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1.1 集合考点一 集合中元素的互异性
【例1-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2024江苏宿迁）若 ，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合 中只有一个元素，则实数 （ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
【一隅三反】
1．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合 ，若 ，则实数m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
2.（202,4·北京）已知集合 ，且 ，则a可以为（ ）
A．－2 B．－1 C． D．
3.（2024浙江）已知 ， ，若集合 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
考点二 集合间的关系（无参型）
【例2-1】（2023·北京）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
⫋
【例2-2】（2024·广东·一模）已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·福建福州）已知集合 ，则下列关系中，正确的是（ ）.
A． B． C． D．2．（2023·宁夏银川）下列集合关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．
考点三 集合间的运算（无参型）
【例 3-1】（2023·全国·高考真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2023·北京·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【例3-3】（2023·全国·高考真题）设全集 ,集合 ，
（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高考真题）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）设集合 ，集合 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
4．（2024·四川成都·二模）如图，已知集合 ，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·辽宁·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点四 子集的个数
【例4-1】（2024·四川·模拟预测）已知集合 ，则集合 的子集有（ ）个
A．3 B．4 C．7 D．8
【例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则满足条件的集合 的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例4-3】（2024·湖南邵阳·二模）若集合 ，集合 ，则 的真子集
个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．31
【一隅三反】
1．（2024内蒙古鄂尔多斯）已知集合 ，则集合 的真子集个数为（ ）
A． B． C．7 D．8
2．（2024广东广州）设集合 ，则 的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·重庆·一模）已知集合 ， ，则 的真子集个数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东·模拟预测）满足条件 的集合 有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
考点五 集合间的关系求参
【例5-1】（2024辽宁）已知集合 ，若 ，则由实数 的所有可能的取值组成的集
合为（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2023·全国·高考真题）设集合 ， ，若 ，则 （ ）．
A．2 B．1 C． D．
【例5-3】（2024·辽宁抚顺·一模）已知集合 ， ，若 ，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】（2024·江西鹰潭·一模）已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例5-5】（2023·江苏镇江·模拟预测）若集合 ,则能使 成立的
所有 组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·四川绵阳·一模）集合 ， ，且 ，实数 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
2．（2024·广东广州·一模）设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3．（2024·黑龙江·二模）已知 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽阜阳·一模）设集合 或 ，集合 ，且 ，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024陕西）已知集合 或 ， ，若 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
考点六 函数集合
【例6】（2024·广东·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·河南·一模）集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．R
2．（2024·江西·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
4.（2024湖南）设集合A＝ ，集合B＝ .则A B＝（ ）
A． B． C． D．R
考点七 点集
【例7-1】（2024·陕西榆林·二模）若集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（2023·广东广州·模拟预测）已知集合 ，则集合
的子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例7-3】（2024湖北黄冈）已知集合 ， .若
，则实数 （ ）
A．3 B． C．3或 D． 或1
【一隅三反】
1．（2024安徽合肥）已知集合 ， .若 ，则实数
（ ）
A．-3 B． C． D．3
2（2024·上海）已知 ，则 （ ）
A．0 B．2 C． D．0或2
3（2023·安徽合肥·三模）已知集合 ，集合 ，则集合 的真子集个数
为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·内蒙古通辽）已知集合 ，则集合 的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南新乡·二模）（多选）已知 ，集合 ， ，， ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
考点八 集合与其他知识综合
【例8-1】（2023·全国·高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【例8-2】（2024河南信阳）点集 表示的曲线总长度等于（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·河南开封·二模）已知集合 ， 则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点集 ，则点集
所表示的区域的面积为 ．
3（2024广西）已知 是虚数单位，集合 （整数集）和 的关系韦恩图如图所示，则阴
影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷个
4（2024北京）已知函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若集合 ，集合 ，则
______．
考点九 集合的新定义
【例9-1】（2024河北）德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集
U的子集，且无公共元素，则称集合 互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集
，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为（
）
A．8 B．16 C．32 D．64
【例9-2】（2023·全国·模拟预测）定义：若集合 满足 ，存在 且 ，且存在 且
，则称集合 为嵌套集合．已知集合 且 ， ，
若集合 为嵌套集合，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）定义 ，若集合 ，则A中元素的个数为
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2024广东佛山 ）（多选）设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意 ，都有，且若 ，则 ，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是
（ ）
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集 ，则数集M一定是数域
D．数域中有无限多个元素
3.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设 表示不超过 的正整数集合， 表示k个元素的有限
集， 表示集合A中所有元素的和，集合 ，则 ；若 ，
则m的最大值为 ．
一．单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·一模）已知集合 ， ，则 子集的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·江苏·一模）已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A． B． C． D．
4．（2024·河南·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合 ， ，则 的真子
集的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．（2024辽宁沈阳）已知集合 满足 ，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2024河南濮阳）已知集合 ，则集合 的子集个数为
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知集合 ， ，若 中有且仅有三个整数，则
正数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题
9．（2024山东）已知集合 ，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有
（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
10（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若 ，则 ；②若 ，则 下列
判断中，正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
11．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合 ，则（ ）
A． B．C． D．
三．填空题
12．（2024·山东青岛·一模）已知集合 ， ，则 的所有元素之和为 ．
13．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知集合 ， ，则 的
子集个数为 .
14．（2024上海·阶段练习）已知 ，集合 ，若集合A恰有8个子集，则n的可
能值的集合为
四．解答题
15（2024北京东城·期末）已知集合 ， .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围；
(3)若将题干中的集合 改为 ，是否有可能使命题 ：“ ，都有 ”为真命
题，请说明理由.
16．（2023北京）已知函数 的定义域为集合 ，又集合
，且 .
(1)试确定 的值；
(2)求参数 的取值范围.17．（2024辽宁·阶段练习）已知集合 .
(1)求 ；
(2)若对任意的 恒成立，求 的取值范围.
18．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合 ，将集合A中的元素按
由小到大的顺序排列成数列 ，即 ， ，数列 的前n项和为 ．
(1)求 ， ， ；(2)判断672，2024是否是 中的项；
(3)求 ， ．
19．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组 表示，在三维空间中点的坐
标可用三个有序数组 表示，一般地在 维空间中点A的坐标可用n个有序数组
表示，并定义n维空间中两点 ， 间的“距离” ．
(1)若 ， ，求 ；
(2)设集合 ．元素个数为2的集合M为 的子集，且满足对于任意
，都存在唯一的 使得 ，则称M为“ 的优集”．证明：“ 的优集”M存在，且M
中两不同点的“距离”是7．
