文档文本内容
1 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
第三章 圆的基本性质
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、与圆有关的角度计算
题型2、弧长、路径长计算
题型3、图形面积
题型4、与圆有关的线段问题
题型5、与圆有关的线段比值问题
题型6、与圆有关的最值计算问题
题型7、圆的折叠问题
题型8、圆与函数的综合问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
圆的基本性质问题，要熟练掌握圆心角、圆周角、弦、弧、直径之间的相互关系，灵活运用垂径定理、
圆周角定理及其推论；求弧长与路径长时，要找准圆心、半径和圆心角，注意动点的轨迹形状；与面积相
关的问题，常用割补法、对称变换或等积变形将不规则图形转化为规则图形；涉及线段长度与比值时，要
善于构造直角三角形、相似三角形或利用圆幂定理、切割线定理；最值问题常结合对称、折叠、旋转转化
为定点到定圆或定直线的距离问题；圆与函数综合题要建立合适的坐标系，利用解析几何方法求解，同时
注意几何性质的运用．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
目 录
2 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型1、与圆有关的角度计算
典例1 如图，
是
的外接圆，将
绕点
顺时针旋转至
，使点
在
上，再将
沿
翻折，点
恰好与点
重合，已知
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】延长
交
于点
，连接
，根据圆周角定理得出
，再由翻折的性质确定
，
，
，得出
，
，确定
，再由等
腰三角形的性质及三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长
交
于点
，连接
，
经过圆心
，
，
由翻折得，
，
，
，
，
∵
，
∴
，
，
，
是
的外角，
，
，
由旋转的性质得，
．
3 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型模版
1.特征：利用圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系进行角度计算．
2.方法：根据同弧所对圆心角与圆周角的倍数关系；结合等腰、等边三角形及三角形内角和进行推导；注意
圆内接四边形对角互补．
变式1-1 （25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，
是
的直径，等腰三角形
的底边
、腰
分别交
于点
，
，其中弦
．连接
，
，设
度，
度，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】连接
、
，则
，
，所以
，由
，根据垂径定
理得
，则
，可证明
，则
，所以
，由
，且
度，
度，求得
，于是
得到问题的答案．
【详解】解：连接
、
，则
，
，
∴
，
∵
是
的直径，且弦
，
∴
，
∴
，
∵等腰三角形的底边为
，
∴
，
∴
，
4 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，且
度，
度，
∴
，
故选：D．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等知识，正确地
添加辅助线是解题的关键．
变式1-2 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰
内接于
，
，E 是圆上一点，
将
沿
折叠至
，使点D 落在
上．且
过点O，则
=________，
=________．
【答案】
【分析】延长
交
于点
，连接
，设
交
于点
，设
，由折叠性质得
，
，
是
的直径，进而得
，
，由此得
，
，根据圆周角定理得
，则
，再根据
得
，则
，解方程即可；设
，
，则
，
，
，证明
是等腰直角三角形得
，由勾股定理得
，则
，整理得
，继而得
，据此即可得出
的值．
【详解】解：延长
交
于点
，连接
，设
交
于点
，如图所示：
5 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
设
，
将
沿
折叠至
，使点
落在
上，且
过点
，
，
，
是
的直径，
，
，
，
在
中，
，
根据圆周角定理得：
，
，
是等腰三角形，且
，
，
，
解得：
，
；
设
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
在
中，
，
，
在
中，
，
，
是等腰直角三角形，
6 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
由勾股定理得：
，
，
整理得：
，
，
，
．
故答案为：
；
．
【点睛】本题主要考查了图形的折叠及其性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，
掌握相关知识是解决问题的关键．
题型2、弧长、路径长计算
典例2 如图，
是
的外接圆，其中
，
，以
为圆心
为半径的弧恰好过圆
心
且交
于点
，分别以
、
为圆心，适当长度为半径作弧，两段弧交于点
，连接
并延长交
于点
，则劣弧
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的尺规作图及性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、弧长公式，熟练
掌握相关性质定理是解题的关键．
7 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
连接
、
，根据尺规作图可得
是等边三角形，
是
的角平分线，则
，
根据圆周角定理得到
，从而求出
的度数，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接
、
，
以
为圆心
为半径的弧恰好过圆心
且交
于点
，
，
是等边三角形，
，
∵
是
的直径，
，
由作图可知，
是
的角平分线，
，
，
，
，
劣弧
的长为
．
题型模版
1.特征：求圆中弧长、动点路径长及轨迹相关问题．
2.方法：确定轨迹圆的圆心与半径；计算对应圆心角；代入弧长公式 l=nπR/180；注意起点、终点与运动方
向．
变式2-1 如图，
为等边三角形
的外心，点
以
的速度从点
出发沿
方向运动，连结
并
延长交
于点
，点
关于
的对称点为点
，连结
，
．设点
运动的时间为
，已知
，
当
时，则点
运动的路径长为_________cm．
8 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质、三角形外接圆的性质可知
，利用勾股定理求出
，
根据翻折的性质可知
，由点
的运动轨迹可知点
运动的轨迹是
，根据弧长公式即
可求出点
的运动轨迹长度．
【详解】解：如下图所示，连接
、
，过点
作
，
点
为等边三角形
的外心，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
在
中，
，
，
，
，
由翻折可知
，
当
时，点
在点
的位置，点
与点
重合，
当
时，点
在
的中点
处，点
与点
重合，
点
运动的轨迹是
，
点
为等边三角形
的外心，
，
9 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
的长度为
，
点
的运动轨迹长度为
．
变式2-2 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以
为圆心作
，使其
经过原点O，与x 轴交于点B，并与y 轴交于点A．点E 是圆弧上一点，连接
，点F 为
的中点．当
点E 沿着圆弧从点A 顺时针运动到点B 时，点F 的运动路径长是______．
【答案】
【分析】连接
，取
的中点
，连接
、
，根据勾股定理得到
，根据三角形中位
线定理得到
，得出点
在以点
为圆心，半径为
的圆上运动，再结合点E 的运动路径，
推出点
的运动路径，再利用弧长公式即可求解．
【详解】解：如图，连接
，取
的中点
，连接
、
，
∵
，
∴
，
∴
，
10 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵点F 为
的中点，点
为
的中点，
∴
是
的中位线，
，
∴
，
∴点
在以点
为圆心，半径为
的圆上运动，
∵点E 沿着圆弧从点A 顺时针运动到点B，且绕
转过的角度为
，
∴点
沿着圆弧从点
顺时针运动到点
，且绕
转过的角度为
，
∴点F 的运动路径长是
周长的一半，
∴点F 的运动路径长为
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了点的轨迹问题，勾股定理，三角形中位线定理，弧长公式，坐标与图形，正确找出点
的运动轨迹是解题的关键．
变式2-3 如图，在
中，
，以
为直径作半
，点
是该半圆上的点，连接
交
于
点
，
．
(1)求证：
为
的中点；
(2)若
，求
的长．
【答案】(1)证明：连接
，
∵
是
的直径，
，
，
，
11 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，
，
∴
为
的中点．
(2)
【分析】（1）连接
，由等腰三角形的性质，可得
，可得
，
可得
，
，可得
，由等角对等边可得
，即可证得结论；
（2）连接
是等边三角形，可得
，可得
，由圆周角定理可
得
，由三角形外角的性质，可得
，由
角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股
定理，可得
，可得
，即可得
的长．
【详解】（1）略
（2）解：连接
，
由（1）得
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
12 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
的长度
．
题型3、图形面积
典例3 如图，
，
的角平分线
交
于点
，以
的中点
为圆心，
为半径的半圆
分别交
，
于点
，
，连接
，
，
．若
，
，则扇形
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、平行线的性质、扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理
是解题的关键．
利用圆周角定理得到
，进而求出
的度数，利用角平分线的性质求出
的度数，再根
据平行线的性质求出
的度数，利用圆周角定理求出
的度数，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：
是半圆的直径，
，
，
是
的角平分线，
，
，
，
，
，
点
是
的中点，
，
13 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
扇形
的面积为
．
题型模版
1.特征：圆中阴影部分面积、弓形面积及图形面积的计算．
2.方法：用扇形面积、三角形面积进行割补；利用对称、旋转实现等积转化；注意整体减局部或局部相加．
变式3-1 如图，矩形
的长为，宽为，将长为的线段
的两端放在矩形的相邻的两边上同时滑
动．如果点
从点
出发，沿图中所示方向按
滑动到点
停止，同时点
从点
出发，
沿图中所示方向按
滑动到点
停止．点
是矩形
内的任意一点，把
点落在线
段
的中点
所经过的路线围成的图形区域内的概率记为
，则
_____．
【答案】
【分析】
中点M的运动经过
的中点，
上两段线段，以矩形的四个顶点为圆心的4段弧．两
个点和两条线段没有面积，4 条弧围成的扇形有面积．线段
与矩形的四个直角围成的直角三角形里，点
M 到直角顶点的距离恒为
长度的一半，据此求出扇形面积，即可计算M 的运动路线围成的区域的面积，
再计算矩形
的面积，根据几何概型的概率公式，用区域面积除以矩形面积得到概率P．
【详解】如图，矩形
的长为，宽为，将长为的线段
的两端放在矩形的边上滑动，点
从点
出发，沿图中所示方向按
滑动到点
停止，同时点
从点
出发，沿图中所示方向按
滑动到点
停止．线段
的中点为M．
当线段
在边
上时，M 在
的中点G；
当线段
在
和
上滑动时，
14 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∴点M 运动的路线是
；
当线段
在边
上滑动时，点M 运动的路线是线段
；
当线段
在
和
上滑动时，
∵
，
∴
，
∴点M 运动的路线是
；
当线段
在边
上时，M 在
的中点J；
当线段
在
和
上滑动时，
15 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∴点M 运动的路线是
；
当线段
在边
上滑动时，点M 运动的路线是线段
；
当线段
在
和
上滑动时，
∵
，
∴
，
∴点M 运动的路线是
；
∴点M 运动的路线围成的图形的面积为
,
∴
点落在点
所经过的路线围成的图形区域内的概率为
．
变式3-2 （25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在等腰直角三角形
中，
，
，将
绕点
顺时针旋转
得到
，连接
，则阴影部分的面积为___________
．
16 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积计算公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质和旋转的性质，连接
，延长
交
于
点，如图，根据等腰直角三角形的性质得到
，求得
，得到
，再根据
旋转的性质得到
，
，则可判断
为等边三角形，所以
，从而可判断
垂
直平分
，所以
，
，接着勾股定理计算出
，则可求
，然后根据三角形
面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积
进行计算即可．知道求阴影面积的
主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积是解题的关键．
【详解】解：如图，连接
，延长
交
于
点，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
绕点
顺时针旋转
得到
，
，
，
为等边三角形，
，
，
垂直平分
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
17 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
阴影部分的面积
．
故答案为：
．
变式3-3 （25-26 九年级上·河北石家庄·期中）如图，
为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦
长时，发现
点、点分别与刻度1 和4 对齐，则弦
，弦
与圆围成的阴影部分的面积和是______，
弦
的长度是______．
【答案】
【分析】连接
，
，过点
作
于点
，可得
是直径，
，
，
，
，则
，由勾股定理得
，
然后在
中，由勾股定理得
，再由弧，弦关系定理得
；求出
，
，则
，那么弦
，弦
与圆围成的阴影部
分的面积和等于扇形
的面积减去
的面积，最后再乘以2 即可．
【详解】解：连接
，
，过点
作
于点
，
∵
为圆周上十二等分点，
18 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
是直径，
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
∵
，
，
∴
，
，
∴
∵
，
∴同上可得
，
，
∴
，
∴弦
，弦
与圆围成的阴影部分的面积和是
，
故答案为：
；
．
【点睛】本题考查了扇形面积公式，
角直角三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识点，
熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．
题型4、与圆有关的线段问题
典例4 如图，
是半圆
的直径，
为弦，
于点
，过点
作
交半圆
于点
，过
点
作
于点
．若
，则
的长为___________．
19 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】3
【分析】根据垂径定理求出
，证明
，推出
，即可求出答案．
【详解】∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
．
题型模版
1.特征：与圆有关的弦长、半径、直径及线段长度计算．
2.方法：构造由半径、弦心距、半弦组成的直角三角形；利用垂径定理、勾股定理列方程；结合已知条件求
解．
变式4-1 （25-26 九年级上·浙江金华·期末）如图，点
是半径为2 的圆上一点，
内接于该圆，
，
将线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，直线
与圆的另一个交点记为
，连接
，
，则线
段
的取值范围为__________．
20 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．利用勾股定理的逆
定理求得
，根据瓜豆原理求得点
的轨迹是一个圆，将线段
绕点
逆时针旋转
得到线
段
，则点
就是点
运动轨迹的圆心，半径为
的长，当点
在直径
的延长线上时，线段
有
最大值，当点
在直径
上时，线段
有最小值，据此求解即可．
【详解】解：连接
，
，则
，
∵
，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，且
，
∵点
在
上，将线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，
∴点
的轨迹是一个圆，则点
的轨迹是一个圆，将线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，则点
就
是点
运动轨迹的圆心，半径为
的长，
∵
，
∴
，
∴点
在同一直线上，且
为
的直径，
∴
，
∴
，
当点
在直径
的延长线上时，线段
有最大值，最大值为
，
当点
在直径
上时，线段
有最小值，最小值为
，
∴线段
的取值范围为
，
故答案为：
．
21 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
变式4-2 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，
是
的外接圆，
是直径，
于点
，
的角平分线交
于点
．连接
，若
，则
___________．
【答案】
【分析】连接
，由等边对等角，结合角平分线的定义，可得
，可得
，由圆周角定
理，可得
，作
于点
，可得
，由勾股定理可得
，
，可得
，从而
可得
．
【详解】解：连接
，
∵
是
的外接圆，点
在
上，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
作
于点
，则
，
22 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查等边对等角，角平分线的定义，平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．
变式4-3 （25-26 九年级上·浙江台州·期末）如图，扇形
中，
，
，点P 是线段
上
的动点，将扇形
绕点P 逆时针旋转
得到一个新扇形，当点O 在新扇形
的内部（包括边界）时，
的取值范围为______．
【答案】
【分析】如图，过点O 作
于点H，连接
、
、
，由题意求得
，
，
，求得
，利用勾股定理求得
，进而求得
，当点O 在线段
上时，
证得
，得
，求得
，证得
，即可求解．
【详解】解：如图，过点O 作
于点H，连接
、
、
，
23 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
当点O 在
上时，由题意得，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
当点O 在线段
上时，由题意得，
，
，
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
综上所述，
的取值范围是
，
24 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：
．
【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形内角和定理，
熟练掌握旋转的性质
题型5、与圆有关的线段比值问题
典例5 如图，两矩形
和
彼此相邻内接于半圆
，其中点
、
、
在圆上，点
、
、
在
直径
上，已知
，
，则
_____ ．
【答案】5
【分析】连接
，
，
，根据矩形的性质得
，
，
，证明
，然后利用全等三角形的性质可得
，从而可得
，设
，
，则
，在
中，利用勾股定理可得
，从而可得
，再在
中，利用勾股定理进行计算可得
，从而进行计算即可解答．
【详解】解：如图，连接
，
，
，
∵四边形
和四边形
都是矩形，
∴
，
，
，
25 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
设
，
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
整理得：
，
，
∴
或
（舍去），
∴
．
题型模版
1.特征：圆中线段比值、比例关系及代数化求值问题．
2.方法：通过相似三角形、三角函数或圆幂定理建立比例；设未知数列方程；注意化简与代换．
变式5-1 如图，已知菱形
的顶点
在⊙
上，且边
，
分别与⊙
相交于
，两点，连接
．若
点
为
的中点，则
的值为_____．
【答案】
26 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】设
的中点分别为
，连接
，不妨设
，则
，
，利
用勾股定理求出
，可证
，进而得到
，然后利用勾股定理求出
即可．
【详解】解：设
的中点分别为
，连接
，
不妨设
，则
，
，
由垂径定理可得
，
，
在菱形
中，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
过
作
，则四边形
为长方形，
，
，
，
，
．
变式5-2 （25-26 九年级上·浙江温州·期末）如图，
于点
，过
，
，
三点作圆弧，其圆心
为
，作
于点
，
于点
．若
，则
的值为__________．
27 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．连接
，设
，
，得到
，
，
．根据
，
，
，得到四边形
为矩形，
，
，进而求出
，根据勾股定理得到
，
，
进而得到
，求出
，即可求出
．
【详解】解：如图，连接
，
设
，
∵
，
∴
，
∴
，
．
∵
，
，
，
∴
，
．
∴四边形
为矩形，
，
∴
，
在
中，
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
28 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：
变式5-3 （25-26 九年级上·浙江台州·期末）如图，在正方形
中，以边
上的点O 为圆心，
的
长为半径画弧，分别与边
，
交于点E，F．若
，则
的值为_____．
【答案】
【分析】本题主要考查垂径定理、圆的基本性质、正方形的性质及勾股定理，熟练掌握垂径定理、圆的基
本性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键；连接
，过点O 作
于点G，由题意易得
，
，则有
，设
，
则有
，然后根据勾股定理可得
，则有
，进
而问题可求解．
【详解】解：连接
，过点O 作
于点G，如图所示：
由题意得：
，
∴
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
设
，则有
，
29 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
整理得：
，
解得：
（不符合题意，舍去），
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
故答案为
．
题型6、与圆有关的最值计算问题
典例6 如图，在矩形
中，
，
．点E 为
的中点，点F 为
边上的动点，连接
，
作点A 关于
的对称点G，连接
，则点F 从点A 运动到点B 的过程中，
的最大值与最小值之和为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先确定点G 的运动轨迹，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵点F 为
边上的动点，连接
，作点A 关于
的对称点G，
则由对称的性质可知，
，
∴点G 的运动轨迹是以点E 为圆心，
为半径的一段弧，如图，
30 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当点F 与点A 重合时，
有最大值为
，
则由勾股定理
，
∴
的最大值为10，
当点E，点G，点C 三点共线时，
有最小值，
∴
，
∴
，
∴
的最小值为
，
∴
的最大值与最小值之和为
．
题型模版
1.特征：圆背景下的线段最值、面积最值及范围问题．
2.方法：识别定点、定长、定角，转化为圆上点到定点或定直线距离；利用三角形三边关系或对称求最值．
变式6-1 （25-26 九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，
、
，点
在
轴
正半轴上，点
在轴正半轴上，且
，以
为直径在第一象限作半圆，交线段
于
、
，则线
段
的最大值为_____．
【答案】
/
/
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，
正确作出辅助线是解题的关键．
过
的中点G作
的垂线与
交于点M，过点O作
于H，连接
，先求出
，
31 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
进而求出
，再根据等面积法求出
，由直角三角形斜边中线的性质得到
，由垂
径定理得到
，由
，可知当
最小时，
最大，即
最大，再由
，
得到
，则
，即可得到
．
【详解】解：过
的中点G 作
的垂线与
交于点M，过点O 作
于H，连接
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
∵
，G 为
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴当
最小时，
最大，即
最大，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
．
32 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：
．
变式6-2 （25-26 九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，
是圆
的直径，点
在圆上，
是圆上的一
个动点（不与
重合），连接
．过点
作
于
，连接
和
．若
，则
的
最大值为___________．
【答案】
【分析】本题考查了点到圆的距离，斜边上中线等于斜边一半，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
取
的中点
，连接
，根据题意可得点
在以点
为圆心，
长度为半径的圆上，则
三
点共线时，
取最大值，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，取
的中点
，连接
，
是圆
的直径，
，
，
，
，
，
，
点
在以点
为圆心，
长度为半径的圆上，
，
33 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当
三点共线时，
取最大值，如图，
此时
，
故答案为：
．
变式6-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图，
是圆O 的直径，
，弦
，P 是圆O 上
的动点，取
的中点D，则
的最大值为______．
【答案】
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找点D 的
运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．如图，连接
，首先证明点D 的运动轨迹为以
为直径的
，
连接
，当点D 在
的延长线上时，
的值最大，利用勾股定理求出
即可解决问题．
【详解】解：如图，连接
，
，
，
，
点的运动轨迹为以
为直径的
，连接
，
，
34 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴当点D 在
的延长线上时，
的值最大，
是
的直径，
，
，
是等边三角形，
，
取
的中点Q，连接
，
则
，
在
中，
，
，
，
则
的最大值为
．
题型7、圆的折叠问题
典例7 如图，
是
的直径，
是
的弦，先将
沿
翻折交
于点
．再将
沿
翻折
交
于点
．若
，设
，则
所在的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接
、
、
，由翻折可知，
、
、
所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为
得
，进而得
，结合等腰三角形性质及三角形外角性质可得
，由
是
的直径得
，可得
，代入可得
，解方程求得
的值即可判断
其所在范围．
35 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：如图，连接
、
、
，
由翻折可知，
、
、
所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
是
的直径，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，
∴
所在的范围是
．
题型模版
1.特征：圆的折叠、翻折及其对应弧、角、线段关系问题．
2.方法：抓住折叠前后对应量相等；利用对称性确定对应点、对应弧；结合圆的性质列方程求解．
变式7-1 （25-26 九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，
是
的弦，将
沿着弦
折叠，点
是
折叠后的
上一动点，连结
并延长交
于点
，点
是
的中点，连结
．若半径
，
则
的最小值为__________．
36 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】2
【分析】过点O 作
于点E，连接
，由垂径定理得到
，根据勾股定理得到
．连接
，则
．连接
，
，根据
和
所对圆周角都是
，
得到
，由点C 是
的中点，得到
，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到
，从而可得
的最小值为
．
【详解】解：过点O 作
于点E，连接
，
∴
，
∵
，
∴在
中，
．
连接
，则
，
∴
的最小值为
．
连接
，
，
∵
和
所对圆周角都是
，
∴
，
∴
，
∵点C 是
的中点，
∴
，
37 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
的最小值为
．
变式7-2 （25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，已知
是
的直径，点
为圆上一点．将
沿弦
翻折，交
于点
，把
沿直径
翻折，交
于点
，点
恰好是翻折后的
上一个四等
分点，且
，则
的值为______．
【答案】
/
【分析】连接
，
，
，根据题意和同弧或等弧所对的圆周角相等，可得
，
所对的圆
心角为
，
，根据直径所对的圆周角为
可得
，即
，
再根据角的和差得出
为等边三角形，过点
作与
夹角为
的线段，交
于点
，可得
，设
，则
，根据勾股定理可得
，
再根据等边对等角可得
，进而得
，
．
【详解】解：连接
，
，
，如图所示：
根据题意可得
，
，
，所对的圆周角是
，
∴
，
∴
，
∵点
恰好是翻折后的
上一个四等分点，
∴
，即
，
38 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∵
等于半圆，
∴
所对的圆心角为
，
∴
，
∵
是
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
过点
作与
夹角为
的线段，交
于点
，
，如图：
∴
，
∴
，
设
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
39 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
．
【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的性质和判定，直径所对的圆周角为
，
勾股定理，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
变式7-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知矩形
内接于
，
，
，点
是
上一点，连结
，将
沿着直线
折叠，交线段
于点
．
（1）半径
__________；
（2）连接
，若
，则
__________．
【答案】
【分析】（1）利用矩形内接于圆的性质，矩形的对角线为圆的直径，结合勾股定理求出对角线长度，进而
得到半径．
（2）先由折叠性质推出
，再证明弧的对称性得到
，结合圆心角与圆周角的关系得出
，最后在等腰直角三角形中用勾股定理求出
，从而得到
【详解】解：（1）连接
，
∵矩形
内接于
，
，
，
∴
，
，
，
∴对角线
为
的直径，
∵
，
，
∴
，
40 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴半径
，
故答案为：；
（2）连接
、
、
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵弧
沿
折叠交
于
，
∴
和
关于直线
对称，点
的对称点为
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
是圆周角，
∴
，
∵
，
∴在
中，
，
∵
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、圆的基本性质、折叠的性质及勾股定理的应用，熟练掌握圆内接矩
形的对角线为圆的直径，以及折叠前后弧与角的对应关系是解题的关键．
41 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型8、圆与函数的综合问题
典例8 （25-26 九年级上·浙江金华·期末）如图，已知
，
，动点
在线段
上由
向
运动，连接
，将
绕点
逆时针旋转
得
，连接
．设
，
的面积为
，
关
于的函数图象如图所示，最高点为
．则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，过点
作
的延
长线于点
，过点
作
于点
，可证
，得到
，设
，则
，可得
，利用抛物线的对称轴可得
，
即得到
，最后把
代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点
作
的延长线于点
，过点
作
于点
，则
，
∴
，
∵将
绕点
逆时针旋转
得
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
42 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
设
，则
，
∴
，
由图知，抛物线的对称轴为直线
，
∴
，
解得
，
∴
，
当
时，
，即
，
故选：
．
题型模版
1.特征：圆与函数、坐标系相结合的综合问题．
2.方法：建立坐标系写出圆与函数解析式；联立方程求交点；结合几何性质简化代数运算．
变式8-1 如图，二次函数
（其中
）的图像与轴交于
，
两点（点
在点
左
侧），与
轴交于点
，连接
，
，点
为
的外心．记
的面积为
，
的面积为
，
则
的值为_____．
43 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
/
【分析】先求得
、
，易得
，则
是等腰直角三角形，即
；
由三角形外接圆的性质、圆周角定理可得
，
．易得
是等腰直角三角形，
如图：过D 作
于N，过C 作
于M，证明
可得
，
设
，则
，
，即
，解得：
；然后用m 表示出
、
，最后代入求值即可．
【详解】解：∵令
时，
∴
，解得：
，
∴
，
∴
，
∵令
时，
，
∴
，即
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∵点D 为
的外心．
∴
，
．
∵
，
∴
是等腰直角三角形，
如图：过D 作
于N，过C 作
于M，
，
44 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
，
∴
，解得：
，
∴
，
，
∴
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
的面积
；
∵过D 作
于N，
，
∴
，
∴
的面积为
，
∴
．
变式8-2 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图，外形参数如图所
示．装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线
，中间的矩形
和下方的圆弧
组成．抛物
线
的高度为
，矩形
的边
，
，圆弧
的拱高为
．在装置内部安装矩形
电子显示屏
，点
，
在圆弧
上，点
，
在抛物线
上，
轴．
45 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
问题解决：如图，该小组以矩形
的顶点
为原点，以
边所在的直线为轴，以
边所在的直
线为
轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)分别求出抛物线
的函数表达式和圆弧
所在圆的半径．
(2)为满足矩形电子显示屏
的空间要求，需要
到
的水平距离为
，求此时矩形
的面
积．
【答案】(1)
的函数表达式为
；
(2)
【分析】
（1）根据矩形的性质得到
，
，可知
，
，
，
，
设
中点为P，则
，由题干图可知，抛物线
的顶点为
，设
表达式为：
，
代入
求解即可；设圆弧
所在圆的半径为，圆心为
，连接
，根据垂径定理的推论可知
，根据勾股定理计算即可；
（2）连接
，则
，作
交
于点Q，根据矩形的性质得到
轴，
轴，
可知H、G 纵坐标相同，即H、G 关于抛物线对称轴对称，进而可知
到抛物线对称轴的距离与
到抛
物线对称轴的距离相同，根据
可知
在抛物线对称轴上，则
到抛物线对称轴的距离为
，
即
，根据矩形的判定和性质求出
，
，根据勾股定理求出
，
将
代入
求出
点坐标为
，可知
，根据矩形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵矩形
的边
，
，
∴
，
，
46 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
可知
，
，
，
，
设
中点为P，则
，
由题干图可知，抛物线
的顶点为
，即
，
设
表达式为：
，
代入
得，
，
解得
，
∴抛物线
的表达式为
；
如图，设圆弧
所在圆的半径为
，圆心为
，连接
，
∵
为
的中点
∴
，
∵圆弧
的拱高为
，即
，
在
中，
，
解得
；
（2）解：如图，连接
，则
，作
交
于点Q，
∵矩形
，
∴
，
∵
轴，
∴
轴，
轴，
47 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
抛物线对称轴，H、G 纵坐标相同，
∵H、G 在抛物线上，
∴H、G 关于抛物线对称轴对称，
即
到抛物线对称轴的距离与
到抛物线对称轴的距离相同．
∵
，P 在抛物线对称轴上，
∴
在抛物线对称轴上，
即
到抛物线对称轴的距离为
，
∴
，
由题意可知
，
，
∴
，
∵
轴，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
将
代入
的函数表达式得，
，
∴
点坐标为
，
∴
，
则矩形
的面积为
．
变式8-3 （25-26 九年级上·浙江湖州·阶段检测）在平面直角坐标系中，图形上任意两个点的纵坐标分别
记为
，定义
的最大值为图形的“竖直高”．
48 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)计算出下列图形的“竖直高”；
①
，其中
；
②如图1，以原点为圆心，作
，四边形
内接于
，
，
与线段
围成的
图形；
(2)如果抛物线
与经过点
的直线围成的图形“竖直高”是
，求实数
的值．
【答案】(1)①6；②
；
(2)
【分析】本题主要考查坐标与图形、圆周角定理、二次函数的性质、一次函数的性质等知识点，掌握“竖
直高”的定义以及数形结合思想是解题的关键．
（1）①根据“竖直高”的定义求解即可；②如图：过点C 作
于点E，由圆周角定理得到
，
由
，则
，利用勾股定理求出
、
进而得到
，即
；
根据三角形面积公式求出
，即可得到点C 的纵坐标为
，根据“竖直高”的定义求解即可；
（2）先求出直线
的函数解析式，再与二次函数
联立，求出两个交点的纵坐标，再
根据二次函数与直线围成的图形“竖直高”是
，分
和
两种情况讨论，分别建立方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵
的顶点
；
∴纵坐标最大为4，最小为
，
∴
的“竖直高”为
；
②如图：过点C 作
于点E，
49 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
根据题意得
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，解得：
，即点C 的纵坐标为
，
∴
与线段
围成的图形的“竖直高”为
．
（2）解：设过点
的直线的解析式为
，
则有
，解得
，
∴过点
的直线的解析式为
，
设直线
与抛物线
交点坐标为
，
，
联立
， 解得
和
，
∵抛物线
，
∴抛物线
对称轴为
，顶点坐标为
，
∵
与抛物线
与经过点
的直线围成的图形“竖直高”是
，
50 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
矛盾，
∴
在
之间，即
，
当
时，则
，解得：
或
，
当
时，
，符合题意，
当
时，
，不符合题意；
当
时，则
，解得
或
，
当
时，
，符合题意，
当
时，
，不符合题意；
综上，实数a 的值为
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．已知平面直角坐标系内的三点
，
，
，其中
，
两点的坐标分别为
，
，点
满足
（
为坐标原点），则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先确定点B 的轨迹为直线，再得到点C 的轨迹为圆，确定
，
，然后分两种情况分析：
当
时，得出圆半径
，
，过点D 作
轴，过点E 作
轴，交
于点G，连接
，确定
，
，结合图形
得出
，过点D 作
交圆于点C，此时
取得最小值，利用等面
积法求解即可；然后利用同样的方法得出
，即可求解
【详解】解：∵ 点
坐标为
，
设
，则
，
，
51 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，即点
在直线
上，
当
时，
，当
时，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴点
在以
为弦，圆心角为
的圆上，
∴
中点为
，
的垂直平分线为
，
设圆心为
，
∵
，
，
，
∴
，即
，
解得
，
，
当
时，
，
∴圆半径
，
，
过点D 作
轴，过点E 作
轴，交
于点G，连接
，如图所示：
∴四边形
为矩形，
∴
，
∴
，
∴
52 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
过点D 作
交圆于点C，任取一点
，连接
，
∵
，
∴当点C 位于图中位置时，
取得最小值，
∴
，
解得：
∴
的最小值是：
；
同理：当
时，
，
如图所示：
，
∴不符题意，舍去，
综上可得：
的最小值是：
2．（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）如图，
是
的直径，
，弦
交
于点
，半
径
，点
，
位于
两侧，作
交
于点
，连接
交
于点
．若
的面积
为5，则
的面积为（ ）
A．6
B．
C．7
D．
【答案】D
53 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定
等知识，掌握相关知识是解题的关键．
根据“一线三垂直”易证
，再根据垂径定理和圆周角定理，易得
，
，
从而易证
和
为等腰直角三角形，易求
，最后根据勾股定理，可求
，
计算面积即可．
【详解】解：
，
，即
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
是
的直径，
，
，则
，
，
，
为等腰直角三角形，
的面积为5，
，解得
，则
，
在
中，
，
则
，
，即
为等腰直角三角形，
．
故选：D．
3．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，
为圆
的弦，
是弧
的中点，连结
并延长，
是
的半径，作
，交
的延长线于点
，连结
．给出下列结论：①若
，则
；
54 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②若
，则
．其中正确的是（）
A．①，②都对
B．①对，②错
C．①错，②对
D．①，②都错
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，平行线的
判定，掌握知识点是解题的关键．
连接
交
于点F，则
．由
，根据垂径定理得
垂直平分
，
，则
，所以
，由
，得
，推导出
．若
，可证明
，则
，
可判断①正确；若
，则
，可证明
，得
，所以
可判断②正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接
交
于点F，如图
则
，
∴
，
∵C 是弧
的中点，
∴
，
垂直平分
，
∴
，
，
∴
，
∵
，交
的延长线于点D，
∴
，
55 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
若
，则
，
∴
，
∴
，
∴
，故①正确；
若
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
∴
，故②正确．
故选：A．
4．如图，在锐角三角形
中，分别以三边
，
，
为直径作圆．记三角形外的阴影面积为
，
三角形内的阴影面积为
，在以下四个选项的条件中，不一定能求出
的是（ ）．
A．已知
的三条中位线的长度
B．已知
的面积
C．已知
的长度，以及
，
的长度和
D．已知
，
的长度及
的度数
【答案】C
56 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】由题意
，推出
，推出
，再逐项判断即可．
【详解】解：∵
，
，
，
A、若已知
的三条中位线的长度，则由三角形中位线性质可得
三边的长度，
对于三角形，若已知其三条边长，可根据海伦公式
，其中
是三角形的三
边，
，求出其面积，即可得到
的值，选项不符合题意；
B、已知
的面积，代入
即可求得，选项不符合题意；
C、∵已知
两边长度和，
的长度不确定，
的面积也不确定，
∴不一定能求出
的值，选项符合题意；
D、连接
，如图所示：
由
是直径得
，即
，
，
在
中，由勾股定理可得
，
在
中，由勾股定理可得
，
，据此即可求得
的值，选项不符合题意．
【点睛】证明
是本题的突破点．
57 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
5．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形
和正方形
．延长
交以
为直径的半圆于点
，连接
．若
，则
的值为______．
【答案】
【分析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为，得到
，
连接
，根据圆周角定理结合等弧对等弦得到
，
，进而推出
四点
共圆，得到
，求出
，将
绕点
旋转
，得到
，
推出
三点共线，得到
，三线合一，得到
，进而得到
，得到
，进而求出
的长，即可得出结果．
【详解】解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
由题意，
，
连接
，
∵
为半圆的直径，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
四点共圆，
∴
，
，
∴
，
将
绕点
旋转
，得到
，则
，
，
，
∴
，
∴
三点共线，
∴
，
58 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
6．
（25-26 九年级上·浙江金华·期中）如图，
中，
，
，则
的最大面积是______，
若
的中点是
，那么中线
的最大值是______．
【答案】
/
/
【分析】作
的外接圆
，分别连接
，
，
，过
作
，交
所在直线于点
，所
以
，当
最大时，
有最大，根据圆的性质可得当
三点共线时，
最大，然后证明
是等边三角形，则有
，由勾股定理可得
，
从而求出
的最大值；取
中点
，连接
，
，
，
，又
的中点是
，所以
是
中位线，则有
，可得点
在以
为圆心，半径为的圆上运动，当点
三点共线时，
有最大值，然后同上理即可求解，根据题意、正确构造辅助圆是解题的关键．
【详解】解：作
的外接圆
，分别连接
，
，
，过
作
，交
所在直线于点
，
如图，
59 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴当
最大时，
有最大值，
根据圆的性质可得当
三点共线时，
最大，如图，
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的最大值为
，
如图，取
中点
，连接
，
，
，
，
60 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
的中点是
，
∴
是
中位线，
∴
，
∴点
在以
为圆心，半径为的圆上运动，
当点
三点共线时，
有最大值，如图，
同上理：
，
∴中线
的最大值是
，
故答案为：
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练
掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．
7．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，点C 是半圆O 上的一个动点，将
沿着
折叠交直径
于点D，点E 是
的中点，连结
．若
，则
的最小值是______．
【答案】
61 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质．作点D 关于
的对称点
交原
上，连接
，作点O 关于
的对称点
交
上，连接
，
，
，
，
，过点
C 作
，利用倒角及圆周角定理得出相关角度的表达式，再利用
，列出α 的方程求解α
的值，通过垂径定理证得
是等腰直角三角形，从而求得
的值，由三角形任意两边之差小于第三边
得出，当C，O，E 三点共线时，
有最小值，即可解答．
【详解】解：如图，作点D 关于
的对称点
交原
上，连接
，作点O 关于
的对称点
交
上，连接
，
，
，
，
，过点C 作
，
∵
为半圆直径，
，
∴
，
∵E 是
中点，
∴
，
设
的度数为α，则
的度数为
，
∴
，
∵
，
∴
，
由翻折的性质可知，
，
，
，
，
∴
的度数为α，
的度数为α，
∴
，
∴
，即
，
∴
的度数为
，
∵
，
∴
，解得
，
∴
，
∴
，
62 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
由垂径定理可知，E 是
中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
在
中，
，
∵
，
∴当C，O，E 三点共线时，
有最小值，
∴
，
即
最小值为
，
故答案为：
．
8．（25-26 九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在
中，点A、B、C 均在圆上，连接
、
、
、
、
．
(1)若
，
，求
的度数．
(2)若
，
，
①若
，求
．
②若
，求点O 到
的距离．
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）根据圆周角定理求出
，然后根据
求解即可；
（2）①延长
交
于点
，连接
，则
，
，由
，得
，
根据平行线的性质得
，
，所以
，根据圆心角、弦的关系得出
63 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，最后根据勾股定理求解即可；
②过点
作
于点
，
于H，作
于点
，过点
作
于点
．证明出
，先根据勾股定理求出
，利用面积法求出
，同理求出
，得出
，求出x 的值，进而可求出
．
【详解】（1）解：
，
，
，
；
（2）解：①延长
交
于点
，连接
，
是
的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图，过点
作
于点
，
于H，作
于点
，过点
作
于点F，
，
64 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
又
，
四边形
是矩形，
，
设
，则
，
，
，
，
，
，
同理可求
，
，
到
的距离为
，
，
，
，
解得
，
，
即点O 到
的距离为
．
9．（25-26 九年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，四边形
为
的内接四边形，且
．
(1)求
的度数．
65 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)若
的半径为5．
①如图2，连接
，求
的长．
②如图3，连接
，若
平分
，求
的最大值．
(3)如图4，若
是
的直径，直接写出线段
之间的等量关系．
【答案】(1)
(2)①
，②
的最大值为10
(3)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求解即可；
（2）①利用圆周角定理，求出
，再利用特殊角求解
即可；
②利用
角构造等边三角形， 将
转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的
最大值即可；
（3）延长
，
，构造直角三角形，利用
，
角，找到线段之间的联系即可．
【详解】（1）解：由图可知，四边形
是圆内接四边形，
∴
，
又
，
∴
，
∴
；
（2）解：①如图，连接
，
，作
于点E，
则
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
由垂径定理，得
，得
，则
，
66 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
平分
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
是等边三角形，
由①，得
，
∵
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴点F 在以
为弦，所对圆周角为
的圆上，
∴当
为所在圆直径时，
的长最大，
此时
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即为最大值，
∴
的最大值为10；
（3）解：如图，延长
，
，交于点G，
67 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
为直径，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
又
，
∴
．
10．如图①，
是
的直径，点C 是
上的点，连接
并延长
至点D，使
，连接
交
于点E．
(1)求证：点C 是劣弧
的中点；
(2)如图②，连接
，若
，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，由
是⊙O 的直径，得到
，根据等腰三角形的性质得到
，
于是得到结论；
（2）连接
，由已知条件得到
是等边三角形，得到
，则
，
推出
，
，于是得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连结CB，
68 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
是
的直径，
，
，
，
，
，
点C 是劣弧
的中点．
（2）解：如图，连结
，
，
∴
，
是等边三角形，
∴
，
是
的直径，
∴
，
∴
，
由（1）知，点C 是劣弧
的中点．
，
，
∴
．
69 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，扇形的面积的计算，正确的
作出辅助线是解题的关键．
11．（25-26 九年级上·浙江台州·期末）已知，
的半径为10，
是
的弦，
．
(1)如图1，作弦
，若满足
，则
______；
(2)若C，D 是圆上两点，且满足
．
①如图2，连接
，求
的长；
②在圆上截取
（点A，F 不重合），连接
，
，分别交线段
于点M，N．当点N 恰为
的
中点时，求
的面积．
【答案】(1)90
(2)①
；②
或
【分析】（1）根据圆周角定理进行解答即可；
（2）①连接
并延长，交
于点E，连接
，根据
，得出
，求出
，
根据勾股定理求出结果即可；
②分两种情况：当点C 与点F 重合时，当点C 与点F 不重合时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∴
；
（2）①解：连接
并延长，交
于点E，连接
，
∴
，
70 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
为直径，
∴
，
∵
的半径为10，
，
∴在
中，根据勾股定理得：
，
∴
．
②解：如图，连接
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
如图2，当点C 与点F 重合时，点M 与点F 重合，即点M 在
上，
∴此时点C、F、M 重合，
71 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵点N 是
的中点，
，即
∴
，且
为直径，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的面积为
．
当点C 与点F 不重合时，连接
、
、
、
，如图3 所示，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
把
绕点B 逆时针旋转
得到
，连接
交
于点G，如图3 所示，
72 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
则
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
为
的中点，
∴
为
的中位线，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
为
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
，
过点B 作
于点P，如图3 所示：
73 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
；
综上，
的面积为
或
．
【点睛】本题主要考查了圆的基本知识，圆周角定理，垂径定理的推论，等边三角形的判定和性质，旋转
的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
12．（25-26 九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，已知
是
的外接圆，点
是
上的动点（不
与
、
重合），连接并延长
到
，连接
、
交于点
．已知
．
(1)求证：
；
(2)若
，
，
为等腰三角形
①证明：
；
②当
时，证明：
；
③
时，求
的长
【答案】(1)
证明：
四边形
内接于
，
，
由圆周角定理得：
，
，
，
；
(2)
①
是
上的动点（不与
重合），
74 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
由（1）知，
，
，
，
，
，
②如图，
∵
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
；
③
的长为
【分析】本题主要考查了圆内接四边形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角
形，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键
（1）根据圆内接四边形的性质得
，根据圆周角定理得
，结合已知得
，据此即可得出结论；
（2）①先证明
，
，得到
，即
，则
，即可解答；
②先推导出
，得到
，继而证明
，得到
，则
75 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，即可解答；
③当
时，过点
作
于
，过点
作
于点
，作
的平分线交
于点
，
过点
作
于点
，
于点
，连接
，如图，先证明
，则
，
，
，利用三角形的面积公式求出
，在
中，
，再证明
，在
中，
，由此得
，
然后在
中，由勾股定理得：可求出
，进而即可得解．
【详解】（1）略
（2）
③当
时，过点
作
于
，过点
作
于点
，作
的平分线交
于点
，
过点
作
于点
，
于点
，连接
，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
设
，
在
中，
，
76 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
由勾股定理得：
，
，
，
，解得：
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
在
，由勾股定理得：
，
答：
的长为
．
13．如图，在正方形
中，
为
边上一点（不与点
重合），连接
，以
为直径作圆，交
对角线
于点
，连接
并延长交
于点
，连接
．已知
．
(1)若
，求线段
的长．
77 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)求证：
．
(3)设
，记
与
的面积差为
，试确定
与的函数关系式．
【答案】(1)
(2)证明：如图，延长
至点
，使得
，连接
，
，
∵正方形
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
；
78 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(3)
【分析】（）连接
，由圆周角定理得
，即得
，再根据等腰直角三
角形的性质和勾股定理解答即可求解；
（）延长
至点
，使得
，连接
，
，可证
，得到
，
，
，再证明
，得到
，进而由
即
可求证；
（）连接
、
，过点
分别作
、
的垂线，交
、
于点
，过点
作
的垂线，交
于点，可得
，由四边形
是矩形得
，又由正方形的轴对称性可知
，
由（）已知
，进而得到
，即得到
，由根据等腰直角三角形的性质和勾股
定理得
，
，得到
，最后根据
列出函数关系式即可．
【详解】（1）解：如图，连接
，
∵
为直径，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
是正方形
的对角线，
∴
，
∴
∴
是等腰直角三角形，
∴
；
79 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）略
（3）解：如图，连接
、
，过点
分别作
、
的垂线，交
、
于点
，过点
作
的
垂线，交
于点，
∵
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
由正方形的轴对称性可知
，由（）已知
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
同理可得，
，
∴
，
∴
，
即
．
14．（25-26 九年级下·浙江杭州·开学考试）阅读材料：如图1，若点P 是
外的一点，线段
交
于
点A，则
长是点P 与
上各点之间的最短距离．
80 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
证明：延长
交
于点B，显然
．如图2，在
上任取一点C（与点A，B 不重合），连接
，
．
，且
，
，
，
的长是点P 与
上各点之间的最短距离．
由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．
请用上述结论解决下列问题．
(1)如图3，在
中，
，
，以
为直径的半圆O 交
于D，P 是弧
上
的一个动点，连接
，求
长的最小值．
(2)如图4，在边长为2 的菱形
中，
，M 是
边的中点，点N 是
边上一动点，将
沿
所在的直线翻折得到
，连接
．求线段
长的最小值．
(3)如图5，已知正方形
的边长为4，点G 是以
为直径的半圆O 上的一动点，点P 是
边上另一
动点，连接
，
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接
与
相交于点P，由题意得，此时
最短，利用勾股定理求出
的长即可得到答
案；
（2）由线段中点的定义可得
，由折叠的性质可得
，则点
在
为
直径的圆上运动（
右侧的半圆上）；连接
交圆M 于点Q，过点C 作
，交
的延长线于点
81 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
P，求出
的长，进而求出
的长，再利用勾股定理求出
的长即可得到答案；
（3）作点D 关于
的对称点
，连接
，
，设
分别交
于点N，交半圆O 于点H，
由轴对称的性质可得
，
，则可推出当点P 与点N 重合，点G 与点H 重合
时，
有最小值，最小值为
的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图3 所示，连接
与
相交于点P，由题意得，此时
最短，
∵
的直径，且
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
的最小值为
；
（2）解：∵四边形
是边长为2 的菱形，
∴
，
；
∵M 是
的中点，
∴
，
由折叠的性质可得
，
∵点N 在线段
上运动，
∴点
在
为直径的圆上运动（
右侧的半圆上）；
连接
交圆M 于点Q，过点C 作
，交
的延长线于点P，如图4 所示，
∵
，
82 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
由题意可知，当点
与点Q 重合时，
最短，最短为
；
（3）解：如图5 所示，作点D 关于
的对称点
，连接
，
，
设
分别交
于点N，交半圆O 于点H，
由轴对称的性质可得
，
，
∴
，
∴当
三点共线时，
有最小值，最小值为
的长，
∴由题意得，当点P 与点N 重合，点G 与点H 重合时，
有最小值，最小值为
的长；
如图5 所示，过点
作
交
的延长线于点
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
；
83 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
的最小值为
．
15．（25-26 九年级上·浙江湖州·期末）某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论：
甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形．
乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形．
(1)判断甲乙两位同学的结论（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．两位同学都正确 D．两位同学都错误
(2)如图1，
的半径为3，矩形
内接于圆O．丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当
该矩形为正方形时，其面积最大．以下是他的证明思路：
矩形
面积最大
→
面
积最大
→
当
是______三
角形时，面积最大
→
圆内接矩形
是正方形
根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断
的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是
多少？
(3)如图2，这两个圆都是以点O 为圆心的同心圆，
，
，矩形
的两边
和
分别为同
心圆的两条弦．请你求出矩形
面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少？
【答案】(1)A；
(2)
是等腰直角三角形，圆内接矩形的最大面积是
；
(3)矩形
面积的最大值为
，矩形的周长
．
【分析】本题考查了圆内接四边形，矩形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握各知识点是解
题的关键．
84 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）根据圆内接四边形的对角互补及对角互补的平行四边形是矩形作答即可；
（2）连接
，作
，
，可知
是直径，则
，根据矩形的性质可知
，即当
面积最大时，矩形
面积最大，由
，
，
，
可知
面积最大
，矩形
面积最大
，此时
为半径，即
与
重合，即可得到
的形状；
（3）过
作
于
于
，判定四边形
是矩形，得到
，由垂径定理推出
，求出
的面积
，得到
，因此当
的面积最大时，矩
形
的面积最大，当
时，
的面积最大，进而根据矩形的性质及勾股定理作答即可．
【详解】（1）解：圆内接四边形的对角互补，对角互补的平行四边形是矩形；
即甲正确，乙错误．
故选：A；
（2）解：如图，已知矩形
内接于圆O，连接
，作
，
，
∵
，
∴
是直径，
∴
，
∴
∵矩形
，
∴
，
即当
面积最大时，矩形
面积最大，
∵
，
，
，
∴
面积最大
，矩形
面积最大
，此时
为半径，即
与
重合，
∵
，
，
85 / 85
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
是等腰直角三角形；
（3）解：过
作
于
于
，
∵四边形
是矩形，
，
∴四边形
是矩形，
，
，
，
，
∴
的面积
，
∵矩形
的面积
，
∴
，
∴当
的面积最大时，矩形
的面积最大，
为两圆的半径，值恒定，以
为底时，
的高
，
∴当
时，
的面积最大，
此时
，
，
，
当
时，
的面积
，
，
，
，
∴此时矩形的周长
．
