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2026-2027学年七年级上学期数学周周测10
第四章整式的加减综合训练
时间：45分钟 分值：70分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）
1．下列式子中：
− 9；
3
2
ᵆ+ 4ᵆ；
5 + 2ᵄ；
5ᵅ + 6
8
；
7ᵆᵆ；
6ᵅ．单项式有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查单项式的判断，判断每个式子是否为单项式，单项式是数字或字母的积的形式，不能包
含加减法运算．据此解答即可．
【详解】解：
− 9是常数，属于单项式；
3
2
ᵆ+ 4ᵆ包含加法运算，是多项式，不是单项式；
5 + 2ᵄ包含加法运算，是多项式，不是单项式；
5ᵅ + 6
8
分子为多项式，不是单项式；
7ᵆᵆ是数字与字母的积，为单项式；
6ᵅ是数字与字母的积，为单项式．
单项式有
、
、
，
故选：C．
2．多项式2
2
ᵆ− 2
3
ᵆᵆ − 6ᵆ + 3
2
ᵆ
3
ᵆ按ᵆ的降幂排列正确的是（ ）
A．3
2
ᵆ
3
ᵆ− 2
3
ᵆᵆ + 2
2
ᵆ− 6ᵆ
B．2
2
ᵆ− 6ᵆ + 3
2
ᵆ
3
ᵆ− 2
3
ᵆᵆ
C．− 2
3
ᵆᵆ + 3
2
ᵆ
3
ᵆ− 6ᵆ + 2
2
ᵆ
D．2
3
ᵆᵆ + 3
2
ᵆ
3
ᵆ− 6ᵆ + 2
2
ᵆ
【答案】C
【分析】把一个多项式按照某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按照这个字母降幂排
列．本题考查多项式的降幂排列，掌握方法并注意符号不变才能正确求解．
【详解】解：依题意，2
2
ᵆ− 2
3
ᵆᵆ − 6ᵆ + 3
2
ᵆ
3
ᵆ按字母ᵆ的降幂排列为− 2
3
ᵆᵆ + 3
2
ᵆ
3
ᵆ− 6ᵆ + 2
2
ᵆ
故选：C
3．下列各式中，去括号正确的是（ ）．
A．ᵄ + (ᵄ − ᵅ) = ᵄ + ᵄ + ᵅ
B．ᵄ − 2 (ᵄ + ᵅ) = ᵄ − 2ᵄ + 2ᵅ
C．ᵄ + 3 (ᵄ − ᵅ) = ᵄ + 3ᵄ − 3ᵅ
D．ᵄ −(ᵄ − ᵅ) = ᵄ − ᵄ − ᵅ
【答案】C
【分析】本题考查去括号的法则，掌握去括号法则是解题的关键，去括号的法则：括号前是“+”号，去括
号后各项符号不变；括号前是“−”号，去括号后各项符号改变．根据去括号的法则逐项判断即可．
【详解】解：选项A：ᵄ + (ᵄ − ᵅ) = ᵄ + ᵄ − ᵅ，但选项为 ᵄ + ᵄ + ᵅ，错误，不符合题意；
选项B：ᵄ − 2(ᵄ + ᵅ) = ᵄ − 2ᵄ − 2ᵅ，但选项为 ᵄ − 2ᵄ + 2ᵅ，错误，不符合题意；
选项C：ᵄ + 3(ᵄ − ᵅ) = ᵄ + 3ᵄ − 3ᵅ，与选项一致，正确，符合题意；
选项D：ᵄ − (ᵄ − ᵅ) = ᵄ − ᵄ + ᵅ，但选项为 ᵄ − ᵄ − ᵅ，错误，不符合题意．
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故选：C．
4．下列结论：
1是单项式；
−
2
2
3
ᵅᵅ的次数是6；
5ᵰᵄ
2
ᵄ
2
ᵅ
2
的系数是5
2，次数是6；
多项式3
3
ᵆᵆ − 2ᵆ − 7
是三次三项式，其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【分析】本题考查的是单项式与多项式的定义，单项式的次数，多项式的项，次数的含义，熟练掌握知识
点是解题的关键．
单项式：数字与字母的积，单个的数与单个的字母也是单项式，其中数字因数是单项式的系数，几个单项
式的和叫多项式，其中的单项式叫多项式的项，最高次项的次数是多项式的次数，根据定义逐一分析即可
得到答案．
【详解】解：
单项式是数字或字母的积，1是数字，
结论
正确.
单项式的次数是所有字母指数的和，− 2²ᵅ³ᵅ中字母指数和为3 + 1 = 4，
结论
错误.
单项式的系数是数字部分，包括常数ᵰ，故系数为
5ᵰ
2 ；次数是字母指数和1 + 2 + 2 = 5，
结论
错误.
多项式的次数是最高次项的次数，3ᵆ³ᵆ的次数为4，− 2ᵆ的次数为1，− 7的次数为0，故最高次数为4，
是四次三项式，
结论
错误.
综上，只有结论
正确，
故选：A．
5．下列计算正确的是（ ）
A．− 3ᵄᵄ − 2ᵄᵄ =− ᵄᵄ
B．− 2 (6
2ᵄ− 3ᵄ + 1) =− 12
2
ᵄ+ 6ᵄ + 2
C．3
3
ᵄ− 2
2
ᵄ= ᵄ
D．−
3
2 ᵄᵄ − ᵄᵄ =−
5
2 ᵄᵄ
【答案】D
【分析】本题考查整式的混合运算以及实数的混合运算，根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可
求出答案．
【详解】解：A、− 3ᵄᵄ − 2ᵄᵄ =− 5ᵄᵄ，原式计算错误，故A不符合题意；
B、− 2 (6
2ᵄ− 3ᵄ + 1) =− 12
2
ᵄ+ 6ᵄ − 2，原式计算错误，故B不符合题意；
C、3
3
ᵄ、2
2
ᵄ不是同类项，不能合并，原式计算错误，故C不符合题意；
D、−
3
2 ᵄᵄ − ᵄᵄ =−
5
2 ᵄᵄ，正确，故D符合题意．
故选：D．
6．定义一种新运算“Δ”，规定：ᵄΔᵄ = ᵄ − 4ᵄ，例如：2Δ (− 1) = 2 − 4 × (− 1) = 6．若ᵅ + 2ᵅ = 3，则(ᵅ − 2ᵅ) Δ (ᵅ +
的值为（ ）
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A．− 9
B．− 7
C．7
D．9
【答案】A
【分析】本题考查新定义运算的理解和应用，以及整体代入思想．根据新运算“Δ”的定义，将(ᵅ − 2ᵅ) Δ (ᵅ + ᵅ)
转化为常规的代数运算，再结合已知条件ᵅ + 2ᵅ = 3进行计算即可．
【详解】解：由题意可得，(ᵅ − 2ᵅ) Δ (ᵅ + ᵅ) = ᵅ − 2ᵅ − 4 (ᵅ + ᵅ) =− 3ᵅ − 6ᵅ =− 3 (ᵅ + 2ᵅ)，
∵ ᵅ + 2ᵅ = 3，
∴原式=− 3 × 3 =− 9，
故选：A．
7．已知关于x，y的多项式3ᵆ
ᵅ + 2
ᵆ
+ 2ᵆ − 7与多项式
2
ᵆ
3
ᵆ+ 4
2
ᵆ− 5的次数相同，那么n的值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】本题考查了多项式的次数，正确理解多项式的次数的概念是解题的关键．多项式中次数最高的项
的次数叫做多项式的次数．根据多项式次数的概念，列方程求解即可．
【详解】解：∵关于x，y的多项式3ᵆ
ᵅ + 2
ᵆ
+ 2ᵆ − 7与多项式
2
ᵆ
3
ᵆ+ 4
2
ᵆ− 5的次数相同，
∴ 1 + ᵅ + 2 = 5，
解得ᵅ = 2．
故选：C．
7．下列各式中，去括号结果正确的个数是（ ）
2x2
（
2x+y）＝2x2+2x+y；
7a2
[3b
（a
2c）
d]＝7a2
3b+a
2c+d；
2xy2
3（
x+y）＝2xy2+3x
y；
（m
2n）
（
2m2+3n2）＝
m+2n+2m2
3n2．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C．
【分析】括号前为正号，去掉括号后，各项不变，括号前为符号，去掉括号后，各项变号；接下来将去括
号后的结果与各个选项逐一进行比较，即可得到答案．
【详解】解：2x2
（
2x+y）＝2x2+2x
y，故
错，不符合题意；
7a2
[3b
（a
2c）
d]＝7a2
3b+a
2c+d，故
对，符合题意；
2xy2
3（
x+y）＝2xy2+3x
3y，故
错，不符合题意；
（m
2n）
（
2m2+3n2）＝
m+2n+2m2
3n2.故
对，不符合题意．
共有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查的是去括号的知识，熟记去括号法则是解题的关键．
8．若7x2y2和
11x3my2的和是单项式，则式子12m
16的值是（ ）
A．
13
B．
9
C．
8
D．
5
【答案】C．
【分析】根据同类项的定义求出m的值，再代入进行计算即可．
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【详解】解：
7x2y2和
11x3my2的和是单项式，
7x2y2和
11x3my2是单项式，
即3m＝2，
解得ᵅ =
2
3
，
12ᵅ − 16 = 12 ×
2
3 − 16 = 8 − 16 =− 8，
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，代数式求值，熟练掌握同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数
也相同是解题的关键．
9．有一道题目是一个多项式A减去多项式2
2
ᵆ+ 5ᵆ − 3，小胡同学将2
2
ᵆ+ 5ᵆ − 3抄成了2
2
ᵆ+ 5ᵆ + 3，计
算结果是−
2
ᵆ+ 3ᵆ − 7，这道题目的正确结果是（ ）
A．
2
ᵆ+ 8ᵆ − 4
B．−
2
ᵆ+ 3ᵆ − 1
C．− 3
2
ᵆ− ᵆ − 7
D．
2
ᵆ+ 3ᵆ − 7
【答案】B
【分析】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
直接利用整式的加减运算法则得出A，进而利用整式的加减运算法则得出这道题目的正确结果．
【详解】解：由题意可得：ᵃ −(2
2ᵆ+ 5ᵆ + 3) =−
2
ᵆ+ 3ᵆ − 7，
则ᵃ =−
2
ᵆ+ 3ᵆ − 7 + 2
2
ᵆ+ 5ᵆ + 3
=
2
ᵆ+ 8ᵆ − 4，
故这道题目的正确结果是：
2
ᵆ+ 8ᵆ − 4 −(2
2ᵆ+ 5ᵆ − 3)
=
2
ᵆ+ 8ᵆ − 4 − 2
2
ᵆ− 5ᵆ + 3
=−
2
ᵆ+ 3ᵆ − 1．
故选：B．
10．如图
所示，在一个边长为ᵄ的正方形纸片上剪去两个小长方形，得到一个如图
的图案，再将剪下
的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图
所示，则新长方形的周长可表示为（ ）
A．4ᵄ − 8ᵄ
B．4ᵄ − 10ᵄ
C．2ᵄ − 4ᵄ
D．2ᵄ − 3ᵄ
【答案】A
【分析】本题考查了整式加减的应用以及列代数式，由图可知：剪下的两个小长方形的长为：(ᵄ − ᵄ)，宽
为：
1
2 (ᵄ − 3ᵄ)，进而得拼成的新长方形的长为：(ᵄ − ᵄ)，宽为：(ᵄ − 3ᵄ)，据此即可求解；
【详解】解：由图可知：剪下的两个小长方形的长为：(ᵄ − ᵄ)，宽为：
1
2 (ᵄ − 3ᵄ)，
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拼成的新长方形的长为：(ᵄ − ᵄ)，宽为：(ᵄ − 3ᵄ)，
周长为：2 × [(ᵄ − ᵄ) + (ᵄ − 3ᵄ)] = 4ᵄ − 8ᵄ，
故选：A
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条
件的单项式： ．
【答案】2
2
ᵆᵆ（答案不唯一）
【分析】本题考查了单项式的概念和单项式的次数的概念，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指
数和，根据单项式系数、次数的定义来求解即可．
【详解】解：∵单项式满足∶①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母
∴满足单项式的条件如：2
2
ᵆᵆ，
故答案为：2
2
ᵆᵆ．
12．关于ᵆ、ᵆ的多项式− 8
|ᵅ + 1 |
ᵆ
ᵆ −(2ᵅ − 4) ᵆ
|ᵅ|
ᵆ
+ ᵅ + 3是四次二项式，则ᵅ =________．
【答案】2或− 3
【分析】本题考查了多项式的次数和项数，熟练掌握多项式的次数和项数的定义是解决本题的关键．根据
多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．
【详解】解：由题意，得当2ᵅ − 4 = 0，|ᵅ + 1| = 3时，ᵅ = 2，原多项式为− 8
3
ᵆᵆ + 5；
当ᵅ + 3 = 0时，ᵅ =− 3，原多项式为− 8
2
ᵆᵆ + 10ᵆ
3
ᵆ，
综上所述，m的值为2或− 3，
故答案为：2或− 3．
13．若整式− 2
2
ᵆ+ 5
2
ᵆ减去另一个整式的差等于3
2
ᵆ− 2
2
ᵆ，那么这个整式是 ．
【答案】2
2
ᵆ
【分析】本题考查了整式的加减，关键是熟练应用知识点进行计算；
设所求整式为ᵃ，根据题意列出方程( − 2
2
ᵆ+ 5
2
ᵆ) − ᵃ = 3
2
ᵆ− 2
2
ᵆ，通过移项和合并同类项求解ᵃ.
【详解】解：设所求整式为ᵃ，
由题意得：
( − 2
2
ᵆ+ 5
2
ᵆ) − ᵃ = 3
2
ᵆ− 2
2
ᵆ，
ᵃ = ( − 2
2
ᵆ+ 5
2
ᵆ) − (3
2
ᵆ− 2
2
ᵆ)，
=− 2
2
ᵆ+ 5
2
ᵆ− 3
2
ᵆ+ 2
2
ᵆ，
= ( − 2
2
ᵆ+ 2
2
ᵆ) + (5
2
ᵆ− 3
2
ᵆ)，
= 2
2
ᵆ.
故答案为：2
2
ᵆ.
14．当ᵆ =− 1时，代数式ᵄ
2
ᵆ− ᵄᵆ + 1的值为2026，则2ᵄ + 2ᵄ −(ᵄ + ᵄ)的值为________．
【答案】2025
【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握运算法则和整体思想是解题关键．先根据题意可得ᵄ + ᵄ = 2025
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，再计算整式的加减，代入计算即可得．
【详解】解：
当ᵆ =− 1时，代数式ᵄ
2
ᵆ− ᵄᵆ + 1的值为2026，
ᵄ + ᵄ + 1 = 2026，
ᵄ + ᵄ = 2025，
2ᵄ + 2ᵄ −(ᵄ + ᵄ)
= 2 (ᵄ + ᵄ) −(ᵄ + ᵄ)
= ᵄ + ᵄ
= 2025．
故答案为：2025．
15．已知
2
ᵅ+ ᵅᵅ =− 2 , 3ᵅᵅ +
2
ᵅ=− 6，则代数式2
2
ᵅ+ 11ᵅᵅ + 3
2
ᵅ的值为___________．
【答案】− 22
【分析】本题考查代数式的整体代入求值，关键是利用整体思想将所求代数式转化为已知代数式的组合形
式．观察所求代数式2
2
ᵅ+ 11ᵅᵅ + 3
2
ᵅ的结构，发现可拆分为2(
2
ᵅ+ ᵅᵅ) + 3(3ᵅᵅ +
2
ᵅ)，该式正好由
已知的两个代数式的倍数和构成，再代入已知数值计算即可．
【详解】解：∵
2
ᵅ+ ᵅᵅ =− 2，3ᵅᵅ +
2
ᵅ=− 6，
∴ 2
2
ᵅ+ 11ᵅᵅ + 3
2
ᵅ= 2(
2
ᵅ+ ᵅᵅ) + 3(3ᵅᵅ +
2
ᵅ)
= 2 × ( − 2) + 3 × ( − 6)
=− 4 + ( − 18)
=− 22；
故答案为：− 22．
16．我国北宋数学家宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，
这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第ᵅ行有ᵅ个数，不仅如此，这个“三角形”第ᵅ + 1行中的数
竟然与
ᵅ
(ᵄ + ᵄ) （ᵅ是正整数）展开式各项的系数完全吻合，如下图所示：
根据“贾宪三角形”请计算
8
(ᵄ + ᵄ) 的展开式中从左起第五项的系数为___________．
【答案】70．
【分析】本题考查了数字变化规律，据图形中的规律即可求出
8
(ᵄ + ᵄ) 的展开式中从左起第五项的系数．
【详解】解：找规律发现
4
(ᵄ + ᵄ) 的第三项系数为1；
5
(ᵄ + ᵄ) 的第五项系数为5 = 4 + 1；
6
(ᵄ + ᵄ) 的第五项系数为15 = 10 + 5；
7
(ᵄ + ᵄ) 的第五项系数为35 = 20 + 15；
8
(ᵄ + ᵄ) 第五项系数为35 + 35 = 70．
故答案为：70．
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三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（每小题4分， 共8分）化简：
(1)(7
2
ᵅᵅ − 5ᵅᵅ) −(4ᵅ
2ᵅ− 5ᵅᵅ) + 5
2
ᵅᵅ；
(2)2 (3
2
ᵅ− ᵅᵅ + 7) − 3 (−
2
ᵅ+ 2ᵅᵅ + 7)．
【答案】(1)12
2
ᵅᵅ − 4ᵅ
2
ᵅ；
(2)9
2
ᵅ− 8ᵅᵅ − 7．
【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项，得12
2
ᵅᵅ − 4ᵅ
2
ᵅ，即可作答．
（2）先去括号，再合并同类项，得9
2
ᵅ− 8ᵅᵅ − 7，即可作答．
【详解】（1）解：(7
2
ᵅᵅ − 5ᵅᵅ) −(4ᵅ
2ᵅ− 5ᵅᵅ) + 5
2
ᵅᵅ
= 7
2
ᵅᵅ − 5ᵅᵅ − 4ᵅ
2
ᵅ+ 5ᵅᵅ + 5
2
ᵅᵅ
= 12
2
ᵅᵅ − 4ᵅ
2
ᵅ；
（2）解：2 (3
2
ᵅ− ᵅᵅ + 7) − 3 (−
2
ᵅ+ 2ᵅᵅ + 7)
= 6
2
ᵅ− 2ᵅᵅ + 14 + 3
2
ᵅ− 6ᵅᵅ − 21
= 9
2
ᵅ− 8ᵅᵅ − 7．
18．（8分）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
(1)求用手捂住的多项式；
(2)若a，b满足：
2
(ᵄ + 1) + |ᵄ − 2| = 0，请求出所捂住的多项式的值．
【答案】(1)2
2
ᵄ+ 6ᵄᵄ − 10
2
ᵄ
(2)− 50
【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
（1）根据手捂住的多项式为等式右边的整式减去左边的整式，再化简即可；
（2）根据非负数的性质先求出a，b，再代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意5
2
ᵄ+ 2
2
ᵄ− 3 (
2ᵄ− 2ᵄᵄ + 4
2ᵄ) = 5
2
ᵄ+ 2
2
ᵄ− 3
2
ᵄ+ 6ᵄᵄ − 12
2
ᵄ = 2
2
ᵄ+ 6ᵄᵄ − 10
2
ᵄ
，
∴用手捂住的多项式为2
2
ᵄ+ 6ᵄᵄ − 10
2
ᵄ．
（2）解：∵
2
(ᵄ + 1) + |ᵄ − 2| = 0，
∴ ᵄ + 1 = 0 , ᵄ − 2 = 0，
∴ ᵄ =− 1 , ᵄ = 2，
∴ 2
2
ᵄ+ 6ᵄᵄ − 10
2
ᵄ= 2 ×
2
(− 1) + 6 × (− 1) × 2 − 10 ×
2
2 =− 50，
∴所捂住的多项式的值为− 50．
19．（8分）有理数ᵄ，ᵄ，ᵅ在数轴上的位置如图所示．
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(1)用“>”“<”或“=”填空：ᵄ + ᵄ______0，ᵅ − ᵄ______0；
(2)求|ᵄ + ᵄ| + |ᵄ − ᵅ| −|ᵅ − ᵄ|的值．
【答案】(1)>，<
(2)2ᵄ
【分析】（1）由数轴可得，ᵄ>0>ᵄ>ᵅ，且|ᵄ| > |ᵅ| > |ᵄ|，然后问题可求解；
（2）由（1）及结合绝对值的意义可进行求解．
【详解】（1）解：由数轴可得，ᵄ>0>ᵄ>ᵅ，且|ᵄ| > |ᵅ| > |ᵄ|，
∴ ᵄ + ᵄ>0 , ᵅ − ᵄ<0．
（2）解：
ᵄ + ᵄ>0 , ᵄ − ᵅ>0 , ᵅ − ᵄ<0，
|ᵄ + ᵄ| + |ᵄ − ᵅ| −|ᵅ − ᵄ|
= ᵄ + ᵄ + ᵄ − ᵅ + ᵅ − ᵄ
= 2ᵄ．
20．（8分）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题：
（1）第4个图案中，三角形有 个，正方形有 个；
（2）若用字母a、b分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式4a+b，8a+4b，则第5个
图案可表示为多项式 ；
（3）在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且a＝2，求b的值．
【答案】（1）16、16；
（2）（20a+25b）；（3）2．
【分析】（1）观察图形可知第1个图案中，三角形有4个，正方形有1个；
第2个图案中，三角形有8个，正方形有4个；第3个图案中，三角形有12个，正方形有9个；
以此类推，第4个图案中，三角形有16个，正方形有16个，得到结论；
（2）根据第1、2个图案可表示多项式4a+b、8a+4b，则第5个图案可表示为多项式20a+25b；
（3）根据20a+25b＝90，a＝2，即可求出b的值．
【详解】解：（1）观察图形可知：
第1个图案中，三角形有1×4＝4个，正方形有12＝1个；
第2个图案中，三角形有2×4＝8个，正方形有22＝4个；
第3个图案中，三角形有3×4＝12个，正方形有32＝9个；
以此类推，第4个图案中，三角形有4×4＝16个，正方形有452＝16个；
故答案为：16、16；
（2）由第1、2个图案可表示多项式4a+b、8a+4b，
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则第5个图案可表示为多项式20a+25b；
故答案为：（20a+25b）；
（3）
20a+25b＝90，a＝2，
b＝2．
答：b的值为2．
【点睛】本题考查了规律型
图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
21．（9分）已知ᵃ = 2
3
ᵆ+ 3ᵄᵆ − ᵆ，ᵃ = ᵄ
3
ᵆ− 3ᵆ + 2ᵆ − 1（其中ᵄ，ᵄ为常数，且表示系数）．
(1)计算ᵃ − 2ᵃ；
(2)若ᵃ − 2ᵃ不含三次项，求ᵄ的值；
(3)若ᵄ =−
1
3，ᵄ = 2，且|ᵆ + 2| +
2
(ᵆ − 1) = 0，求ᵃ − 2ᵃ的值．
【答案】(1)(2 − 2ᵄ)
3
ᵆ+ (3ᵄ + 6) ᵆ − 5ᵆ + 2
(2)ᵄ = 1
(3)3
【分析】本题考查整式的加减，整式加减中无关型问题，非负数的性质；
（1）去括号，合并同类项即可；
（2）由不含三次项可得三次项系数为0，即可求出ᵄ的值；
（3）由非负数的性质可求出x、y的值，代入即可求值.
【详解】（1）解：ᵃ − 2ᵃ = (2
3ᵆ+ 3ᵄᵆ − ᵆ) − 2 (ᵄ
3ᵆ− 3ᵆ + 2ᵆ − 1)
= 2
3
ᵆ+ 3ᵄᵆ − ᵆ − 2ᵄ
3
ᵆ+ 6ᵆ − 4ᵆ + 2
= (2 − 2ᵄ)
3
ᵆ+ (3ᵄ + 6) ᵆ − 5ᵆ + 2．
（2）解：
ᵃ − 2ᵃ不含三次项，
三次项系数2 − 2ᵄ = 0，
ᵄ = 1．
（3）
ᵄ =−
1
3，ᵄ = 2，
ᵃ − 2ᵃ = (2 − 2ᵄ)
3
ᵆ+ (3ᵄ + 6) ᵆ − 5ᵆ + 2 =− 2
3
ᵆ+ 5ᵆ − 5ᵆ + 2，
|ᵆ + 2| +
2
(ᵆ − 1) = 0，
ᵆ =− 2，ᵆ = 1，
原式=− 2 ×
3
(− 2) + 5 × (− 2) − 5 × 1 + 2 = 3．
22．（9分）我们规定：使得a
b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为
（a，b）．例如，因为2
0.4＝2×2×0.4，（
1）
1＝2×（
1）×1，所以数对（2，0.4），（
1，1）
都是“有趣数对”．
（1）数对（1，1
3
），（1.5，3），（−
1
2
，
1）中，是“有趣数对”的是 ；
（2）若（k，
3）是“有趣数对”，求k的值；
（3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mn−
1
2
m
2（mn
1）]
4（3m2
n）+12m2的值．
【答案】（1）（1，1
3
）；
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（2）k=−
3
7
；
（3）16．
【分析】（1）利用“有趣数对”的定义进行判断即可；
（2）利用“有趣数对”的定义列出方程，解方程即可得出结论；
（3）先将代数式化简，再利用“有趣数对”的定义得出m，n的关系式，最后利用整体代入的方法化简运算
即可．
【详解】解：（1）
1−
1
3 =
2
3
，2×1×
1
3 =
2
3
，
1−
1
3 =2× 1 ×
1
3
，
数对（1，1
3
）是“有趣数对”；
1.5
3＝
1.5，2×1.5×3＝9，
1.5
3≠2×1.5×3，
数对（1.5，3）不是“有趣数对”；
−
1
2 −（
1）=
1
2
，2× ( −
1
2 ) ×（
1）＝1，
−
1
2 −（
1）≠2×（−
1
2
）×1，
数对（−
1
2
，
1）不是“有趣数对”．
综上，是“有趣数对”的是（1，1
3
），
故答案为：（1，1
3
）；
（2）
（k，
3）是“有趣数对”，
k
（
3）＝2×k×（
3），
k+3＝
6k，
7k＝
3，
k=−
3
7
；
（3）8[3mn−
1
2
m
2（mn
1）]
4（3m2
n）+12m2
＝8（3mn−
1
2
m
2mn+2）
12m2+4n+12m2
＝24mn
4m
16mn+16
12m2+4n+12m2
＝8mn
4m+4n+16，
（m，n）是“有趣数对”，
m
n＝2mn．
原式＝8mn
4（m
n）+16
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＝8mn
4×2mn+16
＝8mn
8mn+16
＝16．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，整式的加减与化简求值，本题是阅读型题目，理解新定义并熟
练运用是解题的关键．
23．（10分）某学校为了全面提高学生的综合素养，组织了音乐，朗诵，舞蹈，美术共四个社团，学生积
极参加（每个学生限报一项），参加社团的学生共有（6x
2y）人，其中音乐社团有x人参加，朗诵社团
的人数比音乐社团人数的两倍少y人，舞蹈社团的人数比朗诵社团人数的一半多3人．
（1）参加朗诵社团有 人；（用含x，y的式子表示）
（2）求朗诵社团比舞蹈社团多多少人？（用含x，y的式子表示）
（3）求美术社团有多少人？（用含x，y的式子表示）
（4）若x＝65，y＝40，求美术社团的人数．
【答案】（1）2x
y）人；
2
（x−
1
2
y
3）人；
3
2x−
1
2
y
3
（4）107．
【分析】（1）根据朗诵社团与音乐社团的人数的等量关系可得答案；
（2）根据舞蹈社团与朗诵社团人数的等量关系，求出参加舞蹈社团的人数，再根据整式的加减运算法则
可得答案；
（3）先根据整式的加减运算法则，用x，y表示出参加美术社团的人数；
（4）再将x，y的值代入计算美术社团的人数即可．
【详解】解：（1）
音乐社团有x人参加，朗诵社团的人数比音乐社团的人数的两倍少y人，
参加朗诵社团的人数为（2x
y）人；
（2）
舞蹈社团的人数比朗诵社团人数一半多3人，
由（1）知，参加朗诵社团的人数为（2x
y）人，
参加舞蹈社团的人数为1
2
（2x
y）+3＝（x−
1
2
y+3）人，
2x
y
（x−
1
2
y+3）
＝2x
y
x+
1
2
y
3
＝x−
1
2
y
3，
朗诵社团比舞蹈社团多（x−
1
2
y
3）人；
（3）
6x
2y
x
（2x
y）
（x−
1
2
y+3）
＝6x
2y
x
2x+y
x+
1
2
y
3
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＝2x−
1
2
y
3，
参加美术社团的人数为（2x−
1
2
y
3）人；
（4）当x＝65，y＝40时，
2x−
1
2
y
3
＝2×65−
1
2 ×40
3
＝107．
美术社团的人数为107人．
【点睛】本题考查整式的加减、列代数式，掌握运算法则是关键．
24．（12分）【阅读】
我们知道，4ᵆ − 2ᵆ + 3ᵆ = (4 − 2 + 3) ᵆ = 5ᵆ，类似的，我们可以把(2ᵄ − 3ᵄ)看作一个整体：4 (2ᵄ − 3ᵄ) − 2 (2ᵄ − 3ᵄ
．“整体思想”是中学数学学习中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极其广泛．
【应用】
（1）把
2
(ᵅ + ᵅ) 看作一个整体，合并6
2
(ᵅ + ᵅ) − 3
2
(ᵅ + ᵅ) + 2
2
(ᵅ + ᵅ) 的结果是_____；
（2）已知
2
ᵆ+ 2ᵆ = 5，求4
2
ᵆ+ 8ᵆ − 21的值；
【延伸】
（3）已知ᵄ − 2ᵄ = 3 , 2ᵄ − ᵅ =− 2 , ᵅ − ᵅ = 9，求(ᵄ − ᵅ) + (2ᵄ − ᵅ) −(2ᵄ − ᵅ)的值；
（4）若
2
ᵆ+ 2ᵆᵆ =− 2 , ᵆᵆ −
2
ᵆ=− 4，求代数式(3
2ᵆ− 2ᵆᵆ + 2
2ᵆ) + (
2ᵆ− ᵆᵆ) −(
2ᵆ− 10ᵆᵆ)的值．
【答案】(1) 5
2
(ᵅ + ᵅ)
(2) − 1
(3) 10
(4) − 4
【分析】本题主要考查了整式的加减，化简求值，解题的关键是掌握整体思想．
（1）先去括号，再利用加法交换律与结合律变形，然后利用整体思想，代入计算即可；
（2）先对原式进行整理，然后整体代入求值即可；
（3）先对原式进行整理，然后整体代入求值即可；
（4）先对原式进行整理，然后整体代入求值即可．
【详解】解：（1）6
2
(ᵅ + ᵅ) − 3
2
(ᵅ + ᵅ) + 2
2
(ᵅ + ᵅ) = 5
2
(ᵅ + ᵅ) ，
故答案为：5
2
(ᵅ + ᵅ) ；
（2）4
2
ᵆ+ 8ᵆ − 21
= 4 (
2ᵆ+ 2ᵆ) − 21，
当
2
ᵆ+ 2ᵆ = 5时，代入上式得，
原式= 4 × 5 − 21 =− 1；
（3）(ᵄ − ᵅ) + (2ᵄ − ᵅ) −(2ᵄ − ᵅ)
= ᵄ − ᵅ + 2ᵄ − ᵅ − 2ᵄ + ᵅ
= (ᵄ − 2ᵄ) + (2ᵄ − ᵅ) + (ᵅ − ᵅ)
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将ᵄ − 2ᵄ = 3 , 2ᵄ − ᵅ =− 2 , ᵅ − ᵅ = 9代入上式得，
原式= 3 + (− 2) + 9 = 10；
（4）(3
2ᵆ− 2ᵆᵆ + 2
2ᵆ) + (
2ᵆ− ᵆᵆ) −(
2ᵆ− 10ᵆᵆ)
= 3
2
ᵆ− 2ᵆᵆ + 2
2
ᵆ+
2
ᵆ− ᵆᵆ −
2
ᵆ+ 10ᵆᵆ
= 4
2
ᵆ+ 7ᵆᵆ +
2
ᵆ
= 4
2
ᵆ+ 8ᵆᵆ − ᵆᵆ +
2
ᵆ
= 4 (
2ᵆ+ 2ᵆᵆ) −(ᵆᵆ −
2ᵆ)
将
2
ᵆ+ 2ᵆᵆ =− 2 , ᵆᵆ −
2
ᵆ=− 4代入上式得，
原式= 4 × (− 2) −(− 4) =− 4．
