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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 10 第十三章 三角形 知识点一 三角形的概念及分类 1. 定义：三条不在同一直线上的线段首尾顺次封闭相接形成三角形，具备 3 个______、3 条______、 3 个______。 2. 按角划分 锐角三角形：三内角均为______； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 10 直角三角形：有一个______，剩余两角______； 钝角三角形：有一个______。 3. 按边划分 不等边三角形：三边长度互不相等； 等腰三角形：两条边______；特殊等腰三角形为等边三角形，三边______，内角均 ______。 知识点二 三角形中三边关系 1. 两条核心不等式： ① 任意两边之和______第三边； ② 任意两边之差______第三边。 2. 取值范围：已知两边长 𝑚、𝑛 (𝑚> 𝑛)，第三边 𝑥 取值范围：__________________。 3. 用途：判断线段能否组成三角形、求第三边取值、求整数边长。 知识点三 三角形的高线、中线、角平分线 1. 高：过顶点作对边____________，顶点到垂足线段；三条高交于垂心，钝角三角形两条高在形外。 2. 中线：顶点连接对边__________；三条中线交于重心，任意一条中线把三角形分成面积相等两部分。 3. 角平分线：平分三角形____________，交对边；三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等。 4. 统一性质：任意三角形都各有三条高、中线、角平分线，且各自交于一点。 知识点四 三角形的内角和定理 1. 核心结论：三角形内角和恒等于____________。 2. 重要推论：直角三角形两个锐角相加等于____________；若三角形两内角互余，则为直角三角形。 3. 常见题型：角度计算、含未知数角度求值、证明角度相等。 知识点五 三角形的外角定义和定理 1. 外角定义：三角形一条边与另一边____________形成的角，每个顶点有一对相等外角。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 10 2. 外角定理 1：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角____________。 3. 外角定理 2：三角形一个外角____________任意一个不相邻的内角。 4. 拓展：三角形三个外角相加总和为____________。 易错点1 画三角形的高线易错问题 易错提醒 一、易错点总结 1. 只会画锐角三角形高，不会画直角、钝角三角形的高。 2. 钝角三角形两条高在三角形外部，学生习惯性画在内部，导致完全错误。 3. 画高不垂直、不标直角符号，没有从顶点出发，随意画线。 4. 混淆“高”与“中线、角平分线”，误画成平分线段或平分角。 二、注意事项总结 1. 高的唯一标准：过顶点、垂直对边（或对边延长线）。 2. 锐角三角形：三条高全在内部；直角三角形：两条高与直角边重合；钝角三角形：钝角两条邻边上的 高在外部。 3. 外部高必须先延长对边，再作垂线。 4. 作图必须标注直角符号，保证规范得分。 【对点训练】1．如图， 90 E F ADC = = = ，以下说法不正确的是（） A．AD是ABC 的边BC 上的高 B．CE 是 ACE △ 的边AC 上的高 C．AF 是 ABF △ 的边BF 上的高 D．BF 是ABC 的边AC 上的高 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 10 易错点2 利用三角形内角和求折叠中的多解问题 易错提醒 一、易错点总结 1.折叠题只算一种情况，忽略多解（折叠后顶点可落在三角形内部或外部）。 2.不会利用“折叠前后角度相等”，找不到等量关系。 3.角度推导混乱，乱用内角和、平角、对顶角关系。 4.忽略折叠后产生的重叠角、两倍角关系，计算出错。 二、注意事项总结 1.折叠核心：折叠前后对应角相等，所有重合角度完全一样。 2.遇折叠题型必须分类：落点在内部、落点在外部两种情况，防止漏解。 3.解题固定套路：找相等角 → 利用平角/内角和 180 → 列方程求解。 4.出现折叠夹角问题，优先使用“两倍关系”快速解题。 【对点训练】2．在ABC 中，已知 80 A = ， 30 C = ，现把 CDE △ 沿DE 进行不同的折叠得C DE ，对 折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把 CDE △ 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求1 2 +的和； (2)如图（2）把 CDE △ 沿DE 折叠覆盖 A ，则求1 2 +的和； (3)如图（3）把 CDE △ 沿DE 斜向上折叠，探求1 、 2 、 C 的关系． 易错点3 利用三角形内外角与角平分线问题 易错提醒 一、易错点总结 1.混淆内角平分线、外角平分线模型，公式乱用。 2.不会区分“相邻内角、不相邻内角”，外角定理使用错误。 3.多角叠加题型，角度推导逻辑混乱，跳步导致错结果。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 10 4.二级结论记混：内角平分线夹角、内外角平分线夹角公式记错。 二、注意事项总结 1.严格区分：外角只等于两个不相邻内角和，绝不包含相邻内角。 2.角平分线题型优先标出相等小角，设未知数解方程最稳妥。 3.熟记两大必考模型： ① 两内角平分线夹角 = 90^∘+1/2 顶角 ② 一内一外平分线夹角 = 1/2 顶角 4.综合题先找外角、再找等分角、最后用内角和收尾，步骤不乱、不丢分。 【对点训练】3．如图，ABC 中， ABC 的角平分线与外角 ACD 的平分线交于 1A ． (1)如图1，若 70 A = ，则 1A = ． (2)如图2 ，四边形ABCD中，ABC 的角平分线及外角 DCE 的角平分线相交于点F ，若 230 A D + = ， 求 F 的度数． (3)如图3，ABC 中， ABC 的角平分线与外角 ACD 的角平分线交于 1A ，若E 为BA延长线上一动点，连 接EC ， AEC 与 ACE 的角平分线交于点Q ，当E 滑动时有下面两个结论： 1 Q A + ① 的值为定值； 1 Q A − ② 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 10 一、单选题 1．如图，在ABC 中，BC 边上的高是（ ） A．线段CE B．线段AB C．线段BF D．线段AD 2．在平面直角坐标系中，有点 ( ) 0,3 D 、 ( ) 0, 2 E − 、 ( ) 6, 2 F − ，则DEF 是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．如图，已知MN PQ ∥ ，点B 在直线MN 上，点C 在直线PQ 上，点A在直线MN 上方，点E 在DB的延长 线上．若 : 4:1 ABD DBN = ， : 4:1 ACE ECP = ， A = ，则 E =（ ） A． B． 1 36 5 + C．90 − D． 4 144 5 − 4．如图，把ABC 纸片沿着DE 折叠，使点A落在四边形BCDE 内部点A处，已知 B C = ，1 2 60 += ， 则 B 的度数是（ ） A．75 B．70 C．65 D．60 5．如图，在ABC 中， 8 AC BC = = ， 24 ABC S = ，P 为AB 边上一动点（不与A，B 重合），PE AC ⊥ 于点 E，PF BC ⊥ 于点F，则PE PF + 的值是（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 10 二、填空题 6．如图，在ABC 中， 8 AB = ， 7 BC = ，AE 为BC 边上的高， 6 AE = ，P 为AB 上一动点，则PC 的最小 值为________． 7．如图，已知1l 平行于2l ，ABC 是等腰直角三角形， 90 BAC = ，顶点A，B 分别在1l ，2l 上，当 1 70 = 时， 2 =__________． 8．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，连接AD，点E 在AD上，且 3 DE AE = ，连接BE，CE ．若BDE 的面积为36，则 AEC △ 的面积为__________． 9．如图，将一块含有45角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果 2 65 = ，那么1 的度数为 ________． 10．如图，将直角三角形纸片ABC 的直角C 沿EF 折叠，点C 落到纸片内部的点C处．如果 40 FEC = ， 那么 BFC =____________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 10 三、解答题 11．综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组 得到了一个结论：已知ABC ，如图1，若点P 是 ABC 和 ACB 的角平分线的交点，则 1 90 2 P A = + ． 证明如下： BP ，CP 是 ABC 和 ACB 的角平分线， 1 2 PBC ABC = ， 1 2 PCB ACB = ， ( ) 2 180 A PBC PCB + + = ， 1 90 2 PBC PCB A + = − ， ( ) 1 1 180 180 90 90 2 2 P PBC PCB A A = − + = − − = + ． 【问题解决】 (1)如图2，若点P 是外角 CBF 和 BCE 的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证 明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 (2)如图3，在ABC 中， ABC 、 ACB 的角平分线交于点P ，将ABC 沿DE 折叠使得点A与点P 重合， 若1 2 76 += ，求 BPC 的度数． 12．如图，CD、CE 分别是ABC 的高和中线，若 5cm AC = ， 12 BC cm = ， 13cm AB = ， 90 ACB = (1)求CD的长 (2)求BCE 与 ACE △ 的周长差 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 10 13．数学探究 在ABC 中，已知 A = ． (1)如图1， ABC ， ACB 的平分线相交于点P ． ①当 70 = 时， BPC = ________；（直接写出结果） ② BPC 的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，ABC ，ACB 的平分线相交于点P ，作ABC 外角 MBC ，NCB 的角平分线交于点Q ．求 BQC 的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点M ，N 分别为AB ，AC 延长线上的一点，点P ，Q 分别在ABC 内部和外部，且满足 ABC n PBC = ，ACB n PCB = ，MBC n QBC = ，NCB n QCB = ．分别求 BPC ，BQC 的度数． （用 含、n 的代数式表示） 14．探究以下问题： (1)探究一：如图（a），BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，请确定 A 与 D 的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），BE平分 ABC ，CE 平分 ACM ，请确定 A 与 E 的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），BF 平分 CBP ，CF 平分 BCQ ，请确定 A 与 F 的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在ABC 中， 56 A = ，BD，CD分别平分 ABC ，ACB ，M，N，Q 分别在DB，DC ，BC 的延长线上，BE，CE 分别平分 MBC ，BCN ，BF ，CF 分别平分 EBC ，ECQ ，则 F = ________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 15．【初步认识】 (1)如图1，在ABC 中，BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ，若 70 A = ，则 ABC ACB + = _____；BPC = _____； 【继续探索】 (2)如图2， ABE ，ACE 的平分线BF ，CF 相交于点F ，若 70 A = ， 130 BEC = ，求 BFC 的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在ABC 中，BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ，BN 平分外角 EBC ，CN 平分外角 FCB ，延 长BP，NC 交于点M ．在BMN 中，有一个内角为30，直接写出 A 的度数．
