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专题 17.1 勾股定理之六大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 用勾股定理解三角形】....................................................................................................................1
【考点二 以直角三角形三边为边长的图形面积】........................................................................................3
【考点三 已知两点坐标求两点距离】............................................................................................................5
【考点四 勾股定理与网格问题】....................................................................................................................6
【考点五 勾股定理与折叠问题】....................................................................................................................8
【考点六 勾股定理的证明方法】..................................................................................................................11
【过关检测】............................................................................................................................................................17
【考点一 用勾股定理解三角形】
例题：（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，长方形 中， ， ， ，则
______．
【答案】4.8
【分析】利用长方形的性质得到 ，利用勾股定理计算出 ，利用面积法计算出 即可．
【详解】解：∵四边形 长方形，
∴ ，
在 中， ，∵ ，
∴ ．
故答案为：4.8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等积法求直角三角形的高，解题的关键是熟练掌握勾股定理求出
．
【变式训练】
1.（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，求BC边上的
高AD的长．
【答案】12
【分析】 为高，那么题中有两个直角三角形． 在这两个直角三角形中，设 为未知数，可利用勾
股定理都表示出 长．求得 长，再根据勾股定理求得 长即可．
【详解】解：设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
，
解得 ，
在 中， ．
【点睛】本题考查了勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用
了勾股定理进行解答．
2.（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，
于 ．求：(1) 的长和 的面积；
(2) 的长．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求得 的长；利用三角形的面积公式可求出 的面积；
（2）再根据三角形的面积公式是一定值求得 即可．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ，
，
．
【点睛】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边
长的平方是解题的关键．
【考点二 以直角三角形三边为边长的图形面积】
例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方形
B，C的面积分别为6，18，则正方形A的面积是（ ）A． B． C．12 D．24
【答案】D
【分析】由正方形的面积得 ， ，再由勾股定理得 ，即可得出结论．
【详解】解：如图，
正方形 ， 的面积分别为6，18，
， ，
，
，
正方形 的面积 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式训练】
1.（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图， 中， ，以 的三边为边向外
作正方形，其面积分别是 ， ， ，且 ， ，则 （ ）
A．20 B．12 C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：
， ，∴ ；
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2023春·贵州黔东南·八年级校联考期中）如图，以 的三边为直径分别向外作半圆，若斜边
，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】根据勾股定理可得 ，然后根据阴影部分的面积为三个半圆的面积之和即可求解．
【详解】∵ 是直角三角形， ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积和为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，熟记定理与圆的面积的求法是解题的关键．
【考点三 已知两点坐标求两点距离】
例题：（2023春·广东湛江·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是 ，则 的长
为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】直接根据勾股定理计算即可．
【详解】解： ，点 为坐标原点，．
答：线段 的长度为10．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边
长的平方．
【变式训练】
1.（2023春·广东中山·八年级中山市华侨中学校考期中）平面直角坐标系中，点 到原点的距离是
（ ）
A．4 B．3 C．7 D．5
【答案】D
【分析】根据M点坐标，直接利用勾股定理可求解点M到原点的距离．
【详解】解：∵ ，
∴点 到原点的距离是： ．
故选：D．
【点睛】本题考查的勾股定理的应用，掌握“已知两点坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键．
2.（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点 与点 之间的距
离为______
【答案】10
【分析】根据两点间的距离公式直接计算求解即可．
【详解】解：由两点间距离公式得： ，
故答案为：10．【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点间的距离公式，若平面内两点坐标为 ， ，则
这两点间的距离为 ．
【考点四 勾股定理与网格问题】
例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则 边上的高为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用等积法求解即可．
【详解】解：由正方形网格图可知， ， ， 边上的高为2，
∴根据三角形面积公式可得， 边上的高 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出 的长．
【变式训练】
1.（2023·全国·八年级假期作业）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三
个小格点，可得 ，则 边上的高是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 边上的高为 ，由题意知 ， ，则
，即 ，计算求解即可．
【详解】解：设 边上的高为 ，
由题意知 ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ 边上的高为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格．解题的关键在于熟练掌握割补法求面积以及等面积法．
2.（2023春·全国·八年级期中）如图，在 的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求：
(1) 的长；
(2) 边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)运用勾股定理计算即可．
(2)运用三角形面积不变性列式计算即可．
【详解】（1）由图可得，，
即 的长为 ．
（2）由图可得，
，
设 边上的高为x，
则 ，
即 ，
解得 ，
即 边上的高为 ．
【点睛】本题考查了网格上的勾股定理与图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【考点五 勾股定理与折叠问题】
例题：（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，
，将它沿折痕 折叠，使点A与点B重合，则 ___________．
【答案】
【分析】由折叠的性质得出 ，设 ，则 ．在 中运用勾股定理列方
程，解方程即可求出 的长．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
设 ，则 ．在 中，由勾股定理得： ，
解得： ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，设要求的线段长为x，然后根据折叠
和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程
求出答案．
【变式训练】
1.（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片， ，将
斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长是
____________________．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出 ，根据折叠的性质可知： ， ，进一步求出
，设 ，则 ，由勾股定理得 ，解得 ，则
．
【详解】解：在 中，由勾股定理得 ，
根据折叠的性质可知： ， ，
∵ ，∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得
∴ ，
解得
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键．
2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在 中， ．
(1)如图（1），把 沿直线 折叠，使点A与点B重合，求 的长；
(2)如图（2），把 沿直线 折叠，使点C落在 边上G点处，请直接写出 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 x，则 ，在 中用勾股定理求解即可；
（2）设 x，则 ，先根据勾股定理求出 ，再在 中，用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 是对称轴，
∴ ，
∵ ，设 ，则
在 中， ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
∴
（2）解：∵直线 是对称轴，
∴ ， ，
∵ ，设 ，则 ，
∴在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键．
【考点六 勾股定理的证明方法】
例题：（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公
式 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了
A．分类讨论思想 B．整体思想 C．数形结合思想 D．转化思想
（2）如图2， ， ，且 在同一直线上．求证： ；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年
4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．【答案】（1） ； ；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出即可，利用数形结合得出
答案；
（2）利用 ，得出 ，进而得出 ，即可得出答案；
（3）利用图形面积即可证出勾股定理．
【详解】解：（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出：
；
利用数形结合得出：在推得这个公式的过程中，主要运用了数形结合思想；
故答案为： ； ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积由数形结合思想得出等式是解题关键．
【变式训练】1.（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕
达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽
为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明
该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2
的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图
形中面积关系满足 的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为 、 ，直角三角形面积为 ，请判断 、 、 的关系______．
【答案】(1)①见解析；②
(2)(3)
【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②
图1中： ， ，即可得 ，图2中大正方形的面积为： ，据此即可
作答；
（2）根据题意得： ，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；
（3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角
形的面积，根据图形特点表示出（ + ），结合勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）①证明：
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即 ，化简得 ．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即 ，化简得 ．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即 ，化简得 ．
②在图1中： ， ，
图2中大正方形的面积为： ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴图2中大正方形的面积为29．
（2）根据题意得： ，如图4：
即有： ， ， ，
∴ ；
如图5：
， ， ，
∵ ，
∴ ；
如图6：下面推导正三角形的面积公式：
正 的边长为u，过顶点x作 ，V为垂足，如图，
在正 中，有 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴在 中，有 ，
∴正 的面积为： ，
∴ ， ，
∵
∴ ；
∴三个图形中面积关系满足 的有3个
故答案为：3；（3）关系： ，理由如下：
以a为直径的半圆面积为： ，
以b为直径的半圆面积为： ，
以c为直径的半圆面积为： ，
三角形的面积为： ，
∴ ，
即： ，
结合（1）的结论：
∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定
理的性质，从而完成求解．
一、单选题
1．（2023上·甘肃酒泉·八年级统考期末）已知在 中， ， ， ，则
的长为（ ）A． B．4 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了用勾股定理解直角三角形，算术平方根的性质，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定
义及其在直角三角形中的表示形式．利用勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方即
可求解．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ．
故选：C．
2．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点 ， 都在格点上，则线
段 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，建立格点三角形，利用勾股定理求解 的长度即可．
【详解】解：如图所示：
，
故选：C．
3．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在数轴上，点 表示实数3， 垂直数轴于点 ，
连接 ，以 为圆心， 为半径作弧，交数轴于点 ，则点 表示的实数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用勾股定理计算出 的长，然后再由题意可得 ，从而可得点C表示的数．本题
考查作图、实数与数轴、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：∵数轴上点A对应的数为3，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∵原点O为圆心，以 为半径画弧，交数轴于点C，
∴ ，
∴点C表示的数为 ．
故选：C．
4．（2023上·河南郑州·八年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）若 的两边a，b满足
，则第三条边c的值是（ ）
A．5 B． 或 C．5或 D．5或
【答案】C
【分析】本题考查了平方和算术平方根的非负性特点、利用平方根解方程以及勾股定理的应用，先求出a
和b的值，再设第三边为x，讨论斜边情况，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
又∵ ，
∴ ， ，∴ ， ，
设第三边长为x，由 ，则共有以下两种情况：
①当 时， （负值舍去），
②当 时，即 （负值舍去），
∴第三边长是5或 ；
故选：C．
5．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，阴影部分表示以 的各边为直径向上作三个半圆
所组成的两个新月形，面积分别记作 和 ．若 ，则 长是（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那
么 是解题的关键．
【详解】解：根据题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
二、填空题
6．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）已知直角三角形两直角边长分别为3和5，则斜边长为
.【答案】
【分析】根据勾股定理求解即可．本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形
中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么 ．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为3和5，
∴斜边长为 ，
故答案为： ．
7．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图， 中， ， 的垂直平分线交 于点 ．
若 ， ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理和三角形的面积，先根据线段垂直平分线的性质得到
，则 ，再利用勾股定理计算出 ，然后利用三角形面积公式求解．掌握线段垂直平
分线上的点到线段两端点距离相等这个结论是解题的关键．
【详解】解：∵ 的垂直平分线交 于点 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
故答案为： ．8．（2023上·山东威海·七年级文登区实验中学校联考期中）如图，在 中， 是 的
角平分线， 于点 ，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理和角平分线的性质，解题时，采用了面积法列出方程，通过解方程求得
相关线段的长度，利用勾股定理求得 ，利用角平分线的性质推知 ；设 ，然后
然后根据面积法列出关于x的方程并求解即可．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ， ．
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ．
设 ，
∴ ，
即 ．
解得 ．
即 ．
故答案为： ．
9．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期中）如图，在 中， ， ，点 是 边
上一动点，连接 将 沿着线 翻折后得 ，当 时， 的长是
．【答案】 或
【分析】本题考查翻折变换，勾股定理解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质；作 于 ，
勾股定理求得 ，根据等腰三角形的性质，进而求得 ．分两种情形分别画出图形，勾股
定理解直角三角形求出 ， 即可解决问题．
【详解】解：如图 中，作 于 ．
， ， ，
，
，
，
，
，
，
．
如图 中，当点 在 上时同理可得综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
10．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，长方形 中， 为 边上一点，
．点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边 向终点 运动，连接 ．设点 运动的
时间为 秒．当 为 时， 是等腰三角形．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用；根据矩形的性质求出 ，
，求出 后根据勾股定理求出 ；过 作 于 ，过 作 于 ，求出
，当 时， ，即可求出 ；当 时，求出 ，即可求出 ；当
时，则 ，求出 ，即可求出 ．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，在 中， ， ， ，由勾股定理得： ；
过 作 于 ，过 作 于 ，
则 ， ，
若 是等腰三角形，则有三种可能：
当 时， ，
所以 ；
当 时， ，
所以 ；
当 时，设 ， ，则 ，
则 ，
解得： ，
则 ，
综上所述 的值为 或 或 时， 为等腰三角形．
故答案为： 或 或 ．
三、解答题
11．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在 中， ， 是 的平分线，
．(1)求证： ．
(2)若 ， ，则 ________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质及判定：等边对等角、等角对等边及三线合一的性
质，勾股定理，熟记性质定理是解题的关键．
（1）利用平行线的性质及等腰三角形的性质及判定即可证明；
（2）利用三线合一的性质，勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2） 中， ， 是 的平分线，
， ，
在 中,
故答案为：13．
12．（2023上·河南周口·八年级校考期中）如图，在 中， ，a，b，c分别是 ， ，
的对边长，且 ， ，求 的面积．
【答案】 的面积是6
【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，求出 的值，即
可确定出直角三角形的面积．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ．
答： 的面积是6．
13．（2023上·四川达州·八年级校考期中）如图网格中，每个小正方形的边长为1，规定顶点在小正方形的
顶点的图形叫网格图形，图中 是网格三角形．
(1)求 的长
(2)求 的面积
(3)在网格中画一个面积为10的网格正方形
【答案】(1)
(2)
(3)图见解析
【分析】本题考查勾股定理与网格问题．
（1）勾股定理求 的长；
（2）分割法求三角形的面积即可；
（3）根据题意画出一个边长为 的正方形即可．
掌握勾股定理，是解题的关键．【详解】（1）解：由勾股定理，得： ；
（2） 的面积为
（3）如图所示：四边形 即为所求．
14．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，点 从点
出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动．设点 的运动时间为 秒 ．
(1) ．
(2)若点 在 的角平分线上，求 的面积．
(3)当 时，求 的值．
(4)当 是等腰三角形时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
(4) 或 或
【分析】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；
（1）由勾股定理可求得 的值；
（2）根据角平分线的性质求得 ，然后依据三角形的面积计算公式解答即可；
（3）利用勾股定理求得 ，进而得到 ，求出 的值即可；
（4）分 作为底和腰两种情况讨论即可．
【详解】（1） 在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
故答案为： ；
（2）过点 作 于点 ，如图 所示：
，
，
点 在 的角平分线上， ，
，
又 ，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
解得： ，的面积为 ；
（3）如图2，
，
∴ 或
∴ 或 ；
（4）当 作为底边时，如图3所示：
则 ，设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
此时 ；
当 作为腰时，如图4所示：，此时 ；
时，
，
，
此时 ，
综上， 的值为 或 或 ．
15．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可
以得到一个数学等式．因此，我们可以通过这种方式来研究某些公式或者定理．
(1)如图 所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法
计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是_______________；
(2)如图 所示，四边形 是由两个全等的直角三角形 和直角三角形 以及另外一个 无
缝拼成．若 ， ， ， ， ．试通过上述方法探究 三者
之间的等量关系；
(3)如图 所示，四边形 中， ， ．若以 为边的正方形的面积为 ，以 为
边的正方形的面积为 ，利用上述方法或者结论，求以 为边的正方形的面积．
【答案】(1) ；(2) ；
(3) ．
【分析】（ ）根据大正方形的边长为 ，而大正方形由两个边长为 ， 的正方形和两个长为 ，
宽为 的长方形组成即可得出答案；
（ ）由全等三角形的性质得出 ， ，由梯形的面积及三角形的面积公式可得出答
案；
（ ）由勾股定理可得出答案；
本题考查了完全平方公式的应用，勾股定理，全等三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定
理，正确理解并运用数形结合思想方法是解题的关键．
【详解】（1）依题意得： ，
故答案为： ；
（2）由题意可知 ， ， ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是梯形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵以 为边的正方形的面积为 ，以 为边的正方形的面积为 ，
∴ ， ，如图，连接 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴以 为边的正方形的面积为 ．
16．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以
下探究．
【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片 中， ， ，将 沿 折叠，使点A与点B重合，折痕和
交于点E， ，求 的长；
【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片 沿着对角线 折叠，使点C落在 处， 交 于E，若 ，
，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片 中， ， ，点E为射线 上一个动点，把 沿直线 折
叠，当点A的对应点F刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)．
【答案】(1 ；(2 ；(3) 的长为 或10
【分析】（1）求出 ，再由折叠的性质得 ，然后由勾股定理求出 的长即
可；（2）由长方形的性质得 ， ， ，再证 ，得 ，设
，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况，①当点 在长方形内部时，由折叠的性质得 ， ，再由勾股定理得
，设 ，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当点 在长方形外部时，折叠的性质得 ， ，同①得 ，设 ，则
，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1） ， ，
，
由折叠的性质得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的长为 ；
（2） 四边形 是长方形，
， ， ，
，
由折叠的性质得： ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
（3）解： 四边形 是长方形，
， ，
设线段 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
则 ，
分两种情况：
①如图 ，当点 在长方形内部时，点 在线段 的垂直平分线 上，
， ，
由折叠的性质得： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
②如图 ，当点 在长方形外部时，
由折叠的性质得： ， ，
同①得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
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综上所述，点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， 的长为 或 ．
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【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段
垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理
是解题的关键，属于中考常考题型．
