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1.4 基本不等式考点一 公式型
【例1-1】（2024湖南株洲）已知 ，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【解析】当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最大
值为3.选：D
【例1-2】（2024·云南）已知正实数 、 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立.因此， 的最小值是
.故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·北京大兴）当 时， 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，又 ，当且仅当 ，即 时
等号成立，所以 的最大值为 故选：B
2．（2024湖南娄底）若 ， ，且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B【解析】由题意 ，解得 ，等号成立当且仅当 .故选：B.
3．（2024重庆）已知两个正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为6，故选：
4（2024江西）若正数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】正数a，b满足 ，则 ，
当且仅当 时取等号，所以 时， 取得最小值8.故选：C
考点二 配凑型
【例2-1】（2024安徽芜湖）若 ，则 的最小值是 .
【答案】 /
【解析】因为 ，则 ， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值是 .故答案为：
【例2-2】（2023高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】因为 ，则 ，所以 ≤ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最大值为 .故答案为： .【例2-3】（2023福建泉州）函数 在 上的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，令 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ， 即 时，等号成立．故 的最大值为 ．故答案为：
【一隅三反】
1．（2024·甘肃·兰州）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ， ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.故选：B.
2.（2024·辽宁）已知正实数x，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 ，即y的最大值是 .故选：D.
3．（2024广东潮州）若函数 在 处取最小值，则 （ ）A． B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由题意， ，而
，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 .故选：C.
4．（2024云南）函数 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】D
【解析】 ，
当且仅当 ,即 等号成立.故选：D.
5．（2024·江苏徐州）设 ， 为正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，即 ，
∴
，当且仅当 ，且 时，即 ， 时等号成立.故选： .
考点三 常数替换型
【例3-1】（2024湖南长沙）已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．3 D．
【答案】C【解析】 ，
当且仅当 时取等号．故选:C．
【例3-2】（2024江苏扬州）已知实数 ， ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】实数 ， ，由 ，得 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .故选：B
【例3-3】（2024河南·许昌高中）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．
【答案】B
【解析】由已知条件得， ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，∴ 的最小值为6；故选：B.
【例3-4】（2024辽宁葫芦岛）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】 ，当且仅当 即 时等号成立，所以 的最小值为5.
故选：A.
【例3-5】（2023·陕西咸阳·一模）已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】由 ， ，
得
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .故答案为：
【例3-6】（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知 ，乘“ ”得 ，当且仅当
时，取等号，则 的最小值为 .故选：A
【一隅三反】
1．（2023云南丽江）已知a，b为正数， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】正数a，b满足 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以当 时， 取得最小值4.故选：C
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为 ，且总体的平均
值为10，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得 ，解得 ，
由于 ，故 ，
当且仅当 ， 时，等号成立.故答案为：
3．（20224·辽宁·沈阳）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【解析】因为a，b为正实数，且 ，
所以 .
当且仅当 ，即 时取等号.故选：D
4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数 ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】24
【解析】因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故答案为：
5（2024高三专题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】由 可得 ，所以 ，
因为 ， ，则 ，
当且仅当 即 时等号成立，所以 的最小值为 ，故选：A.
6．（2024浙江绍兴）已知x为正实数，y为非负实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由x为正实数，y为非负实数，得 ，由 ，得 ，
于是
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：B
考点四 消元型
【例4-1】（2024四川眉山）设 ,则 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由题意 ，所以 ，得到 ，
当且仅当 ，即 时， 等号成立，则 的最小值为 ．
故选：A.
【例4-2】（2024浙江·阶段练习）已知实数x，y满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，且 ，所以 ，
从而 ，等号成立当且仅当 ，
所以 的最小值为 .故选：A.
【例4-3】（2024·河南南阳·一模）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】由 ，且 ，可得 .所以 .
又因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 .
故选：B.
【例4-4】（2024河南漯河）设正实数 、 、 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为正实数 、 、 满足 ，则 ，所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最大值为 .
故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·河南·郑州四中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则 （ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，∴ 有最小值 故选：D.
2．（2024·辽宁丹东）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，所以 的最小值为 .故选：B.
3．（2024河南）（多选）已知正实数a，b满足 ，则 的可能取值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】BD【解析】由题意可得 ，
令 ，由于 ，则 ， ，
由于对勾函数 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，
，故 ，所以 ．
故选：BD．
4．（2024北京）设正实数 ， ， 满足 ，则当 取得最大值时， 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正实数 ， ， 满足 ，
． ，
当且仅当 时取等号，此时 ．
，当且仅当 时取等号，即 的最大值是1．故选：D
考点五 基本不等式求最值
【例5-1】（2024山东滨州）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】因为不等式 恒成立，则 ，
因为 ， ，由 可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故 ，
所以 ，即 ，解得 ，则实数 的取值范围是 ．
故选：B．
【例5-2】（2023浙江）若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为两个正实数 满足 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
因为不等式 有解，所以 大于 的最小值，即 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围是 ，故选：C
【一隅三反】
1．（2023·重庆沙坪坝）已知正实数x，y满足 ，若 恒成立，则实数t的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正实数x，y， ，则 ， 即，
当且仅当 ，即 时，等号成立，则 ，故选：A.
2．（2024浙江杭州）若正实数 、 满足 ，且 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为正实数 、 满足 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
因为正实数 、 满足 ，且 恒成立，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：B．
3．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值范围是
．
【答案】
【解析】因为 ，所以
，所以
，等号成立当且仅当 ，
所以 ， ，故实数a的取值范围是 .故答案为：
考点六 基本不等式与其他知识综合
【例6-1】（2024·山东青岛·一模）记正项等差数列 的前n项和为 ， ，则 的最大值为
（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
【答案】C
【解析】∵ ，
又∵ ，∴ ，当且仅当 时，取“=”
∴ 的最大值为25.故选：C
【例6-2】（2024广东惠州）在 中， 为 上的一点，满足 .若 为 上的一点，满足
，则 与 的关系为 ； 的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示，
由 得 ，即 ，
又 ，
所以 ，又 为 上的一点，所以 ，因为 ， ，所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，所以 的最小值为 .
故答案为： ； .
【一隅三反】
1．（2023山西晋城）已知 分别为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，则
的最大值为（ ）
A．20 B．16 C．64 D．24
【答案】A
【解析】由椭圆的定义可知 ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 时等号成立，故选： .
2．（2024四川成都·开学考试）函数 的图象过定点 ，且定点 的坐标满足方程 ，
其中 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．8
【答案】B
【解析】对于函数 ，令 ，即 时 ，
所以函数 的图象恒过定点 ，
又定点 的坐标满足方程 ，所以 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，的最小值为 ．
故选：B．
3（2023天津南开·阶段练习）已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设正项等比数列 的公比为 ，则 ，
所以， ，
则 ，则 ，可得 ，则 ，
所以，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最小值为 .故选：D.
4．（20224·河南濮阳）已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的最小值是
______．
【答案】
【解析】设直线 与曲线 的切点为 ，
对 求导得 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以切点为 ，
由切点 在切线 上，可得 ，
所以，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以 的最小值是 ．
故答案为： ．
考点七 基本不等式的实际应用
【例7】（2023·湖南）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的
可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，
高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供 （万元）的专项补贴．波司登制衣
有限公司在收到高邮政府 （万元）补贴后，产量将增加到 （万件）．同时波司登制衣有限公司生产
（万件）产品需要投入成本为 （万元），并以每件 元的价格将其生产的产品全部售出．
注：收益=销售金额 政府专项补贴 成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益 （万元）关于政府补贴 （万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益 （万元）最大？
【答案】(1) (2)6万元
【解析】（1） ．
因为 ，所以
（2）因为 ．
又因为 ，所以 ，
所以 （当且仅当 时取“ ”）所以
即当 万元时， 取最大值30万元．
【一隅三反】
1．（2024·广东茂名·一模）用一段长为 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设矩形的长为 ，宽为 ， ，则 ，即 ，所以这个模型的面
积为 ，当且仅当 时取等号，所以这个模型的最大面积为 .选：C.
2（2023·湖南·一模）某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第
一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机
的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
【答案】B
【解析】设第 年的维修保养费为 万元，数列 的前 项和为 ，该机的年平均耗费为 ，
据题意，数列 是首项为12，公差为4的等差数列.
则 .
当且仅当 ，即 时， 取最小值38.
所以这台冰激凌机的使用年限是7年.
故选: .
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸
引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适
呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿
在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
【答案】A【解析】
如图，设观赏者的眼睛在点 处，油画的上沿在点 处，下沿在点 处，
点 在线段 延长线上，且保持与点 在同一水平线上，
则 即观赏时的视角.
依题意 ，
不妨设 ，则 ，
在 中，由余弦定理，
，
因 ，则 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
由 可得 ，
则 ，则 ，
因函数 在 上单调递减，故得 ，
即最大视角为 ，此时观赏者距离油画的直线距离为 .
故选：A.
考点八 利用基本不等式比大小
【例8-1】（2024贵州安顺·）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易得 ，结合换底公式与基本不等式有
，，
故 ， ，故 .
故选：A
【例8-2】（2024江苏扬州·期末）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，
而 ，则 ，所以 ，即 ，
由 ，则 ，即 ，
综上， .
故选：D
【一隅三反】
1．（2024重庆·期末）已知 ，则以下关于 的大小关系正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，令 ，则 在定义域内单调性递增，且
，
由零点存在性定理可得 ，
，
又 ，因此 ，
，可得 ，
， ，，
， ， ，
．
故选：D
2.（2024贵州毕节）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由对数函数性质知 ，即 ，同理 ，
又 ，即 ，
，
所以 ，即 ，综上 ，
故选：D．
3．（2024安徽阜阳）（多选）已知正实数x，y，z满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】设 ，则 ， ， ，且 ，
由 ，A正确；
由A可知， ，所以 ，由不等式得 ，即 ，所以 ，即
，当且仅当 ，即 ， 时取得等号，又 时，由 可得 ，
与 ， 矛盾，所以 ，B正确；
，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，C正确，D错误．
故选：ABC
考点九 利用基本不等式证不等式
【例9-1】（2024湖南长沙）（多选）设正实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A选项， ，
当且仅当 时取得等号，故A错误；
对于B选项， ，故 ，
当且仅当 时取得等号，故B正确；
对于C选项， ，
当且仅当 时取得等号，故C正确；
对于D选项，，
当且仅当 时取得等号成立，故D正确．
故选：BCD.
【一隅三反】
1．（2024山东枣庄·期末）（多选）已知a，b，c满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为 ，所以 ，即 ， ，即 ，
所以 ，故AB正确C错误；
对于D： ，故D正确.
故选：ABD
2．（2024湖南娄底·期末）（多选）已知关于x的不等式 （ ， ）的解集
为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最小值为4 D． 的最小值为
【答案】ABD
【解析】由题意，不等式 的解集为 ，
可得 ，且方程 的两根为 和 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ，所以A正确；
因为 ， ，所以 ，可得 ，当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 ，所以B正确；
由 ，
当且仅当 时，即 时取等号，所以 的最小值为 ，所以C错误；
由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，所以D正确.
故选：ABD
3．（2024重庆大足）（多选）设正实数 ， ，且满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A项，由 可得： ，
因 ，故 ，将其代入 可得：
当且仅当 时等号成立，故A项正确；
对于B项，由 可得 ，
因 ，故得： ，则 ，
当且仅当 时等号成立，故B项错误；
对于C项，由 ，
设 ，由上分析知， ，则 在 上单调递增，故 ，即C项错误；
对于D项，由 ，
由上分析知 ，则 ，
故 ，即 ，故D项正确.
故选：AD.
4．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最小值为
【答案】AD
【解析】A选项： ，即 ，解得 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，A
选项正确；
B选项： ，当且仅当 ，即 ，
时等号成立，B选项错误；
C选项：由 ，得 ， ，则 ，
设函数 ， ， ，
令 ，解得 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，C选项错误；
D选项： ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，D
选项正确；
故选：AD．
一．单选题
1．（2024·河南南阳）已知 ， 且 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.
所以 的最大值为 .故选：D
2．（2024·四川·模拟预测）已知直线 经过点 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．
【答案】B
【解析】因为直线 经过点 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 、 时取等号.故选：B
3．（2024四川成都·阶段练习）设 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，则 ，
，
当且仅当 时，等号成立，则 .
故选：D.
4．（2024·安徽省）若 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
∴ ，
当且仅当 时，即 时取等号，所以 的最小值为1.故选：D.
5．（2024北京）已知不等式 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要 的最小值大于等于9即可，
，
，
当且仅当 即 时等号成立， ，
或 舍去 ，即
所以正实数a的最小值为4.故选：B.
6．（2024·山东临沂）已知 ，且 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立.故选：A.
7．（2024云南德宏）已知正项等比数列 中， 成等差数列.若数列 中存在两项 ，使得
为它们的等比中项，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【解析】设正项等比数列 的公比为 ，由 ， ， 成等差数列，
有 ，即 ，得 ，由 ，解得 ，
若数列 中存在两项 ， ，使得 为它们的等比中项，
则 ，即 ，得 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为3.
故选：A
8．（2024北京）设 ， ， ，则（ ）
A． 有最大值8 B． 有最小值8C． 有最大值8 D． 有最小值8
【答案】B
【解析】因为 ， ， ，
设 ，则 ，所以 .
由基本不等式可得： ，当且仅当 时等号成立.
所以 ，即 ，解得 （舍）或 ，
所以 ，即 时成立，故选项A错误，选项B正确；
设 ，则 ，所以 ，则 .
由基本不等式可得： ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 解得 或 （舍），
所以 ，即 时等号成立，故选项C错误;
对于选项D：当 时，满足 ，此时 ，故选项D错误.
故选：B
二．多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A：利用基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B：对于 ， ，
当且仅当 时，等号成立；即命题 不成立，故B错误；
对于C：易知对于 ， ，
当且仅当 时，等号成立，故C错误；对于D：易知当 时， ，即 ，所以D正确.
故选：AD.
10．（2024四川成都·期中）已知 ， ，且 ，下列结论中正确的是（ ）
A． 的最大值是 B． 的最小值是
C． 的最小值是8 D． 的最小值是
【答案】ABD
【解析】 ，且 ，
对于A，由 ，解得 ，当且仅当 时等号成立，
则 的最大值为 ，所以A正确；
对于B，由 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为 ，所以B正确；
对于C， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值是9，所以C错误；
对于D，由 ，
得 ，当且仅当 时等号成立，
则 的最小值是 ，所以D正确.
故选：ABD.
11．（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】BCD
【解析】选项A：由 ，得 ，
则 ，所以 ，A错误．
选项B：因为 ，
所以 ，B正确．
选项C：由 ，得 ， ，
所以 ，
当且仅当 时取等号， C正确．
选项D：因为 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，D正确．
故选：BCD
三．填空题
12．（2024山东菏泽·阶段练习）若两个正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为两个正实数 满足 ，则 ，
故
，当且仅当 时取等号，
因不等式 恒成立，则 ，故 .
故答案为： .
13．（2023·山东济宁·一模）已知函数 且 的图象过定点A，且点A在直线上，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】函数 且 的图象过定点 ，
则 ，所以 ，
由 ，得 ，
则
令 ，则 ，
则
，
当且仅当 ，即 ，即 时，取等号，
所以 的最小值是 .
故答案为： .
14．（2024浙江宁波·阶段练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】任意的正实数 ， ， ，满足 ，
所以
，
由于 ， 为正实数，故由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
综上， 的最小值为16．
故答案为：16．
四．解答题
15．（2024湖南岳阳·阶段练习）已知函数 （m,n为常数）.
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析（2）
【解析】（1）因为 ， 可化为 ，可化为 ，
当 ，即 时，得 ，
当 即 时，不等式无解；
当 即 时，得 ，
综上所述：当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为空集；当 时，不等式的解集为 .
（2）若 ，则 可化为 ，可化为 ，
当 时， 恒成立；
当 时，化为 ，即 恒成立，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，
所以 .
16（2024湖北）已知 ， ．
(1)若 ， ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若不等式 恒成立，求实数m的最小值；
(3)若 ．且 恒成立，求正实数a的最小值．
【答案】(1)
(2)－4
(3)4
【解析】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 恒成立等价于 恒成立．
又 ，
∴ ，当且仅当 ，即 ，即 ， 时等号成立．
∴ ，
∴ ．
故实数m的取值范围是 ．
（2）∵ ， ，
∴ 恒成立等价于 恒成立．
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
∴ ，即 ．
∴实数 的最小值为－4．
（3）∵ ， ，
∴ ，当且仅当 ，即 时等号成立．
又 恒成立，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ．
故正实数 的最小值为4．
17．（2024陕西西安）某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知
总收入 （单位：元）关于产量 （单位：个）满足函数： .
(1)将利润 （单位：元）表示为产量 的函数；（总收入=总成本+利润）
(2)当产量为何值时，零件的单位利润最大?最大单位利润是多少元?（单位利润 利润 产量）【答案】(1)
(2)当产量为20个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
【解析】（1）当 时， ，
当 时， ，
故 .
（2）设零件的单位利润为 ，
则 ，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
当 时， ，
故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
18．（2024重庆沙坪坝·阶段练习）若命题 ：存在 ， ，命题 ：二次函数
在 的图像恒在 轴上方
(1)若命题 ， 中均为假命题，求 的取值范围？
(2)对任意的 ，使得不等式 成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)【解析】（1）若命题 为真命题，则命题可转化为 ，
即 ，令 ，得函数y在 上单调递增，
所以 ，则 ，
若命题 为假命题，则 ；
若命题 为真命题，则命题 可转化为 在 上恒成立，
即 ，则 ，当且仅当 时，
即 时等号成立，则 ，
若命题 ，则 ，
则命题 ， 均为假命题，则
（2）任意的 ，使得不等式 成立，
即 在 上恒成立，
令 ，
当 时， ，不合题意；
当 时，有 ，解得 ；
所以 的取值范围是 .
19．（2024贵州贵阳·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：
从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论
的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决
方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.
例如， ，求证： ．
证明：原式 ．阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问
题处理方法进行研究.
例如，正实数 满足 ，求 的最小值．
解：由 ，得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
的最小值为 ．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生
长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
结合阅读材料解答下列问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)若正实数 满足 ，求 的最小值．
【答案】(1)1
(2) ．
【解析】（1）
由题意得
；
（2）
解法1（整体代入）：由
，由于 ，故 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
因为 有最小值 ，此时 有最大值 ，
从而 最小值 ，即 有最小值 ．
解法2（消元思想）：由题意得 ．
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
因为 有最小值 ，此时 有最大值 ，
从而 最小值 ，即 有最小值 ．
