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2026-2027 学年九年级上学期数学周周测02
25.2.2-25.2.3 公式法与因式分解法
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．一元二次方程
2
2
5
0
x
x
根的情况为（
）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【答案】C
【详解】解：∵在一元二次方程
2
2
5
0
x
x
中，
1
a ，
2
b ，
5
c ，
∴这个方程根的判别式
2
2
4
2
4 1
5
24
0
b
ac
，
∴这个方程有两个不相等的实数根．
2．关于x 的一元二次方程
2
3
4
2
0
x
x
中，根的判别式
2
4
b
ac
的值为（
）
A．8
B．12
C．8
D．12
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式公式计算即可得出结果．
【详解】解：在方程
2
3
4
2
0
x
x
中，
3
a
，
4
b ，
2
c
，
故
2
2
4
4
4 3 2
16
24
8
b
ac
．
3．已知
2
x 是方程
2
2
6
0
mx
m x
的解，则m 的值是（
）
A．
3
m
B．
1
m
C．
1
m 或3
D．
3
m
或1
【答案】C
【分析】把方程的解代入得到关于m 的一元二次方程，解关于m 的一元二次方程即可．
【详解】解：将
2
x 代入
2
2
6
0
mx
m x
得
2
4
2
6
0
m
m
．
整理得
2
2
3
0
m
m
．
因式分解得
3
1
0
m
m
．
∴
3
0
m
或
1
0
m
，
∴
3
m
或
1
m ．
4．已知直角三角形有两条边长分别是方程
2
14
48
0
x
x
的两个根，则该直角三角形的斜边长是（
）
A．10
B．2 7
C．10 或8
D．10 或2 7
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【答案】C
【分析】先解一元二次方程，题目未说明给出的两条边都是直角边，需要分情况讨论，结合斜边是直角三
角形最长边的性质计算即可．
【详解】解：
2
14
48
0
x
x
，
因式分解得
6
8
0
x
x
，
解得
1
2
6,
8
x
x
，
即直角三角形的两条边长为6 和8，
∵直角三角形中斜边是最长边，
∴分两种情况讨论：
①当6 和8 均为直角边时，斜边长为
2
2
6
8
36
64
100
10
；
②当8 为斜边，6 为直角边时，斜边长即为8；
综上，该直角三角形的斜边长为10 或8．
5．若关于x 的一元二次方程
2
9
3
0
4
kx
x
有实数根，则实数k 的取值范围是（
）
A．
0
k
B．
1
k 且
0
k
C．
1
k
D．
1
k 且
0
k
【答案】B
【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0 的隐含条件，结合根的判别式求解k 的取值范围．
【详解】解：∵该方程是一元二次方程，
∴
0
k
，
∵方程有实数根，
∴
2
9
Δ
( 3)
4
0
4
k
，即9
9
0
k
，
解得
1
k ；
综上，
1
k 且
0
k
．
6．已知
2
x
是一元二次方程
2
2
2
4
0
a
x
x
a
的一个根，则a的值为（
）
A．0 或4
B．－4
C．4
D．0
【答案】A
【分析】利用方程的根的定义，将
2
x
代入原方程得到关于a 的方程，求解后结合一元二次方程二次项系
数不为0的要求，确定a的取值．
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【详解】解：∵
2
x
是一元二次方程
2
2
2
4
0
a
x
x
a
的一个根，
∴将
2
x
代入原方程得：
2
2
2
2
4 2
0
a
a
，
整理化简得
2
4
0
a
a
，
解得
0
a
或
4
a
．
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数
2
0
a
，即
2
a
∵
0
a
和
4
a
都满足条件，
∴a的值为0 或4 ．
7．对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，根据求根公式为
2
4
2
b
b
ac
x
a
（其中
2
4
0
b
ac
），可以
推导两根之差的绝对值
1
2
S
x
x
的表达式．若
2
2
2
1
1
0
x
m
x
m
有两个实数根
1x ，
2x ．则能够满足
2
S
的m 的值为（
）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】A
【分析】先推导一元二次方程两根之差的绝对值公式，再结合题目条件列出关于m 的方程，同时根据方程
有两个实数根确定判别式的取值范围，求解后得到符合条件的m 的值．
【详解】解：对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，由求根公式
2
2
4
4
0
2
b
b
ac
x
b
ac
a
，得
2
2
2
2
1
2
4
4
2
4
4
2
2
2
b
b
ac
b
b
ac
b
ac
b
ac
x
x
a
a
a
a
，
∵方程
2
2
2
1
1
0
x
m
x
m
有两个实数根
1x ，
2x ．
2
Δ
4
b
ac
2
2
2
1
4 1
1
m
m
2
2
4
2
1
4
4
m
m
m
8
0
m
0
m
．
1
2
Δ
8
2 2
x
x
m
m
a
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由
1
2
2
x
x
，得2 2
2
m
解得
1
2
m
，
1
0
2
m
，符合条件．
8．若关于x 的一元二次方程
0
x
m
x
n
的解也是
2
(
3)
a x
b
（
0
a
）的解，则m 与n 满足的数量关
系为（
）
A．
3
m
n
B．
6
m
n
C．
6
m
n
a
D．
6
m
n
b
【答案】B
【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算m 与n 的和，得到二者的数量关
系．
【详解】解：对于方程
0
x
m
x
n
，
1
2
,
x
m x
n
，
对于方程
2
(
3)
0
a x
b a
，
变形得
2
(
3)
b
x
a
，
直接开方得
3
b
x
a
，
整理得
1
2
3
,
3
b
b
x
x
a
a
，
两个方程的解相同，
3
3
6
b
b
m
n
a
a
，
即
6
m
n
．
9．关于x 的方程
2
2
2
1
0
x
mx
m
的两个根
1x ，
2x 满足
1
2
2
x
x
，且
1
2
x
x
，则m 的值为（
）
A．2
B．
3
±
C．3
D．3
【答案】C
【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数
关系列方程，求解得到m 的值．
【详解】解：∵原方程
2
2
2
1
0
x
mx
m
可变形为
2
21
0
x
m
，
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由平方差公式因式分解得
1
1
0
x
m
x
m
，
∴方程的两个根为
1
x
m
和
1
x
m
，
∵
1
2
x
x
，
1
2
2
x
x
，
∴
1
1
x
m
，
2
1
x
m
，代入关系式得
1
2
1
m
m
，
展开整理得
3
m
，
因此m 的值为3．
10．对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，给出下列说法：
①若方程
2
0
ax
c
有两个不相等的实根，则方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实根；
②若c是方程
2
0
ax
bx
c
的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；
③若
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根，则
2
2
0
4
2
b
ac
ax
b
；
④存在实数
m
n m
n
，
，使得
2
2
am
bm
c
an
bn
c
．
其中正确的是（
）
A．只有①③
B．只有①②
C．只有①③④
D．①②③④
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题．
【详解】解：①
方程
2
0
ax
c
有两个不相等的实根，
Δ
0
4
0
ac
，
4
0
ac
，
则方程
2
0
ax
bx
c
的判别式
2
Δ
4
0
b
ac
，
方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实根，故①正确；
②c是方程
2
0
ax
bx
c
的一个根，则
2
0
ac
bc
c
，
1
0
c ac
b
，
若
0
c
，等式仍然成立，但
1
0
ac
b
不一定成立，故②不正确；
③若
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根，
则由求根公式得
2
0
4
2
b
b
ac
x
a
或
2
0
4
2
b
b
ac
x
a
，
2
0
2
4
ax
b
b
ac
或
2
0
2
4
ax
b
b
ac
，
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2
2
0
4
2
b
ac
ax
b
，故③正确；
④存在实数
m
n m
n
、
，使得
2
2
am
bm
c
an
bn
c
，
整理得
2
2
0
a m
n
b m
n
，即
0
m
n
a m
n
b
，
因为m
n
，只需取
b
m
n
a
即可满足，
例如取
0
m
，
0
b
n
a
a
，就有
2
2
am
bm
c
an
bn
c
，故④正确．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．不解方程，判断一元二次方程
2
2
5
7
x
x
的根的情况是________．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
2
5
7
x
x
∴
2
2
7
5
0
x
x
∴
2
7
4
2 5
9
0
∴方程有两个不相等的实数根．
12．若关于x 的一元二次方程
2
2
3
0
x
x
m
有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．
【答案】
1
3
m
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列不等式求解即可得到m 的取
值范围．
【详解】解：∵方程
2
2
3
0
x
x
m
有两个不相等的实数根，
∴根的判别式Δ
0
，即
2
2
4 1 3
0
m
，
解得
1
3
m
．
13．解方程
2
2
2
1
3
1
4
x
x
x
x
，如果设
2
1
x
y
x
，那么得到关于y 的整式方程是______．
【答案】
2
8
12
1
0
y
y
【分析】将
2
1
x
y
x
代入原方程，把原方程转化为含y 的分式方程，再去分母整理即可得到关于y 的整式方
程．
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【详解】解：设
2
1
x
y
x
，则
2
2
2
2
2
1
1
x
x
y
x
x
，
2
2
1
1
1
4
4
4
1
x
x
x
y
x
，
原方程可化为
1
2
3
4
y
y
，
两边同时乘以4y 得
2
8
1 12
y
y
，
整理得
2
8
12
1
0
y
y
，
得到关于y 的整式方程是
2
8
12
1
0
y
y
．
14．方程
2
2
1
0
x
x
的正根介于正整数m 与
1
m之间，则m ________．
【答案】2
【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数m 的值．
【详解】解：
2
2
1
0
x
x
，
∴
2
2
(
2)
4 1 ( 1)
2
8
1
2
2 1
2
x
，
∴方程的正根为1
2
，
1
2
4
，
1
2
2
，
2
1
2
3
，则
2
m
．
15．对于实数
,
m n ，现定义一种运算“”如下：
2
2
m
m
n m
n
m
n
n
m
n m
n
若
2
10
x
，则实数x 的值
为___________．
【答案】3
【分析】根据新定义的分段运算规则，分
2
x 和
2
x 两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即
可得到结果．
【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当
2
x 时，
2
2
2
x
x
x
，
令
2
2
10
x
x
，
整理得
2
12
0
x
x
，
因式分解得
4
3
0
x
x
，
解得
1
4
x ，
2
3
x
，
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∵本情况要求
2
x ，
∴
4
x 舍去，保留
3
x
；
当
2
x 时，
2
2
( 2)
2
x
x
，
令4
2
10
x
，
整理得
2
10
x
，
解得
8
x
，
∵本情况要求
2
x ，
∴
8
x
舍去
综上，实数x 的值为3．
16．定义：
2
0
cx
bx
a
是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的倒方程．则下列四个结论：
①如果
2
x
是
2
2
0
x
x
c
的倒方程的解，则
5
4
c
；
②如果
0
ac
，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程
2
2
0
ax
x
c
无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程
2
0
ax
bx
c
有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中
正确的有_____（填正确的序号）．
【答案】
①②③
【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性：
①通过代入求解；
②利用判别式即可；
③通过判别式得到
1
ac ，代入倒方程判别式可得；
④举反例说明不成立．
【详解】解：结论①，原方程
2
2
0
x
x
c
的倒方程为
2
2
1
0
cx
x
，
将
2
x
代入得4
4
1
0
c
，
解得
5
4
c
，
故①正确；
结论②，当
0
ac
时，
判别式
2
4
0
b
ac
，
两个方程均有两个不相等的实数根，
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故②正确；
结论③，
原方程无解，
4
4
0
ac
，
即
1
ac ，
倒方程判别式4
4
0
ac
，
倒方程无解，
故③正确；
结论④，
举反例说明，当
0
c
时，原方程为
2
0
ax
bx
，
若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：
2
0
b
，
即
0
b
，
原方程
2
0
ax
bx
c
的倒方程为
2
0
cx
bx
a
，
0
c
，
0
b
，
倒方程为
0
bx
a
，是一元一次方程，
只有一个根，
故④错误．
故答案为①②③．
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．解方程
(1)
2
8
9
0
x
x
；（配方法）
(2)
2
3
4
2
x
x
；（公式法）
【答案】(1)
1
1
x ，
2
9
x
(2)
1
1
13
3
x
，
2
1
13
3
x
【分析】（1）把方程化为：
2
8
9
x
x
，可得
2
8
16
9 16
x
x
，再进一步解方程即可；
（2）先求解
2
Δ
4
52
0
b
ac
，再利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
2
8
9
0
x
x
，
移项得：
2
8
9
x
x
，
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配方得：
2
8
16
9 16
x
x
，即
2
4
25
x
，
开方得：
4
5
x
，
∴
1
1
x ，
2
9
x ；
（2）解：
2
3
4
2
x
x
，即
2
3
2
4
0
x
x
，
∴
3
a
，
2
b
，
4
c ，
∴
2
2
Δ
4
2
4 3
4
52
0
b
ac
，
∴
2
52
2
2 13
1
13
2 3
6
3
x
，
即
1
1
13
3
x
，
2
1
13
3
x
．
18．已知关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
ax
a
，其中a为实数．
(1)求证：一元二次方程
2
2
2
1
0
x
ax
a
有实数根；
(2)设一元二次方程
2
2
2
1
0
x
ax
a
的一个实数根为
1x ．若
1
2
1
x
，求a的取值范围．
【答案】(1)证明：∵
2
2
2
2
2
4 1
2
1
4
8
4
4
2
1
4
1
0
a
a
a
a
a
a
a
，
∴一元二次方程
2
2
2
1
0
x
ax
a
有实数根．
(2)
1
0
2
a
【分析】（1）计算出
0
即可证明；
（2）求出方程的解
1
2
1
x
a
，代入
1
2
1
x
即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵
2
2
2
1
0
x
ax
a
，
∴
2
1
1
0
x
a
x
，
∴
1
2
1
x
a
，
2
1
x ，
∴2
2
1
1
a
，
解得
1
0
2
a
．
19．小明与小颖两位同学解方程
2
5
2
2
x
x
的过程如图：
小明：
小颖：
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两边同除以
2
x
，
得5
2
x
，
解得
7
x
．
移项，得
2
5
2
2
0
x
x
，
提取公因式，得
2
5
2
0
x
x
．
2
0
x
或5
2
0
x
．
解得
1
2
2,
3
x
x
．
(1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程；
(2)请结合上述解题过程归纳总结：形如
2
mx
nx
的一元二次方程的一般解法．
【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确．
正确的解答过程：整理得：
2
2
5
2
0
x
x
，
∴
2
2
5
0
x
x
，即
2
2
5
0
x
x
，
∴
2
7
0
x
x
，
2
0
x
或
7
0
x
，
1
2
2,
7
x
x
．
(2)先移项将其整理为
2
0
mx
nx
的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一
次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案；
（2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答．
【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑
2
0
x
的情况，直接除以
2
x
导致漏解，小颖错误的原因是
提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案．
（2）解：先移项将其整理为
2
0
mx
nx
的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个
一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解．
20．解方程
2
1
5
1
4
0
x
x
时，我们可以将
1
x看成一个整体，设
1
x
y
，则原方程可化为
2
5
4
0
y
y
，解得
1
1
y ，
2
4
y
．当
1
y ，即
1
1
x
，解得
2
x
；当
4
y
，即
1
4
x
，解得
5
x
．所
以原方程的解
1
2
x
，
2
5
x
．
(1)请你利用这种方法解方程：
2
2
1
4 2
1
3
0
x
x
；
(2)已知ABC 三条边的长度分别为a，b ，c，若满足
2
2
2
2
2
3
4
0
a
b
a
b
，且
2
c
，请判断ABC
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的形状，并说明理由．
【答案】(1)
1
1
x ，
2
2
x
(2) ABC 是直角三角形；理由如下：
a
b
c
、、是ABC 的三边，
2
2
0,
0
a
b
，
2
2
0
a
b
，
设
2
2
a
b
y
0
y
，
则原方程可化为
2
3
4
0
y
y
，
解得：
1
4
y
，
2
1
y （舍去），
得
2
2
4
a
b
．
又
2
c
，
2
4
c
．
2
2
2
a
b
c
．
ABC
是直角三角形．
【分析】（1）根据题中方法，设2
1
x
y
，将原方程可化为
2
4
3
0
y
y
，解方程求出
1
1
y ，
2
3
y
；分
别代入求出x 的值即可；
（2）根据题中方法，设
2
2
a
b
y
，求出y ，结合
2
c
，根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）解：设2
1
x
y
，
则原方程可变为：
2
4
3
0
y
y
，
解得：
1
1
y ，
2
3
y
，
当
1
1
y 即2
1
1
x 时，解得：
1
x ；
当
2
3
y
即2
1
3
x
时，解得：
2
x
；
∴原方程的解为：
1
1
x ，
2
2
x
；
（2）略
21．关于x 的代数式
2
0
ax
bx
c a
，若存在实数n ，使得
2
2
an
bn
c
n
，则称n 为这个代数式的等根
值．
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(1)代数式
2
3
2
x
x
的等根值为____________；
(2)已知关于x 的代数式
2
2
3
x
kx
k
．
①求证：无论k 取何值，此代数式总有两个不相等的等根值；
②已知
1
x 是此代数式的一个等根值，求k 的值和这个代数式的另一个等根值．
【答案】(1)0 或1
(2)
①令
2
2
2
3
x
kx
k
x
整理得：
2
3
0
x
kx
k
因为
2
Δ
4
3
k
k
2
4
12
k
k
2
4
4
8
k
k
2
2
8
8
k
即Δ
0
，
所以
2
2
2
3
x
kx
k
x
有两个不相等的根，
即代数式
2
2
3
x
kx
k
总有两个不相等的等根值
②k 的值为1
，另一个等根值为2
【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程
2
2
3
2
x
x
x
，解方程即可；
（2）①由题得到关于x 的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不
相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值；
②将已知的等根值代入对应的方程求解k 的值，再将k 代回方程，再解方程求出另一个根即可．
【详解】（1）由题可得
2
2
3
2
x
x
x
，
整理得
2
2
2
0
x
x
，
2
1
0
x x
，
解得
1
0
x
，
2
1
x ；
（2）①略；
②由题意得
2
2
2
1
3
1
k
k
解得：
1
k
将
1
k 代入
2
2
2
3
x
kx
k
x
得
2
2
2
1 3
x
x
x
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即：
2
2
0
x
x
解得：
1
2
x
，
2
1
x
所以，该代数式的另一个等根值为2．
22．已知关于x 的方程
2
3
2
2
0,
2
x
p
x
p
其中
1
p ．
(1)利用判别式判断该方程的根的情况；
(2)C 是线段AB 上一点，AB
p
，AC 的长t 是该方程的一个根，且
2
1
t p
t
．
①求证
1
p
t
；
②确定点C 在线段AB 上的位置，并说明理由．
【答案】(1)该方程有两个不相等的实数根
(2)①证明：∵AC 的长t 是该方程的一个根，
∴
2
3
2
2
0
2
t
p
t
p
．即
2
2
2
4
4
3
0
t
pt
t
p
．①
∵
2
1
t p t
，
∴
2
2
2
1
pt
t
．②
①+②，得4
4
4
p
t
．
∴
1
p
t
．
②解：C 在线段AB 靠近A 的三等分点处，即
1
3
AC
AB
．
∵
2
1,
1
t p
t
p
t
，
∴
1
3
,
2
2
t
p
．
∴
1
3
AC
AB
．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，得出
0
，即可求解；
（2）①根据AC 的长t 是该方程的一个根，得出
2
3
2
2
0
2
t
p
t
p
，结合已知
2
1
t p t
，进而得出
1
p
t
②根据
2
1
t p t
，
1
p
t
，求得,t p 的值，即可求解．
【详解】（1）解：
2
2
2
3
2
4 1
2
4
10
2
6
0
2
p
p
p
p
p
，
∴该方程有两个不相等的实数根．
（2）略
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23．【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将4块图形进行拼接，
恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形①或长方形②（含拼接线）．
【观察发现】
(1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含a，b 的代数式表示）
【探索应用】
(2)若
2
a
，求b 的值；
(3)在
2 的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积．
【答案】(1) a
b
，
2
a
b
；
(2)
1
5
b
；
(3)14
6 5
．
【分析】
1 根据图形即可求解；
2 剪成的四块图形中梯形3 4
、的高为b ，三角形1 2
、较长直角边的长为a
b
，由剪拼后图形的面积不变，得
2
2
a
b
b a
b
，然后把
2
a
代入即可求解；
3 把
2
a
，
1
5
b
代入
2
a
b
即可求解．
【详解】（1）解：由题图可得，拼成的正方形的边长为a
b
，长方形的长为
2
a
b
，
故答案为：a
b
，
2
a
b
；
（2）解：剪成的四块图形中梯形3 4
、的高为b ，三角形1 2
、较长直角边的长为a
b
，
由剪拼后图形的面积不变，得
2
2
a
b
b b
a
b
b a
b
，
当
2
a
时，
2
2
2
2
b
b
b
，
整理得
2
2
4
0
b
b
，
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解得
1
5
b
或
1
5
b
（舍去），
（3）解：∵
2
a
，
1
5
b
，
∴等腰三角形纸片的面积
2
2
2 1
5
14
6 5
a
b
．
24．定义：方程
2
0
ax
bx
c
（
0
ac
）与方程
2
0
cx
bx
a
互为“换位方程”．如一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
的“换位方程”是
2
3
2
0
x
x
．已知关于x 的一元二次方程①：
2
2
1
2
0
x
m
x
m
，其中
2
m
．
(1)写出方程①的“换位方程”；
(2)求证：当
2
m
时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根；
(3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根
0x ，求这个公共根及m 的值．
【答案】(1)
2
2
2
1
1
0
m
x
m
x
(2)当
2
m
时，对于方程①及其“换位方程”均有
2
2
2
1
4
2
4
9
0
m
m
m
，
∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根．
(3)
0
1
x
或
0
1
x ，
2
m 或
0
m
【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式得出
2
4
9
0
m
，即可得出结论；
（3）把
0x 分别代入方程①及其“换位方程”可得
2
0
3
1
0
m
x
，根据
3
m
时两方程相同得出
2
0
1
0
x
，
解方程得出
0
1
x
或
0
1
x ，分别代入方程①求出m 的值即可得出答案．
【详解】（1）解：在方程
2
2
1
2
0
x
m
x
m
中，
1
a ，
2
c
m
，
∴方程①的“换位方程”为
2
2
2
1
1
0
m
x
m
x
．
（2）解：略
（3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根
0x ，
∴
2
0
0
2
1
2
0
x
m
x
m
，
2
0
0
2
2
1
1
0
m
x
m
x
，
2
0
3
3
0
m
x
m
，
∴
2
0
3
1
0
m
x
，
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当
3
m
时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意，
∴
2
0
1
0
x
解得：
0
1
x
或
0
1
x ，
当
0
1
x
时，代入方程①得，
2
( 1)
2
1
2
0
m
m
，
解得：
2
m ；
当
0
1
x 时，代入方程①得，
21
2
1
2
0
m
m
，
解得：
0
m
．
