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第一章 直角三角形的边角关系（北师大版）
选拔卷
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BD是AC边上的高线，DC＝1，则BD的长等于( )
A．2 B．3
C．4 D．√10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知AC=5=AB和CD=1可求得AD=4然后根据勾股定理求得BD=3，勾股定理的内容是在直
角三角形中有两条直角边的平方和等于斜边的平方即可.
【详解】
解：∵BD⊥AC
∴∠ADB=90°
∵AC=5， CD=1
∴AD=4
∵AB=5
∴BD=√AB2−AD2 =3.
故答案选：B.
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识，勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
即可解答，本题根据AC=5，CD=1可求出AD=4，然后根据勾股定理求BD的值.
2．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在矩形ABCD中， ， ，点C沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，线段BE交AD于点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先证明△ABF≌△DEF，再求出EF，故可求解．
【详解】
∵在矩形ABCD中， ， ，
∴AD=BC=4
∵点C沿对角线BD折叠，得到△EDF
∴DE=DC=AB
又∠A=∠E=90°，∠AFB=∠EFD
∴△ABF≌△DEF，
∴BF=DF，AF=EF
设EF=x=AF，则DF=4-x
在Rt DEF中，DF2=EF2+DE2
即（4△-x）2=x2+32
解得x=
∴EF= ，
∴ =
故选A．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知勾股定理、全等三角形的判定与性质．
3．（2021·山东广饶·九年级期中）如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的
边长均为1，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】
连接BC，AB= ，BC= ，AC= ，得到△ABC是直角三角形，从而求解．
【详解】
如图，连接 ，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴由勾股定理得， ， ，
∵ ，
∴△ABC是直角三角形，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形，勾股定理；熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是
解题的关键．
4．（2021·全国·九年级课时练习）如果 ，那么 ＝（ ）．
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】
利用因式分解法求出 的值，再根据 可得最终结果．
【详解】
解：原方程可化为： ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是解一元二次方程以及锐角三角函数的定义，熟记正弦的取值范围是解此题的关
键．
5．（2021·河南永城·九年级期末）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据 米， ，
设树顶到地面的高度 米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据∠β=45°，得出BC＝CD＝x，再根据 ，用它的正切列方程即可．
【详解】
解：∵ ，
∴BC＝CD＝x，
∵AB＝30，
∴AC＝x+30，
∴tan28°＝ ，
∴x＝（x+30）tan28°，
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
6．（2021·吉林二道·一模）如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：①在射线 上顺次
截取 ，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连结 、 、
，则下列说法错误的是（ ）
A． 为等边三角形 B． 的面积为
C． D．
【答案】B
【分析】
根据等边三角形的判定和性质、特殊角的三角形函数值、三角形的外角性质分别求出正确答案，即
可判断．
【详解】
根据作图步骤，知：BC=BE=CE=a，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC=∠BEC=60 ，∵AB=BE=a，
∴∠A=∠AEB= ∠EBC=30 ，
∴ ，
∴∠AEC=∠AEB +∠BEC=90 =3∠A，
故选项A、C、D正确，均不符合题意；
过E作EF⊥BC于F，
∴ ，
∴ ，故选项B错误，符合题意；
故选：B
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、特殊角的三角形函数值、三角形的外角性质，正确的识别图
形是解题的关键．
7．（2021·河南镇平·九年级期中）如图给出了一种机器零件的示意图，其中 米、 米，则
的长为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米【答案】C
【分析】
如图，作 交 的延长线于 作 交 的延长线于F， 证明四边形 为矩
形，可得 再求解 可得
再代入数据可得答案.
【详解】
解：如图，作 交 的延长线于 作 交 的延长线于F，
而
四边形 为矩形，
在 中，
在 中，
当 米、 米，米，
故选：C
【点睛】
本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，熟练的构建需要的直角三角形是解题的关
键.
8．（2021·陕西陇县·一模）如图，在 中， ， ， 平分 交 于
点 ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过 点作 于 ，连接 ，如图，根据线段垂直平分线的性质得到 ，则
，再证明 得到 ，接着计算出 、 ，然后计算出
，从而得到 的长．
【详解】
解：过 点作 于 ，连接 ，如图，
垂直平分 ，
，
，
平分 ，
，，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活
运用所学知识解决问题．
9．（2021·重庆八中二模）在Rt ABC中，∠A＝90°，tan∠C＝ ，E为AC上一点，且CE＝
5AE，点D为BC中点，把 CDE沿ED翻折到 FDE，且EG＝ ，则DF的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D【分析】
连接CF，延长ED交CF于点T，过点G作GH⊥DE于H，过点D作DP⊥AC于P,设AE＝a，EC＝
5a，AC＝6a，首先证明tan∠CET＝ ，再证明DT＝TC，推出∠GDH＝∠CDT＝45°，
构建方程求出a，即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接CF，延长ED交CF于点T，过点G作GH⊥DE于H，过点D作DP⊥AC于P,
∵EC＝5AE，
∴可以假设AE＝a，EC＝5a，AC＝6a，
∵∠DPC＝∠A＝90°，
∴DP//AB，
∵BD＝CD，
∴AP＝PC＝3a，PE＝2a，
∵tan∠ACB＝ ，
∴PD＝a，
∴tan∠CET＝ ，
∵EC＝5a，
∴CT＝ a，ET＝2 a，
∵DE＝ a，
∴DT＝CT＝ a，
∴∠TDC＝∠TCD＝45°，由翻折的性质可知DC＝DF，∠DEP＝∠DEG，
∴tan∠DEG＝tan∠DEP＝ ，
∵EG＝ ，
∴GH＝ ，EH＝ ，
∵∠GDH＝∠CDT＝45°，
∴GH＝DH＝ ，
∴DE＝ a＝ ，
∴a＝ ，
∵DF＝CD＝ a＝2 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查正切、勾股定理、翻折的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）如图，已知 中， ， ，
分别为 ， 的中点，连结 ，过 作 的平行线与 的角平分线交于点 ，连结 ，
若 ， ，则 的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，设DF=x，运用三角形中位线定理、
全等三角形的性质以及锐角三角函数定义构建方程，求出x即可得出答案．
【详解】
解：延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，
设DF=x，
∵DH∥AC，D为BC的中点，
∴H为AB的中点，
∴BH=AH，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH= AC=1，
∴FH=1-x，
∵FA平分∠CAB，FE⊥AC，FT⊥AB，
∴FE=FT，
∵E为AC的中点，FE⊥AC，
∴CF=AF，
在Rt CFE和Rt AFT中，
△ △
，
∴Rt CFE≌Rt AFT（HL），
∴AE△=AT=1， △
∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，∴FH=AH=BH=1-x，
∴TH=1-（1-x）=x，
∵∠C=∠BDH=∠TFH，
∴sin∠C=sin∠TFH，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∵DE= ，
∴ .
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义等知识，解
题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
11．（2021·广东花都·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个 ，∠ABO＝90°，
∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将 绕原点逆时针
旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA＝2OA）．得到 ，同理，将
1
绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到 ，…，依此规律，得
到 ，则 的长度为（ ）A． B． ×22020 C． ×22021 D． ×22019
【答案】B
【分析】
根据余弦的定义求出OB，根据题意求出OB，根据题意找出规律，根据规律解答即可．
n
【详解】
解：在 中， ， ，
∴ ，
由题意得， ，
，
，
……
，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是坐标与旋转规律问题、锐角三角函数，正确得到图形的变化规律是解题的关键．
12．（2021·江苏·南通田家炳中学模拟预测）如图1， 为矩形 边 上一点，点P从点B出发沿折线 运动到点C时停止，点Q从点B出发沿 运动到点C时停止，它们运动
的速度都是 ．若P，Q同时开始运动，设运动时间为 ， 的面积为 ．已知y
与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A．当 时， B．
C．当 时， D．当 时，
【答案】C
【分析】
根据图象可以得到 时， ，从而可以判断A；根据图象可以得到 和 的长
度，从而可以判断B；根据函数图象可以求得在 时，求得 底边 上的高，从而可
以得到 的面积，从而可以判断C；根据题意可以求得在 时，点Q与点C重合，点P运
动到边 上，与D点相距 ，在 中利用三角函数定义求解，从而判断D．
【详解】
解：A、由图2可知，当 时， ，故A正确；
B、由图象可知， ，故B正确；
C、作 于点F，作 于点M，如下图所示，由图象可知，三角形 的最大面积为40，
∴ ，
解得 ，
当 时， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ 的面积 ，
即 ，故C正确；
D、当 时，点Q与点C重合，
由图象可知， ，
所以点P运动到边 上，且 ，如下图所示，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故D错误；
故选D．【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形函数，解题的关键是
明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．（2021·全国·九年级专题练习）已知 是锐角， ，则 ________．
【答案】
【分析】
根据 设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出
的值．
【详解】
解：在Rt ABC中，∠C＝90°，则 ， 和a2+b2＝c2，
△
由 知，设a＝5x，则b＝12x，
∵a2+b2＝c2
∴c＝13x．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利
用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
14．（2021·湖南新邵·九年级期末）已知 是 的三个内角，若，且 均为锐角，则 的度数为__________．
【答案】
【分析】
先根据非负性和特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理即可求得∠C
的度数．
【详解】
解：∵ ，
∴ ， ，
∵ 均为锐角，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∵ 是 的三个内角，
∴∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°，
故答案为：75°．
【点睛】
本题考查绝对值和偶次方的非负性、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三
角函数值是解答的关键．
15．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级期中）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学
兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30
角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）
【答案】 米
【分析】设 ，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出 和 ，然后求解即可．
【详解】
解：设 米
在 中， ，则
在 中， ，则
，即 ，解得
即 米
故答案为 米
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以
及特殊角的正切值．
16．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级期中）已知△ABC是以AB为一腰的等腰三角形，
AB＝5，tan∠BAC＝ ，则△ABC的底边长为_________．
【答案】 或8
【分析】
本题需要分两种情况讨论，（1）∠BAC为底角时；（2）∠BAC为顶角时，以此求出底边边长．
【详解】
解：由题意得，（1）如图1，AB=AC=5时，过点B作BD⊥AC于D
∵tan∠BAC＝ =
∴BD=3k，AD=4k，
由勾股定理得：
即：
∴
∴ 或 （舍去）
∴
∴AD=4，BD=3
∴DC=1
∵
∴
（2）如图2，
AB=BC=5时，过点B作BE⊥AC于E
∵tan∠BAC＝ =
∴BE=3k，AE=4k，
由勾股定理得：
即：
∴
∴ 或 （舍去）
∴
∴AE=4，BE=3
∵AB=BC，BE⊥AC
∴AC=2AE=8故答案为： 或8．
【点睛】
本题解题的关键在于等腰三角形的多种情况，需分类讨论．
17．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知菱形ABCD的对角线经过原点O，且∠B＝60°，A、
C分别在双曲线y＝ 的图象上，若B在双曲线y＝ 的图象上，则k的值为_____．
【答案】-9
【分析】
如图作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．连接OB．首先证明 ，然后通过证得 ，
根据反比例函数的几何意义即可解决问题．
【详解】
解：如图作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．连接OB．
∵A、C关于原点对称，
∴OA＝OC，
∵BC＝AB，OA＝OC，∠ABC＝60°，
∴OB⊥AC， ，
∴
∵∠BFO＝∠BOA＝∠AEO＝90°，
∵∠BOF+∠AOE＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠OAE，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为﹣9．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数与几何的综合应用，涉及了反比例函数的性质、相似三角形、三角函数
等有关知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
18．（2021·重庆·字水中学九年级期中）如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边的中点，连接
AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接CE，若BC＝3 ，tan∠ECB＝ ，则△AEC的
面积为______．
【答案】 ##
【分析】通过作辅助线得出S ＝S ，根据等腰三角形的性质，可求出S ，进而得出答案．
AEC DEC DEC
△ △ △
【详解】
解：连接BE，过点D作DM⊥EC，垂足为M，
∵点D是BC边上的中点，BC＝3 ，
∴BD＝CD＝ ，
由折叠得，BD＝DE，AD⊥BE，
∴DE＝DB＝DC，
∴∠DBE=∠DEB，∠DEC=∠DCE，
又∵∠DBE+∠DEB+∠DEC+∠DCE=180°，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC，
∴EC∥AD，
∴S ＝S ，
AEC DEC
△ △
在△DEC中，DE＝DC＝ ，DM⊥EC，
∴ME＝MC，
∵tan∠ECB＝ ＝ ，
设MC＝2m，则DM＝ m，
由勾股定理得，DM2＋MC2＝DC2，
即4m2＋5m2＝（ ）2，解得m＝ ，
∴DM＝ ，MC＝ ，∴S ＝ EC•DM＝ × ×2 = ，
DEC
△
∴S ＝S = ．
AEC DEC
△ △
故答案是： ．
【点睛】
本题考查直角三角形的边角关系、等腰三角形、折叠轴对称的性质等知识，求出等腰三角形EDC
的面积是解决问题的关键．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在等腰Rt ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，
△
若tan∠DBA= ，则AD的长为多少?
【答案】AD=2
【分析】
作DE⊥AB于E，先利用勾股定理求出 ，然后证明△ADE是等腰
直角三角形，得到AE=DE，设AE=x，则DE=x，则 ，在Rt BED
△
中， ，则BE=5x，再由 即可求解．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，如图，
∴∠AED=∠DEB=90°
∵∠C=90°，AC=BC=6，∴ ，∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE
在Rt ADE中，设AE=x，则DE=x，
△
∴
在Rt BED中， ，
△
∴BE=5x，
∴ ，
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟
练掌握解直角三角形的方法．
20．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，BC＝ ，∠B＝
30°，∠C＝45°，求△ABC的面积．
【答案】
【分析】作AD⊥BC与D，如图，设AD＝x，在Rt ABD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BD＝
△
AD＝ x，在Rt ADC中根据等腰直角三角形的性质得CD＝AD＝x，则
△
x＋x＝ ，解得x＝2，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：作AD⊥BC与D，如图，
设AD＝x，
在Rt ABD中，∵∠B＝30°，
△
∴BD＝ AD＝ x，
在Rt ADC中，∵∠C＝45°，
∴CD△＝AD＝x，
而BD＋CD＝BC，
∴ x＋x＝ ，解得x＝2，
即AD＝2，
∴△ABC的面积＝ × ＝ ．
【点睛】
本题考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．掌握
解直角三角形是解题关键．
21．（2021·全国·九年级课时练习）（1）通过用计算器计算，比较下列各对数的大小，并提出你的
猜想：
① _______ ；
② _______ ；
③ _______ ；④ _______ ；
⑤ _______ ．
猜想：已知 ，则 _______ ；
（2）如图，在 中， ，请根据提示，利用面积方法验证结论．
【答案】（1）①=；②=；③=；④=；⑤=；猜想：=；（2）见解析
【分析】
（1）根据计算器计算即可得出结论；
（2）根据三角函数定义可得 ，由 ，可求 ；再根
据锐角三角函数定义可得 ，可求 ，可求
，比较即可得出结论．
【详解】
（1）① = ；
② = ；
③ = ；
④ = ；
⑤ = ．
猜想：已知 ，则 = ；
（2）证明：图1中，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ；
图2中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查计算器求值比大小，锐角三角函数定义，从三角形面积不同算法，得出
是解题关键．
22．（2021·重庆一中九年级月考）如图，在建筑物 的左边有一个小山坡，坡底 、 同建筑底
端 在同一水平线上，斜坡 的坡比为 ，小李从斜坡底端 沿斜坡走了26米到达坡顶
处，在坡顶 处看建筑物的顶端D的仰角 为35°，然后小李沿斜坡 走了 米到达底部 点，
已知建筑物上有一点 ，在 处看建筑物 点的仰角 为18°，（点 、 、 、 、 、 在同
一平面内）建筑物顶端 到 的距离 长度为28.8米，（参考数据： ， ，
， ）（1）求小李从斜坡 走到 处高度上升了多少米．
（2）求建筑物 的高度．
【答案】（1）10米；（2）40.8米
【分析】
（1）过 作 ，根据比例设 ， ，结合勾股定理求出 ，即可得到答案；
（2）延长角 的水平边交 于 则 ，由勾股定理求出 ，设 ，然后利用解
直角三角形，求出 ，即可得到答案．
【详解】
解：（1）过 作 ，
∵ 的坡比 ，
设 ，
∴在 中，
∴ ，
∴ ；
答：小李从斜坡 走到 处高度上升了10米．
（2）延长角 的水平边交 于 则 ，在 中，
设 ，在 中， ，
∴
∵四边形 是矩形，
∴
又∵ ，
在 中， ，
，
；
∴ ；
答：建筑物 的高度为40.8米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意作出辅助线，构
造出直角三角形是解答此题的关键．
23．（2021·甘肃·兰州市第五十五中学二模）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两
根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度，图2是这种升降熨烫台的平面示意图， 和 是两
根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点， ， ， 表示熨烫台的高度．
（1）如图2，若 ， ．
①点O到 的距离为__________ ， 的长为__________ （结果保留根号）；
②若 ，则熨烫台的高度h=__________ ；（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为 时，两根支撑杆的夹角
是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆 的长度．
（参考数据： ， ， ，
【答案】（1）①40，80 ；②50；（2）支撑杆AB长160cm．
【分析】
（1）过点O作OE⊥AC，垂足为E，利用等腰三角形的三线合一可得出∠AOE的度数及AC=2AE，
在Rt AEO中，通过解直角三角形可求出AE的长，再结合AC=2AE即可求出AC的长；
（2）△过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF=128cm，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可
求出∠OAC的度数，在Rt ABF中，通过解直角三角形即可求出AB的长．
【详解】 △
解：（1）①如图2，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
∵AO=CO=80cm，
∴∠AOE= ∠AOC= ×120°=60°，AC=2AE．
在Rt AEO中，OE= OA=40（cm），
△
AE=AO•sin∠AOE=80× =40 （cm），
∴AC=2AE=80 ．
答：AC的长为80 cm；
②延长EO交BD于F，
∵DB∥AC，
∴∠BFO=90°，∠FBO=30°，
∵OB=20cm，∴OF= OB= ×20=10（cm），
∴h=OF+OE=10+40=50，
故答案为：40，80 ，50；
（2）如图，过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF=128cm，
∵AO=CO，∠AOC=74°，
∴∠OAC=∠OCA= =53°，
在Rt ABF中，AB= = =160（cm），
△
答：支撑杆AB长160cm．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：
（1）在Rt AEO中，通过解直角三角形求出AE的长；（2）在Rt ABF中，通过解直角三角形求
出AB的长△． △
24．（2021·山西·太原师范学院附属中学九年级月考）边长为4的正方形 与边长为 的正
方形 如图1摆放，将正方形 绕点 顺时针旋转，旋转角为 ，连接 ，
．
（1）如图1， 与 的关系为______；（2）如图2，连接 ， ，判断 是否为定值．若是，求这个定值；若不是，说明理
由；
（3）当旋转到 ， ， 三点共线时，请直接写出此时 的值．
【答案】（1）垂直且相等；（2）是，48；（3）15°或255°
【分析】
（1）根据四边形 与 为正方形推出 ，然后得出∠DHG，即可得出
结论；
（2）连接 ， ，设 ， 交于点 ， ， 交于点 ，可得出 ，
然后得出 ，再由勾股定理得 ， ，即可得出
为定值；
（3）分类讨论，①作 于点 ，可得出 为等腰直角三角形，进而得出 ，
，在 中利用三角函数可得出 ，即可求解；②作
于点 ，进而得出 ， ，在 中利用三角函
数可得出 ，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形 与 为正方形，
， ，
在 和 中， ，
，
∴∠CBG＝∠CDE，
∵∠CBG＋∠BGC＝90°，
又∵∠DGH＝∠BGC，
∴∠EDC＋∠DGH＝90°，∴∠DHG＝180°−90°＝90°，
∴BG⊥DE．
（2）解：连接 ， ，设 ， 交于点 ， ， 交于点 ，
， ， ，
在 和 中， ， ．
， ，
，
，由勾股定理得 ， ，
，
， ， ， ，
．
（3）①分类讨论，情况一，如下所示：
作 于点 ，
为等腰直角三角形，，且 ，
在 中， ，
，
，
．
．
②分类讨论，情况二，如下所示：
作 于点 ，
为等腰直角三角形，
，且 ，
在 中， ，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查的知识点是正方形性质，旋转变换的性质，全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和
判定，勾股定理、三角函数等，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，综合性比
较强．
