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1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题27 不等式的基本性质 （题型突破·举一反三） ▌题型01 不等式的性质 【典例1】C． 【变式1-1】D． 【变式1-2】D． 【变式1-3】B． ▌题型02 不等式的性质比较大小（天平） 【典例1】A． 【变式1-1】A． 【变式1-2】C． 【变式1-3】A． ▌题型03 不等式的性质比较大小 【典例1】 【解答】解：（1）∵x＞y，﹣3＜0， ∴﹣3x＜﹣3y（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变）， ∴﹣3x+5＜﹣3y+5（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． 故答案为：＜；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；＜；不等式的两边都加上同一个数， 不等号的方向不变； 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）∵x＞y 且（a﹣3）x＜（a﹣3）y， ∴a﹣3＜0， 解得：a＜3． 故答案为：a＜3． 【变式1-1】 【解答】解：（1）小华从步骤②开始出现错误．因为根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一 个负数﹣2，不等号方向应该改变，而小华没有改变不等号方向，所以步骤②错误． 故答案为：②； （2）正确解题过程： ∵x＞y， ∴﹣2x＜﹣2y（不等式两边同时乘以﹣2，不等号方向改变）， ∴﹣2x+2025＜﹣2y+2025（不等式两边同时加2025，不等号方向不变）． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由题干中的解题步骤可得从第一步开始出现错误，错误的原因是不等式的两边都乘以 同一个负数，不等号的方向没有改变， 故答案为：一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）∵−1 2 ＜−1 5，n＜0， ∴根据不等式的基本性质3，得−1 2 𝑛＞−1 5 𝑛， ∴根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m，得𝑚−1 2 𝑛＞𝑚−1 5 𝑛． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵x＜1，y＜3， ∴x+y＜1+3，即x+y＜4， ∵﹣1＜x＜2，0＜y＜1， ∴﹣1+0＜x+y＜2+1，即﹣1＜x+y＜3， 故答案为：x+y＜4；﹣1＜x+y＜3． （2）由x﹣y＝﹣3，得x＝y﹣3， 将x＝y﹣3 代入x＜﹣1， ∴y﹣3＜﹣1， ∴y＜2， ∵y＞1， ∴1＜y＜2， ∴2＜2y＜4， 3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴2﹣3＜2y﹣3＜4﹣3，即﹣1＜y+y﹣3＜1， ∴﹣1＜x+y＜1． （3）∵x+y＝3， ∴x＝3﹣y， ∴2x﹣y ＝2（3﹣y）﹣y ＝6﹣2y﹣y ＝6﹣3y， ∵x＞2， ∴3﹣y＞2， ∴﹣y＞﹣1， ∴y＜1， ∵y＞﹣2， ∴﹣2＜y＜1， ∴﹣3＜﹣3y＜6， ∴3＜6﹣3y＜12， ∴3＜2x﹣y＜12， 故答案为：3＜2x﹣y＜12． ▌题型04 比较大小（数轴） 【典例1】 【解答】解：由数a 在数轴上的位置可知：a＜0， ∴3a﹣2a＝a＜0， ∴3a＜2a， 故选：A． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵大数减小数结果是正数，小数减大数结果是负数， a＜0＜b＜c，|c|＞|a|＞|b|， ∴b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， 故答案为：＜，＜，＞； 4 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）∵b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0， ∴|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a| ＝﹣b+c﹣a﹣b﹣2c+2a ＝a﹣2b﹣c． 【变式1-2】 【解答】解：（1）从数轴可知：a＜b＜c＜d＜e， ∴a﹣c＜0，b﹣a＞0，b﹣d＜0， 故答案为：＜；＞；＜； （2）|a﹣c|﹣|b﹣a|+|b﹣d| ＝﹣a+c﹣（b﹣a）﹣（b﹣d） ＝﹣a+c﹣b+a﹣b+d ＝c+d﹣2b； （3）∵|a|＝|e|， ∴a、e 互为相反数， ∴c 是原点， ∵|b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等， ∴b＝﹣3，e＝6， ∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由所给数轴可知， a＜0＜b 且|a|＜|b|， 则a+b＞0，a﹣b＜0． 故答案为：＞，＜； （2）a2＜b2，理由如下： a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 因为a+b＞0，a﹣b＜0， 所以（a+b）（a﹣b）＜0， 所以a2＜b2． ▌题型05 利用不等式的性质进行证明 【典例1】 5 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】证明：∵𝑎< 𝑏，𝑐< 𝑑 ∴𝑎−𝑏< 0，𝑐−𝑑< 0 ∴(𝑎+ 𝑐) −(𝑏+ 𝑑) = (𝑎−𝑏) + (𝑐−𝑑) < 0 即(𝑎+ 𝑐) −(𝑏+ 𝑑) < 0 ∴𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑． 【变式1-1】 【详解】（1）证明：∵𝑎> 𝑏，𝑐是正数， ∴𝑎𝑐> 𝑏𝑐． ∵𝑐> 𝑑，𝑏是正数， ∴𝑏𝑐> 𝑏𝑑． ∴𝑎𝑐> 𝑏𝑑（不等关系具有传递性）． （2）(2)证明：∵𝑎< 𝑏，𝑏是负数， ∴𝑎< 0， ∵𝑎< 𝑏，𝑎是负数， ∴𝑎2 > 𝑎𝑏， ∵𝑎< 𝑏，𝑏是负数， ∴𝑎𝑏> 𝑏2， ∴𝑎2 > 𝑏2． 【变式1-2】 【详解】（1）解：∵𝑎< 𝑏， ∴𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑐， 又∵𝑐< 𝑑， ∴𝑏+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑（不等式两边加同一个数，不等号的方向不变）， ∴𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑； （2）𝑎𝑐> 𝑏𝑑，理由如下： ∵𝑎> 𝑏，𝑐> 0， ∴𝑎𝑐> 𝑏𝑐， ∵𝑐> 𝑑，𝑏> 0， ∴𝑏𝑐> 𝑏𝑑， ∴𝑎𝑐> 𝑏𝑐> 𝑏𝑑， ∴𝑎𝑐> 𝑏𝑑． 【变式1-3】 【详解】解：该命题是真命题， 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 证明：∵𝑎、𝑏、𝑐、𝑑都是正数，且𝑎< 𝑏，𝑐> 0， ∴𝑎𝑐< 𝑏𝑐， ∵𝑐< 𝑑，𝑏> 0， ∴𝑏𝑐< 𝑏𝑑， ∴𝑎𝑐< 𝑏𝑑， ∴该命题是真命题． ▌题型06 作差法比较大小 【典例1】C． 【变式1-1】A． 【变式1-2】 【详解】（1）解：∵𝑎−𝑏> 0， ∴𝑎−𝑏+ 𝑏> 0 + 𝑏， ∴𝑎> 𝑏． （2）解：∵2𝑚−1 −(3𝑚+ 1) = 2𝑚−1 −3𝑚−1 = −𝑚−2， ∵𝑚> 0， ∴−𝑚−2 < 0， ∴2𝑚−1 < 3𝑚+ 1． 【变式1-3】 【详解】（1）解：如果𝑎−𝑏< 0，两边都加b，那么𝑎< 𝑏；如果𝑎−𝑏= 0，两边都加b，那么𝑎= 𝑏；如 果𝑎−𝑏> 0，两边都加b，那么𝑎> 𝑏； （2）解：2𝑎−𝑎= 𝑎， 分三种情况讨论∶ 当𝑎> 0时，2𝑎−𝑎> 0，得2𝑎> 𝑎； 当𝑎= 0时，2𝑎−𝑎= 0，得2𝑎= 𝑎； 当𝑎< 0时，2𝑎−𝑎< 0，得2𝑎< 𝑎； （3）解：①∵𝑎> 𝑏， ∴𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑐． ∵𝑐> 𝑑， ∴𝑏+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑， 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑； ②∵𝑐> 𝑑， ∴不等式两边同乘−1，不等号方向改变，得−𝑑> −𝑐． 又∵𝑎> 𝑏， ∴𝑎+ (−𝑑) > 𝑏+ (−𝑑) > 𝑏+ (−𝑐)，即𝑎−𝑑> 𝑏−𝑐． ▌题型07 不等式变形为x＞a 或x＜a 的形式 【典例1】 （2） 3 2 𝑥> −5，根据不等式的性质2，不等式两边都乘以 2 3，得𝑥> − 10 3 ； （3）−8𝑥> 16，根据不等式的性质3，不等式两边都除以−8，得𝑥< −2． 【变式1-1】 【详解】（1）解：𝑥−1 < 5， 不等式两边同时加上1，得𝑥< 6； （2）解：− 1 2 𝑥+ 1 ≥4， 不等式两边同时减去1，得− 1 2 𝑥≥3， 不等式的两边同时乘−2，得𝑥≤−6． 【变式1-2】 【详解】解：（1）将− 2 3 𝑥< −2两边都除以− 2 3， 得𝑥> 3． （2）将10𝑥> 7𝑥+ 1两边都减7𝑥， 得10𝑥−7𝑥> 7𝑥−7𝑥+ 1， 即3𝑥> 1， 两边都除以3， 得𝑥> 1 3． 【变式1-3】 【详解】（1）解：∵𝑥+ 3 < 5， ∴𝑥+ 3 −3 < 5 −3， ∴𝑥< 2； （2）解：∵−2𝑥< 5， 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴−2 ÷ (−2)𝑥< 5 ÷ (−2)， ∴𝑥> − 5 2； （3）解：∵ 1 7 𝑥< −3， ∴ 1 7 × 7𝑥< −3 × 7， ∴𝑥< −21．
