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第一章 三角形
复习要点
1. 理解三角形的定义及表示方法，掌握按角和按边对三角形进行分类。
2. 掌握三角形三边关系、内角和定理，并能灵活运用其推论（直角三角形两锐角互余、外
角等于不相邻两内角和）。
3. 掌握三角形的角平分线、中线、高线的概念，明确三条高线所在直线交点位置与三角形
类型（锐角、直角、钝角）的关系。
4. 掌握全等三角形的概念与性质，能熟练选用 SSS、SAS、ASA、AAS 及 HL 判定定理
来证明三角形全等。
5. 掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，并能结合全等三角形进行灵活应用。
6. 理解定义与命题的概念，能分清命题的条件与结论，掌握判断真假命题的方法（举反例
说明假命题），并规范掌握几何证明的书写格式与推理依据。
复习重难点
重点：三边关系与内角和定理的应用；全等三角形的判定与性质的综合运用；线段垂直平
分线与角平分线的性质应用。
难点：全等三角形判定方法的选择（注意 SSA 和 AAA 不能判定全等）；几何证明题中
辅助线的添加方法；准确找出判断假命题所需的反例。
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知识点
三角形的基本概念与性质
1.三角形的定义及表示方法
（1）三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的 叫做三角形。三角
形具有 。
（2）表示法及读法：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C 的三角形记作“
ABC
△
”，读作“三角
形ABC”；
ABC
△
的三边有时也用a，b，c 表示。
2.三角形的内角和外角
（1）内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。如
A
，B
，C
是
ABC
△
的内角。
（2）外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。如图，BAD
，ACF
，
CBE
都是
ABC
△
的外角。
3.三角形的分类
（1）按角分类：按内角大小分类。
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（2）按边分类：按照边的长短分类。
4.三角形中三条重要的线段
定 义
示例如图
（1）三角形的角平分线：
①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，
这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
②性质：三角形的三条角平分线交于一点。
B
A
C
D
线段AD 为
ABC
△
的一条角平分线
（2）三角形的中线：
①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边 的
线段，叫做这个三角形的中线。
②性质：三角形的三条中线交于一点。
B
C
D
A
线段AD 为BC 边上的中线
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（3）三角形的高：
①定义：从三角形的一个顶点向它的 作垂线，
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点
也在三角形的 ；钝角三角形有两条高落在三角形
的 ，三条高所在直线的交点也在三角形的 ；直
角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三
角形的 。
总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点。
B
A
C
D
线段AD 为BC 边上的高
5.三角形的边和角
（1）三角形的边
三角形三边关系定理：三角形任意两边之和 第三边。
三角形三边关系定理的推论:三角形 小于第
三边。
即a、b、c 三条线段可组成三角形
b
c
a
b
c
−
+
两
条较小的线段之和大于最大的线段。
B
A
C
c
b
a
a
c
b
+
|
|
a
c
b
−
a
b
c
+
|
|
a
b
c
−
b
c
a
+
|
|
b
c
a
−
（2）三角形的角
定 义
示例如图
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180。
如图，在
ABC
△
中，
180
A
B
C
++
=
。
B
A
C
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三角形内角和定理的三个推论：
①推论1：直角三角形的两个锐角 ；
②推论2：三角形的一个外角等于 的
和；
③推论3：三角形的一个外角 任意一个和它不相邻的
内角。
B
D
C
E
F
A
1
2
3
如：外角
1
3
ABF
= +，
1
2
BCD
=+，
2
3
CAE
= +。
1
ABF
，
3
ABF
1
BCD
，
2
BCD
2
CAE
，
3
CAE
三角形的外角和：
每个顶点处取 外角再相加，叫三角形的外角和。
三角形的外角和等于 。
B
C
E
A
1
2
3
∠1+∠2+∠3=360°
要点归纳：
（1）三角形具有 ，这是其区别于其他多边形的特有性质。
（2）按边分类时， 三角形是特殊的等腰三角形。
（3）三角形的三条高线所在直线交于一点。锐角三角形的交点位于三角形内部；直角三角形的交点位于直
角顶点；钝角三角形的交点位于三角形外部。
（4）三角形的 将原三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高模型，是常见考点）。
（5）三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有 个外
角，其中有三个与另外三个相等；每个顶点处的两个对顶的外角是相等的。
（6）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验所求边长能否 。
要点速测
1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（）
A．
B．
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C．
D．
2．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为45°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
3．已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别是a，b，c，且满足𝑎2 −2𝑎𝑏+ 2𝑏2 −2𝑏𝑐+ 𝑐2 = 0，判断此三角形的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
4．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．四边形更稳定
C．三角形的稳定性
D．垂线段最短
5．下列线段长，能构成三角形的是（ ）
A．3，4，8
B．7，8，15
C．5，12，13
D．6，6，13
6．在手工课上，小明有两根长度分别是5cm和8cm的木棒，他想再取一根木棒与已有的两根木棒首尾相接
拼成一个三角形．他再取的这根木棒的长度可以是（ ）
A．3cm
B．5cm
C．13cm
D．14cm
7．若三根长度分别为2、4、x（x 为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（ ）
A．组成的三角形中，周长最小为8
B．组成的三角形中，周长最小为7
C．组成的三角形中，周长最大为12
D．组成的三角形中，周长最大为11
8．以下说法正确的有（ ）
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的三条高所在直线相交于一点；
③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点；
④直角三角形的三条高相交于直角顶点；
⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
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9．如图，△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴，𝐵，𝐶在边长为1的正方形网格的格点上，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，则𝐶𝐷的长为________．
10．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐶𝐵，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，若𝐴𝐵= 4，𝑆△𝐴𝐷𝐶= 6，
则𝐶𝐸的长度为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
11．等腰三角形的一个外角是80°，则它的顶角的度数为（ ）
A．80°
B．80°或50°
C．100°
D．100°或50°
12．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 是边𝐴𝐶上一点，𝐵𝐶= 𝐵𝐷= 𝐴𝐷，则∠𝐴的度数为______．
知识点
全等三角形
1.全等三角形的定义和性质
（1）全等三角形的定义
全等图形：能够 的两个图形就是全等图形。
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
完全重合时，互相重合的点为 ；互相重合的角为 ；互相重合的边为对应边。
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（2）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边 ：
若
ABC
A B C
△
≌△
，则AB
A B
=
，BC
B C
=
，AC
AC
= 。
②全等三角形的对应角 ：
若
ABC
A B C
△
≌△
，则
A
A
=
，
B
B
=
，
C
C
=
。
③全等三角形的周长 ，面积 ：
若
ABC
A B C
△
≌△
，则
=
ABC
A B C
C
C
△
△
，
=
ABC
A B C
S
S
△
△
。
2.全等三角形的判定
判定方法
解释
图形
边边边
(SSS)
对应相等的两个三角形全等
边角边
(SAS)
对应相等的两个
三角形全等
角边角
(ASA)
对应相等的两个三角
形全等
角角边
(AAS)
对应相等的
两个三角形全等
斜边、直角边
(HL)
对应相等的两个直
角三角形全等
要点归纳：
（1）在判定三角形全等时，“SSA”（边边角）和“AAA”（角角角） 判定两个三角形全等。如
下图：在等腰
ABC
△
中，BC 边上任取一点D，连接AD，观察
ABD
△
和
ACD
△
。
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（2）HL（斜边、直角边）是判定直角三角形全等的特有方法，但直角三角形 SSS、SAS、ASA、
AAS 四种判定法。
（3）寻找全等条件时，要善于挖掘隐含条件：公共边、 、 ，以及由垂直定义得到的 。
（4）用符号书写全等时，要注意对应顶点写在对应位置上，若
ABC
A B C
△
≌△
，则前后对应关系 ；
若
ABC
△
与
A B C
△
全等，则前后对应关系 。
要点速测
13．如图，点B、E 在𝐶𝐹上，且△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．若𝐶𝐹= 8，𝐵𝐸= 4，则𝐶𝐸的长为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．3.5
14．如图，点𝐴，𝐶，𝐵，𝐷在同一条直线上，𝐵𝐸∥𝐷𝐹，∠𝐴= ∠𝐹，𝐴𝐵= 𝐹𝐷．若∠𝐹𝐶𝐷= 30°，∠𝐴= 80°，
则∠𝐷𝐵𝐸的度数为________°．
15．如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐶𝐵中，∠𝐴= ∠𝐷= 90°，要使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵，下面是四个同学补充的条件，其
中错误的是（ ）
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A．𝐴𝐵= 𝐶𝐷
B．𝐴𝐶= 𝐵𝐷
C．∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝐵
D．∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷
知识点
线段垂直平分线与角平分线的性质
1.垂直平分线的性质和判定
垂直平分线
解释
示例
定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直
线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之
为 。
如图，若AC
BC
=
，AB
CD
⊥
，则直线
DE 就是线段AB 的垂直平分线。
性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个
相等。
如图，已知直线DE 是线段
的垂直
平分线，则
。
判定
到一条线段两个端点 ，
在这条线段的垂直平分线上。
如图，若
，则点
在线段
的垂直平分线上。
尺规作图：已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB 的垂直平分线。
作法：
①分别以点A，B 为圆心，大于线段AB 长度 的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D。
②作直线CD。
直线CD 就是线段AB 的垂直平分线，如下图。
A
B
D
C
E
AB
DA
DB
=
A
D
C
E
B
DA
DB
=
D
AB
E
D
C
B
A
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2.角平分线的性质和判定
角平分线
解释
示例
性质
角的平分线上的点到角的两边的 相等。
如图，若射线OC 是
AOB
的角平分线，则DE
DF
=
。
判定
角的内部 在角的平分线上。
如图，若DE
DF
=
，则OC 是
AOB
的角平分线。
尺规作图：用直尺和圆规作∠BAC 的平分线AD。
作法：
①以点A 为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F 两点。
②分别以点 E，F 为圆心， 1
2EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D。
③作射线AD。
射线AD 就是∠BAC 的平分线，如下图。
要点归纳：
（1）角平分线的性质是“点到角两边的距离相等”，判定是“到角两边距离相等的点在角平分线上”，注
D
F
E
O
C
B
A
D
F
E
O
C
B
A
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意：这里的“距离”是指 。
（2）垂直平分线的性质是“到线段两端点的距离相等”，判定是“到线段两端点距离相等的点在线段的垂
直平分线上”。
（3）角平分线的中心思想是 ，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种。
要点速测
16．如图，在周长是10cm的▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵≠𝐴𝐷，𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点O，点E 在𝐴𝐷边上，且𝑂𝐸⊥𝐵𝐷，则
△𝐴𝐵𝐸的周长是（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
17．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 6，𝐵𝐶= 𝐷𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= 60°，连接𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝐺，点𝐸在边
𝐴𝐷上，连接𝐶𝐸交𝐵𝐷于点𝐹，𝐶𝐸∥𝐴𝐵．若𝐶𝐸= 4，则𝐸𝐹的长为________．
18．我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知△𝐴𝐵𝐶的
角平分线BD 交边AC 于点D．
(1)求证：
𝑆Δ𝐵𝐶𝐷
𝑆Δ𝐵𝐴𝐷=
𝐵𝐶
𝐴𝐵
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(2)求证：
𝐵𝐶
𝐴𝐵=
𝐶𝐷
𝐴𝐷；
(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______．
知识点
命题与证明
1.定义与命题
（1）定义的概念：能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义。例如，“在同一
个平面内，不相交的两条直线叫作平行线”就是平行线的定义。
（2）命题的概念：判断某一件事情的句子，叫作命题。（注意：命题必须是对事情作出 ，疑问句、
祈使句等不是命题）。
（3）命题的组成：命题由 两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项。
（4）命题的改写：为了清晰地找到条件和结论，命题通常可以改写成“如果……那么……”的形式。其中，
“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论。
2.真命题与假命题及举反例
（1）真命题：正确的命题称为真命题。要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方式，即根据已知事实
来推断未知事实；也有一些命题是人们经过长期实践，公认为正确的（这类命题称为基本事实）。
（2）假命题：不正确的命题称为假命题。
（3）判断真假的依据与举例：
①真命题的依据：通过推理正确，或者作为公认的基本事实/定理。
②假命题的判断方法：要说明一个命题是假命题，通常可以用 的方法。命题的反例是指具备命题
的 ，但 命题的结论的实例。
（4）基本事实与定理：
①基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题。例如“两点之间线段最短”、“两点确定一条直
线”等。
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②定理：用推理的方法判断为正确的命题。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。例如“对顶角相
等”、“三角形的任意两边之和大于第三边”等都是定理。
3.证明的步骤与依据
（1）证明的定义：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、
定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明。
（2）证明过程中的规范性：证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，通常写在每一步
后面的括号内。
（3）几何证明题的书写格式：
①按题意画出图形（如需添加辅助线，辅助线应画成虚线，并写入证明过程中）。
②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。
③在“证明”中写出推理过程，步步有据。
要点归纳：
（1）命题必须是“判断某一件事情的句子”，疑问句、祈使句和感叹句等不是命题。
（2）将一个命题改写成“如果……那么……”的形式时，注意不要改变原意，要正确拆分“条件”与“结
论”。
（3）举反例是判断假命题最直接有效的方法，反例需要满足命题的条件，但违背命题的结论。
（4）证明题书写必须严谨：每一步都应有依据，括号内写出依据理由（已知、定义、基本事实、定理等）。
（5）几何证明步骤规范：画图（辅助线用虚线）、写“已知”、写“求证”、写“证明”。
（6） 都是真命题，且均可作为证明过程中的推理依据（定理是用推理证明为正确的真命题）。
要点速测
19．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
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16 /
20．对于命题“若𝑎2 > 𝑏2，则𝑎> 𝑏”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（ ）
A．𝑎= −3，𝑏= 4
B．𝑎= −2，𝑏= −1
C．𝑎= 2，𝑏= −1
D．𝑎= 1，𝑏= −3
21．证明命题
(1)求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等．
(2)说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3 整除，那么这个三位数也能被3 整除”是真命题．
题型1 三角形的基本概念与分类
▌例1-1 （25-26 八年级上·河南商丘·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，点𝐸是垂足，点𝐷是边𝐵𝐶上
的一点，连接𝐴𝐷．
(1)写出△𝐴𝐵𝐸的三个内角；
(2)在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐵的对边是__________；在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵的对边是__________．
(3)图中共有________个三角形，∠𝐴𝐷𝐶是哪几个三角形的公共角？
▌例1-2 （25-26 八年级上·山西吕梁·期中）如图，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的延长线上，连接𝐴𝐷．图中三角
形的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
▌例1-3 （25-26 八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A 表示（ ）
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17 /
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
▌迁移练1-1（25-26 八年级上·河北邢台·期末）希望之舟大桥是位于河北曹妃甸工业区的跨纳潮河特大
桥，为河北省首座斜拉索特大桥，之所以采用斜拉索结构，是因为其稳固性、蕴含的数学道理是______．
▌迁移练1-2（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，在△𝐵𝐸𝐶中，𝐸𝐶边的对角___________．
▌迁移练1-3（25-26 八年级下·福建宁德·期中）已知一个三角形中两个内角分别是70°和40°，则这个三角
形一定是（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形
题型2 三角形的三边关系及其应用
解题要点
三角形的基本概念与分类
1.准确识别三角形的边、角、顶点，分清“角的对边”和“边的对角”。
2.三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形（含等边三角形）；按角分为锐角三角形、直角三角形和
钝角三角形。
3.三角形具有稳定性，常利用此性质解释建筑或机械结构中的几何原理。
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18 /
▌例2-1 （25-26 八年级上·江苏徐州·期中）若等腰三角形其中两条边长分别为2cm，4cm，则它的周长
为________cm．
▌例2-2 （25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，若𝐴𝐵= 3cm，
𝐵𝐶= 5cm，则𝑂𝐴的取值范围是（ ）
A．1cm < 𝑂𝐴< 4cm
B．2cm < 𝑂𝐴< 8cm
C．2cm < 𝑂𝐴< 5cm
D．3cm < 𝑂𝐴< 8cm
▌例2-3 （25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若a、b、c 为三角形的三条边长，且(𝑎−𝑏)2 −𝑐2 = 𝑚，
则m 的取值范围为（ ）
A．𝑚< 0
B．𝑚> 0
C．𝑚≥0
D．𝑚> 0或𝑚< 0
▌迁移练2-1（2026·四川雅安·一模）在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，中线𝐶𝐷将这个三角形的周长分为12
和15 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7
B．7 或11
C．10
D．8 或10
▌迁移练2-2（25-26 八年级下·江苏宿迁·期末）平行四边形的两条边长分别为6和8，则该平行四边形的
对角线长不可能是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
▌迁移练2-3（26-27 八年级上·全国·开学考试）已知△𝐴𝐵𝐶的三边长为a，b，c，且a，b，c 都是整数．
(1)若𝑎= 2, 𝑏= 5，且c 为奇数，求△𝐴𝐵𝐶的周长；
(2)化简：|𝑎−𝑐+ 𝑏| −|𝑏−𝑐−𝑎| −|𝑎+ 𝑏+ 𝑐|．
题型3 三角形的内角和、外角性质综合求值
▌例3-1 （25-26 八年级下·重庆秀山·期末）如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，连接𝐵𝐷，∠𝐵𝐶𝐷= 60°，∠𝐴𝐵𝐷= 75°，
则∠𝐴𝐷𝐵的度数是（ ）
解题要点
三角形的三边关系及其应用
1.三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即三角形两边长为a、b，
则第三边c 的取值范围为∣a−b∣<c<a+b。
2.当等腰三角形的腰与底边不确定时，需分类讨论，并利用三边关系定理验证能否构成三角形。
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19 /
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
▌例3-2 （26-27 八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= 40°，
则∠𝐸𝐷𝐶=________．
▌迁移练3-1（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 35°，𝐴𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐴𝐸
交𝐵𝐶的延长线于点D，若∠𝐷𝐴𝐸= 60°，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为______________°．
▌迁移练3-2（25-26 八年级下·广东佛山·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 120°，点𝐷为𝐴𝐵上一点，点
𝐸为𝐵𝐷的中点，作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐹，连接𝐶𝐷，𝐷𝐹，将△𝐴𝐶𝐷沿着𝐶𝐷折叠，点𝐴恰好和点𝐹重合，则∠𝐵的
度数为________．
解题要点
三角形的内角和、外角性质综合求值
1.三角形的内角和为 180∘180∘，直角三角形两锐角互余。
2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3.综合求值时，常设未知数建立方程（或方程组），结合等腰三角形等图形的特殊角进行代数运算。
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20 /
▌迁移练3-3（25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴= 15°，∠𝐷𝐵𝐶= 60°，
𝐵𝐷= 6，求𝐴𝐷的长．
题型4 三角形中重要线段（中线、高线、角平分线）的综合应用
▌例4-1 （25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐶𝐸都是△𝐴𝐵𝐶的中线，连接𝐸𝐷，
若△𝐴𝐵𝐶的周长是10，则△𝐵𝐷𝐸的周长是（ ）
A．4
B．8
C．5
D．2.5
▌例4-2 （25-26 八年级下·辽宁辽阳·期中）尺规作图：如图，已知△𝐴𝐵𝐶．求作：𝐵𝐶边上的高．（提示：
保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）．
▌例4-3 （25-26 九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D、E 分别是𝐵𝐶、𝐴𝐶中点，𝐵𝐹平分
∠𝐴𝐵𝐶．交𝐷𝐸于点F，𝐴𝐵= 8，𝐵𝐶= 6，则𝐸𝐹的长为___________．
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21 /
▌迁移练4-1（25-26 八年级上·广东广州·期末）【问题情境】如图①，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷
的面积有怎样的数量关系？
小琼的思路如下：
作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，则𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐷⋅𝐴𝐸，𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐶𝐷⋅𝐴𝐸，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线， = ，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷；（请完成填空）
【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的△𝐴𝐵𝐶健身区域进行改造，改造
方案如下：分别延长△𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐴, 𝐶𝐵, 𝐴𝐶至点D，E，F，使得A，B，C 分别为𝐵𝐷, 𝐸𝐶, 𝐴𝐹的中点，依次连接
点D，E，F 得△𝐷𝐸𝐹，已知△𝐴𝐵𝐶的面积为50m2，改造甲区域成本为100 元/m2，扩建乙区域成本为200
元/m2，求改造总费用．
▌迁移练4-2（25-26 八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)与直线𝑦= −
1
2 𝑥相交于
点𝐴(𝑎, 1)，交𝑥轴于点𝐵(−3,0)，交𝑦轴于点𝐶．
(1)求直线𝐵𝐶的表达式；
(2)求△𝐴𝑂𝐶的面积；
解题要点
三角形中重要线段（中线、高线、角平分线）的综合应用
1.三角形的中线平分三角形的面积，且三角形的三条中线交于一点（重心）。
2.高线常与三角形的面积公式及直角三角形性质结合使用。
3.三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半（常用于线段数量关系的推导）。
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22 /
(3)点𝑃是直线𝐵𝐶上的一个动点，且𝑆△𝑃𝑂𝐵= 2𝑆△𝐴𝑂𝐶，求点𝑃的坐标．
▌迁移练4-3（22-23 八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 30∘，∠𝐶= 40∘，边𝐴𝐵的
垂直平分线𝐷𝐸交𝐵𝐶于点𝐷；
(1)尺规作图：作∠𝐶𝐴𝐷的平分线交𝐵𝐶于点𝐹；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，求∠𝐷𝐴𝐹的度数．
题型5 借助平行线与图形的翻折、旋转求角度
▌例5-1 （25-26 九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线𝑎∥𝑏，∠1 = 50°,∠3 = 100°，则∠2的度数为（ ）
A．20°
B．30°
C．80°
D．100°
▌例5-2 （25-26 七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 20°，∠𝐶= 60°，点𝐷在𝐴𝐵
上且𝐵𝐷<
1
2 𝐴𝐵．若在𝐵𝐶上找一点𝐸，将纸片沿𝐷𝐸折叠，点𝐵落在点𝐹处，𝐸𝐹恰好与三角形𝐴𝐵𝐶的一边平行，
则满足所有平行条件的∠𝐵𝐷𝐸度数为（ ）
A．40°或80°
B．50°或130°
C．50°或80°或130°
D．40°或80°或130°
解题要点
借助平行线与图形的翻折、旋转求角度
1.平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
2.图形的翻折（折叠）和旋转是全等变换，对应角相等、对应边相等。
3.借助折叠或平行线构建等量关系，结合三角形内角和及外角性质综合计算角度。
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23 /
▌迁移练5-1（25-26 八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，直线𝑎∥𝑏，等边△𝐴𝐵𝐶的顶点C 在直线b 上，
∠1 = 50°，则∠2为______度．
▌迁移练5-2（26-27 八年级·上海·暑假作业）如图，一张直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 23°，
𝑀𝑁∥𝐵𝐶，将纸片沿𝑀𝑁折叠，使点A 落在点D 处，则∠𝐷𝑁𝐵的度数为_________ ．
▌迁移练5-3（25-26 八年级下·山东烟台·期末）综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用．
【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”
小组得到了一个结论：已知△𝐴𝐵𝐶，如图1，若点𝑃是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线的交点，则∠𝑃= 90° +
1
2 ∠𝐴．
证明如下：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，
∴∠𝑃𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐴+ 2(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵) = 180°，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 90° −
1
2 ∠𝐴，
∴∠𝑃= 180° −(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵) = 180° −(90° −
1
2 ∠𝐴) = 90° +
1
2 ∠𝐴．
【问题解决】
(1)如图2，若点𝑃是外角∠𝐶𝐵𝐹和∠𝐵𝐶𝐸的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证
明；若不成立，写出正确的结论并证明．
【拓展创新】
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24 /
(2)如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点𝑃，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠使得点𝐴与点𝑃重合，若∠1 +
∠2 = 76°，求∠𝐵𝑃𝐶的度数．
题型6 全等三角形的概念和性质
▌例6-1 （25-26 八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌例6-2 （25-26 八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个
单位长度，点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸均在小正方形方格的顶点上，线段𝐴𝐵，𝐶𝐷交于点𝐹，若∠𝐶𝐹𝐵= 𝛼，则∠𝐴𝐵𝐸等
于（ ）
A．180° −𝛼
B．180° −2𝛼
C．90° + 𝛼
D．90° + 2𝛼
▌迁移练6-1（25-26 八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，若𝐴𝐵= 3, 𝐴𝐶= 4, 𝐵𝐶= 5，
则𝐷𝐸的长是（ ）
解题要点
全等三角形的概念和性质
1.能够完全重合的两个三角形是全等三角形。
2.全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长和面积也分别相等。
3.找准全等三角形的对应顶点和对应元素是解题的关键。
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25 /
A．3
B．4
C．5
D．6
▌迁移练6-2（25-26 八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m 和n，一个内角为30°，满足
上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数．
（1）若𝑚= 2，𝑛= 3，则伴生数为______；
（2）若𝑚= 7，n 为正整数，且伴生数为4，则n 的最大整数值是______．
▌迁移练6-3（25-26 八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，点𝐸在𝐴𝐵上，𝐷𝐸与𝐴𝐶相
交于点𝐹．
(1)当𝐷𝐸= 10，𝐵𝐶= 6时，线段𝐴𝐸的长为______；
(2)已知∠𝐷= 30°，∠𝐶= 60°．
①求∠𝐷𝐵𝐶的度数；
②求∠𝐴𝐹𝐷的度数．
题型7 全等三角形的判定
▌例7-1 （25-26 八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐵𝐶= 𝐴𝐷，则证明△𝐴𝐵𝐶≌
△𝐶𝐷𝐴的依据是（ ）
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
▌例7-2 （25-26 八年级下·山东烟台·期末）如图，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐴𝐵= 𝐸𝐷，若以“SAS”为依据
来判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐶，还需添加一个条件为________．
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26 /
▌例7-3 （26-27 八年级上·全国·开学考试）如图，∠𝐴= ∠𝐵，∠1 = ∠2，点D 在𝐴𝐶边上，𝐴𝐸和𝐵𝐷相交
于点O．
(1)若∠2 = 40°，求∠𝐴𝐸𝐵的度数；
(2)若∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐶，求证：△𝐴𝐸𝐶≌△𝐵𝐸𝐷．
▌例7-4 （25-26 八年级下·宁夏银川·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的周长为42，点D，E 在边𝐵𝐶上，∠𝐴𝐵𝐶的平
分线垂直于𝐴𝐸，垂足为N，𝐶𝑀垂直平分𝐴𝐷，垂足为𝑀，若𝐵𝐶= 18，则𝑀𝑁的长度为_________________．
▌例7-5 （25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在△𝐴𝐸𝐶和△𝐷𝐹𝐵中，点A、B、C、D 在一条直
线上，已知𝐸𝐴⊥𝐴𝐶，𝐹𝐷⊥𝐵𝐷，𝐴𝐸= 𝐷𝐹，若用“HL”证明Rt △𝐴𝐸𝐶≌Rt △𝐷𝐹𝐵，需添加什么条件？写
出来并证明．
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27 /
▌迁移练7-1（25-26 八年级上·湖南株洲·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐷中，满足𝐴𝐶= 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐵𝐷．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷；
(2)若𝑃是线段𝐴𝐵上一点，𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，𝑃𝐹⊥𝐴𝐷，垂足分别是点𝐸，𝐹，试判断𝑃𝐸 与𝑃𝐹的数量关系，并说明
理由．
▌迁移练7-2（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，D 是边𝐴𝐶的中点，𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，
且𝐴𝐸∥𝐵𝐷，𝐶𝐸交𝐵𝐷于点F．
(1)求∠𝐵𝐴𝐸的度数；
(2)求证：△𝐵𝐸𝐹是等边三角形．
▌迁移练7-3（25-26 八年级下·山东临沂·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 10√2，点F 为𝐴𝐵的中点，
以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点M，N，分别以点M，N 为圆心，大于𝑀𝑁长的一
半为半径画弧，两弧交于点D，画射线𝐴𝐷交𝐵𝐶于点E，连接𝐸𝐹，则𝐸𝐹的长是（ ）
解题要点
全等三角形的判定
1.判定全等三角形的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS 以及直角三角形特有的 HL。
2.要注意“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等。
3.善于利用题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等进行判定。
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28 /
A．5
B．5√2
C．8
D．5√3
▌迁移练7-4（25-26 八年级上·河南周口·期末）如图，点𝐸在边𝐶𝐷上，𝐵𝐶与𝐴𝐸交于点𝐹, 𝐴𝐵= 𝐶𝐵, 𝐵𝐸=
𝐵𝐷, ∠1 = ∠2．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷；
(2)若𝐴𝐸= 8, 𝐶𝐸= 5，求𝐸𝐷的长．
▌迁移练7-5（25-26 八年级下·福建泉州·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，点𝑀是𝐵𝐶边上的中点，𝐴𝑁平分∠𝐵𝐴𝐶，
𝐵𝑁⊥𝐴𝑁于点𝑁，若𝐴𝐵= 6，𝑀𝑁= 1，则𝐴𝐶的长为_____________．
▌迁移练7-6（25-26 八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶的外角∠𝐵𝐴𝐷，𝑃𝐺⊥𝐴𝐷，
垂足为点G，𝑃𝐻⊥𝐴𝐵，垂足为点H，𝑃𝐸垂直平分𝐵𝐶于点E．
求证：∠𝑃𝐵𝐻= ∠𝑃𝐶𝐺．
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29 /
题型8 全等三角形的判定与性质综合求解及证明
▌例8-1 （25-26 八年级上·河南新乡·期末）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，垂足为点𝐸．过
点𝐵作𝐵𝐹∥𝐴𝐶交𝐸𝐷的延长线于点𝐹，当𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐹, 𝐴𝐸= 2𝐵𝐹时，有下列四个结论：①𝐷𝐵= 𝐷𝐶；②𝐷𝐸=
𝐵𝐹；③𝐴𝐷⊥𝐵𝐶；④𝐴𝐶= 3𝐵𝐹．其中正确的结论有（ ）
A．①②
B．①④
C．②③④
D．①③④
▌例8-2 （25-26 八年级上·安徽合肥·期末）下列条件中，能判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹的是（ ）
A．𝐴𝐵= 𝐷𝐸, 𝐵𝐶= 𝐸𝐹, ∠𝐴= ∠𝐷
B．𝐴𝐵= 𝐷𝐸, ∠𝐴= ∠𝐷, 𝐴𝐶= 𝐷𝐹
C．∠𝐴= ∠𝐷, ∠𝐵= ∠𝐸, ∠𝐶= ∠𝐹
D．∠𝐵= ∠𝐸, 𝐵𝐶= 𝐸𝐹, ∠𝐴= ∠𝐹
▌迁移练8-1（25-26 八年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点𝐴(0,5)，𝐵(3,0)，在
坐标系内有一点𝐶（不与点𝐵重合），使得△𝐴𝑂𝐶与△𝐴𝑂𝐵全等，这样的点𝐶有（ ）
解题要点
全等三角形的判定与性质综合求解及证明
1.证明全等后，必须利用全等三角形的性质（对应边、对应角相等）进行线段或角度的等量代换。
2.当图形较复杂时，可结合角平分线、中线、垂直等几何特征寻找等量关系。
3.分析已知条件和待求结论，逆向寻找需证的全等三角形。
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30 /
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
▌迁移练8-2（25-26 八年级上·河北邯郸·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的两条高𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点O，𝑂𝐵= 𝐴𝐶= 7，
点F 在射线𝐵𝐶上，且𝐶𝐹= 𝐴𝑂，动点P 从点O 出发，沿线段𝑂𝐵以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，
同时动点Q 从点A 出发，沿射线𝐴𝐶以每秒3个单位长度的速度运动，当点P 到达点B 时，P，Q 两点同时停
止运动，设运动时间为𝑡秒，当△𝐴𝑂𝑃与△𝐹𝐶𝑄全等时，𝑡的值为（ ）
A．
7
4
B．
7
6
C．
7
4或
7
6
D．
7
4或
7
2
▌迁移练8-3（25-26 八年级上·湖南长沙·期末）如图1，△𝑂𝐴𝐵,△𝑂𝐶𝐷都是等腰三角形，𝑂𝐴= 𝑂𝐵, 𝑂𝐶=
𝑂𝐷, ∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，连接𝐴𝐶和𝐵𝐷相交于点E，连接𝑂𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐶𝑂≌△𝐵𝐷𝑂；
(2)若∠𝐴𝑂𝐵= 2𝛼，求∠𝑂𝐸𝐷的大小；
(3)如图2，若∠𝐴𝑂𝐵= 60°，F 为𝐵𝐷上一点，𝐷𝐹= 𝐶𝐸, 𝑂𝐹= 𝐵𝐸，𝐴𝐶交𝑂𝐵于点G，求证：𝐴𝐶垂直平分𝐵𝑂．
题型9 利用全等三角形确定线段间的关系
▌例9-1 （25-26 八年级上·江西南昌·阶段检测）（1）如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
直线𝑙经过点A，分别从点B，C 向直线𝑙作垂线，垂足分别为D，E．求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸；
（2）如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，直线𝑙经过点A，点D，E 分别在直线𝑙上，如果∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐵𝐴𝐶，
猜想𝐷𝐸，𝐵𝐷，𝐶𝐸有何数量关系，并给予证明；
（3）如图3，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，点B 的坐标为(1,3)，点C 的坐标为(−1,0)，直接写出点A 的坐标______．
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31 /
▌例9-2 （25-26 八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷, ∠𝐵=
∠𝐴𝐷𝐶= 90°, 𝐸, 𝐹分别是𝐵𝐶, 𝐶𝐷上的点，且𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷，试猜想图中∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐸𝐴𝐹的数量关系．小王同
学解决此问题的方法是：延长𝐹𝐷到点𝐺，使𝐷𝐺= 𝐵𝐸．连接𝐴𝐺，先证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺，再证明△𝐴𝐸𝐹≌
△𝐴𝐺𝐹，可得出结论，他的结论应是_____________；
（2）如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷, ∠𝐵+ ∠𝐷= 180°.𝐸, 𝐹分别是𝐵𝐶, 𝐶𝐷上的点，且𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷，
试探究∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐸𝐴𝐹的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°,𝐴𝐵= 𝐴𝐷，若点𝐸在𝐶𝐵的延长线上，点𝐹在𝐶𝐷的延
长线上，如图3 所示，仍然满足𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷，请写出∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐸𝐴𝐹的数量关系，并说明理由．
▌迁移练9-1（25-26 八年级上·广东潮州·期中）如图，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，点E 在线段𝐴𝐵上，𝐷𝐸、𝐶𝐸分别是∠𝐴𝐷𝐶、
∠𝐵𝐶𝐷的角平分线，
解题要点
利用全等三角形确定线段间的关系
1.常采用“截长补短”法构造全等三角形，将分散的线段转移集中。
2.熟练掌握“一线三等角”模型（K 字模型），通过同角的余角相等构造全等。
3.结合全等性质和等量代换，推导线段的和、差、倍、分关系。
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32 /
(1)线段𝐷𝐸与𝐶𝐸有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若𝐴𝐷= 3，𝐵𝐶= 2，求𝐶𝐷的长．
▌迁移练9-2（24-25 八年级上·吉林·期末）在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，直线𝑙经过点𝐶．
(1)当𝐴𝐶= 𝐵𝐶时，
①如图1，分别过点𝐴，𝐵作𝐴𝐷⊥直线𝑙于点𝐷，𝐵𝐸⊥直线𝑙于点𝐸．求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸；
②如图2，过点𝐴作𝐴𝐷⊥直线𝑙于点𝐷，点𝐵与点𝐹关于直线𝑙对称，连接𝐵𝐹交直线𝑙于点𝐸，连接𝐶𝐹．请写出
线段𝐷𝐸，𝐴𝐷，𝐸𝐹三者之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图3，当𝐴𝐶= 8cm，𝐵𝐶= 6cm时，点𝐵与点𝐹关于直线𝑙对称，连接𝐵𝐹，𝐶𝐹．点𝑀从𝐴点出发，以每秒
1cm的速度沿路径𝐴→𝐶运动到终点𝐶；点𝑁以每秒3cm的速度沿路径𝐹→𝐶→𝐵→𝐶→𝐹运动到终点𝐹．分
别过点𝑀，𝑁作𝑀𝐷⊥直线𝑙于点𝐷，𝑁𝐸⊥直线𝑙于点𝐸．点𝑀，𝑁同时开始运动，各自达到相应的终点时停止
运动，设运动时间为𝑡秒．当△𝑀𝐷𝐶与△𝐶𝐸𝑁全等时，直接写出𝑡的值．
题型10 尺规作图与全等三角形的综合应用
▌例10-1 （26-27 八年级上·湖北武汉·开学考试）已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐸交𝐴𝐶于点𝐸，𝐶𝐷平
分∠𝐴𝐶𝐵，交𝐴𝐵于点D，𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝑂．
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33 /
(1)如图1．求证：∠𝐵𝑂𝐶= 90° +
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶；
(2)如图2，连接𝑂𝐴，求证：𝑂𝐴平分∠𝐵𝐴𝐶．
▌例10-2 （25-26 八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°, 𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
于点E，连接𝐶𝐸，交𝐴𝐷于点F．
(1)求证：𝐴𝐷是线段𝐶𝐸的垂直平分线；
(2)若∠𝐵𝐴𝐶= 60°，𝐴𝐷= 10，求𝐷𝐹的长．
▌迁移练10-1（26-27 八年级上·辽宁·开学考试）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，以𝐴为圆心，适当长为半径
画弧，交𝐴𝐶，𝐴𝐵于𝐷，𝐸两点，再分别以𝐷，𝐸为圆心，大于
1
2 𝐷𝐸的长为半径画弧，两弧交于点𝑀．作射线𝐴𝑀
交𝐵𝐶于点𝐹，若𝐵𝐹= 3，𝐵𝐶= 5，则点𝐹到𝐴𝐵的距离为（ ）
A．3
B．4
C．2.5
D．2
▌迁移练10-2（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是△𝐴𝐵𝐶外一点，连接𝐴𝐷, 𝐶𝐷，过点C作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，
垂足为E．𝐴𝐷= 7, 𝐶𝐸= 4, 𝐴𝐵= 13，△𝐴𝐷𝐶的面积为14．
解题要点
尺规作图与全等三角形的综合应用
1.掌握尺规作图基本方法：作一个角等于已知角、作角平分线、作线段垂直平分线、过一点作已知直线
的垂线。
2.尺规作图的痕迹常能提供角平分线或垂直平分线等隐含性质，从而得到相等的角或线段。
3.先通过尺规作图获取已知条件，再结合全等三角形的判定和性质进行几何证明。
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34 /
(1)求证：𝐴𝐶是∠𝐵𝐴𝐷的平分线；
(2)若𝐴𝐵−𝐴𝐷= 2𝐵𝐸，求证：𝐶𝐷= 𝐵𝐶．
▌迁移练10-3（25-26 八年级上·江苏徐州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，点𝐷在线
段𝐴𝐵的延长线上，𝐷与𝐵不重合，且𝐴𝐷< 2𝐴𝐵．连接𝐶𝐷，过𝐴作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸，𝐴𝐸与𝐵𝐶交于点𝐹．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐵𝐷；
(2)连接𝐵𝐸，判断∠𝐶𝐴𝐸与∠𝐶𝐵𝐸的数量关系，并说明理由．
▌迁移练10-4（25-26 八年级下·江西萍乡·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝐷是
𝐴𝐶上一点，过点𝐴作𝐵𝐷的垂线交𝐵𝐷的延长线于点𝐸，交𝐵𝐶的延长线于𝐹，且𝐵𝐷= 2𝐴𝐸．求证：
(1)𝐴𝐹= 𝐵𝐷；
(2)𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶．
题型11 全等三角形中的动点问题
▌例11-1 （2025·河北唐山·二模）如图，直线𝐶𝐷经过线段𝐴𝐵的中点𝑂，∠𝐴𝑂𝐶= 60°，𝑃为射线𝑂𝐶上的
一动点，𝑄为射线𝑂𝐷上的一动点，𝑂𝑄= 𝑂𝑃，连接𝐴𝑃，𝐵𝑄.
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35 /
(1)求证：△𝐴𝑃𝑂≌△𝐵𝑄𝑂.
(2)若𝑂𝐴= 2，当∠𝐴𝑃𝑂= 60°时，求𝑃𝑄的长.
▌例11-2 （23-24 八年级上·湖北武汉·期末）如图，点𝐷是等边△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上一点，∠𝐷𝐵𝐶= 𝑎，点𝐹在
𝐴𝐵上，𝐴𝐷= 2𝐵𝐹，点𝐸在𝐶𝐹的延长线上，连接𝐵𝐸，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐵．
(1)如图1，求∠𝐷𝐵𝐸的度数；
(2)如图1，求证：𝐵𝐸= 𝐵𝐷；
(3)如图2，𝑀, 𝑁分别是𝐵𝐴，𝐵𝐶上两个动点，满足𝐵𝑀= 𝐵𝑁，当𝐷𝑀+ 𝐷𝑁最小时，直接写出∠𝐷𝑀𝐵的大小为
________（用含𝑎的式子表示）．
▌迁移练11-1（24-25 八年级上·吉林长春·期末）综合与实践
【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 90°，
点D、E 分别是𝐴𝐵、𝐴𝐶上的动点，且𝐴𝐷= 𝐶𝐸，试探究𝐵𝐸+ 𝐶𝐷的最小值．
【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，
再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题．
解题要点
全等三角形中的动点问题
1.动点问题常通过构造全等三角形，将动态的线段关系转化为静态的等量关系。
2.当动点分不同路径运动时，需根据时间参数t 的几何意义进行分类讨论，并验证解的合理性。
3.求线段和的最值时，常利用全等变换将线段转移，利用“两点之间线段最短”或“三角形三边关系”
进行分析。
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【问题解决】如图②，过点C 作𝐶𝐹∥𝐴𝐵，且使𝐶𝐹= 𝐴𝐶，连接𝐸𝐹．在【问题呈现】的条件下，完成下列问
题：
（1）证明：𝐷𝐶= 𝐸𝐹；
（2）连接__________，𝐵𝐸+ 𝐶𝐷的最小值即为线段__________的长度．
【方法应用】如图③，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点D，点M、N 分别是线段𝐵𝐷、𝐵𝐶
上的动点，且𝐵𝑀= 𝐶𝑁，当𝐴𝑀+ 𝐴𝑁的值最小时，∠𝑀𝐴𝐷的度数为__________．
▌迁移练11-2（24-25 八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图1，在等边△𝐴𝐵𝐶中，点E、F 分别为边𝐶𝐴、𝐵𝐶
上的动点，且𝐴𝐸= 𝐶𝐹，直线𝐴𝐹、𝐵𝐸交于点O．
(1)如图1，当F 是𝐵𝐶的中点时，∠𝐵𝑂𝐹=______．
(2)在E、F 运动的过程中，∠𝐵𝑂𝐹的大小是否变化？请利用图2，证明你的结论．
(3)若将题目中的条件：“点E、F 分别在边𝐶𝐴、𝐵𝐶上的动点”改为“点E、F 分别在边𝐶𝐴、𝐵𝐶的延长线上
的动点”（如图3 所示），其余条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
题型12 命题与证明
▌例12-1 （25-26 八年级上·陕西西安·期末）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．过直线外一点作直线的平行线
C．正数大于负数
D．有公共顶点的两个角是对顶角
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▌例12-2 （2026·浙江温州·二模）对于命题“若𝑎2 > 𝑎，则𝑎> 1”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．𝑎= 3
B．𝑎= 2
C．𝑎= 0
D．𝑎= −1
▌例12-3 （25-26 八年级上·浙江宁波·期末）下列选项中，能够说明“若𝑎是非零有理数，则
𝑎
|𝑎| = −1”
是假命题的是（ ）
A．𝑎= −1
B．𝑎= 1
C．𝑎= −
1
2
D．𝑎= 𝜋
▌迁移练12-1（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于180°．（要求：根据图形，写出“已
知”、“求证”并“证明”．）
▌迁移练12-2（25-26 八年级上·山东菏泽·阶段检测）下列所学过的真命题中，是公理的是（ ）
A．对顶角相等
B．同角的余角相等
C．三角形两边之和大于第三边
D．同位角相等，两直线平行
▌迁移练12-3（25-26 八年级下·全国·课后作业）
【问题情景】我们知道，多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作多边形的外角．
如图1 所示，∠𝐶𝐵𝐷、∠𝐵𝐴𝐹、∠𝐴𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的三个外角，下面我们来探究∠𝐶𝐵𝐷、∠𝐵𝐴𝐹、∠𝐴𝐶𝐸和△𝐴𝐵𝐶三
内角之间的数量关系．
【方法感悟】解：因为在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，所以∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴𝐵𝐶．因
解题要点
命题与证明
1.判断语句是否为命题，关键看它是否为“判断一件事情的陈述句”，疑问句、祈使句、感叹句均不是
命题。
2.说明命题为假命题，只需举一个反例：反例必须满足命题的题设条件，但推导出与命题结论相悖的结
果。
3.证明几何命题需严格遵循“已知、求证、证明”的书写规范，利用定义、公理、定理进行逻辑推理；
遇难度较大的证明题，常通过添加辅助线（如作平行线）实现等量关系的转化。
4.公理是公认的基本事实，无需证明；定理是经过推理证明为真的命题，可作为后续证明的依据。
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为∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷= 180°，所以∠𝐶𝐵𝐷= 180° −∠𝐴𝐵𝐶．所以∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵．同理可得：∠𝐵𝐴𝐹=
∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶．
因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【解决问题】
(1)已知：如图2，∠𝐹𝐷𝐶与∠𝐸𝐶𝐷分别为△𝐴𝐷𝐶的两个外角，请直接利用上述结论，试探究∠𝐹𝐷𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐷与
∠𝐴的数量关系．
(2)已知：如图3，在△𝐴𝐷𝐶中，𝐷𝑃，𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐷𝐶和∠𝐴𝐶𝐷，试探究∠𝑃与∠𝐴的数量关系．
难点一 三角形内角与外角的综合应用与角度计算
在三角形中，外角定理和内角和定理是解决角度问题的核心工具，尤其是将两者与角平分线、高线、
平行线条件结合时，容易因思路混乱导致计算错误。
方法总结：
①看清所求角与已知角的位置关系。若是三角形的内角，优先考虑内角和定理（180°）；若是外角，
则利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”定理，直接进行角的等量代换，避免复杂的加减。
②遇到角平分线与高线结合求角的题目，可先利用角平分线求出被平分的部分角，再结合高线带来的
90°条件，在对应直角三角形中用“直角三角形两锐角互余”来突破。
③当出现“拐角”或“折线”型角度问题（如求∠B+∠D=∠BCD∠B+∠D=∠BCD 这类模型）时，利用外角性
质构造辅助线往往比单纯的内角和更简捷。
易错提醒：
①容易混淆“外角”与“内角的邻补角”。三角形每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，大小相
等，计算时务必认准是哪一个外角。
②用外角定理时，必须是“与它不相邻的两个内角”，切忌加上相邻的内角。
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③在钝角三角形中，外角有时会跟高线落在外部的情况结合，画图时要特别注意对应关系。
难点精练
1．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 为𝐴𝐵的中点，E 为𝐵𝐶边上一点，连结𝐷𝐸．若
𝐴𝐶+ 𝐶𝐸= 𝐵𝐸，∠𝐴= 𝛼，∠𝐶= 𝛽，则∠𝐸𝐷𝐵=（ ）
A．
𝛼+𝛽
2
B．𝛼+
𝛽
2
C．𝛽+
𝛼
2
D．𝛼+ 𝛽
2．（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐷交𝐵𝐶的延长线于点𝐹，𝐷𝐸平
分∠𝐴𝐷𝐶交𝐶𝐵的延长线于点𝐸，𝐴𝐹与𝐷𝐸交于点𝑃，∠1与∠2互余，下列说法：①𝐴𝐵∥𝐶𝐷；②𝐴𝐹⊥𝐷𝐸；③若
∠𝐴𝐵𝐸= 100°，则∠2 = 40°；④若∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐸，则∠1 = ∠𝐹，正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
3．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）【定义】
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角的2 倍，则称这个三角形为“二阶三角形”生活中处处都有
数学，如图1：我们常用的三角板都是“二阶三角形”，它们的度数分别是90°，45°，45°和 90°，60°，30°．
【简单应用】
(1)如图2，∠𝐴= 90°，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐶，𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，试说明△𝐴𝐵𝐷是“二阶三角形”；
【问题探究】
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(2)在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 2∠𝐴𝐵𝐶= 80°．
①如图3，过点C 的直线交∠𝐴𝐵𝐶的平分线和∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线于点N，M，若△𝐵𝑀𝑁是“二阶三角形”，
求∠𝐵𝐶𝑀的度数；
(3)②如图4，∠𝐴𝐵𝐶的平分线和∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线交于点D，点F 是线段𝐵𝐷上的一动点（F 不与B、O、D
三点重合），∠𝐵𝐶𝐹= 𝑛∠𝐴𝐶𝐹，若△𝐶𝐷𝐹是“二阶三角形”，直接写出n 的值．
难点二 全等三角形的综合判定与隐含条件挖掘
全等三角形的证明是几何推理的基础，其难点不在于背出四个（或五个）判定定理，而在于复杂图形
中如何精准挑出“隐藏的相等条件”，以及准确选择最合适的判定方法。
方法总结：
①平移、旋转、翻折是识别全等“原型”的三种基本变换。复习时要关注由这三种变换产生的公共边、
公共角、对顶角、垂直或平行带来的等角条件。
②判定的选择策略：若已知两边，优先考虑SSS 或SAS（注意夹角）；若已知两角，优先考虑ASA
或AAS（注意夹边与对边）；若已知一边一角，先看能否用ASA 或AAS 再找一角的对边，或SAS 再找夹
边。
③遇到直角三角形，在四种普通判定方法都能用的情况下，优先HL（斜边、直角边）往往能减少判
定步骤，且条件最为直接。
易错提醒：
①最常见的易错点是使用“SSA”（边边角）和“AAA”（角角角）去证明全等。前者可能在图中出现多
种位置（钝角、直角、锐角情形下的两边及其中一边对角），必须注意。
②用符号“≅”表示全等时，对应顶点一定要写在对应的位置上，否则极易在后续求对应边、对应角时
弄错量值。
③不要忽略已知中的“垂直”、“平行”、“中点”等字眼，它们分别对应“90°相等”、“内错角/同位角相等”、
“线段相等”。
难点精练
4．（2026·山西晋城·二模）利用尺规作图作△𝐴′𝐵′𝐶′ ≌△𝐴𝐵𝐶，已知甲、乙、丙三位同学所参照的△𝐴𝐵𝐶
分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。
同学
甲
乙
丙
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参照三角形
作图步骤
第一步：作𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵；第二步：作∠𝐴′𝐵′𝐶′ = ∠𝐴𝐵𝐶；第三步：作𝐴′𝐶′ = 𝐴𝐶．
下列说法正确的是（ ）
A．甲同学所作△𝐴′𝐵′𝐶′与△𝐴𝐵𝐶不一定全等
B．乙同学所作△𝐴′𝐵′𝐶′与△𝐴𝐵𝐶不一定全等
C．丙同学所作△𝐴′𝐵′𝐶′与△𝐴𝐵𝐶不一定全等
D．甲、乙、丙三位同学所作△𝐴′𝐵′𝐶′都与△𝐴𝐵𝐶全等
5．（25-26 八年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，点𝐴(𝑎, 0)，𝐵(0,𝑏)，a，b 满足|𝑎+ 3| +
√𝑏−5 = 0，点C 与点A 关于y 轴对称．
(1)直接写出B，C 两点的坐标；
(2)如图，分别以𝐴𝐵，𝐵𝐶为直角边向右侧作等腰Rt △𝐵𝐴𝐷和等腰Rt △𝐵𝐶𝐸，连接𝐷𝐸交x 轴于点M，连接𝐵𝑀．
①求出D，E 两点的坐标；
②求证：𝐵𝑀⊥𝐷𝐸．
6．（25-26 八年级上·河南开封·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐵= 30°，𝐴𝐶= 2，点𝑃是
边𝐵𝐶一个动点（包含𝐵，𝐶两点），以𝐴𝑃为边向左作等边△𝐴𝑃𝑄，点𝑃在运动的过程中，𝑄𝐶的最小值是_____，
最大值是____．
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难点三 与三角形高线、中线有关的分类讨论
高线与中线在三角形中不仅有定义，更代表着丰富的几何性质和特殊的位置关系。特别是在“画图”
与“分类讨论”题型中，学生容易因画图不全而漏解。
方法总结：
①高线位置的判定：锐角三角形三条高全在内部；直角三角形两条高是直角边，交点就是直角顶点；
钝角三角形有两条高在外部，交点也在外部。遇到“作三角形的高”这类指令时，必须养成考虑三种三角形类
型的习惯。
②高线提供90°直角：高线所在的直线与对边所在直线垂直。在解题时，要善于利用垂线带来的直角，
构建直角三角形，从而运用“两锐角互余”。
③中线平分面积：三角形的任意一条中线，把原三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。
遇到“被中线分割求面积”的问题时，使用这个性质作等量代换即可。
易错提醒：
①选择题或填空题中，若题目未明确给出三角形的类型，遇到“高线”相关计算时，常常需要就锐角、
直角、钝角进行分类讨论（如判断高在形内还是形外），很容易漏掉钝角三角形的情况。
②求线段长度或面积时，利用中线得出的等底同高结论，切记不要漏掉“同高”这个隐藏前提。
难点精练
7．（26-27 八年级上·江苏常州·开学考试）如图，△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸分别在边𝐴𝐶，𝐴𝐵上，𝐶𝐷= 2𝐴𝐷，
𝐴𝐸= 𝐵𝐸，𝐵𝐷与𝐶𝐸交于点𝑂，若𝐵𝐶= 10，𝑆四边形𝐴𝐷𝑂𝐸= 7，则𝐴𝐵长的最小值为_________．
8．（25-26 八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高，∠𝐴𝐵𝐷= 32°，
则∠𝐶=_______．
9．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中(𝐴𝐶> 𝐴𝐵)，𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶
的周长分成80 和60 两部分，求𝐴𝐶和𝐴𝐵的长．
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难点四 几何证明中的辅助线作法与思维策略
当原图形中的条件不足以直接得出证明结论时，需要添加辅助线构建桥梁。辅助线是几何证明中的核
心难点，也是区分学生思维层次的关键。
方法总结：
①遇角平分线，作双垂：当题目中出现角的平分线，且涉及角平分线上的点到角的边的距离时，可考
虑向两边作垂线，构造出直角三角形全等（利用AAS 或HL），或直接应用角平分线的性质。
②遇中点，倍长中线：看到三角形中线的条件时，经典的技巧是“倍长中线”（延长中线至原来的两
倍，连接端点），从而构造出一对“8 字型”全等三角形，将分散的边和角平移集中到一个三角形中。
③遇平行线，找内错/同位角：图中若有平行线条件，要熟练利用平行线的性质（内错角相等、同位角
相等、同旁内角互补）作为证明全等或求角的中间桥梁。
易错提醒：
①切记辅助线必须画成虚线，并且在“证明”的开头必须交代清楚是如何添加辅助线的。不写辅助线
作法，直接用到这条线是无依据的。
②步步有据。在证明的括号内，必须严格按照要求写出每一步的推理依据（如“已知”、“两直线平
行，内错角相等”、“全等三角形的对应边相等”等），不能想当然。
③切忌把要证明的结论当成已知条件用，或者在逻辑上循环论证。
难点精练
10．（25-26 八年级下·云南曲靖·开学考试）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请
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你和他们一起活动吧．
【初步探索】
如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵= 4, 𝐵𝐶= 2，求𝐴𝐶边上的中线𝐵𝐷的取值范围．
以下是小聪同学思考的解决方法：先延长𝐵𝐷至点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐵𝐷，然后连接𝐶𝐸，利用三角形全等将边𝐴𝐵转
化到𝐶𝐸，最后在△𝐷𝐸𝐶中利用三角形三边关系即可求出中线𝐵𝐷的取值范围．
（1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段𝐵𝐷的长度为整数，则
𝐵𝐷＝_____；
【灵活应用】
（2）如图2，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，延长𝐷𝐵到点𝐸，连接𝐴𝐸，使𝐴𝐸= 𝐵𝐶，求证：∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶；
【拓展提升】
（3）如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以𝐴𝐵, 𝐵𝐶作等腰直角三角形△𝐴𝐵𝑀和△𝐵𝐶𝑁，其中∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐶𝐵𝑁= 90∘，
连接𝑀𝑁，点𝐷是𝑀𝑁的中点，连接𝐷𝐵，延长𝐷𝐵与𝐴𝐶相交于点𝐻，𝐵𝐷= 6，𝐵𝐻= 2．试判断𝐵𝐷与𝐴𝐶的数量
关系，并求出△𝐴𝐵𝐶的面积．
11．（23-24 八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点𝐷是边𝐵𝐶上一点，点𝐸是边𝐴𝐵上
一点，且满足𝐵𝐸= 𝐶𝐷
，连接𝐴𝐷、𝐶𝐸交于点𝐹．
(1)①如图1，直接写出∠𝐴𝐹𝐸的度数；
②如图2，过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝐶𝐸于点𝑀，当𝐹𝐶= 𝐹𝑀时，求证：𝑀𝐵= 𝑀𝐹；
(2)如图3，当𝐸𝐹= 2𝐶𝐹时，求∠𝐵𝐴𝐷的度数．
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12．（25-26 八年级上·江苏南通·期中）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后
面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础．
【问题初探】
(1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形
中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，
如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐵= ∠𝐶，可证𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
小聪同学的作法是作𝐵𝐶边上的高线𝐴𝐷．现在请你完成小聪同学的证明过程：
【类比分析】
(2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角
形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
点𝐸为边𝐴𝐶上一点，点𝐹为边𝐴𝐵延长线上一点，连结𝐸𝐹与边𝐵𝐶交于点𝐷，若点𝐷恰为线段𝐸𝐹中点，试探究
线段𝐶𝐸与线段𝐵𝐹的数量关系，并说明理由；
【学以致用】
(3)如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 90∘，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别为△𝐴𝐵𝐶的角平分线和中线，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐷与线段
𝐴𝐷的延长线交于点𝐺，与边𝐴𝐵的延长线交于点𝐹，已知△𝐴𝐵𝐶的面积是30，线段𝐴𝐹的长为8，求𝐵𝐹的长．
13．（25-26 八年级上·北京大兴·期中）如图，在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是𝐶𝐵延长线上一点，作射线𝐴𝐷，
点𝐵关于射线𝐴𝐷的对称点为点𝐸，连接𝐶𝐸交射线𝐴𝐷于点𝐹．
(1)依题意补全图形；
(2)连接𝐵𝐹，∠𝐵𝐴𝐷= 𝛼．
①求∠𝐴𝐶𝐹的大小（用含𝛼的代数式表示）；
②用等式表示线段𝐴𝐹，𝐶𝐹，𝐸𝐹之间的数量关系，并证明．
小学
初中
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基础达标
1．（25-26 八年级下·四川泸州·开学考试）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm
B．2cm，3cm，4cm
C．3cm，4cm，5cm
D．5cm，6cm，10cm
2．（25-26 八年级上·浙江丽水·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 45°，∠𝐵= 55°，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ）
A．80°
B．100°
C．135°
D．125°
3．（25-26 八年级上·广东·阶段检测）如图，在五角星ABCDE 中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸=（ ）
A．120°
B．150°
C．180°
D．360°
4．（25-26 八年级上·河北邢台·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，∠𝐵= 60°，∠𝐷= 40°，则∠𝐴𝐶𝐷的
度数为（ ）．
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
5．（25-26 八年级上·云南昆明·期末）若𝑎, 𝑏, 𝑐为三角形的三边，且满足分式
𝑐−𝑎
𝑐−𝑏的值为0，则此三角形的
形状为（ ）
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A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．无法确定
6．（25-26 八年级上·河北邢台·期末）拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定∠1 = 20°，
∠2比∠3大10°，则∠4的度数应该为____________．
7．（25-26 九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，Rt △𝐴𝐵𝑂在平面直角坐标系中，∠𝑂𝐴𝐵= 90°，𝑂𝐴在
𝑥轴上，𝑂𝐴= 5，𝐴𝐵= 3，将Rt △𝑂𝐴𝐵绕点𝑂旋转90°，则点𝐵的对应点𝐵′的坐标为___________．
8．（25-26 八年级上·北京密云·阶段检测）已知：如图，等边三角形𝐷𝐸𝐹的顶点分别在等边三角形𝐴𝐵𝐶的
边上．求证：𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
9．（25-26 八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知△𝑃𝑀𝑁，𝑂𝐴垂直平分𝑀𝑃，交𝑀𝑁于点𝐸，交𝑀𝑃于
点𝑄，𝑂𝐵垂直平分𝑃𝑁，交𝑀𝑁于点𝐹，交𝑃𝑁于点𝑅，连接𝑂𝑃．
(1)连接𝑃𝐸，𝑃𝐹，若𝑀𝑁= 15，求△𝑃𝐸𝐹的周长；
(2)若𝑃𝑀= 𝑃𝑁，求证：𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵．
10．（25-26 八年级下·全国·单元复习）如图，在等边三角形𝐴𝐵𝐶的三边上分别取点𝐷，𝐸，𝐹，使𝐴𝐷= 𝐵𝐸=
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𝐶𝐹．试判定△𝐷𝐸𝐹的形状，并说明理由．
能力进阶
11．（25-26 八年级下·河北保定·期末）等腰三角形的两边长分别为6和13，则它的周长为（ ）
A．32
B．25
C．25或32
D．25或19
12．（25-26 八年级下·湖北孝感·期末）如图，在𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐶𝐸，垂足为𝐸，
交𝐵𝐶于𝐹，𝐷是𝐴𝐵的中点，连接𝐷𝐸．若𝐴𝐶= 14，𝐵𝐶= 20，则𝐷𝐸的长是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
13．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以点B 和点C 为圆心，大于
1
2 𝐵𝐶的长为
半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线𝐸𝐹交𝐴𝐶于点D，连接𝐵𝐷，以A 为圆心，适当长为半径画弧，分别
交𝐴𝐵，𝐴𝐶于M，N，再分别以点M 和点N 为圆心，大于
1
2 𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧在∠𝐵𝐴𝐶的内部相交于
点P，连接𝐴𝑃并延长，交𝐵𝐶于点G．若∠𝐴𝐵𝐷= 68°，则∠𝐴𝐺𝐵的大小是（ ）
A．55°
B．56°
C．57°
D．58°
14．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 50°，将△𝐴𝐵𝐶沿虚线剪去∠𝐴，则∠1 + ∠2
的度数为（ ）
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A．180°
B．230°
C．240°
D．270°
15．（25-26 八年级上·广东深圳·期末）如图，将△𝐴𝐵𝑃绕点A 逆时针旋转50°得到△𝐴𝐶𝑃′，点B，P 的
对应点分别为点C，𝑃′，当点B，P，C 在同一条直线上时，∠𝐵𝐶𝑃′的度数为（ ）
A．120°
B．130°
C．140°
D．150°
16．（25-26 八年级上·山西吕梁·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，依据尺规作图的作图痕迹，若∠𝐴𝐺𝐹= 75°，
∠𝐴𝐶𝐹= 40°，可知∠𝐵的度数为________．
17．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，以点𝐴为圆心，𝐴𝐶的长为半径作圆弧交𝐵𝐶于
点𝐷，再分别以点𝐵和点𝐷为圆心，大于
1
2 𝐵𝐷的长为半径作圆弧，两弧分别交于点𝑀和点𝑁，作直线𝑀𝑁交𝐴𝐵
于点𝐸，若𝐴𝐵= 10，𝐴𝐶= 6，则△𝐴𝐷𝐸的周长为___________．
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18．（25-26 八年级下·重庆巫山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线𝑦1 = −2𝑥−4与𝑥轴交于
点𝐴，直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑥轴交于点𝐵，与𝑦轴交于点𝐶(0,2)，与直线𝑦1 = −2𝑥−4交于点𝐷，𝑂𝐵= 2𝑂𝐴．
(1)求直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏的函数表达式；
(2)若𝐸是𝑥轴上一点，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐴𝐷𝐸，求点𝐸的坐标；
(3)若𝐹是直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏上方且位于𝑦轴上一点，∠𝐵𝐷𝐹= 2∠𝐷𝐵𝐴，判断△𝐴𝐷𝐹的形状并说明理由．
19．（25-26 八年级下·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的位置如图所示．
(1)△𝐴𝐵𝐶的面积为 ；
(2)借助△𝐴𝐵𝐶的三边说明√5 + √10与√13的大小关系；
(3)若保持点𝐴，𝐶不动，点𝐵从图中的位置沿𝑥轴向右移动到点𝐷，使得𝐶𝐷= 𝐴𝐶，求点𝐷的坐标为 ．
20．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）在学习完浙教版数学八年级上册《1.7 角平分线》这节课后，小
锦和小绣有了新的思考：只用直尺和三角板能做出角平分线吗？
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(1)如图1，小锦在射线𝐵𝐴上任取一点D，过点D 作𝐷𝐹∥𝐵𝐶，以点D 为圆心，𝐷𝐵长为半径画弧，与𝐷𝐹交
于点E，求证：𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线；
(2)如图2，小绣分别在𝑂𝐴，𝑂𝐵上截取𝑂𝐷= 𝑂𝐶，利用三角板构造∠𝑂𝐷𝐺= 90°，且直线𝐷𝐺交𝑂𝐵于点G，同
样作∠𝑂𝐶𝐹= 90°，直线𝐺𝐹交𝑂𝐴于点F．𝐶𝐹与𝐷𝐺交于点E，求证：𝑂𝐸是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线．
