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专题 17.3 勾股定理的逆定理之五大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 判断三边能否构成直角三角形】....................................................................................................1
【考点二 在网格中判断直角三角形】............................................................................................................3
【考点三 利用勾股定理的逆定理求解】........................................................................................................6
【考点四 勾股定理逆定理的实际应用】......................................................................................................10
【考点五 勾股定理逆定理的拓展问题】......................................................................................................13
【过关检测】............................................................................................................................................................17
【典型例题】
【考点一 判断三边能否构成直角三角形】
例题：（2023下·安徽合肥·八年级合肥38中校考期中）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形
的是（ ）
A．1， ， B． ，3，5 C．1，2，3 D．2，3，4
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那
么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即
可．
【详解】解：A、∵ ，
∴三边长为1， ， ，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵ ，∴三边长为 ，3，5，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵ ，
∴三边长为1，2，3，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵ ，
∴三边长为2，3，4，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式训练】
1．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）由线段a，b，c组成的三角形不是
直角三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那
么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即
可．
【详解】解：A、∵ ，
∴线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵ ，
∴线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵ ，
∴线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵ ，
∴线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选D．2．（2023上·贵州贵阳·八年级校考期中）已知a，b，c满足 ．
(1)求a，b，c的值；
(2)试问：以a，b，c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角
形，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)能构成直角三角形，
【分析】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，本题中证明三角形是直角三角形是解决本题的关
键．
（1）根据非负数的性质可求出 、 、 的值；
（2）首先利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，利用面积公式求解．
【详解】（1）根据题意得： ， ， ，
解得： ， ， ．
（2）能构成直角三角形，
，
，
，
以 、 、 为边长的三角形是直角三角形．
三角形的面积是： ．
【考点二 在网格中判断直角三角形】
例题：（2023上·山东淄博·七年级统考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格
的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的 ，请根据所学的知识回答下列问题：(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的面积．
【答案】(1) 是直角三角形
(2)2
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理．
（1）利用勾股定理和逆定理进行判断即可；
（2）利用分割法求 的面积即可．
【详解】（1）解： 是直角三角形，
理由： ， ， ，
所以 ，
所以 是直角三角形；
（2） 的面积： ．
【变式训练】
1．（2023上·广东佛山·八年级校考期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)求 的周长；
(2)求证： ；
(3)求 的面积．
【答案】(1)(2)见解析
(3)5
【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，求网格中三角形的面积，
（1）利用勾股定理求得 的每条边长，相加即可；
（2）根据 三边的平方之间的关系，即可证明；
（3）利用三角形面积公式，即可得到 的面积，熟练运用勾股定理求得三角形的边长，想到求
则需要利用边长的关系，是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
，
的周长为 ；
（2）解： ，
，
为直角三角形，即 ；
（3）解： ．
2．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图， 网格中每个小正方形的边长都为 ， 的顶点均
为网格上的格点．
(1) __________， __________， __________；(2) 的形状为__________三角形；
(3)求 中 边上的高__________．
【答案】(1) ， ，
(2)直角
(3)
【分析】（1）本题主要考查网格中的勾股定理，直接计算即可求解．
（2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形状，直接把三边长度分别平方，可以发现
即可判定三角形的形状．
（3）考查利用等面积法求斜边上的高，直接计算就可以求解．
【详解】（1）由题可知， ；
；
．
（2）解：∵ ， ， ；
∴ ；
∴ 为直角三角形．
（3）如下图，过点 作 的垂线，垂足为 ；
∴ ；
∵ 是直角三角形；
∴ ；
∴ ；
∴ ．【考点三 利用勾股定理的逆定理求解】
例题：（2023上·河南周口·八年级统考期中）如图，已知等腰 的腰 ，D是腰 上一点，
且 ， ．
(1)求证： 是直角三角形．
(2)求 的周长．
【答案】(1)证明过程见详解
(2) 的周长为
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理逆定理判定直角三角形的运用，掌握勾股定理的运用
是解题的关键．
（1）根据题意，分类讨论，①当 时；②当 时；运用勾股定理的逆定理即可
求解；
（2）根据（1）中可知 是直角三角形，运用勾股定理可求出 的值，由此即可求解．
【详解】（1）证明：已知等腰 的腰 ，
①当 时，在 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ 是直角三角形，即 ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
②当 时，在 中， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 不是直角三角形，与上述证明矛盾，
∴ 是以 的等腰三角形；
∴ 是直角三角形．
（2）解：由（1）可知， 是以 的等腰三角形， 是直角三角形，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
即 的周长为 ．
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考阶段练习）如图，在 中， 是边 的
垂直平分线，且 ，延长 ， 交于点F，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理．
（1）连接 ，利用线段垂直平分线的性质得到 ．再结合已知得到 ，推出
是直角三角形，即可证明 ；
（2）设 ，则 ，利用 ，构造方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是边 的垂直平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ 是直角三角形．
∴ ；
（2）解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
解得 ．
∴ ．
2．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图， 中， 为 边上的一点，连接 并延长，过点A
作 ，垂足为 ，若 ， ， ， ．(1)试说明 为直角；
(2)记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的值为 ．
【答案】(1)见解析
(2)66
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积．
（1）根据勾股定理求出 ，进而推出 ，据此即可得解；
（2）根据题意推出 ，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
， ，
∴ ，
， ， ，
，
是直角三角形，且 为直角；
（2）解： ， ，
， ，
，
， ，，
故答案为：66．
【考点四 勾股定理逆定理的实际应用】
例题：（2023上·广东佛山·八年级阶段练习） 年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在
创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知 ， ，
， ， ．
(1)求 的长度；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为 元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】(1) 的长度为
(2)共需花费 元
【分析】（1）根据题意可知，在 中，根据勾股定理即可求解；
（2）运用勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴在 中， ，
∴ 的长度为 ．
（2）解：已知 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ 是直角三角形，∴ ， ，
∴空地的绿化的面积为 ，
∵平均每平方米空地的绿化费用为 元，
∴绿化这片空地共需花费 （元），
∴共需花费 元．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·八年级校考开学考试）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点
A，B，其中 ，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D
（A、D、B在同一条直线上），测得 千米， 千米， 千米，
(1)问 是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线 的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)路线 的长为 千米
【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明 ，根据垂线段最短可得答案；
（2）设 千米，则 千米，利用勾股定理列出方程，再解即可．
【详解】（1）解：是，
理由： 千米， 千米， 千米，
又 ，
，
为直角三角形，
，
是从村庄C到河边最近的路；（2）解：设 千米，则 千米，
，
，
解得： ，
答：路线 的长为 千米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理和逆定理，关键是表示出直角三角形的三边长，利用勾股定理列出方程．
2．（2023下·河南周口·八年级校考期中）图1是某品牌婴儿推车，图2为其简化结构示意图．根据安全标
准需满足 ，现测得 ， ， ，其中 与 之间由一个固定
为 的零件连接（即 ）．
(1)该车是否符合安全标准；
(2)请说明你的理由．
【答案】(1)符合安全标准
(2)理由见解析
【分析】（1）根据题中要求，安全标准是 ，利用勾股定理及其逆定理验证即可得到答案；
（2）由题中数据，利用勾股定理及其逆定理验证即可得得证 ．
【详解】（1）解：符合安全标准；
（2）解：由（1）知，符合安全标准，
理由如下：
， ， ，
由勾股定理可得 ，
在 中， ， ， ，则 ， ， ，，即 是直角三角形，且 ，
，该车符合安全标准．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，读懂题意，灵活运用勾股定理及其逆定理求解是解决问题
的关键．
【考点五 勾股定理逆定理的拓展问题】
例题：（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期中）定义：a，b，c为正整数，若 ，则称
c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如 ，则13是“完美勾股数”，5，12是
13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知 的三边a，b，c满足 ． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m， 且 ， ， ， ，c为“完美勾股数”，
a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式 有一个因式 ，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入 ，根据多项式 有一个因
式 ，求解即可．
【详解】（1）解： ，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；（2）证明：
，
，
是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得： ，
，
，
，
，
，
又 ，
，即 ，
，
有一个因式为 ，
，
∴另一个因式为 ．
【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级专题练习）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，
MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若 ， ， ，则点M、N是线段
AB的勾股分割点吗？请说明理由；(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 ， ，求BN的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)BN＝12或13
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋
BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋
MN2，分别列出方程即可解决问题．
【详解】（1）是．理由如下：
∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，
即（25−x）2＝x2＋25，
解得x＝12；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（25−x）2，
解得x＝13，
综上所述，BN＝12或13．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．
2．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究
的形状（按角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
(3)① ；② ；③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，
反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出 ，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当 三边分别为6、8、9时， 为锐角三角形
当 三边分别为6、8、11时， 为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当 时， 为锐角三角形；
当 时， 为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时， ；
当 为锐角三角形时， ，
；
当 为钝角三角形时， ，
则 的取值范围为 ，
两边之和大于第三边，
．【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）
A．1，1，2 B．1， ， C．2，3，4 D．4，5，6
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 满足 ，那么这个三角形就是直角三角形，由此即
可判断．
【详解】解：A、 ，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、 ，能构成直角三角形，故B符合题意；
C、 ，不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、 ，不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选：B．
2．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1．点
A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为5 D．点A到 的距离是1.5【答案】D
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握
勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理及其逆定理判定A，利用勾股定理求出 长可判定B；利用网格图计算三角形的面积可判定
C；利用面积公式求出 边 的高，即可利用点到直线的距离判定D．
【详解】解：A、 ， ， ，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，本选项结论正确，不符合题意；
C、 ，本选项结论正确，不符合题意；
D、点A到 的距离 ，本选项结论错误，符合题意；
故选：D．
3．（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）如果一个三角形的三边 满足关系式
，那么这个三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据非负数之和为0，得出方程组 ，进而根据勾股定理的逆定理，进行计算
即可求解．
【详解】解：∵
∴
解得：
∴∴这个三角形是直角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，算术平方根的非负性，绝对值的非负性；求
得 的值是解题的关键．
4．（2023上·四川达州·八年级校考期中） 的三边分别为a，b，c，则以下列长度为三边的三角形
是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理和逆定理，根据三边能构成直角三角形，则三边同时扩大或缩小相同的倍数，
仍能组成直角三角形，进行判断即可．
【详解】解：∵ 的三边分别为a，b，c，
∴把a，b，c，同时扩大或缩小相同的倍数，仍能构成直角三角形，
∴ 为三边的三角形是直角三角形，
故选C．
5．（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）如图，在四边形 中，
，且 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出 ，则可证明
，可以得到 是直角三角形，且 ，再由 进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
故选B．
二、填空题
6．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）三角形的三边长分别是 ，可以判断这是 三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查勾股定理的逆定理；由勾股定理的逆定理可知，该三角形为直角三角形．
【详解】解：∵ ，
∴该三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
7．（2023下·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为 ，则
是 三角形．【答案】直角
【分析】根据勾股定理和结合正方形网格分别求出 、 、 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出
的形状．
【详解】解：依题意，根据勾股定理得，
，
，
；
∵
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
故答案为：直角
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，充分利用网格是解题的关键．
8．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）如图， ， ， ， ，
，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定
理的逆定理即可解答．
【详解】解： ， ， ，
， ，
， ，
，
是直角三角形， ，
，故答案为： ．
9．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）已知 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c满足
，则 的面积为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理．熟练掌握非负数的性质和勾股定理逆定理是解题关键．
根据平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，即可求出 ，从而可得出
，即证明 为直角三角形，且a，c为直角边，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且a，c为直角边，
∴ 的面积为 ．
故答案为： ．
10．（2023上·河北保定·八年级校联考阶段练习）如图，某小区有一块四边形空地ABCD，为了美化小区
环境，现计划在空地上铺上草坪，其中 ， ， ， ， ．（1）连接AC，则 m．
（2）这块草坪的面积为 ．
【答案】 5 36
【分析】（1）利用勾股定理解 即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理可得 为直角三角形，
即可求解．
【详解】解：（1）如图：
∵ ， ，
∴
故答案为：5
（2）∵ ， ，
∴
故 为直角三角形
∴这块草坪的面积为：
故答案为：36
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．熟记定理内容是解题关键．
三、解答题
11．（2023上·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图是一块地的平面图， ， ， ，
， ．(1)求A、C两点间的距离；
(2)求这块地的面积．
【答案】(1)5
(2)24
【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用．
（1）连接 ，利用勾股定理即可求出A、C两点间的距离．
（2）利用勾股定理的逆定理，证明 ，进而求出 ，最后根据 即
可求出答案．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ．
即A、C两点间的距离为5．
（2）在 中，
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ ．
即这块地的面积为24．
12．（2023上·河南平顶山·八年级校联考期中）如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形 的面积；
(2)求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）利用网格割补法求面积进行求解即可；
（2）先用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行求解即可．
【详解】（1）四边形 的面积 ；
（2）解：连接 ，
根据勾股定理得 ， ，
， ，
， ， ，
∴ ，
∴ ．13．（2023上·陕西渭南·八年级统考期末）如图， 中，D是 边上的一点，若A
．
(1)求证： ；
(2)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形，是解题的
关键．
（1）利用勾股定理逆定理，得到是直角三角形，即可证明；
（2）在中，利用勾股定理求得 ，从而求得,最后利用三角形的面积公式，进行计算求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴．
14．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在 中， ， ，
，点D、E分别在AB、AC上，连接DE．
(1)求证： ；
(2)若 为线段 的垂直平分线，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握直角三角形
两直角边平方和等于斜边平方；垂直平分线上的点到两端距离相等．
（1）根据勾股定理逆定理，得出 是直角三角形，即可求证；
（2）连接 ，根据垂直平分线的性质得出 ， ．设 ，则 ．
根据勾股定理可得 ，列出方程求出 ，则 ， ，最后根
据 即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图．∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴ ， ．
设 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
15．（2023上·广东佛山·八年级校联考期中）已知：在四边形 中， ，
．
(1)求 的长．
(2) 是直角三角形吗？如果是，请说明理由．
(3)求这块空地的面积．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关
键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型．（1）利用勾股定理 ，求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明 即可；
（3）把四边形的面积转化为两个三角形的面积和求解即可．
【详解】（1）解：在 中， ，
∴ ．
（2）解：结论： 是直角三角形．
理由：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
（3）
16．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）在 中， ，D为 内一点．连接 ， ，
延长 到点E，使得 ．
(1)如图1，延长 到点F．使得 ．连接 ， ．求证： ；
(2)连接 ，交 的延长线于点H．依题意补全图2．若 ．判断 与 位置关系．并
证明．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，证明见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆定
理．
（1）利用“ ”证明 ，即可得证结论；
（2）延长 至点M，使 ，延长 交 于G，连接 ， ，由（1）同理可得
，得到 ， ，由 ， ，可得 ，从而有
，证得 ，进而根据 得到 ，得证 ．
【详解】（1）在 和 中，
∴ ，
∴
（2） ，理由如下：
延长 至点M，使 ，延长 交 于G，连接 ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
17．（2023上·江苏南京·八年级校考期中）数学老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
2
a 3 8 15 …
4
1
b 4 6 8 …
0
2
c 5 10 17 …
6
由表可知，当 时， ；当 时， ；
(1)当 时，b＝ ，c＝ ．
(2)请你分别观察a，b，c与n（ ）之间的关系．
a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(3)猜想以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
【答案】(1)12，37
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是仔细观察表中的数据，找出规律，进而利用勾股定
理的逆定理解决问题．
（1）观察表格，即可得出 时a、b、c的值；
（2）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是 加、减1，即可得出答案；
（3）计算出 的值以及 的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．【详解】（1）解：由图表可以得出：
∵ 时， ，
时， ，
时， ，
时， ，
∴ 时， ；
（2）解：由规律可得： ；
（3）解：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
证明：∵ ，
，
∴ ，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
18．（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
，
(1)求证： ；
(2)求证： ， ；
(3)求证： （提示：尝试用两种不同的方法表示梯形 的面积）；
【答案】(1)见解析(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理的运用，三角形的面积，梯形，等腰直角三角形．
（1）由勾股定理的逆定理可得出结论；
（2）由三角形外角的性质得到 ，由 即可证明 ，得到
；
（3）由梯形，三角形面积公式即可证明问题．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
；
（2）证明： ，
，
，
，
；
（3）证明：∵梯形 的面积 ，
梯形 的面积 ，
，
，
．
