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专题27 不等式的基本性质
（题型突破·举一反三）
题型01 不等式的性质
题型02 不等式的性质比较大小（天平）
题型03 不等式的性质比较大小
题型04 比较大小（数轴）
题型05 利用不等式的性质进行证明
题型06 作差法比较大小
题型07 不等式变形为x＞a 或x＜a 的形式
▌题型01 不等式的性质
不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c.
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边
都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
即：如果 a>b，c>0，那么ac>bc 或
𝑎
𝑐＞
𝑏
𝑐；
如果 a>b， c<0，那么ac<bc 或
𝑎
𝑐＜
𝑏
𝑐.
【典例1】（2026 春•皇姑区校级期末）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＞0
B．a+m＞b+m
C．﹣3a＞﹣3b
D．2a＞2b
【变式1-1】（2026 春•文山市期末）若x＜y，则下列不等式不正确的是（ ）
A．x+5＜y+5
B．x﹣1＜y﹣1
C．
𝑥
2 ＜
𝑦
2
D．﹣2x＜﹣2y
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【变式1-2】（2026 春•黄山期末）下列变形正确的是（ ）
A．由﹣x＞5，得x＞﹣5
B．由−1
2 𝑥≤6，得x≥﹣3
C．由x＞y，得xz2＞yz2
D．由xz2＞yz2，得x＞y
【变式1-3】（2026 春•北流市期末）已知a＜b，下列结论中成立的是（ ）
A．a+1＞b+1
B．﹣3a＞﹣3b
C．
1
2 𝑎+ 2＞
1
2 𝑏+ 2
D．
𝑎
𝑐＜
𝑏
𝑐
▌题型02 不等式的性质比较大小（天平）
（1） 看图写不等式，直接把天平状态写成：左＞右或左＝右或左＜右；
（2）用不等式性质变形；
（3）消掉相同的，比剩下的，天平两边同时拿走一样重的东西，大小关系不变。
【典例1】（2026 春•怀仁市期末）已知天平右盘中每个砝码的质量均为3𝑔，则物体𝑀的质量𝑥（单位：𝑔）
的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2026 春•奈曼旗期末）如图，天平右边托盘里的每个砝码的质量都是10 千克，则图中显示物
体质量的范围是（ ）
A．大于20 千克
B．小于30 千克
C．大于20 千克且小于30 千克
D．大于20 千克或小于30 千克
【变式1-2】（2026 春•龙岗区期末）如图，天平左边的苹果质量为𝑥克，右边的砝码质量为200 克，则𝑥的取
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值范围可表示为（ ）
A．x<200 B．x≤200 C．x>200 D．x≥200
【变式1-3】（2025 春•浦东新区月考）设A，B，C 表示三种不同的物体，先后用天平称了两次，情况如图
所示，则这三个物体按质量从大到小应为（ ）
A．A＞B＞C
B．C＞B＞A
C．B＞A＞C
D．A＞C＞B
▌题型03 不等式的性质比较大小
利用不等式的性质比较大小，作差，变形，判断符号，下结论。
【典例1】（2025 秋•黄浦区校级月考）当x＞y 时，比较﹣3x+5 与﹣3y+5 的大小，并说明理由．请将下面
的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质．
（1）∵x＞y，﹣3＜0，
∴﹣3x ﹣3y（ ），
∴﹣3x+5 ﹣3y+5（ ）．
（2）若（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a 的取值范围为 ．（直接写出答案）
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【变式1-1】（2025 秋•海盐县期中）小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结
果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正．
已知x＞y，试比较﹣2x+2025 与﹣2y+2025 的大小．
解：∵x＞y，①
∴﹣2x＞﹣2y，②
∴﹣2x+2025＞﹣2y+2025．③
（1）小华的解题过程中，从步骤 开始出现错误（填写序号）；
（2）请写出正确的解题过程．
【变式1-2】（2025•宜春校级开学）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知n＜0，试比较：𝑚−1
2 𝑛
与𝑚−1
5 𝑛的大小．
解：∵−1
2 ＜−1
5，n＜0，
∴根据不等式的基本性质3，得
−1
2 𝑛＜−1
5 𝑛，第一步
∴根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m，得𝑚−1
2 𝑛＜𝑚−1
5 𝑛．第二步
（1）上述解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
（2）请写出正确的解题过程．
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【变式1-3】（2025•青秀区校级开学）阅读下述材料完成问题．
利用不等式的性质说明下列结论的正确性：
如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d．
解：因为a＞b，所以a+c＞b+c．①
又因为c＞d，所以b+c＞b+d．②
由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，
所以由①②，可得a+c＞b+d．
通过上述材料，我们可以得到不等式的同向可加性．
例如：若x＞1，y＞2，那么x+y＞1+2，即x+y 的取值范围是x+y＞3．
（1）根据上述性质解决问题：若x＜1，y＜3，则x+y 的取值范围是 ；若﹣1＜x＜2，0＜y＜1，
则x+y 的取值范围是 ；
（2）【性质应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y 的取值范围．
解：由x﹣y＝﹣3，得x＝y﹣3．
将x＝y﹣3 代入x＜﹣1 得，
y﹣3＜﹣1，
即y＜2．
又因为y＞1，
所以1＜y＜2．
以上是求解的部分过程，请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整
（3）【拓展提升】已知x+y＝3，且x＞2，y＞﹣2，则2x﹣y 的取值范围是 ．
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▌题型04 比较大小（数轴）
数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大。
【典例1】（2026•庆元县二模）在数轴上表示数a 的点如图所示，则3a 与2a 的大小关系是（ ）
A．3a＜2a
B．3a≤2a
C．3a＞2a
D．3a≥2a
【变式1-1】（2025 秋•宜春期末）已知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示．
（1）用“＞”或“＜”填空：
b﹣c 0，a+b 0，c﹣a 0；
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|．
【变式1-2】（2025 秋•长沙县期末）如图，数轴上的点A，B，C，D，E 对应的数分别为a，b，c，d，e，
且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等．
（1）填空：a﹣c 0，b﹣a 0，b﹣d 0（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）化简：|a﹣c|﹣|b﹣a|+|b﹣d|；
（3）若|a|＝|e|，|b|＝3，则b﹣e 的值是 ．
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【变式1-3】（2026 春•秦淮区期中）如图，数轴上点A，B 分别表示数a，b．
（1）a+b 0，a﹣b 0（用“＞”、“＝”和“＜”填空）；
（2）比较a2 与b2 的大小，并说明理由（已知a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b））．
▌题型05 利用不等式的性质进行证明
1. 看条件：圈出题干给出的已知大小关系；
2. 定变形：确定要做加、减、乘、除，重点判断乘数正负；
3. 选性质：乘除负数，记得改变不等号方向；
4. 递推写结论：步步写明依据，完成证明。
【典例1】（25-26 七年级下·江苏南京·期末）代数推理：证明“如果𝑎< 𝑏, 𝑐< 𝑑，那么𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑．”
【变式1-1】（25-26 七年级下·海南海口·期末）【阅读理解】
在证明命题“如果𝑎、𝑏、𝑐、𝑑都是正数，且𝑎> 𝑏，𝑐> 𝑑，那么𝑎𝑐> 𝑏𝑑”时，小明的证明方法如下：
证明：∵𝑎> 𝑏，𝑐是正数，
∴𝑎𝑐>________．
∵𝑐> 𝑑，𝑏是正数，
∴𝑏𝑐>________．
∴𝑎𝑐> 𝑏𝑑（不等关系具有传递性）．
【问题解决】
(1)请将上述的证明过程填写完整；
(2)若𝑎< 𝑏，𝑏是负数，请求证𝑎2 > 𝑏2．
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【变式1-2】（25-26 七年级下·福建泉州·期末）已知a，b，c，d 为四个互不相等的有理数．
(1)如果𝑎< 𝑏，𝑐< 𝑑，试说明：𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑．
在下列说理中，填空（数学符号或理由）：
解：∵𝑎< 𝑏，
∴𝑎+ 𝑐__________𝑏+ 𝑐，
又∵𝑐< 𝑑，
∴𝑏+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑（__________），
∴𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑．
(2)如果a，b，c，d 都是正数，且𝑎> 𝑏，𝑐> 𝑑，那么𝑎𝑐与𝑏𝑑的大小关系如何？请说明你的结论的正确性．
【变式1-3】（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）利用不等式的相关性质，判断命题“如果𝑎、𝑏、𝑐、𝑑都是正
数，且𝑎< 𝑏、𝑐< 𝑑，那么𝑎𝑐< 𝑏𝑑”的真假性，并证明你的结论．
▌题型06 作差法比较大小
要比较两个代数式 𝐴、𝐵 的大小，计算𝐴−𝐵的结果，通过差的正负判断大小：
则𝐴−𝐵> 0 ⇔𝐴> 𝐵；
𝐴−𝐵= 0 ⇔𝐴= 𝐵；
𝐴−𝐵< 0 ⇔𝐴< 𝐵。
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【典例1】（2025•泰州二模）已知a＞b，则2﹣a 与3﹣b 的大小关系是（ ）
A．2﹣a＞3﹣b
B．2﹣a＝3﹣b
C．2﹣a＜3﹣b
D．无法比较
【变式1-1】已知x＜y，比较﹣2x﹣3 与﹣2y﹣3 的大小，结果正确的是（ ）
A．﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3
B．﹣2x﹣3＜﹣2y﹣3
C．﹣2x﹣3＝﹣2y﹣3
D．﹣2x﹣3≥﹣2y﹣3
【变式1-2】（25-26 七年级下·河南南阳·期末）我们知道可用求差法比较两个数的大小．例如，比较-5 和-6
的大小：
∵−5 −(−6) = −5 + 6 = 1 > 0，
∴−5 > −6．
(1)请用不等式的性质说明下列结论的正确性：如果𝑎−𝑏> 0，那么𝑎> 𝑏．
(2)已知𝑚> 0，请用求差法比较2𝑚−1与3𝑚+ 1的大小．
【变式1-3】利用不等式（或等式）的基本性质，解答下列问题：
(1)如果𝑎−𝑏< 0，那么𝑎 𝑏；如果𝑎−𝑏= 0，那么𝑎 𝑏；如果𝑎−𝑏> 0，那么𝑎
𝑏．
(2)比较2𝑎与𝑎的大小；
(3)若𝑎> 𝑏，𝑐> 𝑑，①比较𝑎+ 𝑐与𝑏+ 𝑑的大小；②比较𝑎−𝑑与𝑏−𝑐的大小．
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▌题型07 不等式变形为x＞a 或x＜a 的形式
不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c.
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边
都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
即：如果 a>b，c>0，那么ac>bc 或
𝑎
𝑐＞
𝑏
𝑐；
如果 a>b， c<0，那么ac<bc 或
𝑎
𝑐＜
𝑏
𝑐.
【典例1】根据不等式的性质，将下列不等式变形为𝑥> 𝑎或𝑥< 𝑎的形式．
（1）𝑥−
1
4 <
3
4，根据不等式的性质______，不等式两边都______，得_____；
（2）
3
2 𝑥> −5，根据不等式的性质_____，不等式两边都______，得______；
（3）−8𝑥> 16，根据不等式的性质______，不等式两边都______，得______．
【变式1-1】（2026 七年级下·江苏·专题练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“𝑥> 𝑎”或“𝑥< 𝑎”的
形式．
(1)𝑥−1 < 5；
(2)−
1
2 𝑥+ 1 ≥4．
【变式1-2】根据不等式的性质，将下列不等式化成“𝑥> 𝑎”或“𝑥< 𝑎”的形式．
（1）−
2
3 𝑥< −2．
（2）10𝑥> 7𝑥+ 1．
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【变式1-3】（24-25 八年级下·广东佛山·阶段检测）依据不等式的性质，把下列不等式化成𝑥> 𝑎或𝑥< 𝑎的
形式：
(1)𝑥+ 3 < 5
(2)−2𝑥< 5
(3)
1
7 𝑥< −3
