
形
折起，如图②，使二面角
的大小为60°，
在线段
上，直线
与直线
的交点为
．
(1)若
为
的中点，证明：
平面
；
(2)当
时，求直线
与平面
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【解析】（1）连接
交
于点Q，连接
，因为正方形
，
分别为
的中点，所以四边形
为矩形，所以
为
中点，又
为
的中点，
，所以
为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）
由题知：
，二面角
的大小为60°，
故：
是二面角
的平面角，
，
又
，所以
为正三角形，
取
中点
，
中点
，连接
，
则
，易证：
面
，所以
，
以
为坐标原点，
分别为
轴建立平面直角坐标系，
则
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
则
，
设直线
与平面
的夹角为
，则
，
又
，所以
，所以
，
直线
与平面
所成角的余弦值为
.
2．（2025·河北·模拟预测）如图，在棱长为3 的正方体
中，E，F 分别为棱
，
的中点，点
G 满足
．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线DG 与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【解析】（1）以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
得
，故
，
所以
，
故
，所以
平面
；
（2）
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
解得
，令
，则
，故
，
设直线DG 与平面
所成角大小为
，
则
.
3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在中国古代数学中，将底面为矩形并有一条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳
马”.如图是一个底面
为正方形的阳马，其中
底面
，且
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为
底面
，
底面
，所以
.
又底面
为正方形，所以
.故
两两垂直.
以点
为坐标原点，
所在直线依次为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系.
由条件可得下面各点的坐标：
，
，进一步得
.设平面
的法向量为
，由
得
即
令
，得
，所以
.
设平面
的法向量为
，
由
得
即
令
，得
，所以
.因为
，所以
，平面
平面
.
（2）由（1）得
，平面
的一个法向量为
，
设直线
与平面
所成的角为
，则
.
考向三 二面角向量法
【例3】（2025·广东东莞·模拟预测）在四棱锥
中，
，
，
，
，
.
(1)证明：二面角
为
；
(2)求平面
与平面
所成的二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：在梯形
中，取
中点
，连接
，
∵
且
，∴
为平行四边形，
∴
，
，
∴
为直角三角形，
，
又
，
，∴
平面
，∴
，
又∵
，且
必与
相交，∴
平面
，
∴平面
平面
，∴二面角
为
.
（2）解：过
作
，由（1）知，
平面
，所以
平面
，则
，
，
两两垂直，
从而可建立以
为原点的空间直角坐标系
如图，
由题意，
，
，
，
，
则
，
，
，
，
设
是平面
的一个法向量，
则
，取
则
，
设
是平面
的一个法向量，
则
，取
，则
，
设平面
与平面
夹角为
，
则
，
∴平面
与平面
夹角的余弦值为
.
【一隅三反】
1．（2025·湖北·三模）如图，已知正三棱台
的体积为
，
．
(1)求棱台的高；
(2)求二面角
的正弦值．
【答案】(1)2(2)
【解析】（1）设棱台的高为h，由题可知，
和
为正三角形，且
，
，
故
，
，由棱台的体积为
得
，
故
．
（2）设
的中心为点O，设点
在底面的投影为点E，连接
交
于点D，
，
．
以点D 为原点，以
为x 轴，以
为y 轴，过点
作平行于
的直线为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
,
，
，
，
．
设
是平面
的法向量，
是平面
的法向量，
由
，得
，即
，解得
，
取
，则
，故
，
，令
，解得
故可取
，
则
．
设二面角
的平面角为
，
所以
．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
为
中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由题意知
底面
，
，
故以A 为坐标原点，以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
则
，
则
，
故
，
，即
，
而
平面
，
故
平面
；
（2）由（1）可得
，
设平面
的法向量为
，则
,
即
，令
，可取
，
平面
的法向量可取为
，
设平面
与平面
夹角为
，则
.
3．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正三棱柱
中，
为
的中点，点
在棱
上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）方法一：在直三棱柱
中，
，
所以
，
所以
，所以
，
又
，所以
，
，
，
则
，所以
，
所以
，
即
，又
平面
，
所以
平面
．
方法二：如图，以为
原点，以
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
所以
，
所以
所以
，即
又
平面
，所以
平面
．
（2）方法一：如图，延长
交于点
，过点
作
，垂足为
，连结
，
则由
平面
得
，
所以
即为平面
与平面
的夹角．
在
中，
，
所以
，即
，
又
，所以
，
所以
，所以
，
即平面
与平面
夹角的余弦值为
.
方法二：如图，以为
原点，以
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系，
则
，所以
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
取
得
，又平面
的一个法向量为
，
记平面
与平面
的夹角为
，则
，
即平面
与平面
夹角的余弦值为
．
方法三：由（1）知
，
记平面
与平面
的夹角为
，则
即平面
与平面
夹角的余弦值为
．
考向四 线线角的几何法
【例4】（2025·辽宁·三模）在正四棱柱
中，
分别是
的中点，则直
线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解法一：以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，则
，可得
，
则
，
所以
.
解法二：设
，则
，
如图所示，取
的中点P，连接
，
在正方形
中，可得
，
在三角形
中，因为
是
的中点，可得
，
所以
（或其补角）是异面直线
与
所成角，
在直角
中，可得
，
在直角
中，可得
，
在直角
中，可得
,
在
中，由余弦定理得
．
故选:D．
【一隅三反】
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知圆柱的轴截面
为正方形，
为下底面圆弧
的中点，点
在上底面
圆弧
上且与
在轴截面同侧，若
，则异面直线
与
所成角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，在弧
上取一点
，使得
，过
作圆柱的母线
，
连接
，则由圆的对称性可得
，
由圆柱的性质知，
，
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，所以
，
所以
或其补角即为异面直线
与
所成角．
因为
为下底面圆弧
的中点，
，所以
，
，
所以
，所以异面直线
与
所成角为
．
故选；D
2．（2025·江苏南京·三模）在直三棱柱
中，所有棱长都相等，
，
，
分别是棱
，
，
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】连接
，因为
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，所以
即为异面直线
与
所成的角或补角，
设
，则
，
，
连接
，则
，因为
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
，
，
由余弦定理得
.
所以异面直线
与
所成角的余弦值是
.
故选：D.
3．（2025·甘肃定西·模拟预测）在直三棱柱
中，
是棱
的中点，
则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接
，取
的中点
，连接
，
因为
，所以
（或其补角）为异面直线
与
所成的角.
因为
，所以
，
所以
，所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：C.
考向五 线面角的几何法
【例5-1】（2025·河北秦皇岛·三模）已知圆台的上下底面半径分别是
､
1 和2，且该圆台的表面积为
，则圆台的
母线与底面所成的角的正切值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设圆台的母线长为，则圆台的表面积
，即
，故圆台的高为
，
根据线面角定义求出母线与底面所成角
，所以圆台的母线与底面所成的角的正切值为
．故选：D．
【例5-2】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知三棱锥
的体积为1，
是边长为2 的正三角形，且
，
则直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】
是边长为2 的正三角形，其面积为：
因为三棱锥
的体积为1 和底面积
，
得：
解得：
设直线
与平面
所成角为
，所以
故选：C
【一隅三反】
1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在正三棱台
中,
分别为棱
的中点，
，四边形
为菱形，则
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取
中点
，连接
,分别在线段
上
取
，连接
.
则在正三棱台
中，
分别为
的中心，
且
平面
，
平面
,
.
则平面
平面
，则
即为
与平面
所成角.
令
，由正三棱台
中
，
可得
，
又四边形
为菱形，则
，
,
,
则
，
则
故选：B
2．（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥
的底面
是正三角形，
平面
，
，
，
，
四点
都在以
为球心的球面上，
，则
与平面
所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设
是
中点，
是
中点，
是正三角形
的重心，则
是
的三等分点，
，
由
是边长为
的正三角形知，
，
在平面
中，作
，作
的垂直平分线交
于点
，
因为
平面
，
，易知四边形
是矩形，
，
．
设
与
交于点
，过
作
，垂足为
，
因为
平面
，
在平面
内，
所以
，又
，
为平面
内两条相交直线，
所以
平面
，
在平面
内，
所以
，又
为平面
内两条相交直线，
所以
平面
，
所以
是
与平面
所成的角或其补角．
过
作直线
平行于
，交
于点
，交
于点
，则
，
，
把
，
，
，
，
，
，
代入求得
，
，
在
中，
，
，
在
中，
，
所以
．
故选：C．
3．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
平面
.
(1)求证:直线
；
(2)求直线
与平面
所成角的正切值
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由题意知
，所以
，
又因为
，所以
，所以
；
又因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
平面
，
所以
平面
，又
在平面
内，所以直线
；
（2）因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
，
平明
，所以
平面
，
所以
为直线
与平面
所成角，
在
中，因为
，所以
所以直线
与平面
所成角的大小为.
考向六 二面角的几何法
【例6-1】（23-24 湖南）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，且
，
，等边三角
形PCD 所在的平面垂直于底面ABCD，
．
(1)求证：
面
．
(2)若直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为
，求二面角P-AB-D 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）如图所示：
取CD 中点H，连接PH，
是等边三角形，
，
面ABCD⊥面PCD，且交线为CD，
面PCD，
，
面ABCD，
面ABCD，
，
又
平面
，
面PCD.
（2）连接BH，AH，过点H 作
，
面ABCD，所以直线PB 在底面ABCD 上的射影为直线BH，
直线PB 与面ABCD 所成的角为
，
设
，则
，
，
，
，
，
，
面ABCD，而
平面
，
，且
平面
，
面PHE，
面PHE，
，
为二面角P-AB-D 的平面角，
在
中，
，解得
，
在
中，
，
，所以二面角P-AB-D 的余弦值为
.
【例6-2】（2025·甘肃白银·二模）如图，在直三棱柱
中，
，
，E 为
的中点，平面ABE 与直线
交于点G．
(1)求四棱锥
的体积；
(2)求平面ABEG 与平面CEG 所成角的正弦值．
【答案】(1)
；(2)
.
【解析】（1）由
是由棱锥
和棱锥
组合而成，
由
平面
，
平面
，则
，且
，
即
，由
且都在平面
内，则
平面
，
所以
是棱锥
的高，
则
；
（2）由题设
，
，
由
，即
为等腰梯形，其高为
，
所以
，
若
到平面
的距离为
，则
，可得
，
在等腰三角形
中，
边上的高为
，
所以，平面ABEG 与平面CEG 所成角的正弦值为
.
【一隅三反】
1．（2025·江西新余·模拟预测）在三棱锥
中，
且
，底面
是等边三角形，平面
平面
，若
，则平面
与平面
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，过点
作
，垂足为
，
平面
平面
，且平面
平面
平面
，
作
，则
，则
平面
，
作
于
，
平面
，
，
又
，
平面
平面
，
平面
，
为平面
与平面
所成二面角的平面角．
且
，
作
于
，由
是等边三角形，
得
．
故选：D.
2．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥
中，
，若三棱锥
的外接球表面积为
，则二面角
的大小为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【解析】设
外接圆圆心分别为
，外接圆半径为
，三棱锥外接球半径为
，
过
分别作平面
，平面
的垂线，交点即为三棱锥
的外接球心
，
，
，即
，
所以
在
中点处，
，
，
，
，且
在
垂直平分线上，
所以
，
三棱锥
的外接球表面积为
，
，
，
又
平面
，
平面
，所以
，
则
，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
，
又
，所以
共面，
所以
就是二面角
的平面角，
或
.
故选：A.
3．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，已知四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，
，且
(1)证明：平面
平面
；
(2)求二面角
所成平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
．
【解析】（1）证明：因为四边形
为直角梯形，且
，故
，
又
，故
，而
，
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，所以
，
而
，
，
平面
，由梯形
知
，
必定相交，
故
平面
，而
平面
，
故平面
平面
；
（2）连接
，在平面
中过
作
，垂足为
，
由（1）可得
平面
，而
平面
，故
，
而
，
，故
，而
，
所以
，
因为
，所以
，
在平面
中，过
作
，交
延长线于点
，连接
，
则
，故
，且
，
取
的中点为，连接
，由
可得
，
因为
平面
，故
，
而
，
，
平面
，
故
平面
，而
平面
，故
，
而
，
，
平面
，故
平面
，
故
到平面
的距离为
，且
，
而
，
平面
，
平面
，
故
平面
，故
到平面
的距离即为
到平面
的距离为
，
设二面角
的平面角为
，则
，
由图可知
为钝角，故
．
考向七 空间距离
【例7-1】（2025·上海徐汇·二模）已知
平面
，
是直角三角形，且
，
，则点P
到直线BC 的距离是 .
【答案】
【解析】取
中点为
，连接
，如下所示：
因为
为等腰三角形，又
为
中点，故
；
因为
平面
，
面
，故
；
又
面
，故
面
，又
面
，故
，
故点
到直线
的距离，即为
；
在△
中，
；
因为
平面
，
面
，故
，则△
为直角三角形；
在△
中，
，故
,
故点
到直线
的距离为
.
故答案为：
.
【例7-2】（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱
中，△ABC 是正三角形，D 为AC 的中点，点E 在棱
上，且
，若
，
，则点
到平面BDE 的距离为 .
【答案】
【解析】如图，取
的中点
，因为
平面
，
平面
，
所以
，
因为三角形
是等边三角形，点
是
中点，所以
，
所以
两两互相垂直，以点
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
因为
，
，
，D 为AC 的中点，
所以
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
所以
，令
，解得
，
所以可取
，
点
到平面BDE 的距离为
.
故答案为：
.
【一隅三反】
1．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧棱
底面
是
的中点，点
是棱
上靠近
的四等分点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到直线
的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)
【解析】（1）法一：如图，连接
交
于
，连接
，
因为底面
为矩形，所以
为
的中点，
因为
为
的中点，所以
是
的中位线，
得到
，而
平面
，
平面
，故
平面
.
法二：根据题意，以点
为坐标原点，
分别以
为
轴，建立空间直角坐标系，
由题意得
，
则
，
设
为平面
的法向量，
则
，即
，
令
，则
，故
，
平面
，
平面
.
（2）
，
，
直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）由已知得
，
由点到直线的距离公式得
，
故点
到直线
的距离为
.
2．（2025·北京·模拟预测）如图，在三棱柱
中，
，点D,E 分别在棱
和棱
上，且
为棱
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若
平面ABC，
（i）求二面角
的余弦值：
（ii）点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）
（ii）
【解析】（1）
取
中点G，连接
，
则
，又因为
，
所以
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）
（i）以
为坐标原点，
方向分别为
轴，
轴，
轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则
，
则
．
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
设平面
的法向量为
，
设二面角
为
，
则
，
因为
为锐角，所以
；
（ii）由（i）平面
的一个法向量为
，
点
到平面
的距离
3．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在四棱锥
中，四边形
是菱形，
，
，三
角形
是正三角形，M 是棱
的中点.
(1)证明：
；
(2)若二面角
为
，求点M 到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2)
.
【解析】（1）
证明：取
与
中点
，
.连接
，
，
，
，
则运用中位线性质知
，
且
，
，
则
，
，则四边形
是平行四边形，
又因为
是正三角形，
为
中点，所以
，
底面
是菱形，
，则
是正三角形，则
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
由于四边形
是菱形，四边形
是平行四边形，所以
，
，
.
（2）由（1）
，则过
做
的垂线
，以
为坐标原点，
为坐标轴，建立空间直角坐标系
如图，
由二面角
为
，可得
，
因为
，四边形
是菱形，可得
，
又因为三角形
是正三角形，可得
，所以可得
，
则
，
，
，
，由M 是棱
的中点，可得
，
则
，
，设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，得
，故法向量为
，又由
，
所以M 到平面
的距离
，
故M 到平面
的距离为
.
考向八 动点问题
【例8】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形
中，
，将
沿
折起，使点D 到达点P 位置，且
，连接
得三棱锥
，如图2．
(1)证明：平面
平面
；
(2)在线段
上是否存在点M，使平面
与平面
的夹角的余弦值为
，若存在，求出
的值，若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【解析】（1）证明：翻折前，因为四边形
为平行四边形，
，则
，
因为
，则
，
，
由余弦定理可得
，
所以，
，则
，同理可证
，
翻折后，则有
，
，
因为
，
，
、
平面
，
所以，
平面
，
因为
平面
，则
，
因为
，
、
平面
，所以，
平面
，
所以平面
平面
.
（2）因为
平面
，
，以点
为坐标原点，
、
、
的方向分别为
、
、
轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
设
，其中
，
则
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，则
，
，所以，
，
平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，令
，可得
，
则
，整理可得
，
因此，线段
上存在点
，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为
，且
.
【一隅三反】
1．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是矩形，
平面
，
为
边CD 的中点，且
.
(1)求线段
的长；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)在线段
上（不含端点）是否存在点
，使直线
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，求线段
的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【解析】（1）由
底面
平面
，
故
，又底面
是矩形，故
，
故AD、AB、PA 两两垂直，
故可以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
、
，
设
，则
，
则
，
由
，则
，
解得
，即
；
（2）
，
设平面
的一个法向量
，
因为
，可得
，
令
，则
，所以
，
，
设平面
的一个法向量
，
可得
，
令
，则
，所以
，
设平面
与平面
夹角为
，
则
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
；
（3）（3）
设
，
则
，
因为
与平面
所成角的正弦值为
，设AN 与平面
所成角
，
所以
，
所以
所以
或
，
因为
所以
，所以
.
2．（23-24 云南）已知平行四边形
如图甲，
，
，沿
将
折起，使点
到
达点
位置，且
，连接
得三棱锥
，如图乙.
(1)证明：平面
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使二面角
的余弦值为
，若存在，求出
的值，若不存在，请说
明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，且
【解析】（1）证明：翻折前，因为四边形
为平行四边形，
，则
，
因为
，则
，
，
由余弦定理可得
，
所以，
，则
，同理可证
，
翻折后，则有
，
，
因为
，
，
、
平面
，
所以，
平面
，
因为
平面
，则
，
因为
，
、
平面
，所以，
平面
，
因为
平面
，故平面
平面
.
（2）解：因为
平面
，
，以点
为坐标原点，
、
、
的方向分别为
、
、
轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
设
，其中
，
则
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，
，
所以，
，
易知平面
的一个法向量为
，
则
，整理可得
，
因为
，解得
，
因此，线段
上存在点
，使二面角
的余弦值为
，且
.
3．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
，
，四边形
是菱形，
，
是棱
上的动点，且
.
(1)证明：
平面
.
(2)是否存在实数
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值是
？若存在，求出
的值；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在实数
，理由见解析
【解析】（1）因为四边形
是菱形，所以
.
因为
，
，
平面
，且
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
.
因为
，所以
，即
.
因为
，
平面
，且
，所以
平面
.
（2）取棱
的中点
，连接
，因为四边形
是菱形，
，
所以
为等边三角形，故
⊥
，
又
平面
，
平面
，
所以
，
，故
，
，
两两垂直，
故以
为原点，分别以
，
，
的方向为
，
，
轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设
，则
，
，
，
，
故
，
，
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，得
.
平面
的一个法向量为
，设面
与面
所成的锐二面角为
，
则
，
整理得
，解得
或
（舍去）.
故存在实数
，使得面
与面
所成锐二面角的余弦值是
.
考向九 空间几何体外接球
【例9-1】（2025·陕西延安·模拟预测）如图，三棱锥
中，
底面
，
是
的中点，
是
的
中点，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
，
，且二面角
的正弦值为
，求三棱锥
外接球的表面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）
因为
底面
，
平面
，故
，
而
，故
，故
，
而
平面
，故
平面
，
而
平面
，故平面
平面
.
（2）由（1）
平面
，而
，故
平面
，
因为
，故
，故
，
故可以
为原点，以
所在的直线建立如图所示的空间直角坐标系，
故
，设
，
则
，
设平面
的法向量为
，则
，
所以
，取
.
设平面
的法向量为
，则
，
所以
，取
.
因为二面角
的正弦值为
，
故
，故
，
因为
平面
，而
平面
，故
，
同理
，故
的中点到
的距离相等，
故
的中点为三棱锥
外接球的球心，而
，
故三棱锥
外接球的表面积为
.
【例9-2】（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，底面
是
等边三角形，侧面
是等腰直角三角形，
，
，点
是
的中点.
(1)证明：
；
(2)设点
，
，
，
均在球
的球面上.
①证明：点O 在平面
内；
②求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【解析】（1）因为平面
平面
，且平面
平面
，
且
是等腰直角三角形，
，点
是
的中点，
所以
，所以
平面
，且
平面
，
所以
；
（2）①因为
是等边三角形，且点
是
的中点，
所以
，
如图，以点
为原点，
为
轴的正方向建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
设
，
由条件可知，
，
所以
，
解得：
，即
，
所以点
在平面
内；
②
，
，
，
设平面
的一个法向量
，
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量
，
设
与平面
所成角为
，
所以
.
【一隅三反】
1．（23-24 高二下·江西赣州·期中）如图，在直三棱柱
中，
，
，
为
的
中点.
(1)证明：
平面
.
(2)若以
为直径的球的表面积为
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）
连接
交
于点
，则
为
的中点，
连接
，因为
为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）因为
，
为
的中点，所以
，且
，
因为以
为直径的球的表面积为
，
所以
，解得
，
以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，竖直向上为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，设平面
的法向量为
，
则
，
令
，得
，
，设平面
的法向量为
，
则
，
令
，得
，
因为
，
由图可知，二面角
为锐角，
所以二面角
的余弦值为
.
2．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥
中，
底面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，且点
，
，
，
均在球
的球面上．
（i）证明：点
在平面
内；
（ⅱ）求直线
与
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；
（ii）
.
【解析】（1）由题意证明如下，
在四棱锥
中，
⊥平面
，
，
平面
，
平面
，
∴
，
，
∵
平面
，
平面
，
，
∴
平面
，
∵
平面
，
∴平面
平面
.
（2）（i）由题意及（1）证明如下，
法一：
在四棱锥
中，
，
，
，
∥
，
，
，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴
，
若
，
，
，
在同一个球面上，
则
，
在平面
中，
∴
，
∴线段
中点坐标
，
直线
的斜率：
，
直线
的垂直平分线
斜率：
，
∴直线
的方程：
，
即
，
当
时，
，解得：
，
∴
在立体几何中，
，
∵
解得：
，
∴点
在平面
上.
法二：
∵
，
，
，
在同一个球面上，
∴球心到四个点的距离相等
在
中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，
作出
和
的垂直平分线，如下图所示，
由几何知识得，
，
，
，
∴
，
∴点
是
的外心，
在Rt
中，
，
，
由勾股定理得，
∴
，
∴点
即为点
，
，
，
所在球的球心
，
此时点
在线段
上，
平面
，
∴点
在平面
上.
（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，
，
设直线
与直线
所成角为
，
∴
.
法2：
由几何知识得，
，
，
∥
，
∴
，
在Rt
中，
，
，由勾股定理得，
，
过点
作
的平行线，交
的延长线为
，连接
，
，
则
，直线
与直线
所成角即为
中
或其补角.
∵
平面
，
平面
，
，
∴
，
在Rt
中，
，
，由勾股定理得，
，
在Rt
中，
，由勾股定理得，
，
在
中，由余弦定理得，
，
即：
解得：
∴直线
与直线
所成角的余弦值为：
.
