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2026-2027 学年九年级上学期数学周周测01
25.1-25.2.1 一元二次方程定义和直接开平方法与配方法
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（
）
A．
2
1
1
x
x
B．
2
3
1
2
1
x
x
C．
2
0
ax
bx
c
D．
2
2
1
x x
x
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
含有一个未知数，且未知数的次数最高是2 的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各
选项即可．
【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意；
B、对
2
3(
1)
2
1
x
x
去括号、移项、合并同类项，得
2
3
4
1
0
x
x
，符合一元二次方程定义，故选项
符合题意；
C、未说明
0
a
，当
0
a
时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意；
D、对
2
2
1
x x
x
去括号、移项、合并同类项，得2
1
0
x
，是一元一次方程，故选项不符合题意．
2．下列方程中，有一根为2 的一元二次方程是（
）
A．
2
0
x
B．
3
4
0
x
x
C．
2
4
0
x
D．
2
0.125
x
【答案】C
【详解】解：A、
2
0
x
未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；
B、
3
4
0
x
x
未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；
C、
2
4
0
x
符合一元二次方程的定义，将
2
x
代入方程左边得：左边
2
2
4
0
右边，
2
x
是
2
4
0
x
的根，符合题意；
D、
2
0.125
x
即
2
1
0.125
x
，不是一元二次方程，不符合题意．
3．已知代数式
2
20
x
kx
的值如下表，则关于x 的一元二次方程
2
20
0
x
kx
的根为(
)
x
3
2
1
9
10
11
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2
20
x
kx
13
0
11
11
0
13
A．2
B．10
C．2
或10
D．3
或11
【答案】C
【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为0 时对应的x 值，即为方程的根．
【详解】解：
当
2
x 时，代数式的值为0 ；当
10
x
时，代数式的值也为0 ，
方程
2
20
0
x
kx
的根为
2
x 或
10
x
．
故选：C．
4．若方程
2
3
17
x
的两根为a 和b，且a
b
，则下列结论中正确的是（
）
A．a 与b 相等
B．a 与b 互为相反数
C．
3
a 是17 的算术平方根
D．
3
b 是17 的算术平方根
【答案】C
【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据a
b
确定a、b 的值，再判断各选项的说法是否
正确．
【详解】解：解方程
2
3
17
x
，
解得
1
17
3
x
，
2
17
3
x
，
a
b
17
3
a
，
17
3
b
，
A、a
b
，A 选项错误；
B、a 与b 不是互为相反数，B 选项错误；
C、
3
17
a
，17 是17 的算术平方根，C 选项正确；
D、
17
3
b
，不是17 的算术平方根，D 选项错误．
5．将一元二次方程
2
4
9
x
x
配方，得到方程
2
4
9
x
x
▲
▲，其中“▲”表示的数为（
）
A．16
B．4
C．2
D．1
【答案】B
【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数.
【详解】解：∵对一元二次方程
2
4
9
x
x
配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，
原方程中一次项系数为4，
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∴一次项系数一半的平方为
2
4
4
2
，因此▲表示的数为4 .
6．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求
出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，错误的是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】B
【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步
骤．
【详解】解：王老师：
2
2
8
4
0
x
x
，
甲：两边同除以2，移项得
2
4
2
x
x
，正确，
乙：配方，两边加4，得
2
4
4
2
4
x
x
，即
2
2
6
x
，但乙写成了
2
2
2
x
，错误，
丙：开平方，得
2
2
x
，正确，
丁：
2
2
x
，则
1
2
2
2,
2
2
x
x
，正确，
∴错误的是乙．
7．已知关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
满足
0
a
b
c
，那么下列四个判断中正确的是（
）
A．该方程一定有两个相等的实数根；
B．该方程一定有两个不相等的实数根：
C．该方程一定有一个实数根为
1
x ；
D．该方程一定有一个实数根为
1
x ．
【答案】C
【分析】本题利用一元二次方程根的定义，结合根的判别式判断各选项，代入x 的值结合已知条件
0
a
b
c
即可得到结论．
【详解】解：∵把
1
x 代入一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，
可得左边
21
1
a
b
c
a
b
c
，
又∵已知
0
a
b
c
，
∴左边=右边，即
1
x 一定是该方程的一个实数根，因此C 正确，D 错误；
判断根的个数：由
0
a
b
c
得
b
a
c
，
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根的判别式
2
2
2
4
4
0
b
ac
a
c
ac
a
c
，
说明方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B 错误．
综上，正确选项为C．
8．若方程
2 1
1
4
2
0
m
m
x
x
是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（
）
A．1
B．1
C．1
D．2
【答案】A
【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为2 ，且二次项系数不为0，据此列等式
和不等式即可求解．
【详解】解：∵方程
2 1
1
4
2
0
m
m
x
x
是关于x 的一元二次方程，
∴
2
1
2
m
，且
1
0
m
，
解
2
1
2
m
得，
1
m ，
解
1
0
m
得，
1
m ，
综上所述：
1
m ．
9．已知关于x 的一元二次方程
2
4
ax
bx
c
（
0
a
）的两个根分别为
1
4
x ，
2
6
x ，小范有以下两种说
法：①
2
b
a
；②关于x 的方程
4
6
4
0
a x
x
和
2
0
ax
bx
c
的解相同，下列判断正确的是（
）
A．①正确，②正确
B．①不正确，②正确
C．①正确，②不正确
D．①不正确，②不正确
【答案】A
【分析】根据方程的解的定义得到
2
4
4
6
ax
bx
c
a x
x
，把该等式的右边展开即可判断①；可证
明方程
4
6
4
0
a x
x
和
2
0
ax
bx
c
是同一个方程，据此可判断②．
【详解】解：∵方程
2
4
ax
bx
c
的两根为
1
4
x ，
2
6
x
，
0
a
，
∴方程
2
4
0
ax
bx
c
的两根为
1
4
x ，
2
6
x
，
0
a
，
∴
2
4
4
6
ax
bx
c
a x
x
，
2
2
2
4
4
6
24
2
24
ax
bx
c
a x
x
x
ax
ax
a
，
∴
2
b
a
，因此①正确；
∵
2
4
4
6
ax
bx
c
a x
x
，
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∴
2
4
6
4
ax
bx
c
a x
x
，
∴方程
4
6
4
0
a x
x
和
2
0
ax
bx
c
是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确；
综上，①正确，②正确．
10．对于二次三项式
2
2
A
x
mxy
x
（
0
x
且m 为常数），
2
2
B
y
xy
y
，下列说法：
①当
1
m 时，若
0
A
，则
2
x
y
；
②无论x 取任何实数，若等式
2
5
A
x
x
恒成立，则
3
3
27
m y
；
③当
1
m 时，若
6
A
，
7
B ，则
1
x
y
．
其中说法正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】本题考查了整式的加减，因式分解的应用，完全平方公式，解一元二次方程，掌握以上运算法则
以及完全平方公式是解题的关键．①将
1
m 代入A ，因式分解后结合
0
x
可得
2
x
y
；②由
2
5
A
x
x
恒成立得
3
my ，进而
3
27
27
my
；③当
1
m 时，计算A
B
得
2
2
1
x
y
x
y
，解方程得
1
x
y
。
【详解】解：①当
1
m 时，
2
2
2
A
x
xy
x
x x
y
，
0
A
且
0
x
，
2
0
x
y
，
即
2
x
y
，
故①正确；
②
2
2
2
5
A
x
mxy
x
x
x
恒成立，
2
5
mxy
x
x
，
即
3
mxy
x
，
0
x
，
3
my
，
3
3
3
27
27
my
，
故②错误。
③当
1
m 时，
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2
2
6
A
x
xy
x
，
2
2
7
B
y
xy
y
，
2
2
2
2
2
2
2
1
A
B
x
y
xy
x
y
x
y
x
y
，
设t
x
y
，则
2
2
1
0
t
t
，
即
2
1
0
t
，
1
t
，
即
1
x
y
，
故③正确。
综上，正确的个数是2个.
故选：C．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．把方程
3
2
2
3
0
x
x
化为一般形式是__________．
【答案】
2
6
5
6
0
x
x
【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式
2
0
0
ax
bx
c
a
即可．
【详解】解：
3
2
2
3
x
x
3
2
3
3
2 2
2
3
x
x
x
x
2
6
9
4
6
x
x
x
2
6
5
6
x
x
，
原方程化为一般形式为
2
6
5
6
0
x
x
．
12．一元二次方程
2
6
0
x
mx
的一个根为2
，则m 的值为_______．
【答案】1
【详解】解：∵一元二次方程
2
6
0
x
mx
的一个根为2
，
∴
2
2
2
6
0
m
，
解得
1
m ．
13．在一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
中，实数a，b，c 满足4
2
0
a
b
c
，则此方程必有一根为________．
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【答案】2
【分析】将
2
x 代入方程求解判断即可．
【详解】解：将
2
x 代入
2
0
ax
bx
c
得，4
2
0
a
b
c
，
此方程必有一根为2
．
14．已知关于x 的方程
2 1
1
0
m n
m
n
x
m
n x
mn
是一元二次方程，则m
n
的值为_____________
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2且二次项系数不为0 ，列等式和不等式求解即可．
【详解】解：∵原方程是关于x 的一元二次方程，
∴
2
1
2
m
n
且
1
0
m
n
，
解第一个等式
2
(
)
1
2
m
n
，得
1
m
n
或
1
m
n
，
解不等式，得
1
m
n
，
∴
1
m
n
．
15．用配方法解一元二次方程
2
4
0
x
bx
a
得2
3
6
x
，则b 的值为________．
【答案】12
【分析】将2
3
6
x
的两边分别平方整理后得到
2
4
12
3
0
x
x
，然后比较求解即可．
【详解】解：
2
3
6
x
，
2
2
3
6
x
，
2
4
12
9
6
x
x
，
2
4
12
3
0
x
x
，
2
4
0
x
bx
a
，
12
b
，
3
a
．
16．对于实数
,
p q ，我们用符号
min
,p q 表示
,
p q 两数中较小的数，如
min 1,2
1
，
min
2, 3
3
，
若
2
2
min
+1 ,
=1
x
x
，则x ________ ．
【答案】1或2
【分析】根据新定义，分
2
2
1
x
x
、
2
2
1
x
x
及
2
2
1
x
x
时三种情况，分别令较小的数等于1求解，
再验证是否符合大小条件即可；
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【详解】解：分情况讨论：当
2
2
1
x
x
时，展开不等式得
2
2
2
1
x
x
x
，化简得
1
2
x
，
∵
2
2
min
1 ,
1
x
x
，
∴较小的数
2
1
x ，解得
1
x 或
1
x ，
又
1
2
x
，舍去
1
x ，得
1
x ，符合条件；
当
2
2
1
x
x
时，展开不等式得
2
2
2
1
x
x
x
，化简得
1
2
x
，
∵
2
2
min
1 ,
1
x
x
，
∴较小的数
2
1
1
x
，开方得
1
1
x ，解得
0
x
或
2
x ，
又
1
2
x
，舍去
0
x
，得
2
x ，符合条件；
当
2
2
1
x
x
时，解得
1
2
x
，此时两数都为1
1
4 ，不符合题意，舍去；
综上，
1
x 或
2
x ；
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的一个根是1，且a ，b 满足
2
2
1
b
a
a
，求此一元二次方程．
【答案】
2
2
1
0
x
x
【分析】把
1
x 代入
2
0
ax
bx
c
得出
0
a
b
c
，根据二次根式有意义的条件求出
2
a
，
1
b ，进而
求出
1
c
，即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的一个根是1，
∴
0
a
b
c
，
∵
2
2
1
b
a
a
，
2
0
2
0
a
a
，
解得：
2
a
，
∴
1
b ，
∴
1
c
a
b
，
∴此一元二次方程为
2
2
1
0
x
x
．
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18．有一组数据：3，
2
1
x ，5，2
3
x
，4，它们的平均数是4，求x 的值．
【答案】
1
11
x
或
1
11
x
【分析】根据平均数的定义，利用所有数据的和等于平均数乘以数据个数，列出一元二次方程，再求解一
元二次方程即可得到x 的值．
【详解】解：根据题意，这组数据共有5 个，平均数为4，因此这组数据的总和为5 4
20
．
列方程得：
2
3
(
1)
5
(2
3)
4
20
x
x
，
整理方程得：
2
2
10
0
x
x
，
配方得：
2
2
1 11
x
x
，
即
2
(
1)
11
x
，
开方得：
1
11
x
，
解得
1
11
x
或
1
11
x
．
19．解方程：
(1)
2
1
1
4
2 x
(2)
2
1
2
0
2
x
x
（配方法）
【答案】(1)
1
2 2 1
x
，
2
2 2
1
x
(2)
1
1
5
4
x
，
2
1
5
4
x
【分析】（1）先两边同时乘以2，然后用直接开方法即可解答；
（2）先把二次项系数化为1，然后把常数项移到方程右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，最
后利用开平方法求解即可．
【详解】（1）解：
2
1
1
4
2 x
2
1
8
x
1
2 2
x
1
2 2 1
x
，
2
2 2
1
x
；
（2）解：
2
1
2
0
2
x
x
2
1
1
0
2
4
x
x
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1
1
2
4
x
x
2
2
2
1
1
1
1
2
4
4
4
x
x
2
1
5
4
16
x
1
5
4
4
x
1
1
5
4
x
，
2
1
5
4
x
．
20．某同学解一元二次方程
2
2
6
1
0
x
x
的解题步骤如下：
解：
2
2
6
1
x
x
①
2
1
3
2
x
x
②
2
2
3
1
3
2
2
x
x
③
2
3
1
2
2
x
④
该方程没有实数根⑤
(1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________．
(2)请写出用配方法解方程
2
2
6
1
0
x
x
的正确过程．
【答案】(1)第③步，方程两边未同时加上
2
3
2
(2)
2
2
6
1
0
x
x
2
2
6
1
x
x
2
1
3
2
x
x
2
2
2
3
1
3
3
2
2
2
x
x
2
3
7 .
2
4
x
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3
7
2
2
x
3
7
2
2
x
或
3
7
2
2
x
1
2
7
3
7
3
2
2
2
2
x
x
，
【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可；
（2）利用配方法得出
2
2
2
3
1
3
3
2
2
2
x
x
，解方程即可．
【详解】（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上
2
3
2
．
（2）略
21．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应
变能力和创新能力．定义：方程
2
0
cx
bx
a
是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的倒方程，其中a，b ，c为
常数（且a，
0
c
）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程
2
4
3
1
0
x
x
的倒方程是______；
(2)若
1
x 是一元二次方程
2
2
0
x
x
c
的倒方程的解，求出c的值；
(3)若m 是一元二次方程
2
6
1
0
x
x
的倒方程的一个实数根，求
3
2
6
2026
m
m
m
的值．
【答案】(1)
2
3
4
0
x
x
(2)
3
c
(3)2026
【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程；
（2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数c；
（3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到
2
6
0
m
m
，整体代入降次，求出代数式的值．
【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程
2
4
3
1
0
x
x
的倒方程是
2
3
4
0
x
x
；
（2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程
2
2
0
x
x
c
的倒方程是
2
2
1
0
cx
x
，
∵
1
x 是一元二次方程
2
2
0
x
x
c
的倒方程的解，
∴把
1
x 代入方程
2
2
1
0
cx
x
，
得
2
1
0
c
，
解得
3
c ；
（3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程
2
6
1
0
x
x
的倒方程是
2
6
0
x
x
，
∵m 是一元二次方程
2
6
1
0
x
x
的倒方程的一个实数根，
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∴把x
m
代入方程
2
6
0
x
x
，
得
2
6
0
m
m
，
∴
3
2
2
6
2026
6
2026
2026
m
m
m
m m
m
．
【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根
的意义、整体代入法求解．
22．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程
4
6
x x
．
解：原方程可变形，得，
2
2
2
2
6
x
x
，
整理得，
2
2
2
2
6
x
，
所以，
2
2
10
x
，
所以，直接开平方得，
2
10
x
，或
2
10
x
．
所以，原方程的解为：
1
2
10
x
，
2
2
10
x
．
(1)下面是小强同学用发现的新解法解方程
3
9
3
x
x
时，写的解题过程．
解：原方程可变形，得，
3
x
m
n
x
m
n
，
整理得，
2
2
3
x
m
n
，
所以，
2
2
3
x
m
n
，
所以，直接开平方得，
2
3
x
m
n
，或
2
3
x
m
n
，
所以，原方程的解为：
2
1
3
x
m
n
，
2
2
3
x
m
n
．
请直接写出上述过程中的m ，n 的值及方程
3
9
3
x
x
的根；
(2)请用小强同学发现的新解法解方程：
11
5
36
x
x
．
【答案】(1)
6
m
，
3
n
，
1
6
2 3
x
，
2
6
2 3
x
(2)
1
13
x
，
2
7
x
【详解】（1）解：原方程可变形，得，
6
3
6
3
3
x
x
，
整理得，
2
2
6
3
3
x
，
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所以，
2
2
6
3
3
x
，
所以，直接开平方得，
2
6
3
3
x
，或
2
6
3
3
x
，
所以，原方程的解为：
2
1
6
3
3
x
，
2
2
6
3
3
x
．
即
6
m
，
3
n
，
2
1
6
3
3
6
2 3
x
，
2
2
6
3
3
6
2 3
x
；
（2）解：原方程可变形，得，
3
8
3
8
36
x
x
，
整理得，
2
2
3
8
36
x
，
所以，
2
2
3
36
8
x
，
所以，直接开平方得，
2
3
36
8
10
x
，或
2
3
36
8
10
x
，
所以，原方程的解为：
1
13
x
，
2
7
x ．
23．【阅读理解】
在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x 的一元二次方程
2
2
x
ax
b
（
0
a
，
0
b
）的图解法是：如图，
作Rt
ABC
△
，其中
90
ACB
，
2
a
BC
，AC
b
，在斜边上截取
2
a
BD
，则AD 的长就是所求方程的正
根．
【推导验证】
对方程
2
2
x
ax
b
进行配方，
得
2
2
2
2
2
2
a
a
x
ax
b
，
因为
90
ACB
，所以
2
2
2
AB
AC
BC
，
……
(1)请你继续完成上述推导．
【尝试应用】
(2)若利用此图解法解方程
2
2
5
x
x
，那么BC _____，AB _____，方程的正根x _____．
(3)已知关于x 的一元二次方程
2
64
x
ax
（
0
a
），利用上述图解法求解时，有
3
2
BD
AD
，求a 的值．
【答案】(1)因为
2
a
BD
BC
，AC
b
，AB
AD
BD
，
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所以
2
2
2
2
2
a
a
AD
b
，
因为
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
x
ax
x
b
，
所以
2
2
2
2
a
a
x
AD
，
所以
2
2
a
a
x
AD
，
取
2
2
a
a
x
AD
，
所以x
AD
．
(2)1，
6 ，
6
1
(3)
12
a
【分析】（1）根据推导思路，将
2
a
BD
BC
，AC
b
，AB
AD
BD
代入
2
2
2
AB
AC
BC
，得到
2
2
2
2
2
a
a
AD
b
，结合
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
x
ax
x
b
得出
2
2
2
2
a
a
x
AD
，即可求出
x
AD
；
（2）仿照所给方法求解即可；
（3）由
2
a
BD
BC
，
3
2
BD
AD
得到
2
1
3
3
AD
BD
a
，根据
2
64
x
ax
得到
64
8
b
，代入
2
2
2
2
2
a
a
AD
b
，求出a 的值即可．
【详解】（1）略
（2）解：利用此图解法解方程
2
2
5
x
x
，那么
2
1
2
BC
，
1
BD
BC
，
5
AC
，
∴根据勾股定理，
2
2
6
AB
BC
AC
，
方程的正根
6
1
x
AB
BD
．
（3）解：如图，
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∵
2
a
BD
BC
，
3
2
BD
AD
，
∴
2
1
3
3
AD
BD
a
，
∵
2
64
x
ax
，且
0
b
，
∴
64
8
b
，
由
2
2
2
2
2
a
a
AD
b
，得
2
2
2
1
8
3
2
2
a
a
a
，
∵
0
a
，
∴
12
a
．
24．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结
合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成
2
2
a
b
（a，b 是整数）的形式，则称这个
数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为
2
2
10
3
1
，所以10是“和谐数”．
【解决问题】
(1)判断40是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”）
【探究问题】
(2)若
2
8
25
a
a
可配方成
2
2
a
m
n
（m ，n 为常数），则mn 的值________．
(3)已知
2
2
4
5
6
M
a
ab
b
b
k
（a ，b 是整数，k 是常数），要使M 为“和谐数”，试求出符合条件的一
个k 值，并说明理由．
【拓展应用】
(4)已知实数x ，y 满足
2
5
10
y
x
x
，当x 为多少时，y
x
能取得最小值，并求出最小值．
【答案】(1)是
(2) 12
(3)符合条件的一个k 值为9，理由如下：
对M 配方：
2
2
4
5
6
M
a
ab
b
b
k
2
2
2
(
4
4
)
6
a
ab
b
b
b
k
2
2
(
2 )
6
a
b
b
b
k
，
当
9
k
时，
2
2
6
9
(
3)
b
b
b
，
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∴
2
2
(
2 )
(
3)
M
a
b
b
，
∵a，b 是整数，
∴
2
a
b
和
3
b都是整数，
∴M 是两个整数的平方和，即M 为“和谐数”；
(4)当
3
x
时，y
x
的最小值为1
【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40 能否写成两个整数的平方和即可；
（2）利用配方法对代数式变形，对比得到m ，n 的值，即可计算mn ；
（3）对M 进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k 值；
（4）先写出y
x
的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值．
【详解】（1）解：∵
2
2
40
6
2
，且6，2 都是整数，
∴40 是“和谐数”；
（2）解：
2
2
2
2
8
25
(
8
16)
9
(
4)
3
a
a
a
a
a
，
2
2
(
4)
3
a
对比
2
2
(
)
a
m
n
得
4
m
，
3
n ，
∴
4 ( 3)
12
mn
；
（3）解：略
（4）解：
2
2
2
5
10
6
10
3
1
y
x
x
x
x
x
x
x
，
∵对于任意实数x，都有
2
3
0
x
，
∴当
2
3
0
x
，即
3
x
时，y
x
取得最小值，最小值为1．
