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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第十八章 分 式
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题：本题共8 小题，每小题3 分，共24 分。
1.
2
x，
a−b
4c ，
x2−2x+1
3
，
2
5+y，
x
π−1，
5x2y
3x 中，分式的个数是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【分析】本题考查分式定义：形如
A
B（A、B为整式，B含字母且B ≠0），π为常数，不含字母的分母不是分
式。
【详解】
2
x、
a−b
4c 、
2
5+y、
5x2y
3x ：分母含字母，是分式；
x2−2x+1
3
、
x
π−1：分母为常数，属于整式；
共 4 个分式，故选：B。
2.把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是 ( )
A.
y
x−y
B.
1
x−y
C.
x−y
xy
D.
x−y
y2
【答案】A
【分析】本题考查分式基本性质，代入5x、5y化简，对比原式值是否相等。
【详解】
A.
5y
5x−5y =
5y
5(x−y) =
y
x−y，值不变；
B.
1
5x−5y ≠
1
x−y，值缩小；
C.
5x−5y
5x·5y =
5(x−y)
25xy =
x−y
5xy ≠
x−y
xy ；
D.
5x−5y
(5y)2 =
5(x−y)
25y2 =
x−y
5y2 ≠
x−y
y2 ；
故选：A。
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3.下列各式中，是最简分式的是( )
A.
x2−1
x2+1
B.
x+1
x2−1
C.
2x
x2
D.
x2−2x+1
x−1
【答案】A
【分析】最简分式：分子分母无公因式，不能约分。
【详解】
A. 分子x2 −1，分母x2 + 1无公因式，最简分式；
B.
x+1
(x+1)(x−1) =
1
x−1，可约分；
C.
2x
x2 =
2
x，可约分；
D.
(x−1)2
x−1 = x −1，可约分；
故选：A。
4.如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答.经查看答案解析发现，
若设第一次购买了x个魔方，则可列方程
1500
x −
1000
x−10 = 5进行解答.则被墨水污染部分的文字为( )
A. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
【答案】D
【分析】分式单价 = 总钱数 ÷ 数量，
1500
x 第一次单价，
1000
x−10第二次单价，差值 5。
【详解】
第二次数量x −10：比第一次少 10 个；
1500
x −
1000
x−10 = 5：第一次单价−第二次单价= 5，即第二次更便宜，每个优惠 5 元；
故选：D。
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5.如果关于x的方程
2x+m
x−3 = −1的解是正数，那么m的取值范围是( )
A. m < 3
B. m > 3
C. m < 3且m ≠−6
D. m < −6
【答案】C
【分析】先去分母解分式方程，解大于 0 且分母不为 0，排除增根。
【详解】
两边乘x −3：2x + m = −(x −3)
2x + m = 3 −x，3x = 3 −m，x =
3−m
3
①解为正数：
3−m
3
> 0 ⇒3 −m > 0 ⇒m < 3；
②分母x −3 ≠0，
3−m
3
≠3 ⇒3 −m ≠9 ⇒m ≠−6；
综上m < 3且m ≠−6，故选：C。
6.若分式
|x|−3
x2−6x+9的值为0，则x的值为( )
A. 3
B. −3
C. ±3
D. ±9
【答案】B
【分析】分式值为 0：分子 = 0 且分母≠0。
【详解】
分子：|x| −3 = 0 ⇒x = 3或x = −3；
分母：x2 −6x + 9 = (x −3)2 ≠0 ⇒x ≠3；
故x = −3，选：B。
7.节约用水，人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水mt，现在改用喷灌方式，可使这
些水多用4天，现在比原来每天少用水( )
A.
4m
a t
B.
4am
a+4 t
C.
4m
a(a+4) t
D.
am+3m
a(a+4) t
【答案】C
【分析】先算原来、现在日均用水量，再做差通分。
【详解】
原来每天：
m
a；现在总天数a + 4，每天
m
a+4；
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差值：
m
a −
m
a+4 =
m(a+4)−am
a(a+4)
=
4m
a(a+4)，选 C。
8.已知a2 −3a + 4 = 0，则式子
a−1
a2−a+2的值是( )
A. −3
B. −2
C.
1
2
D.
1
3
【答案】C
【分析】由已知变形得a2 = 3a −4，整体代入分母化简。
【详解】
由a2 −3a + 4 = 0得a2 = 3a −4；
分母a2 −a + 2 = 3a −4 −a + 2 = 2a −2 = 2(a −1)；
原式=
a−1
2(a−1) =
1
2（a ≠1，分母不为 0），选 C。
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.若分式
3−x
2−x的值比分式
1
x−2的值大3，则x的值为 ．
【答案】1
【分析】列分式方程，注意2 −x = −(x −2)统一分母求解并检验。
【详解】
3−x
2−x −
1
x−2 = 3，变形
x−3
x−2 −
1
x−2 = 3
x−4
x−2 = 3，x −4 = 3(x −2)，x −4 = 3x −6，2x = 2，x = 1；
检验x = 1时分母≠0，成立。
10.式子|a
b
c
d|称为二阶行列式，规定它的运算法则为|a
b
c
d| = ad −bc，则二阶行列式|
a2 −a
1
a
1
a2−1
| = ．
【答案】−
a2
a+1
【分析】运算法则ad −bc，再因式分解约分。
【详解】
原式= (a2 −a) ·
1
a2−1 −1 · a
=
a(a −1)
(a + 1)(a −1) −a =
a
a + 1 −a(a + 1)
a + 1
=
a−a2−a
a+1
= −
a2
a+1。
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11.定义运算“※”: a※b = {
a
a−b (a > b),
b
b−a(a < b),
若5※x = 2，则x的值为 ．
【答案】
5
2或10
【分析】分5 > x、5 < x两种情况分类列方程求解。
【详解】
①5 > x：
5
5−x = 2 ⇒5 = 10 −2x ⇒x =
5
2，满足5 >
5
2；
②5 < x：
x
x−5 = 2 ⇒x = 2x −10 ⇒x = 10，满足5 < 10；
综上x =
5
2或10。
12.某市“创卫攻坚”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化改造，经投标由甲、乙两个工程队
来完成.已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的2倍，如果两个工程队各自
独立完成面积为600m2区域的绿化，甲工程队比乙工程队少用6天.若甲工程队每天绿化的费用是1.2万元，乙
工程队每天绿化的费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿
化 天.
【答案】32
【分析】先求甲乙日绿化面积，再列不等式求解整数最小值。
【详解】
设乙每天xm2，甲2x：
600
x −
600
2x = 6，解得x = 50，甲每日100m2；
设甲a天，乙b天：100a + 50b = 3600 ⇒a = 36 −
1
2 b；
费用：1.2a + 0.5b ≤40，代入：
1.2 (36 −1
2 b) + 0.5b ≤40
43.2 −0.6b + 0.5b ≤40，−0.1b ≤−3.2，b ≥32。
三、解答题：本题共6 小题，共64 分。
13.（10 分）计算：
(1) (
3a
a−3 −
a
a+3) ⋅
a2−9
a ． (2) (x +
x
x2−1) ÷ (2 +
1
x−1 −
1
x+1)．
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【答案】
(1)原式=
3a2+9a−a2+3a
(a+3)(a−3) ⋅
(a+3)(a−3)
a
= 2a + 12．
(2)原式=
x3
(x+1)(x−1) ÷
2x2−2+x+1−x+1
(x+1)(x−1)
=
x3
(x+1)(x−1) ⋅
(x+1)(x−1)
2x2
=
x
2．
14.(7 分)
老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果，随后用字母A代替了原式的一部分：(A +
x2−9
x2+6x+9) ÷
2x
3−x =
x−3
x+3．
(1)求A，并将其化简．
(2)原式的值能等于−1吗?请说明理由．
【答案】
(1)解: 由题意,得A+
(x+3)(x−3)
(x+3)2 =
x−3
x+3 ⋅
2x
3−x,
则A+
x−3
x+3=-
2x
x+3,
∴A=-
2x
x+3-
x−3
x+3=
3−3x
x+3 .
(2)原式的值不能等于-1.理由如下:
若
x−3
x+3=-1,方程两边乘(x+3),得x-3=-x-3.解得x=0.
由题意知x≠±3,且x≠0,∴原式的值不能等于-1.
15.(7 分)
小丽在解分式方程1 −
x−3
2x+2 =
3x
x+1时，出现了错误，她的解题过程如下：
解：去分母，得2x + 2 −(x −3) = 3x．⋯⋯第一步
解得x =
5
2．⋯⋯第二步
∴原分式方程的解是x =
5
2．⋯⋯第三步
(1)小丽的解题过程从第 步开始出错，这一步的依据是 ;
(2)小丽的解题过程缺少的步骤是 ;
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)一;等式的性质2
(2)检验
(3)1-
x−3
2x+2=
3x
x+1.
去分母,得2x+2-(x-3)=6x.解得x=1.
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检验:当x=1 时,2x+2≠0.
所以,原分式方程的解是x=1.
16.(10 分)
某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，
李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作.小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项
课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告.请根据活动报告计算支付给工人的总费用．
【答案】解：设招募安装横杠的工人x名，则安装竖杠的工人(6 −x)名．
由题意，得
400
2x =
1200
3(6−x)，
解得x = 2．
经检验，x = 2是原方程的解，且符合题意，
则6 −x = 4，
支付给工人师傅的总费用为2 × 200 + 4 × 240 = 1360(元)．
答：支付给工人师傅的总费用为1360元．
课题
菜地护栏建设
调查方式
走访调研、实地查看测量
测量过程及计算
图示
调研内容
相关数据及说明：
①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，
且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工
人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天
费用为240元．
②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横
杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求
两项安装任务同时开始，并在当天同时完成．
计算结果
⋯⋯
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17.(12 分)
阅读下面材料，解答相应问题．
解方程：
x−1
x −
4x
x−1 = 0．
解：设y =
x−1
x ，则原方程可化为y −
4
y = 0．
方程两边乘y，得y2 −4 = 0，
解得y = ±2．
经检验，y = ±2都是方程y −
4
y = 0的解．
当y = 2时，
x−1
x = 2，解得x = −1;
当y = −2时，
x−1
x = −2，解得x =
1
3．
经检验，x = −1或x =
1
3都是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为x = −1或x =
1
3．
上述这种解分式方程的方法称为“换元法”．
问题：
(1)若在方程
x−1
4x −
x
x−1 = 0中，设y =
x−1
x ，则原方程可化为 ．
(2)模仿上述换元法解方程：
x−1
x+2 −
3
x−1 −1 = 0．
【答案】(1)
y
4-
1
y=0
(2)原方程化为
x−1
x+2-
x+2
x−1=0.
设y=
x−1
x+2,则原方程可化为y-
1
y=0.
方程两边乘y,得y2-1=0,
解得y=±1.
经检验,y=±1 都是方程y-
1
y=0 的解.
当y=1 时,
x−1
x+2=1,该方程无解;
当y=-1 时,
x−1
x+2=-1,解得x=-
1
2.
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经检验,x=-
1
2是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为x=-
1
2.
18.(13 分)
(1)【问题提出】请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积.方法1： ，方法2： ；
(2)【问题应用】若a + b = 6，a2 −24 = b2，求a和b的值；
(3)【应用拓展】如图1，“丰收1号”小麦试验田是边长为a米(a > b > 0)的正方形去掉一个边长为b米的正方
形蓄水池后余下的部分，如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a −b)米的正方形，两块试验田的小麦都收
获了500千克．
①高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
②若b = 1，高的单位面积产量比低的单位面积产量多
40
(a−b)2千克，求a的值．
【答案】(1)a2 −b2;(a −b)(a + b)
(2)∵a2 −24 = b2，
∴a2 −b2 = 24，
∴(a + b)(a −b) = 24.
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又a + b = 6，
∴a −b = 4，
∴a = 5，b = 1.
(3)①“丰收1 号”小麦试验田的单位面积产量为
500
(a+b)(a−b) kg；
“丰收2 号”小麦试验田的单位面积产量为
500
(a−b)2 kg.
∵a + b > a −b，
∴
500
(a+b)(a−b) <
500
(a−b)2，
∴“丰收2 号”高.
∵
500
(a−b)2 ÷
500
(a+b)(a−b) =
a+b
a−b，
∴高的是低的
a+b
a−b倍；
②依题意知：
500
(a−1)2 −
500
(a+1)(a−1) =
40
(a−1)2，
解得a = 24.
经检验，a = 24是原分式方程的解且符合题意，
∴a = 24.
小学
初中
