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4.8 三角形中的中线、角平分线以及取值范围
知识点1：中线定理
在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2).
知识点2：角平分线定理
在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，D 在BC 上，
则AB
BD
= AC
CD
.进而得到
(1)AD2=AB·AC-BD·CD.
知识点3：张角定理
在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，则sin β
AB +sin α
AC =sin(α + β)
AD
.
考点一 三角形中中线的问题
考点二 三角形中角平分线的问题
考点三 三角形中的边长或周长的最值或范围
考点四 三角形面积的最值或范围
考点五 几何图形中的计算
考点六 证明三角形中的恒等式或不等式
考点七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
考点一 三角形中中线的问题
1．（25-26 高三上·四川成都·期中）在锐角
中，设角
所对的边分别为
，已知
且
．
(1)求角
；
(2)求
周长的取值范围；
(3)求边
上的中线
的取值范围．
2．（25-26 高三上·贵州毕节·阶段检测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)证明：
；
(2)求C；
(3)若
，边
上的中线
，求边a，b 的长.
3．（25-26 高三上·河南郑州·期中）已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，
(1)求角A；
(2)若
，
的面积为
，求b，c；
(3)若
，且
为锐角三角形，D 为BC 的中点，求中线AD 的取值范围．
4．（25-26 高三上·江苏·期中）（多选）在锐角
中，角
所对的边分别为
，则
（ ）
A．
B．
的取值范围是
C．存在
，其面积为1
D．边
上的中线长的取值范围是
5．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
且
.
(1)求角C 的大小；
(2)求b 的取值范围；
(3)边AB 的中点为D，求中线CD 的长度的取值范围.
6．（25-26 高三上·河北石家庄·阶段检测）已知
分别为
三个内角
的对边，且
．
(1)求角
；
(2)若
为锐角三角形，
，求边
上的中线
的取值范围．
考点二 三角形中角平分线的问题
7．（25-26 高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）
中
，
，
，则（ ）
A．
B．
的角平分线交AB 于D，则
C．
D．
在
上的投影向量是
8．（25-26 高三下·河北沧州·阶段检测）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
的面积为
，求
的角平分线
的长度.
9．（25-26 高二上·贵州遵义·阶段检测）在
中，设角
所对的边分别为
，已知
且
.
(1)求角
；
(2)若
，求边
上的角平分线
的长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围.
10．（25-26 高三上·湖南·阶段检测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
.
(1)求
；
(2)若
的角平分线交
边于点
，
，
，求
的周长.
11．（2026·四川成都·三模）已知
的面积为
，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，
的角平分线交
于点
，求线段
的长.
12．（25-26 高三上·安徽亳州·期中）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，
CD 是
的角平分线，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
考点三 三角形中的边长或周长的最值或范围
13．（25-26 高三上·四川乐山·阶段检测）在
中，角
所对的边分别为
，且
.若
，则
的最大值为______.
14．（2026·陕西渭南·三模）已知
的内角
所对的边分别为
,且
．
(1)求
；
(2)若
的外接圆半径为1，求
周长的最大值．
15．（25-26 高三上·四川泸州·期中）在
中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，
，点D 在边
上，
且
，
(1)若
，
，求
；
(2)若
，求
；
(3)求
的取值范围．
16．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在
中，设边a，b，c 所对的角分别为A，B，C，
．
(1)若
，求
的面积；
(2)求
的取值范围．
17．（25-26 高三上·四川资阳·期中）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且
，
的中点为M.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围.
18．（25-26 高三上·山西晋中·阶段检测）在
中，设角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且满足
．
(1)求角B；
(2)若D 在
边上且
，
，求
的最大值．
考点四 三角形面积的最值或范围
19．（25-26 高三下·陕西商洛·阶段检测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则
面积的最大值为（ ）
A．9
B．18
C．
D．6
20．（25-26 高三上·辽宁·期中）记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求C
(2)若c＝6．
（Ⅰ）求△ABC 周长的取值范围；
（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．
21．（25-26 高三上·广东江门·期中）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)若
，
的周长等于6，求a，b．
(2)若
为锐角三角形，且
的面积
满足
.
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
面积的取值范围．
22．（25-26 高三上·江苏南京·阶段检测）已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，满足
．
(1)求
，
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长；
(3)若
是锐角三角形，且
，求
面积
的取值范围．
23．（25-26 高三上·山西·阶段检测）在
中，内角
的对边分别为
．
(1)求
．
(2)当
时．
（i）求
周长的取值范围；
（ii）求
面积的最大值．
24．（2026·广东汕头·三模）已知
的内角
的对边分别为
，
为
的面积，且
，
．
(1)判断
的形状；
(2)设点
为
所在平面内一动点，
分别位于直线
的两侧，设
，若
，
，求四边形
面积的取值范围．
考点五 几何图形中的计算
25．（25-26 高三上·湖南衡阳·期中）如图，在
中，
，
，点
在线段
上．
(1)若
，求
的长；
(2)若
，
的面积为
，求
的值．
26．（2026·河南·模拟预测）如图，在
中，
，D，E 为线段
上两点，且
平分
，
（
在
的左侧）.
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若
，
，求
的值.
27．（25-26 高三上·河北沧州·期中）如图，在
中，
，D 为边AC 上一点，且
，
．
(1)若
．
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
的面积；
(2)若
，求
的取值范围．
28．（25-26 高三上·河北邢台·期中）（多选）如图，在圆的内接四边形
中，
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
29．（2026·河南·三模）在平面四边形
中，已知
，
，
.
(1)求
；
(2)若
，
，求
.
30．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·期中）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣
之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915 年，
蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点
为边
上靠近
点的三等分点，
，
．
(1)若
，求
的面积；
(2)当
时，求
的长；
(3)要使得
取最小值时，请帮设计师计算此时
的长．
考点六 证明三角形中的恒等式或不等式
31．（25-26 高三上·河南南阳·期中）在
中，若点P 满足
，则点P 称为
的
布洛卡点，角
为
的布洛卡角．已知角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点P 是
的布洛卡点．
(1)若△ABC 为正三角形，求
；
(2)已知
①求证：
；
②若
，
，求
面积的最大值．
32．（25-26 高三上·浙江台州·期中）（多选）在
中，斜边
为
中点，
的角平分线交
于点
，
与
交于点
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
为定值
33．（2026·河北保定·二模）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
(1)求
的值;
(2)证明:
.
34．（25-26 高三上·吉林长春·阶段检测）已知直角
中，
，射线AD，AC 三等分
，分别交
BC 于点D、C，且
．
(1)若
，求
的值；
(2)求证：
；
(3)求
的最小值．
考点七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
35．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求
的大小；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围；
(3)若
为边
上一点（不包含端点），且满足
，求
的取值范围.
36．（25-26 高三上·天津西青·期中）在面积为S 的
中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若
，
，且
.
(1)求角C 的大小；
(2)若
，
，求
的周长；
(3)若
为锐角三角形，且AB 边上的高h 为2，求
面积的取值范围.
37．（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量
，
，设函数
.
(1)求函数
的单调递增区间及其图象的对称中心；
(2)已知a，b，c 分别为钝角三角形
的内角A，B，C 对应的三边长，A 为锐角，
，
，且
，
求三角形
的面积.
38．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段检测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求C 的值.
(2)设
的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若
，
，求
的周长；
（ii）求
的最大值.
39．（25-26 高三上·安徽阜阳·阶段检测）在锐角
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角C；
(2)求
的取值范围；
(3)若
点为
边上的中点，
，求线段
的最大值．
40．（2026 高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数
，将
图象上所有的点
向右平移
个单位长度，得到函数
的图像.
(1)求
在
上的值域；
(2)若锐角三角形
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
，求
的取值范围.
1．（25-26 高三上·江苏镇江·期中）在
中，内角
，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边
长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·广东惠州·阶段检测）在锐角
中，角
、
、
所对应的边分别为
、
、.已知
，
，则
周长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
的外接圆半径
为
，且
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
5．（25-26 高三上·山西晋中·期中）在
中，角
所对的边分别为
，且
．若点
为边
的中点，边
上的中线
的长为
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期中）在
中，角
所对的边分别为
，若
，
为
边
的中点，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·广东江门·期中）如图，在四边形
中，已知
，
，
，
，
，则
的长（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·四川成都·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，
是边
上一点，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）在
中，角
为锐角，
的面积为4，且
，
则
周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·湖南株洲·模拟预测）（多选）设
的内角A，B，C 的对边为a，b，c，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积可以是
D．
的周长可以是3
11．（2026·江西南昌·三模）（多选）已知
内角
所对的边分别为
.则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
为钝角三角形.
B．若
，则
为等腰三角形
C．在锐角
中，不等式
恒成立
D．若
，则
的取值范围为
12．（25-26 高三上·云南曲靖·阶段检测）（多选）在
中，角
所对的边分别为
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为4
C．
面积的最大值为3
D．若
为锐角三角形，则
的取值范围是
13．（25-26 高三上·浙江·期中）在圆的内接四边形
中，已知
，
，
，则四边形
的
面积的最大值是__________.
14．（2026·山东威海·二模）在
中，角
所对的边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)如图，已知
为
外一点，
，
，
，求平面四边形
面积的最大值．
15．（25-26 高三上·湖南·阶段检测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
，
.
(1)求角B；
(2)若
的面积为
，求
的值；
(3)若
为锐角三角形，求
面积的取值范围.
16．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期中）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求
的值；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
(3)若
，当
的周长最小时，求的值．
17．（2026·四川成都·模拟预测）已知
，
，
．
(1)求函数
的解析式及最小正周期；
(2)设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
且
，求
周长的最大值．
18．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）在锐角
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
.
(1)求
的大小；
(2)设
的角平分线
交
于点
.
①求
面积的取值范围
②求线段
长的取值范围.
