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6.2 空间几何中的平行（精讲）
考向一 证明线面平行常用的方法
【例1-1】（2025 高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱
中，E，F 分别为线段
，
上的点，
，
，
．求证：
平面
．
【例1-2】（2025 高三·云南）如图，四棱锥
中，
平面
，底面
是正方形，
，
为
中点，求证：
平面
.
【例1-3】（2025 高三广东）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，E，F 分别为
，
的中
点，求证：直线
平面
.
【例1-4】（2025 高三河南）如图，在几何体
中，四边形
为平行四边形，BF‖
.证明：
平面
.
【例1-5】（24-25 江西）如图，四边形
是平行四边形，点
是平面
外一点.已知
，
分别是
，
的中点，在
上取一点
，过
和
作平面交平面
于
.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
【一隅三反】
1.（24-25 山西）如图，多面体
中，
，底面
是矩形，
为
的中点，证明：
平面
2.（24-25 邢台）如图，在正四棱锥
中，，
是
的中点，点
在线段
上，且
，点
在线段
上（不与点
重合），
与
交于点
，证明：
平面
3.（2025 湖南）如图所示，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
为棱
的中点．设平面
与直线
相交于点
，求证：
平面
．
4.（2025·安徽黄山）如图，四棱锥
中，
，
，
，点
在棱
上，当
时，求证：
平面
5．（2025 高三陕西）如图，在正方体
中，棱长为2，
是棱
的中点，
是
的中点，
，证明：
平面
.
6．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在正四棱台
中，
．求证：
平面
．
7．（2025 山东）如图，在
中，
，点
分别在边
上，且
，
，
将
绕着
旋转至
，连接
，
，
分别为线段
，
的中点，
分别为线段
的中点，求证：
平面
．
考向二 证明面面平行
【例2】（24-25 陕西 ）由正方体
截去三棱锥
后得到的几何体如图所示，
为AC
与BD 的交点.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
.
【一隅三反】
1．（2025 河南）如图，在四棱锥
中，
为等边三角形，
，
，
，
，点E，F 分别为
，
的中点.求证：平面
平面
.
2．（2025 湖北）如图，正四棱锥
的底面为平行四边形．
、
、
分别为
、
、
的中点．
求证：平面
平面
．
3.（2025·河南）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，若
，
，求证：平面
平面
考向三 平行中的动点
【例3-1】（24-25 湖北）如图，在三棱锥
中，点D、F 分别为棱PB，AC 上的点，且
，
，E 为线段BC 上的点，若
，且满足
平面PEF，则λ=（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2025 湖南）如图，在矩形
中，点
在边
上，且满足
，将
沿
向上翻折，使点
到点
的位置，构成四棱锥
，若点
在线段
上，且
平面
，试确
定点
的位置
【一隅三反】
1．（24-25 河北邢台）如图，四棱柱
中，四边形
为平行四边形，
，
分别在线段
，
上，且
，
在
上且平面
平面
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 海南）如图，在正方体
中，
是棱
的中点，点
在棱
上，且
，
若
平面
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）如图所示的多面体中，四边形ABCD 是菱形且
，
，
平面ABCD，
，点N 为PC 上的动点. 求证：存在点N，使得
.
4．（24-25 湖北武汉·期末）如图，在三棱柱
中，E，F 分别为线段
，
上的点，
，
，
.
(1)求证：
平面
.
(2)在线段
上是否存在一点
，使平面
平面
?请说明理由.
(3)若四棱锥
的体积为1，求三棱柱
的体积.
考向四 平行的判定定理及性质定理的辨析
【例4】（24-25 北京 ）已知直线
，平面
，给出下列四个命题：
若
①
，则
；
若
②
，则
；
若
③
，则
若
④
，则
.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【一隅三反】
1．（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知、
、
是三条不重合的直线，
、
、
是三个不重合的平面，则
下列结论正确的是（ ）
A．若
，
，
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
2．（24-25 江苏 ）已知
为两条不同直线，
为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
3．（24-25·四川成都）对于不同直线
和平面
，下列叙述错误的是（ ）
A．
，则
B．
，则
C．
，则
D．
，则
4．（24-25 湖南）设
是两个不同的平面，
，
是异于的一条直线，则“
是
”
“
且
的（
”
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
考向五 线面平行性质应用---轨迹及轨迹长
【例5-1】（24-25 甘肃）柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称
柱子
“
”.柱子在各个时
期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、
人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为
，其底面边长
是3，侧棱长是
，M 为
的中点，N 是侧面
上一点，且
平面
，则点N 的轨迹长为
（ ）
A．27
B．
C．12
D．6
【例5-2】（2025·重庆·模拟预测）正方体
的棱长为
是棱
的中点，
是侧面
内一点，且
平面
，则
长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（24-25 北京）如图，在长方体
中，
，
，点
，
分别为
，
的
中点，点
为长方形
内一动点（含边界），若直线
平面
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．2
B．
C．
D．
2．（24-25 辽宁锦州·期末）在正三棱柱
中，
，外接球表面积为
，P 为
的中点，Q
为侧面
内（含边界）一点，若
平面
，则点Q 运动轨迹的长度为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
3．（24-25 ·福建）已知正四棱柱
的侧棱长为3，底面边长为2，E 是棱
的中点，F 是棱
上靠近点C 的三等分点，动点P 在侧面
（包括边界）内运动，若
平面
则线段
长度的
最小值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
4．（2025·河南·二模）如图，已知正方体
的棱长为2，
，
分别是棱
，
的中点，若
为侧面
内（含边界）的动点，且
平面
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
