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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 21 第一章 勾股定理 知识点一 勾股定理 1. 文字表述：在任意直角三角形中，两条直角边长的平方相加，结果等于斜边长的平方。 2. 公式区分：必须分清直角边与斜边，斜边是三角形最长边，不能随意代入边长。 3. 变形公式作用：已知任意两条边长，可求出第三条边长。 4. 面积拓展：结合等面积法，直角三角形两直角边乘积=斜边×斜边上的高，可快速求高。 5. 限制条件：锐角三角形、钝角三角形不能直接使用该公式。 知识点二 勾股定理的证明 1. 统一核心方法：等面积割补法，不靠测量，依靠代数化简严格证明。 2. 赵爽弦图：我国古代经典证法，考试填空、证明大题高频考点；利用大小正方形面积差推导公式。 3. 总统梯形证法：用一组全等直角三角形拼接梯形，拆分面积完成证明，步骤简洁。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 21 4. 割补平移法：通过平移、旋转将两个小正方形拼接为大正方形，直观体现平方和关系。 知识点三 勾股数 1. 严格定义：三个数字必须是正整数，分数、小数、负数都不属于勾股数。 2. 记忆基础勾股数，选择填空可直接使用，减少计算量。 3. 倍数性质：如 3、4、5 同时乘 3 得 9、12、15，依旧满足勾股关系。 知识点四 勾股定理逆定理 1. 使用步骤：先找出三边中最长边，再计算平方对比，不能随便取边代入。 2. 拓展判定：可快速判断三角形属于锐角、直角、钝角三类，是几何证明垂直的重要工具。 3. 网格题用法：利用方格横向、纵向距离，算出线段平方，无需开方即可判断直角。 知识点五 勾股定理与逆定理区别与联系 1. 区别核心：定理是“有直角，算边长”；逆定理是“知边长，证直角”，二者功能不可混用。 2. 联系：互为逆定理，公式完全相同，几何大题经常组合使用，先判定直角再计算线段长度。 知识点六 勾股定理应用 1. 分类讨论易错点：已知直角三角形两边长，未说明斜边时，分两种情况计算，避免漏解。 2. 折叠问题解题关键：折叠前后对应线段长度相等，设未知数建立方程，是八年级必考大题。 3. 立体最短路径：立体表面无法直接连线，必须展开为平面图形，依据两点之间线段最短求解。 4. 实际应用题解题关键：剥离文字信息，画出直角三角形简图，标准化列式计算。 易错点1 勾股定理的证明 易错提醒 易错点总结 1. 看不懂等面积法核心逻辑，不会列整体面积=局部面积和。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 21 2. 证明过程跳步、乱代边长，分不清哪个边是 a、b、c。 3. 只会背结论，不会展开化简，大题书写不规范直接扣分。 4. 混淆不同证法的图形结构，赵爽弦图和总统证法公式乱用。 注意事项总结 1. 所有勾股证明统一思路：等面积法，先列面积等式，再代数化简。 2. 证明前先标注清楚：直角边 a、b，斜边 c，不标边绝对不能写过程。 3. 严格步骤：列面积式 → 展开 → 消项 → 得出 2 2 2 a b c + = 。 4. 不同证法图形不能混用，图形对应公式固定。 【对点训练】1．如图，将一个长为a，宽为b 的长方形纸片（如图Ⅰ，a b ）剪成2 个完全相同的直角三 角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为ABC 和DEB ，点D 在 边BC 上，DE 与AB 交于点F，连接AD和AE ． (1)写出AB 与DE 的位置关系及理由； (2)利用图Ⅲ，验证 2 2 2 a b c + = ． 【答案】(1) AB DE ⊥ ．理由如下： ∵ ABC DEB ≌ ， ∴ DEB ABC = ， ∵ 90 ABE ABC + = ， ∴ 90 DEB ABE + = ， ∴ 180 90 90 BFE = − = ， ∴AB DE ⊥ ； (2) 证明：由题意得DE AB c = = ，BE BC a = = ，BD AC b = = ， ADE BDE ADBE S S S = + 四边形 2 1 1 2 2 DE AB c = = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 21 ∵ ACD ADBE ACBE S S S = + 四边形 梯形 △ ， ∴( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 a b a a b b c + = − + ， 整理，得 2 2 2 a b c + = ． 【分析】（1）由题意得 ABC DEB ≌ ，推出 DEB ABC = ，利用等角的余角相等即可求解； （2）利用 ACD ADBE ACBE S S S = + 四边形 梯形 △ ，结合面积公式列式计算即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 易错点2 与弦图有关的计算与证明 易错提醒 易错点总结 1. 分不清弦图中大正方形、小正方形、直角三角形边长关系。 2. 误把小正方形边长当成斜边，导致全盘计算错误。 3. 不会使用弦图二级结论：大正方形面积 =c^2、小正方形面积 = 2 ( ) a b − 。 4. 已知面积不会反求直角边、斜边。 注意事项总结 1. 赵爽弦图铁律：外围大正方形边长=斜边 c，内部小正方形边长 =|a-b|。 2. 固定公式：S_大正= 2 c ，S_小正= 2 ( ) a b − ，四个三角形面积和 =2ab。 3. 遇到弦图计算优先用整体代换，不单独硬算边长。 4. 看清题目求的是边长、周长还是面积，避免答非所问。 【对点训练】2．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角 三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面 积，证明了勾股定理 2 2 2 a b c + = ． (1)请用图1 推导勾股定理，并写出推导过程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 21 (2)现将图1 中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若 4 a = ， 6 b = ，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4 个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已 知外围轮廓（实线）的周长为24， 3 OC = ，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为( ) 2 a b + ，大的正方形的面积又可以表示为 2 1 4 2 c ab + ， ∴ ( ) 2 2 1 4 2 c ab a b + = + ， ∴ 2 2 2 2 2 c ab a b ab + = + + ， ∴ 2 2 2 a b c + = ． (2)28 (3)24 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为( ) 2 a b + ，大的正方形的面积又可以表示为 2 1 4 2 c ab + ，联 立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c 的正方形的面积2 −个直角三角形的面积 2 1 2 2 c ab = − ，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出AB AC + 的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AC 的长，进而 确定出OA的长，求出三角形AOB面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积= 边长为c 的正方形的面积2 −个直角三角形的面积 2 1 2 2 c ab = − ， ∵ 4 a = ， 6 b = ， ∴空白部分的面积 2 2 1 4 6 2 4 6 28 2 = + − = ； （3）解：根据题意得： 3 OB OC = = ，( ) 4 24 AB AC + = ，即 6 AB AC + = ， 在Rt AOB 中，根据勾股定理得： 2 2 2 AB OA OB = + ，即( ) ( ) 2 2 2 6 3 3 AC AC − = + + ， 解得： 1 AC = ， ∴ 3 1 4 OA = + = ， ∴ 1 1 3 4 6 2 2 AOB S OA OB = = = △ ， ∴该风车状图案的面积 4 24 AOB S = = △ ． 易错点3 勾股定理与折叠问题 易错提醒 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 21 易错点总结 1. 忽略折叠前后对应边相等、对应角相等的核心条件。 2. 不会设未知数，找不到可以用勾股的直角三角形。 3. 方程列错、边长对应错误，漏看隐藏直角三角形。 4. 求出未知数后忘记求最终所求线段，解题不完整。 注意事项总结 1. 折叠题万能步骤：找相等边 → 设 x → 用剩余边长表示另一边长 → Rt△ 列方程。 2. 所有折叠问题必须用方程思想，不能硬猜边长。 3. 重点观察折叠后新形成的直角三角形，这是解题突破口。 4. 解出 x 后代回原图检验边长合理，舍去不合理的值。 【对点训练】3．如图，一张三角形纸片ABC ，已知， 10 AB = ， 8 AC = ， 6 BC = ，将该纸片折叠，若折叠 后点A与点B 重合，折痕DE 与边AC 交于点D ，与边AB 交于点E ． (1)求ABC 的面积． (2)求折痕DE 的长． 【答案】(1)24 (2)15 4 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题 的关键． （1）先根据勾股定理逆定理，判断ABC 为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （2 ）连接BD，根据折叠的性质可知，AD BD = ，AE BE = ，设CD x = ，则 8 AD BD x = = − ，在Rt BCD 中利用勾股定理即可求出BD的长，同理，在Rt BDE 中利用勾股定理即可求出DE 的长． 【详解】（1）解：∵ 8, 6, 10 AC BC AB = = = ， 2 2 2 64, 36, 100 AC BC AB = = = ， ∴ 2 2 2 AB AC BC = + ， ∴ 90 ACB = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 21 ∴ 1 1 · 8 6 24 2 2 ABC S AC BC = = = ； （2）解：连接BD，设CD x = ， ∵折叠后点A与点B 重合，折痕DE 与边AC 交于点D ，与边AB 交于点E ． ∴ADE BDE ≌ ，DE AB ⊥ ， ∴ 1 5, 2 AE BE AB AD BD = = = = ， 设CD x = ，则 8 AD BD x = = − ， 在Rt BCD 中， 2 2 2 BD CD BC = + ， 即( ) 2 2 8 36 x x − = + ， 解得， 7 4 DC = ， ∴ 7 25 8 4 4 AD BD = = − = ， ∵DE AB ⊥ ， ∴ 2 2 2 2 25 15 5 4 4 DE BD BE = − = − = ． 易错点4 勾股定理实际应用问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会从生活场景中抽象出直角三角形模型。 2. 分不清直角边和斜边，最长边没有当作 c 代入公式。 3. 已知两边求第三边不分类讨论，漏掉一种情况丢分。 4. 单位不统一、最后不写答，步骤扣分。 注意事项总结 1. 实际题第一步：画图建模，标出垂直、直角、已知边长。 2. 无说明斜边时必须分类讨论：两边都是直角边 / 长边为斜边。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 21 3. 永远记住：最长边才可以当斜边 c。 4. 统一单位、规范列式、最后必须写答句。 【对点训练】4．如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A 处， 24 OA = 米，小亮站在另一条道路的边缘点B 处，此时两人之间的直线距离为25 米，而他们手中的对讲机 恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时OB 的长度； (2)当小明沿路边向北走了9 米到达点C 处（即 9 AC = 米），同时小亮沿路边向东走到了点D 处，若两人之间 的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25 米不变），求BD的长度． 【答案】(1)7 米 (2)13米 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出 20 OD = 米，即可求出BD的长度． 【详解】（1）解：由题意得 90 AOB = ， 24 OA = 米， 25 AB = 米， ∴ 2 2 2 2 25 24 49 7 OB AB OA = − = − = = 米； （2）解：∵ 9 AC = 米， ∴ 24 9 15 OC OA AC = − = −= 米， ∵ 25 CD = 米， 90 COD = ， ∴ 2 2 2 2 25 15 400 20 OD CD OC = − = − = = 米， 因此 20 7 13 BD OD OB = − = − = 米． 易错点5 求几何体中最短路径 易错提醒 易错点总结 1. 不会立体转平面，直接在立体图中连线计算，完全错误。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 21 2. 展开长方体时展开方式不唯一，只算一种导致不是最短。 3. 展开后边长找错，长、宽、高对应混乱。 4. 圆柱展开长方形周长对应错误，底面周长算错。 注意事项总结 1. 立体最短路径铁律：先展开、再平面、后勾股。 2. 长方体三种展开方式，必须全部计算，取最小值才是最短路径。 3. 圆柱侧面展开：一边是高，一边是底面圆周长。 4. 依据：两点之间线段最短，折线一定不是最短。 【对点训练】5．如图，点A、B 是位于笔直河道CD两侧的两个工厂，工厂A到河道的距离AC 为6km， 工厂B 到河道的距离BD为3km ，BF 是垂直于AC 的地下管道，且BF 交AC 的延长线于点F ，经测量， 12km BF = ，现准备在河边某处修一个污水处理厂E ，为使点E 到工厂A、B 之间的距离之和最小，点E 需 在线段AB 上，求此时点E 到工厂A和工厂B 的距离之和AE BE + ．（污水处理厂、工厂的大小和河道、地 下管道的宽度均忽略不计） 【答案】15km 【分析】连接AB 交CD于点E ，依题意， 6 3 9 AF AC CF = + = + = ， 12 BF = ，在Rt ABF 中，根据勾股定 理即可求解． 【详解】解：如图，连接AB 交CD于点E ， 依题意， 6 3 9 AF AC CF = + = + = ， 12 BF = 在Rt ABF 中， 2 2 2 2 9 12 15 AB AF FB = + = + = ，即AE BE + 为15km． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 一、单选题 1．下列各组数为勾股数的是（ ） A．0.5，1.2，1.3 B．2 ，3 ，5 C．8，24，25 D．6 ，8，10 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平 方和等于最大数的平方，两个条件缺一不可，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：∵勾股数要求三个数均为正整数， 选项A 中三个数都是小数，选项B 中三个数都是无理数，都不是正整数，因此A、B 错误； 对选项C，∵ 2 2 8 24 64 576 640 + = + = ， 2 25 625 = ，可得 2 2 2 8 24 25 + ，因此C 错误； 对选项D，∵ 2 2 2 6 8 36 64 100 10 + = + = = ，且6、8、10 都是正整数，满足勾股数的定义，∴D 正确． 2．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大 意是：“如图，一根竹子高1 丈（1 丈 10 = 尺），在点A 处折断后竹子顶端点B 触地，测得点B 离竹子底端 点C 距离为3 尺（即 3 BC = 尺），问折断处离地面高AC 为多少尺？”．设折断处离地面高AC 为x 尺，可列 方程为（ ） A． ( ) 2 2 2 3 10 x x + = + B． ( ) 2 2 2 3 10 x x + + = C． ( ) 2 2 2 3 10 x x + − = D． ( ) 2 2 2 3 10 x x + = − 【答案】D 【详解】解：由题意得 3 BC = 尺， 10 AB AC + = 尺， 90 ACB = ， 设高AC 为x 尺，则 ( ) 10 AB x = − 尺， 由勾股定理得 2 2 2 BC AC AB + = ，即 ( ) 2 2 2 3 10 x x + = − ． 3．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A ，B， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / C ，D 的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形E的面积是（ ） A．34 2 5 + B．36 C．54 D．64 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D 的面积和即为最大正方形 的面积． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可得A、B 的面积和为 1S ，C、D 的面积和为 2 S ， 3 1 2 S S S = + ， 即 3 9 25 4 16 54 S = + + + = ． 4．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB 为12cm，BC 是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱的表面 爬行到点C 的最短路程为（ ） A．17cm B．13cm C．12cm D．2 6cm 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 由于圆柱体的底面周长为10cm， 则 1 10 5cm 2 AD = = ． 由题意得， 12cm CD AB = = ， 所以 2 2 12 5 13cm AC = + = ． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程是13cm ． 5．如图，在5 5 的正方形网格中，点A，B，C，D 均在格点上，从中任意找出3 点组成三角形，下列选项 中，是直角三角形的是（ ） A．ABC B．BCD C．ADC D．ABD 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长， 然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点， 2 2 2 2 3 13 AB = + = ， 2 2 2 1 2 5 BC = + = ， 2 2 2 1 2 5 CD = + = ， 2 2 2 1 2 5 AD = + = ， 2 2 4 16 AC = = ， 2 2 2 3 1 10 BD = + = A. ABC 中， 2 2 2 AC BC AB + ，则ABC 不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. BCD 中， 2 2 2 BD BC CD = + ，则BCD 是直角三角形，故该选项符合题意； C. ADC 中， 2 2 2 AC CD AD + ，则ADC 不是直角三角形，故该选项不符合题意； D. ABD 中， 2 2 2 AB BD AD + ，则ABD 不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．如图，在ABC 中， 90 B = ， 1 AB = ， 2 BC = ，则正方形ADEC 的面积是________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / 【答案】5 【分析】利用勾股定理求出 2 AC 的值，再根据正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵在ABC 中， 90 1 2 B AB BC = = = , , ， ∴由勾股定理得 2 2 2 2 2 1 2 5 AC AB BC = + = + = ， ∴正方形ADEC 的面积 2 5 AC = = ． 7．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b 组成，a、b 之间的距离为1 米，在a、b 之间要布 置跨线工位CD，使得CD a ⊥ ，物料供应点A 到传送带a 的距离 3 AE = 米，物料供应点B 到传送带b 的距 离 2 BF = 米，A，B 之间的距离为2 13 米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即AC BD = ， 则EC = ________． 【答案】11 8 【分析】过点A作AH BF ⊥ 交BF 的延长线于点H ，求得 2 3 1 6 BH = + + = ，利用勾股定理求得 4 AH = ，设 CE x = ，则 4 DF x = − ，利用勾股定理分别求得 2 2 2 3 AC x = + ， ( ) 2 2 2 2 4 BD x = + − ，根据AC BD = ，列式计 算即可求解． 【详解】解：过点A作AH BF ⊥ 交BF 的延长线于点H ， ∵ 2 BF = ， 3 AE = ， 1 CD = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / ∴ 2 3 1 6 BH = + + = ， ∵ 2 13 AB = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2 13 6 4 AH AB BH = − = − = ， 设CE x = ，则 4 DF x = − ， ∵ 3 AE = ， 2 BF = ， ∴ 2 2 2 2 2 3 AC AE CE x = + = + ， ( ) 2 2 2 2 2 2 4 BD BF DF x = + = + − ， ∵AC BD = ，即 2 2 AC BD = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 3 2 4 x x + = + − ， 解得 11 8 x = ； 即 11 8 EC = ． 8．《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿 过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进 门，门的宽度比竿小4 尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2 尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试 问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC 为x 尺，依题意可列方程为_________． 【答案】 ( ) ( ) 2 2 2 4 2 x x x = − + − 【分析】设竿长AC 为x 尺，则门的宽为( ) 4 x − 尺，高为( ) 2 x− 尺，根据勾股定理可得方程 ( ) ( ) 2 2 2 4 2 x x x = − + − ． 【详解】解：设竿长AC 为x 尺，则门的宽为( ) 4 x − 尺，高为( ) 2 x− 尺， 由题意得， ( ) ( ) 2 2 2 4 2 x x x = − + − ． 9．如图，已知在长方形ABCD中， 3 AB = ， 5 BC = ，若把长方形ABCD沿EF 折叠，使点C 落在点A处， 点D落在点G 处，则CF =_______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / 【答案】17 5 【分析】利用折叠的性质，设AF CF x = = ，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，AF CF = ， 设AF CF x = = ，则 5 BF x = −， 在Rt ABF 中， 2 2 2 AB BF AF + = ， ( ) 2 2 2 3 5 x x = + − ， 解得： 7 5 1 x = ，即 17 5 CF = ． 10．如图，在Rt ABC △ 中， 90 BAC = ，分别以ABC 的三边为边作正方形ABDE ，正方形BCFG ，正方形 ACHI ，AI 交CF 于点J ．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形BGFJ 的面积为 1S ，四边形 CHIJ 的面积为 2 S ，若 1 2 15 S S − = ， 10 ABC S = △ ，则AB 的长为______． 【答案】5 【分析】根据勾股定理可得 2 2 2 BC AB AC = + ，则有 2 2 , BCFG ACHI S BC S AC = = 正方形 正方形 ，然后根据割补法可进 行求解． 【详解】解：在Rt ABC △ 中， 90 BAC = ， ∴由勾股定理得： 2 2 2 BC AB AC = + ， ∵以ABC 的三边为边作正方形ABDE ，正方形BCFG ，正方形ACHI ， ∴ 2 2 , BCFG ACHI S BC S AC = = 正方形 正方形 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / ∴ 2 1 BCJ BCJ BCFG S S S BC S = − = − 正方形 ， 2 2 ACJ ACJ ACHI S S S AC S = − = − 正方形 ， ∵ 1 2 15 S S − = ， 10 BCJ ACJ ABC S S S − = = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2 10 15 BCJ ACJ BCJ ACJ BC S AC S BC S AC S AB − − − = − − + = − = ， ∴ 2 25 AB = ， ∴ 5 AB = ． 三、解答题 11．如图，在四边形ABCD中， 6 AB = ， 10 BC = ， 15 CD = ， 17 AD = ， 90 CAB = ． (1)求AC 的长； (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1) 8 AC = (2)84 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出 90 ACD = ．再根据 ABC ACD ABCD S S S = + 四边形 即可求出答案． 【详解】（1）解：在Rt ABC △ 中， 90 CAB = ， 6 AB = ， 10 BC = ． 2 2 2 2 10 6 8 AC CB AB = − = − = ． （2）解：在ACD 中， 8 AC = ， 15 CD = ， 17 AD = ， 2 2 2 2 8 15 289 AC CD + = + = ， 2 2 17 289 AD = = ． 2 2 2 AC CD AD + = ． 90 ACD = ． 1 1 2 2 ABC ACD ABCD S S S AB AC CD AC = + = + △ △ 四边形 1 1 6 8 8 15 84 2 2 = + = ． 12．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A，B 两点分别位于池塘两端，利用现有工具 无法直接测得A，B 间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C ，使点C 能直接到达点A和点B ， 在AB 的延长线上取一点D ，使得 12 BD = 米．经测量 34 AC = 米， 16 CD = 米， 20 CB = 米． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / (1)判断BCD 的形状并证明； (2)计算点A，B 之间的距离． 【答案】(1)解：BCD 为直角三角形，证明如下： 12 BD = 米， 16 CD = 米， 20 CB = 米， ∴在BCD 中， 2 2 2 12 16 20 + = ，即 2 2 2 BD CD CB + = ， BCD 为直角三角形， 90 D = ； (2) A、B 间的距离为18 米． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理求出 30 AD = 米，即可求出点A，B 之间的距离． 【详解】（1）略 （2）解：在Rt ADC △ 中， 90 D = ，由勾股定理，得 2 2 2 AD CD AC + = ， 2 2 2 16 34 AD + = ， 2 2 34 16 30 AD = − = 米， 30 12 18 AB AD BD = − = − = （米）， 答：池塘两端A、B 间的距离为18 米． 13．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长 都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为 2 c ，也可以表示为 ( ) 2 1 4 2 ab a b + − ，由此推导出重要 的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为,a b ，斜边长为c ，则 2 2 2 a b c + = ． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形ABCD的面积可表示为：______，也可以表 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / 示为：______，由此可以推出 2 2 2 a b c + = ； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A B 、，AB AC = ， 由于某种原因，由C 到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A H 、 、 B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，且CH AB ⊥ ．测得 0.8 CH = 千米， 0.6 HB = 千米，求新路CH 比 原路CA 少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第 （2）问中若AB AC 时，CH AB ⊥ ， 10 AC = ， 17 BC = ， 21 AB = ，设AH x = ，可以求CH 的值，请帮小 明写出求CH 详细完整的过程． 【答案】(1) 2 2 2 1 2 1 b ab a + + ； 2 1 1 1 2 2 2 ab ab c + + (2)新路CH 比原路CA 少1 30 千米 (3)设AH x = ，则 21 BH AB AH x = − = −， 在Rt ACH 中， 2 2 2 CH AC AH = − ， 在Rt BCH △ 中， 2 2 2 CH BC BH = − ， 2 2 2 2 AC AH BC BH − = − ，即 ( ) 2 2 2 2 10 17 21 x x − = − − ， 解得 6 x = ， 2 2 2 100 6 8 CH AC AH = − = − = ． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面 积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设AB AC x = = ，则 0.6 AH x = − ，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在Rt ACH 和Rt BCH △ 中，由勾股定理得求出 2 2 2 2 2 CH AC AH BC BH = − = − ，列出方程求解即可得 到结果． 【详解】（1）解：梯形ABCD的面积为( )( ) 2 2 1 1 1 2 2 2 a b a b a ab b + + = + + ，也可以表示为 2 1 1 1 2 2 2 ab ab c + + ， 2 2 2 1 1 1 2 2 2 a ab b ab c + + = + ，即 2 2 2 a b c + = ； （2）解：设AB AC x = = ， 0.6 AH AB BH x = − = − ， 在Rt ACH 中， 2 2 2 AH CH AC + = ，即( ) 2 2 2 0.6 0.8 x x − + = ， 解得 5 6 x = ， 小学 初中 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / 即 5 6 AC = （千米）， 5 1 0.8 6 30 AC CH − = − = （千米）， 答：新路CH 比原路CA 少1 30 千米； （3）解：略. 14．【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家 赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼 接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形ABC 中，BC a AC b AB c = = = ， ， ，请你利用图1 中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2 所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形， 请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【答案】 （1）证明：由图可知， ( ) 2 S b a = − 小正方形 ， 2 S c = 大正方形 ， ( ) 2 2 2 1 4 4 2 ABC S S S b a ab a b = + = − + = + 小正方形 大正方形 ， 2 2 2 a b c + = ． （2）如图2 所示： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等是解题的关键． （1）先求出中间小正方形的边长为( ) b a − ，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关 系即可得出结论； （2）根据题意设计方案即可． 【详解】（1）略 （2）解：通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形． 15．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角 三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积 即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明： 2 2 2 a b c + = ； (2)【结论运用】如图2，已知ABC 是直角三角形， 90 C = ．若 5 BC = ，AB 的长比AC 的长大1，求AB 的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3 所示的三角形花圃ABC ，其中 13 AB = 米， 14 BC = 米， 15 AC = 米， 计划在这块花圃中起一道栅栏AD，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏AD与三角形边BC 互相垂直，预计 栅栏每米的造价为50元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为 2 ( ) a b + ，又可以表示为 2 1 4 2 c ab + ， ∴( ) 2 2 1 4 2 a b c ab + = + ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / ∴ 2 2 2 2 2 a b ab c ab + + = + ， ∴ 2 2 2 a b c + = ． (2)13 (3)600 元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为 2 ( ) a b + ，又可以表示为 2 1 4 2 c ab + ，联立等式即可求 解； （2）由 1 AC AB = −，根据勾股定理得 2 2 2 AC BC AB + = ，代入已知条件可得 2 2 2 5 ( 1) AB AB = + − ，进而求解； （3）根据题意可得AD BC ⊥ ，设BD x = 米，则 ( ) 14 CD x − = 米，根据勾股定理可得 2 2 2 2 2 AD AB BD AC CD = − = − ，由此列方程解得 5 BD = 米，进而求出 12 AD = 米，最后计算学校修建这道 栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵ABC 是直角三角形， 90 C = ． ∴ 2 2 2 AC BC AB + = ， 又∵AB 的长比AC 的长大1， ∴ 1 AC AB = −， ∴ 2 2 2 5 ( 1) AB AB = + − ， 解得 13 AB = ． （3）解：根据题意可得AD BC ⊥ ， 设BD x = 米，则 ( ) 14 CD x − = 米， 在Rt ABD 中， 2 2 2 AD BD AB + = ， 在Rt ACD 中， 2 2 2 AD CD AC + = ， ∴ 2 2 2 2 2 AD AB BD AC CD = − = − ，则 2 2 2 2 13 15 (14 ) x x − = − − ， 解得 5 x = ， ∴ 5 BD = 米， ∴ 2 2 2 2 13 5 12 AD AB BD = − = − = （米）， 学校修建这道栅栏需要投资：50 12 600 = （元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600 元．
