文档文本内容
1 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题32 一元一次不等式（组）含参问题
（题型突破·举一反三）
题型01 由不等式的定义求参数
题型02 由不等式的性质求参数
题型03 由不等式的解集求参数
题型04 由不等式的整数解求参数
题型05 由不等式整数解的个数求参数
题型06 由不等式最值求参数
题型07 由不等式组的解集求参数
题型08 由不等式组的整数解求参数
题型09 由不等式组整数解的个数求参数
题型10 由不等式组解集的最值求参数
题型11 由不等式组的至多/少整数解的个数求参数
题型12 由不等式组整数解的和求参数
题型13 由不等式组有解/无解求参数
题型14 方程与不等式（组）结合求参数
题型15 方程组与不等式（组）结合求参数
题型16 不等式与不等式（组）结合求参数
题型17 不等式解集相同求参数
题型18 新定义求参数
▌题型01 由不等式的定义求参数
1. 只含一个未知数；
2. 未知数的次数是1；
2 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3. 不等号两边都是整式；
4. 未知数系数不能为0。
【典例1】（2026 春•南丰县校级期中）若不等式（k﹣2）x|k|﹣1+3＜5 是关于x 的一元一次不等式，则k 的值
是 ．
【变式1-1】（2026 春•温江区期末）关于x 的不等式（a﹣4）x|a﹣3|+1＞0 是一元一次不等式，则a 的值
为 ．
【变式1-2】
（2026 春•万州区月考）若（a+1）x|a|+2＞0 是关于x 的一元一次不等式，则a 的值为 ．
【变式1-3】（2026 春•杨浦区校级月考）若（a﹣2026）x|a|﹣2025＞1 是关于x 的一元一次不等式，则a
＝ ．
▌题型02 由不等式的性质求参数
不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c.
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边
都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
即：如果 a>b，c>0，那么ac>bc 或
𝑎
𝑐＞
𝑏
𝑐；
如果 a>b， c<0，那么ac<bc 或
𝑎
𝑐＜
𝑏
𝑐.
【典例1】（2026 春•谯城区期末）如图表示的是关于x 的不等式（a﹣2）x＞2﹣a 的解集，则a 的取值范围
是（ ）
A．a≤2
B．a≥2
C．a＜2
D．a＞2
【变式1-1】（2026 春•科尔沁区校级期末）已知（m﹣2）x＞m﹣2 的解集是x＜1，则m 的取值范围是（ ）
A．m＞2
B．m＜2
C．m≥2
D．m≤2
【变式1-2】（2026 春•渠县校级期末）若不等式（m﹣2026）x＞m﹣2026 两边同时除以（m﹣2026），得x
3 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
＜1，则m 的取值范围是 ．
【变式1-3】（2026 春•怀宁县期末）已知关于x，y 的二元一次方程组{3𝑥−4𝑦= 𝑘
2𝑥−3𝑦= 2𝑘+ 3的解满足x﹣y＜0．
（1）求k 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x﹣2k＜1 的解为x＞1，请写出符合条件的k 的整数值．
▌题型03 由不等式的解集求参数
（1）解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示（如x>号）。
（2）对比定参：将所得解集与已知解集（如x>3）进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。
（3）系数化1 定方向：注意系数含参时，化1 步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。
（4）端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。
【典例1】（2026 春•西安校级期末）已知关于x 的不等式3x﹣2a＜4﹣5x 的解集为x＜a﹣1，则a 的值是
（ ）
A．2
B．﹣2
C．3
D．﹣3
【变式1-1】（2026 春•市中区期末）已知关于x 的不等式ax﹣b＞0 的解集为𝑥＜1
3，则关于x 的不等式（a+b）
x≥b﹣a 的解集是 ．
【变式1-2】（2026 春•西和县校级期末）已知不等式3x﹣m＞2 的解集为x＞1，则m 的值为 ．
【变式1-3】
（2026•霸州市二模）已知关于x 的不等式
𝑥−3
2
+ 𝑎＜
3𝑥+1
2
的解集为x＞1，则a 的值为 ．
4 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
▌题型04 由不等式的整数解求参数
1.解不等式，写出解集；
2.把已知的整数全部写出来；
3.在数轴标记整数，圈出解集区间；
4.定参数范围，端点代入检验等号是否成立。
【典例1】（2026 春•沛县月考）若关于x 的不等式2x﹣m＜5 的正整数解是1，2，3，则实数m 的范围为
（ ）
A．m＞1
B．m≤3
C．1≤m＜3
D．1＜m≤3
【变式1-1】已知不等式3x﹣a≤0 的正整数解恰是1，2，3，4，那么a 的取值范围是（ ）
A．a＞12
B．12≤a≤15
C．12＜a≤15
D．12≤a＜15
【变式1-2】（2025 春•安新县期末）已知关于x 的不等式组{𝑥−𝑚≥0
3𝑥−𝑛＜0的整数解为1，2（其中m，n 为整
数），则满足条件的（m，n）共有（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
【变式1-3】（2026 春•磴口县校级期末）已知关于x 的不等式4x﹣a≤0 的正整数解是1，2，3，4．则a 的
取值范围是 ．
▌题型05 由不等式整数解的个数求参数
1.解不等式，得到带参数的解集；
2.写出题目给的全部整数解；
3.画数轴，锁定参数的大致范围；
4.端点一定要回代检验，判断等号能不能取。
【典例1】（2026 春•尤溪县期末）若如图所示关于x 的不等式解集中有且只有3 个正整数解，则字母a 的
取值范围是（ ）
5 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．a＜4
B．a＞3
C．3＜a≤4
D．3≤a＜4
【变式1-1】（2026 春•江岸区期末）若m 为正整数，且二元一次方程组{𝑚𝑥+ 2𝑦= 10
3𝑥−2𝑦= 0
有整数解，已知关于
x 的不等式mx﹣a≥0 的非正整数解有且仅有5 个，则a 的取值范围为（ ）
A．﹣10＜a≤﹣8
B．﹣2≤a＜﹣10
C．﹣10＜a≤﹣8 或﹣35＜a≤﹣28
D．﹣12≤a＜﹣10 或﹣35≤a＜﹣28
【变式1-2】（2026 春•南郑区期末）已知关于x 的不等式x＜a 的正整数解只有4 个，则a 的取值范围
是 ．
【变式1-3】（2026 春•海珠区期末）若关于x 的不等式3x﹣a＜2x 有且只有3 个正整数解，则a 的取值范
围是 ．
▌题型06 由不等式最值求参数
1.先解不等式组，写出含参数解集；
2.根据条件，锁定这个最大/最小整数；
3.数轴定位参数大致区间；
4.端点代入检验，判断等号取舍。
【典例1】（2026 春•中原区校级期中）已知关于x 的不等式x﹣3m+3＞0 的最小整数解为10，则整数m 的
值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式1-1】（2026 春•合肥校级期末）已知关于x 的不等式组{
−𝑥+ 𝑎＞2
𝑥−𝑥−5
2 ＞−1
的最大整数解和最小整数解互
为相反数，则a 的取值范围是（ ）
A．8＜a≤9
B．8≤a＜9
C．9＜a≤10
D．9≤a＜10
【变式1-2】（2026•龙凤区三模）已知关于x 的不等式3x﹣m+1＞0 的最小整数解为2，则实数m 的取值范
6 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
围是 ．
【变式1-3】（2026 春•莲湖区期中）若关于x 的不等式
2𝑥+2
3
＜𝑥+ 𝑎的最小整数解为2，则a 的取值范围
是 ．
▌题型07 由不等式组的解集求参数
（1） 解表参数：将不等式组的解集用含参数的代数式表示（如x>a、x≤b)；
（2）对比定参：根据已知解集或解集特征（如无解、整数解个数），建立关于参数的不等式（组）求解；
（3）数轴分析：在数轴上标出已知解集范围，反向推断参数所在位置，直观建立不等关系；
（4）端点取舍：涉及“>”“<”时，需单独讨论端点能否取等，通过代入验证确定。
【典例1】（2026 春•红河州期末）若关于x 的不等式组{ 𝑥−2＞3
2𝑥+ 1＞𝑎
的解集是x＞5，则a 的取值范围是（ ）
A．a≤11
B．a＜11
C．a≥5
D．a＞5
【变式1-1】（2026 春•霍邱县期末）不等式组{2(𝑥−1)＜4
𝑥−𝑚＜0
的解集为x＜3，则m 的取值范围在数轴上表示
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2026 春•利津县期末）不等式组{2𝑥−5 ≤𝑥+ 1
𝑥＜𝑛
解集为x≤6，则n 取值范围是（ ）
A．n≥6
B．n≤6
C．n＜6
D．n＞6
【变式1-3】（2026 春•朝阳区校级期末）若关于x 的不等式组{𝑥+ 𝑎＜3
𝑏−2𝑥＜0
的解集为1＜x＜2，则a+b 的值是
（ ）
A．1
B．﹣1
C．3
D．﹣3
7 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
▌题型08 由不等式组的整数解求参数
（1） 解不等式组；
（2）根据整数解个数，画出数轴定区间，先在数轴上标出所有满足条件的整数，再确定参数所在区间的大
致范围；
（3）列不等式组锁定参数范围；
（4）单独验证端点等号。
【典例1】
（2026 春•嘉定区期中）若不等式组{3𝑥−2 ≤𝑎
𝑥−3＞1 有一个整数解为x＝7，则a 的取值范围是 ．
【变式1-1】（2025 春•涪城区校级期末）若关于x 的不等式组{
𝑥−10
5
≤−1 −1
5 𝑥，
𝑥−2＞−1
2 𝑚
的最大整数解与最小整数
解的和为﹣2，则满足条件的整数m 的和为 ．
【变式1-2】（2026 春•宣州区期末）已知关于x 的不等式组{𝑥−𝑎＞0
1 −𝑥≥0
的最大整数解与最小整数解的差是4，
则a 的取值范围是 ．
【变式1-3】（2026•船山区校级模拟）若关于x 的不等式组{2𝑥−6 + 𝑚≤0
4𝑥−𝑚> 0
的整数解仅有1 和2，则m 的取
值范围是 ．
▌题型09 由不等式组整数解的个数求参数
1. 解不等式组，写出解集；
2. 写出全部符合的整数；
3. 画数轴，确定参数大致范围；
4. 端点代入检验，确定等号取或舍。
【典例1】（2026 春•汉阴县期末）若关于x 的不等式组{
𝑥−𝑎＜0
7−6𝑥
2
≤8
有且只有3 个整数解，则a 的取值范围为
8 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（ ）
A．1＜a≤2
B．1＜a＜2
C．1≤a＜2
D．1≤a≤2
【变式1-1】（2026 春•江阳区期末）若关于x 的不等式组{
2𝑥+ 1 ≥𝑥+ 𝑎
𝑥
2 + 1＞5
2 𝑥−9只有1 个整数解，则a 的取值范
围是（ ）
A．a＞4
B．a≤5
C．4≤a＜5
D．4＜a≤5
【变式1-2】（2026 春•商南县期末）不等式组{𝑥≤𝑎+ 1
𝑥＞2
有3 个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A．4≤a＜5
B．4＜a≤5
C．5＜a≤6
D．5≤a＜6
【变式1-3】（2026 春•内江期末）若关于x 的不等式组{𝑥−3𝑥−5
2
＜2
2𝑥−𝑎≤−1
有且只有4 个整数解，则a 的取值范
围是（ ）
A．9＜a≤11
B．9≤a＜11
C．11＜a≤13
D．11≤a＜13
▌题型10 由不等式组解集的最值求参数
1.解不等式组，写出含参数的解集；
2.根据题意，锁定最小/最大整数；
3.数轴标出整数，圈定参数大致范围；
4.把两个端点代入原题，检验等号。
【典例1】若关于x 的不等式组{3𝑥−5 ≥1
2𝑥−𝑎＜8 ，的最大整数解为3，则a 的所有整数解的和为（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
【变式1-1】（2026 春•宿城区校级期末）若关于x 的不等式组{ 𝑥＞𝑏
𝑥≤3
的最小整数解是2，则实数b 的取值范
围是（ ）
A．1＜b＜2
B．1≤b＜2
C．﹣1＜b＜0
D．﹣1≤b＜0
【变式1-2】（2026 春•瑶海区校级期末）已知关于x 的不等式组{
𝑥−𝑚≥4
𝑥−4
2
≤𝑥−3的最小整数解是3，则实数m
的取值范围是（ ）
9 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．﹣2≤m＜﹣1
B．﹣2＜m≤﹣1
C．﹣2＜m＜﹣1
D．﹣2≤m≤﹣1
【变式1-3】对于m，n 定义一种新运算T，规定：T（m，n）= {
2𝑚+ 3𝑛+ 3(𝑚≥𝑛)
4𝑚−3𝑛+ 1(𝑚＜𝑛) ，即当m≥n 时，T（m，
n）＝2m+3n+3；当m＜n 时，T（m，n）＝4m﹣3n+1．若关于x 的不等式T（x+t，x+t﹣1）＜10t 的最大
整数解为3t+5，则t＝ ．
▌题型11 由不等式组的至多/少整数解的个数求参数
1.解不等式组，写出解集
2.理解题意：
至多n 个：整数解数量不能超过n，可以是1、2…n 个；
至少n 个：整数解数量不能少于n，可以是n、n+1…个
3.数轴锁定参数临界位置
4.端点回代检验等号
【典例1】（2026 春•广安区期末）若关于x 的不等式组{
𝑥≤𝑎
𝑥−1
2
+ 1＞𝑥+1
3
至少有4 个整数解，则a 满足的条
件是 ．
【变式1-1】
（2026 春•南京期末）若不等式组{3𝑥−8 ≥0
𝑥＜𝑎
至少有4 个整数解，则a 的取值范围是 ．
【变式1-2】（2026 春•遂平县期中）若整数a 使关于x 的不等式组{
𝑥−2＞𝑎
𝑥+1
2
≤2𝑥+5
6
至少有4 个整数解，且使关
于x，y 的方程组{𝑎𝑥+ 2𝑦= 0
𝑥+ 𝑦= 6
的解为正整数那么所有满足条件的整数a 的和是 ．
【变式1-3】（2026 春•虹口区校级期末）若关于x 的不等式组{
3(𝑥−1)
2
≤𝑥+ 2
𝑥＜3𝑥−2𝑎
至少有四个整数解，且关于y
的方程（y﹣a）+（3y﹣5）＝2（y﹣1）有非负整数解，求：所有满足条件的整数a 的值之和．
▌题型12 由不等式组整数解的和求参数
10 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1.解不等式组，得到含参数解集；
2.根据“整数解的和”，反推是哪几个整数；
3.数轴确定参数大致范围；
4.端点代入检验，判断等号。
【典例1】（2026 春•合肥期末）已知关于x 的不等式组{𝑥＜5
𝑥＞𝑎
的所有正整数解的和是9，则a 的取值范围是
（ ）
A．1＜a＜2
B．1＜a≤2
C．1≤a＜2
D．1≤a≤2
【变式1-1】（2026 春•翠屏区期末）若关于x 的不等式
2𝑥−5
3
−2＜2𝑥+ 3＜2𝑎−1的所有整数解的和为﹣
9，则整数a 的值为 ．
【变式1-2】（2026 春•金凤区校级期末）已知关于x 的不等式组{
5𝑥−𝑎＞3(𝑥−1)
𝑥
2 −2 ≤𝑥−4
3
的所有正整数解的和为
9，则a 的取值范围是 ．
【变式1-3】（2026 春•栾城区期末）若关于x 的不等式组{𝑥−𝑎＞0
7 −2𝑥≥1
的所有整数解的和是5，则a 的取值范
围是 ．
▌题型13 由不等式组有解/无解求参数
1.解不等式组；
2.对比大小，列关系式
大于号的上界 ＜ 小于号的下界 ⇒ 有解
大于号的上界 ≥ 小于号的下界 ⇒ 无解；
3.单独验证端点等号；
4.写出参数范围。
【典例1】（2026 春•巴中期末）若不等式组{
2𝑥−3＞5
𝑥−𝑎
3
≤1 有解，则实数a 的取值范围是（ ）
11 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．a＞1
B．a＜1
C．a≤1
D．a≥1
【变式1-1】（2026 春•杨浦区期中）已知0＜b＜a，那么下列不等式组中，无解的是（ ）
A．{𝑥＞−𝑎
𝑥＜𝑏
B．{𝑥＜−𝑎
𝑥＞−𝑏
C．{𝑥＜𝑎
𝑥＞−𝑏
D．{𝑥＞−𝑎
𝑥＜−𝑏
【变式1-2】（2026 春•泗县期末）若关于x 的不等式组{𝑥−𝑎＞3
1 −2𝑥＞𝑥−2
无解，则a 的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2
B．a≤﹣2
C．a＞﹣2
D．a≥﹣2
【变式1-3】（2026 春•界首市期末）若关于x 的不等式组{
𝑥
2 −1＜2 −𝑥
𝑎+ 3𝑥≤4𝑥+ 2
有解，且关于y 的方程
𝑎−𝑦
2
=
𝑦
3 −1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
▌题型14 方程与不等式（组）综合求参数
1.解方程，把未知数用参数表示；
2.根据条件列不等式：解为正、负、非负、x>y 等；
3.解不等式，得到参数范围；
4.若要求整数参数，筛选整数，端点检验。
【典例1】（2026 春•济宁校级期末）若关于x 的一元一次方程3a﹣3x＝﹣9 的解为非负数，则a 的取值范
围是（ ）
A．a＜3
B．a≥3
C．a＞﹣3
D．a≥﹣3
【变式1-1】（2026 春•蓬溪县期末）已知关于x 的方程3k﹣5x＝﹣9 的解是非负数，则k 的最小值是（ ）
A．﹣2
B．﹣3
C．2
D．3
【变式1-2】（2026 春•朝阳区校级月考）若关于x 的方程x﹣2a＝2x﹣5 的解是非负数，则a 的取值范围是
（ ）
A．𝑎≥5
2
B．𝑎＞5
2
C．𝑎≤5
2
D．𝑎＜5
2
12 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-3】（2026•安徽模拟）已知实数a，b 满足2a﹣5b＝11，且﹣1≤a≤4，则3a+2b 的取值范围为（ ）
A．﹣2≤3a+2b≤17
B．﹣3≤3a+2b≤18
C．﹣8.2≤3a+2b≤10.8
D．﹣5≤3a+2b≤20
▌题型15 方程组与不等式（组）综合求参数
1. 解表参数：先将方程组用参数表示解；
2.转化为不等式组：根据解的范围或整数解条件，建立关于参数的不等式组求解；
3.代入消参：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式；
4.数轴定范围：解出参数范围后，结合数轴和实际问题筛选最终值。
【典例1】（2026 春•海淀区校级期末）若关于x，y 的方程组{𝑥+ 2𝑦= 𝑘+ 1
3𝑥+ 2𝑦= 3𝑘−3，满足x+y＞2，则k 的取值
范围是（ ）
A．k＞1
B．k＞5
2
C．k＞3
D．k＞3
2
【变式1-1】（2026 春•海淀区校级期末）已知关于x，y 的方程组{2𝑥+ 𝑦= 3𝑚
𝑥+ 3𝑦= 𝑚+ 1的解满足﹣1≤x﹣2y≤3，
则所有满足条件的整数m 的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【变式1-2】（2026 春•朝阳区校级月考）已知关于x、y 的方程组{𝑥+ 𝑦= 2𝑚+ 7
𝑥−𝑦= 4𝑚−3的解为正数．
（1）求m 的取值范围；
（2）化简|3m+2|﹣|m﹣5|﹣2（2m﹣4）．
【变式1-3】（2026 春•宛城区期末）已知关于x、y 的方程组{𝑥+ 𝑦= −7 −𝑚
𝑥−𝑦= 1 + 3𝑚．
（1）求这个方程组的解；（用含m 的代数式表示）
13 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）若（1）中求得的解满足x 为非正数，y 为负数．
①求m 的取值范围；
②若关于x 的不等式（2m+1）x＜2m+1 的解集在数轴上的表示如图所示，直接写出m 的整数值．
▌题型16 不等式与不等式（组）综合求参数
1.分别解不等式、不等式组，写出含参数解集；
2.根据条件：有解、无解、整数解、解集相同、解集包含锁定临界；
3.画数轴定位参数范围；
4.端点代入检验，判断等号取舍。
【典例1】已知0＜ax+b≤3的解集为2＜x≤5，则0＜a（3x-1）+b≤3的解集为 ．
【变式1-1】已知1≤𝑎𝑥+ 𝑏＜3 的解集为2 ≤𝑥< 3，则2 ≤𝑎(1 −𝑥) + 𝑏< 3的解集为 ．
【变式1-2】（2026 春•朝阳区校级期末）定义：若关于同一个未知数的不等式（组）A 和B 的解集相同，则
称A 与B 为同解不等式（组）．例如：不等式A：x﹣2≤0 的解集是x≤2，不等式B：3﹣2x≥﹣1 的解
集也是x≤2，所以不等式A 和不等式B 为同解不等式．
（1）下列不等式（组）是同解不等式（组）的是 （只填序号）；
①3﹣3x＞0；②
2𝑥−1
3
−
𝑥
2 ＞−1；③{
2𝑥+3
5
−𝑥+1
2 ＞0
2𝑥−3＜0
．
14 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）若关于x 的不等式A：2﹣5x＞0，不等式B：
5𝑥+𝑎
2
＜1是同解不等式，求a 的值；
（3）若关于x 的不等式P：2（3﹣x）＜4，不等式组Q：{
𝑥−𝑎
2 ＞7
2 −𝑥
𝑥−1＞0
，是同解不等式（组），直接写出
关于x 的不等式（a﹣4）x+4＜a 的解集为 ．
【变式1-3】（2025 春•朝阳区校级期末）如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式的解，那么称一
元一次不等式为该一元一次不等式组的“母不等式”．例如：不等式组{2𝑥−3＜5
5𝑥+ 5 ≥2𝑥−4
的解集为﹣3≤x
＜4，不等式3x+2＞﹣10 的解集为x＞﹣4，可以发现﹣3≤x＜4 在x＞﹣4 的范围内，则称不等式3x+2＞
﹣10 为不等式组{2𝑥−3＜5
5𝑥+ 5 ≥2𝑥−4
的“母不等式”．特别的，不等式x＞1 也是不等式x＞1 的“母不等
式”．
（1）解不等式组{3𝑥≤2𝑥+ 1①
2𝑥−3 ≥𝑥−5②，请结合题意填空，完成本题的解答．
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴原不等式组的解集为 ；
（2）在下列不等式①x＜0，②x＜2，③x≥0，④x≥﹣2 中，是（1）中不等式组的“母不等式”的
是 ；（填序号）
（3）若关于x 的不等式（a﹣5）x≥a﹣5（a≠5）是（1）中不等式组的“母不等式”，则a 的取值范围
是 ；
（4）如果不等式2（x﹣1）﹣4a＜x﹣2 是不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6的“母不等式”，不等式：2(𝑥−1
4) ≥
3𝑥−𝑎
2
不是不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6的“母不等式”，则a 的取值范围是 ．
15 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
▌题型17 不等式解集相同求参数
1. 化简不含参数的那一个不等式，写出完整解集。
2. 化简带参数的不等式/组
- 如果未知数系数含参数：先判断正负。
- 系数＞0：不等号方向不变
- 系数＜0：不等号必须变号
3. 左右解集对齐
- 普通不等式：直接对比边界数值相等
- 同大取大、同小取小型不等式组：参数是一个取值范围，不是一个固定数
4. 回代检验，排除错误参数。
【典例1】（2026 春•榆林期末）已知不等式3x＜2（x+3）与关于x 的不等式3x﹣a＞5x 的解集相同，求a
的值．
【变式1-1】（2026•龙凤区校级二模）关于x 的两个不等式①
3𝑥+𝑎
2
＜1 与②1﹣3x＞0．
（1）若两个不等式的解集相同，求a 的值．
（2）若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围．
16 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-2】（2026 春•浔阳区校级月考）若关于x 的不等式x﹣a＞1 的解集与不等式
𝑥−1
2
＞
1
3的解集相同，
求a 的值．
【变式1-3】（2026 春•顺义区校级期中）我们把符号“|𝑎
𝑏
𝑐
𝑑|”称为二阶行列式，规定它的运算法则为|𝑎
𝑏
𝑐
𝑑| =
𝑎𝑑−𝑏𝑐，如|2
3
4
5| = 2 × 5 −3 × 4 = −2．
（1）求不等式|3
1 −𝑥
2
𝑥
| ＞3的解集．
（2）若关于x 的不等式|𝑚
𝑥
3
2| ＜0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m 的值．
▌题型18 新定义求参数
（1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运
算；
（2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新；
（3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的；
（4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行。
17 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【典例1】（2026 春•会泽县期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此
方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程2x﹣3＝1 与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x
﹣3＝1 和不等式x+3＞0 的“梦想解”．
（1）已知方程4x﹣2＝6 与不等式2x﹣3＜7 的“梦想解”是x，求x 的值；
（2）若关于x，y 的方程组{𝑥+ 𝑦= 3𝑎+ 5
𝑥−𝑦= 5𝑎−3与不等式x+2y≥a+10 的“梦想解”均为正数（即“梦想解”
中的x，y 均为正数），求a 的取值范围．
【变式1-1】（2026 春•红河州期末）对于有理数a，b，定义新运算g，规定：𝑔(𝑎，𝑏) = {
𝑎+ 3𝑏(𝑎≥𝑏)
2𝑎+ 𝑏(𝑎＜𝑏) ．
如：计算g（1，2）时，∵1＜2，∴g（1，2）＝2×1+2＝4，
计算g（5，﹣2）时，∵5＞﹣2，∴g（5，﹣2）＝5+3×（﹣2）＝﹣1，
（1）求g（2，5）的值；
（2）若关于正数n 的不等式组：{ 𝑔(2𝑛，2𝑛−1)＞5
𝑔(𝑛−1，𝑛+ 2) ≤6𝑘
恰好有5 个整数解，求k 的取值范围．
18 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【变式1-2】（2026 春•会泽县期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此
方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程2x﹣3＝1 与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x
﹣3＝1 和不等式x+3＞0 的“梦想解”．
（1）已知方程4x﹣2＝6 与不等式2x﹣3＜7 的“梦想解”是x，求x 的值；
（2）若关于x，y 的方程组{𝑥+ 𝑦= 3𝑎+ 5
𝑥−𝑦= 5𝑎−3与不等式x+2y≥a+10 的“梦想解”均为正数（即“梦想解”
中的x，y 均为正数），求a 的取值范围．
【变式1-3】（2026 春•深圳校级期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称
该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程x﹣1＝3 的解为x＝4，而不等式组{𝑥−1＞1
𝑥−2＜3
．的
解集为2＜x＜5，不难发现x＝4 在2＜x＜5 的范围内，所以方程x﹣1＝3 是不等式组{𝑥−1＞1
𝑥−2＜3
．的“关
联方程”．
（1）方程2x﹣6＝0 （填“是”或“不是”）不等式组{2𝑥+ 1＞𝑥−3
𝑥−3 ≤1
．的“关联方程”；
（2）关于x 的方程2x﹣k＝1 是不等式组{𝑥−1 ≥2𝑥
2𝑥+ 3＞𝑥．的“关联方程”，求k 的取值范围；
（3）若关于x 的方程
𝑥+5
3
−3𝑚= 0是关于x 的不等式组{
𝑥+2𝑚
2
＞𝑚
𝑥−𝑚≤2𝑚+ 1
的“关联方程”，且此时不等
式组有2 个整数解，试求m 的取值范围．
