高考数学 考试技巧篇
（36 类核心考试技巧背记手册）
目录
考试技巧01 权方和不等式的应用及解题技巧...............................................................................2
考试技巧02 普通型糖水不等式的应用及解题技巧.......................................................................3
考试技巧03 对数型糖水不等式的应用及解题技巧.......................................................................3
考试技巧04 基本不等式链的应用及解题技巧...............................................................................4
考试技巧05 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧.........................................................5
考试技巧06 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧...................................................................5
考试技巧07 已知函数解析式判断函数图象解题技巧...................................................................6
考试技巧08 已知函数图象判断函数解析式解题技巧...................................................................7
考试技巧09 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧...............................................8
考试技巧10 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧...............................................................9
考试技巧11 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧......................................................11
考试技巧12 函数对称性的应用及解题技巧.................................................................................13
考试技巧13 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧.........................................................13
考试技巧14 整数解的应用及解题技巧.........................................................................................14
考试技巧15 零点的应用及解题技巧.............................................................................................15
考试技巧16 切线与公切线的应用及解题技巧.............................................................................15
考试技巧17 端点效应（必要性探索）解题技巧.........................................................................16
考试技巧18 函数凹凸性解题技巧.................................................................................................18
考试技巧19 洛必达法则解题技巧.................................................................................................20
考试技巧20 导数中的极值点偏移问题的解题技巧.....................................................................22
考试技巧21 半角公式的应用及解题技巧.....................................................................................24
考试技巧22 万能公式的应用及解题技巧.....................................................................................24
考试技巧23 正余弦平方差公式的应用及解题技巧.....................................................................25
考试技巧24 三角函数异名伸缩平移的解题技巧.........................................................................25
考试技巧25 “爪子定理”的应用及解题技巧...............................................................................26
考试技巧26 系数和（等和线）的应用及解题技巧.....................................................................26考试技巧27 极化恒等式的应用及解题技巧.................................................................................28
考试技巧28 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧.............................................................28
考试技巧29 角平分线定理的应用及解题技巧.............................................................................29
考试技巧30 张角定理的应用及解题技巧.....................................................................................30
考试技巧31 点对称问题解题技巧.................................................................................................31
考试技巧32 圆中的切线问题解题技巧.........................................................................................32
考试技巧33 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧.....................................................................32
考试技巧34 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧.....................................................................33
考试技巧35 复数的模长及最值的应用及解题技巧.....................................................................34
考试技巧36 柯西不等式的应用及解题技巧.................................................................................35
考试技巧 01 权方和不等式的应用及解题技巧
权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
例．已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．9 D．
因为 ，所以
由权方和不等式 可得
当且仅当 ，即 时，等号成立．【答案】C
例．已知正数 ， ， 满足 ，则 的最小值为
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数 ， 满足 ，
所以 ，当且仅当 即 时取等号，故答案为： .
例．已知 ，求 的最小值为
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
当且仅当 时取等号，故答案为：60
考试技巧 02 普通型糖水不等式的应用及解题技巧
1. 糖水不等式定理，若 , 则一定有
通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜;
2. 糖水不等式的倒数形式，设 , 则有:
例．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【详解】
,又 ，
用排除法, 选 A 。
考试技巧 03 对数型糖水不等式的应用及解题技巧
(1) 设 , 且 , 则有
(2) 设 , 则有
(3) 上式的倒数形式：设 , 则有
例．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）A． B． C． D．
对数型糖水不等式
因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 ,
且 .
所以 , 即 , 选 A.
考试技巧 04 基本不等式链的应用及解题技巧
基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立.
例．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
由基本不等式链: , 可得 （
R），
对于AB
由 可变形为， ，
解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A错误，B
正确；
对于C
【法一】由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取
等号，所以C正确
【法二】由 ,得 ,
又因为 ,所以 ,即 .【法三】 ,
又因为 ,所以 .
【答案】：BC．
考试技巧 05 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧
在定义域内，若 F(x)=f (x)+A ，其中 f (x) 为奇函数， A为常数，则最大值M ，最小值m有
M+m=2A
即
M+m=2
倍常数
例．（2023上·江苏·高三模拟）已知 分别是函数 + +1的最大值、最小值，则
M+m=2倍常数=2
例．已知函数 ， 的最大值为M，最小值为m，则
.
【法一】M+m=2倍常数=14
M+m=2f (0)=14
【法二】
例．函数 ， ，记 的最大值为 ，最小值为 ，则 .
【法一】M+m=2倍常数=4
M+m=2f (0)=4
【法二】
考试技巧 06 “奇函数+常函数”的 f(a)+f(-a)解题技巧
在定义域内，若 F(x)=f (x)+A ，其中 f (x) 为奇函数，A为常数，有 f (a)+f (−a)=2Af (a)+f (−a)=2
即 倍常数
例．（全国·高考真题）已知函数 ， ，则 ．
在定义域内为奇函数
所以f (a)+f (−a)=2倍常数=2，解得
【答案】－2
例．已知函数 ，则 ．
， 和 在定义域内为奇函数
所以 2倍常数=-2
【答案】－2
考试技巧 07 已知函数解析式判断函数图象解题技巧
特值与极限
①√2=1.414, √3=1.732, √5=2.236,√6=2.45, √7=2.646
1
② e=2.71828, e2 =7.39, e2 =√e=1.65
1
③
ln1=0, ln2=0.69, ln3=1.1, lne=1, ln√e=
2
④
sin1=0.84, cos1=0.54, sin2=0.91, cos2=−0.42
特别地：当x→0时sinx=x
例如：sin0.1=0.099≈0.1， sin0.2=0.199≈0.2, sin0.3=0.296≈0.3
当x→0时cosx=1
cos0.1=0.995≈1, cos(−0.2)=0.980≈1
例．函数 在区间 的图象大致为（ ）A． B． C． D．
令 ，由奇偶性定义知 为奇函数，排除BD；
【法一】特值
f(0.1)=(30.1 −3−0.1)cos0.1≈(30.1 −3−0.1)×0.995>0，故选：A.
【法二】极限法
当x→0+时cosx=1，3x →1+，3−x →1−
所以当x→0+时 ，故选：A.
【法三】
当 时， ，所以
【答案】A
考试技巧 08 已知函数图象判断函数解析式解题技巧
例．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）
A． B． C． D．【法一】特值
由图知：f (2)<0，
2 6 2×2×(−0.42)
对 于 A ， f (2)=− ， 对 于 B ， f (2)= ， 对 于 C ， f (2)= <0， 对 于 D ，
5 5 5
2×0.91
f (2)= >0
5
排除BD
结合函数零点位置可选A
【法二】猜测近似函数值
由图知f (1)≈1
分别计算四个函数值即可得到答案
【法三】
设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
【答案】A
考试技巧 09 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题
技巧
1 x
1− ≤lnx≤x−1 lnx≤
ex ≥x+1
，
ex ≥ex
，
x
，
e
例．已知 , 则 的大小关系为 ( )
A. B. C. D.【答案】
考试技巧 10 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧
常见函数的泰勒展开式：
（1） ，其中 ；
（2） ，其中 ；
（3） ，其中 ；
（4） ，其中 ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
， ， ，
， ， ，
， ， ．
常见函数的泰勒展开式：
结论1 ．
结论2 ．
结论3 （ ）．结论4 ．
结论5 ； ； ．
结论6 ；
结论7
结论8 ．
结论9 ．
例．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设 ， ， 则（ ）
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b
泰勒公式法：
0.12 1
e0.1 ≈1+0.1+ =1.105 0.1e0.1 ≈0.1105< =0.11111=b
因为
2
，所以
9
，所以
a<b
因为
1 1
2 3
( ) ( )
10 1 1 9 9 1 1 1 1
c=−ln0.9=ln =ln( +1)≈ − + = − + ≈ −0.006=0.105<a
9 9 9 2 3 9 162 2187 9 所以c<a
综上所述：c<a<b
故选：C
例．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.考试技巧 11 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧
( π)
sinx<x<tanx,x∈ 0,
2
1 1
lnx<√x− (x>1) lnx>√x− (0<x<1)
√x √x
， ，
1 1 1 1
lnx< (x− )(x>1) lnx> (x− )(0<x<1)
2 x 2 x
， ，
1 3 1 3
lnx>− x2 +2x− (x>1) lnx<− x2 +2x− (0<x<1)
2 2 2 2
，
2(x−1) 2(x−1)
lnx> (x>1) lnx< (0<x<1)
x+1
，
x+1
放缩程度综合
1 1 1 1 2(x−1) 1 3
1− < (x− )<√x− <lnx< <− x2 +2x− <x−1(0<x<1)
x 2 x √x x+1 2 2
1 1 3 2(x−1) 1 1 1
1− <− x2 +2x− < <lnx<√x− < (x− )<x−1(1<x<2)
x 2 2 x+1 √x 2 x
1 3 1 2(x−1) 1 1 1
− x2 +2x− <1− < <lnx<√x− < (x− )<x−1(x>2)
2 2 x x+1 √x 2 x1 1
x+1<ex < (x<1) <x+1<ex (x>1)
1−x
，
1−x
例．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
放缩法
1
x+1<ex < (x<1)
因为
1−x
，
1 1 1
1.1<e0.1 < ⇒0.11<a=0.1e0.1 <0.1× = =b
所以
1−0.1 1−0.1 9
，即
a<b
1 1
因为 lnx< (x− )(x>1)，
2 x
10 1 10 9 19
所以c=−ln0.9=ln < ( − )= <0.11<a，即
9 2 9 10 180 c<a
综上所述：c<a<b，故选：C
例．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【法一】：不等式放缩一
因为当 ，
取 得： ，故
，其中 ，且
当 时， ，及
此时 ，
故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
【法二】不等式放缩二因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当
，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
考试技巧 12 函数对称性的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，
则
A． B． C． D．
反解 的解析式，可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得解得 ，故选C
考试技巧 13 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧
例2．（全国·高考真题）设函数 ,则使 成立的 的取值范围是
A． B．
C． D．
【特值法】
当x=1时， f (1)>f (1) 不成立，排除D，当x=0时，则判断 f (0)>f (−1) 是否成立，
1
f (−1)=ln2− ≈0.19
计算 f (0)=−1 ， 2 ，不成立，故排除B、C,
【答案】A考试技巧 14 整数解的应用及解题技巧
例．已知关于x的不等式 恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【猜根法，寻找临界条件】
由题知整数解不可能为1，
ln2
ln2−16k+8k=0⇒k=
若整数解为2，则整数解3不可取，代入有 8 ，
ln3
ln3−81k+27k=0⇒k=
54
，根据整数解问题区间为一开一闭，则选D.
考试技巧 15 零点的应用及解题技巧
例4．（全国·高考真题）已知函数 有唯一零点，则
A． B． C． D．1
通过观察发现 关于 对称， 也关于 对称，
则唯一零点为1，解得解得 .故选：C.考试技巧 16 切线与公切线的应用及解题技巧
例．（2021·全国·统考高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条
切线.由此可知 .
故选：D.
例．（全国·高考真题）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
．
对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于
点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上
得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条
直线，所以 ，解得 .考试技巧 17 端点效应（必要性探索）解题技巧
端点效应的类型
1.如果函数 在区间 上, 恒成立,则 或 .
2.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 ),则 或 .
3.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 , 则
或 .
例．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
【法一】端点效应一
令 得 且 在 上恒成立
，
，
画出草图
根据端点效应, 需要满足 而
，
则 , 令 , 得
当 时, 由于 , 只需证 即可
而 含有参数 , 故可对 进行放缩
即
令 , 其中
设则
令
则 , 故 在 上递减, 得
则 , 得 在 上单调递增, 则
即 , 满足 成立
当 时，
故存在 , 使得在 上 ,
所以 在 上单调递增, 则 , 不成立
特上所述: .
【法二】端点效应二
(2)
由于 , 且
,
注意到当 , 即 时, 使 在 成立, 故此时 单
调递减
, 不成立.
另一方面, 当 时, , 下证它小于等于 0 .
单调递减, . 特上所述: .考试技巧 18 函数凹凸性解题技巧
凹函数：对于某区间内 , 都有 .
凸函数：对于某区间内 , 都有 .
例．在 中, 求 的最大值.
因为函数 在区间 上是上凸函数, 则
即 , 当且仅当 时, 即 时,取等号.
上述例题是三角形中一个重要的不等式: 在 中,
例. 丹麦数学家琴生 是19世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家，特别是在函数的凹凸性与不等
式方面留下了很多宝贵的成果．设函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为 ，
若在 上 恒成立，则称函数 在 上为“凸函数”．已知 在
上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．因为 ，
所以 ，
，
因为 在 上为“凸函数”，
所以 对于 恒成立，
可得 对于 恒成立，
令 ，则 ，
因为 ，所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 ，
【答案】C
考试技巧 19 洛必达法则解题技巧
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3) ，
那么 = 。 型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3) ，
那么 = 。 型
例．（全国高考）已知 恒成立, 求 的取值范围
解: 记 ,
则
则
所以, 在 单调递增, 且
所以 时, 时,
即 在 上单调递减, 在 上单调递增
所以
所以
分析
上式中求 用了洛必达法则 当 时, 分子 , 分母 , 符合
不定形式, 所以例．（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
解:
记 ,
则
记
则
所以, 在 单调递增, 所以
所以, 在 单调递增, 所以
即在 上 , 所以 在 上单调递增
所以
所以
考试技巧 20 导数中的极值点偏移问题的解题技巧
例．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
（2）[方法一]：构造函数
由题知, 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证 ,即证因为 ,即证
又因为 ,故只需证
即证
即证
下面证明 时，
设 ，
则
设
所以 ,而
所以 ,所以
所以 在 单调递增
即 ,所以
令
所以 在 单调递减
即 ,所以 ；
综上, ,所以 .
[方法二]：对数平均不等式由题意得：
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 只有1个解
又因为 有两个零点 ，故
两边取对数得： ，即
又因为 ，故 ，即
下证
因为
不妨设 ，则只需证
构造 ，则
故 在 上单调递减
故 ，即 得证
考试技巧 21 半角公式的应用及解题技巧
sin ＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝.
例．（2023·全国·统考高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【详解】因为 ，而 为锐角，所以 ．
考试技巧 22 万能公式的应用及解题技巧
C A 2 6
例．在 △ABC 中, tan =3tan , 则 + 的最小值为
2 2 sinA sinC
A. 4 B. 2❑√5 C. 4❑√5 D. 16
2 6
+ 2 6
sin A sinC + ¿
A C
¿ 2tan 2tan
2 2
A C
1+tan2 1+tan2
2 2
1+tan2 A 3 ( 1+tan2 C)
2 2
= +
A C
tan tan
2 2
1 A 3 C
= +tan + +3tan
A 2 C 2
tan tan
2 2
1 A 3 A
= +tan + +3⋅3tan
A 2 A 2
tan 3tan
2 2
A 2
=10tan +
2 A
tan
2
≥2❑√20=4❑√5.
最小值为4❑√5考试技巧 23 正余弦平方差公式的应用及解题技巧
正弦平方差公式: sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)
余弦平方差公式: cos2A-sin2B=cos(A+B)cos(A-B)
1 1
例．已知 sinα= ,sinβ= , 则 sin(α+β)sin(α-β)=________
2 3
由已知可得 sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β=
(1) 2
-
(1) 2
=
5
.
2 3 36
考试技巧 24 三角函数异名伸缩平移的解题技巧
( π) ( π)
通常用 sinx=cos x− 进行正弦化余弦，用 cosx=sin x+ 进行余弦化正弦
2 2
例．若要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
我们可以对平移前 进行变换， ，
从而转化为 的变换；
我们同样也对平移后 进行变换，
，从而转化为
的变换，进而求解变换过程
【答案】D考试技巧 25 “爪子定理”的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）设 为 所在平面内一点，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
A
B C D
解析：由图可想到“爪字形图得： ，解得：
答案：A
考试技巧 26 系数和（等和线）的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若
= + ，则 + 的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
【系数和】
分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 与圆相切时， 最大，此时故选 .
例．边长为2的正六边形 中，动圆 的半径为1，圆心在线段 (含短点)上运动， 是圆
上及其内部的动点，设向量 ，则 的取值范围是（ ）
A.(1,2] B.[5,6] C.[2,5] D.[3,5]
分析:如图，设 ，由等和线结论， .此为 的最小值；
同理，设 ，由等和线结论， .此为 的最大值.
综上可知 .
考试技巧 27 极化恒等式的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）设向量 满足 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．5由极化恒等式可得： ，故选A．
例．（2023·全国·统考高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
设CD中点为O点，由极化恒等式可得：
故选：B.
考试技巧 28 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧
例．（宁夏·高考真题）已知O，N，P在 所在平面内，且 ，且
，则点O，N，P依次是 的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
因为 ，所以 到定点 的距离相等，所以 为 的外心，由 ，
则 ，取 的中点 ，则 ，所以 ，所以 是 的重心；
由 ，得 ，即 ，所以 ，同理 ，所以
点 为 的垂心，故选C.
例．（江苏·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
， ，则P的轨迹一定通过 的（ ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【详解】 ，
令 ，
则 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即 在 的平分线上，
， 共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
考试技巧 29 角平分线定理的应用及解题技巧
角平分线定理
AB AC
=
（1）在
ΔABC
中，
AD 为∠BAC
的角平分线，则有
BD CD
（2）
（3） （库斯顿定理）
（4）
例．（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于
D，则 ．
由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
则 计算即可，故答案为： ．考试技巧 30 张角定理的应用及解题技巧
sinβ sinα sin(α+β)
+ =
AB AC AD
张角定理
例．如图，已知 是 中 的角平分线，交 边于点 .
（1）用正弦定理证明： ；
（2）若 ， ， ，求 的长.
先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD的长为 ．
例．在 中,角 所对的边分别为 ,已知点 在 边上,
,则
__________
解：如图
由张角定理得:
即考试技巧 31 点对称问题解题技巧
(
2A(Ax+By+C) 2B(Ax+By+C))
点 (x,y) 关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标 x- ,y-
A2+B2 A2+B2
例．点 关于直线 的对称点的坐标是 ．
Ax+By+C 17 2A(Ax+By+C) 38
直线 中， ,所以 = ，所以x− =− ，
A=2,B=−1,C=4 A2 +B2 5 A2 +B2 5
2B(Ax+By+C) 29
y− =
A2 +B2 5
答案为： .
考试技巧 32 圆中的切线问题解题技巧
例．经过点 且与圆 相切的直线方程为 ．
代入 求解即可，答案为：
例．过圆 上点 的切线方程为 ．代入 求解即可，答案为：
例．过点 作圆 的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是 .
过圆外一点 作圆的两条切线,则切点弦方程为 ，代入求解即
可
答案为:
考试技巧 33 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧
例．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
由双曲线 得 ，又 所以 ．
例．（山东·统考高考真题）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =
．
2|p|
【法一】先求出倾斜角，代入|AB|= 求解即可
sin2θ
【法二】解得
所以
【法三】
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.故答案为：
考试技巧 34 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．
若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1
C． ＋ ＝1 D． ＋ ＝1
b2 b2 1
【法一】k .k =- ，解得 = ，因为c=3，所以 .
AB OM a2 a2 2
例．（重庆·高考真题）直线 与圆 相交于两点 ， ，弦 的中点为 ，
则直线 的方程为 ．
【答案】 .
【详解】设圆心 ，直线 的斜率为 ，弦AB的中点为 ， 的斜率为 ， 则 ，所以
由点斜式得 ．
例．（江苏·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线 与其相交于 ，
两点，若 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法得 ，再根据焦点坐标得 ，解方程组得 ， ，即得结果.
【详解】设双曲线的方程为 ，由题意可得 ，设 ， ，则
的中点为 ，由 且 ，得 ，
，即 ，联立 ，解得 ， ，故所求双曲线的方程为
．故选D．
考试技巧 35 复数的模长及最值的应用及解题技巧
例（全国高考）设 ，则 =
A．2 B． C． D．1
3−i |3−i| √10
∵z=
3−i ∴|z|=| |= = =√2
1+2i 1+2i |1+2i| √5
【答案】C
例．已知 满足 .则 的最大值是（ ）
A．3 B．10 C．20 D．16
【答案】D
【详解】 对应的点在以 为圆心，3为半径的圆上，
.
故答案为D考试技巧 36 柯西不等式的应用及解题技巧
例．函数 的最小值为 ．
【答案】
【详解】注意到， ．
则 ．
例．已知x，y，z满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【详解】因为 ,
即 ,
所以 最小值为 ，当且仅当 时取等号.
故答案为： .
