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专题32 一元一次不等式（组）含参问题
（题型突破·举一反三）
题型01 由不等式的定义求参数
题型02 由不等式的性质求参数
题型03 由不等式的解集求参数
题型04 由不等式的整数解求参数
题型05 由不等式整数解的个数求参数
题型06 由不等式最值求参数
题型07 由不等式组的解集求参数
题型08 由不等式组的整数解求参数
题型09 由不等式组整数解的个数求参数
题型10 由不等式组解集的最值求参数
题型11 由不等式组的至多/少整数解的个数求参数
题型12 由不等式组整数解的和求参数
题型13 由不等式组有解/无解求参数
题型14 方程与不等式（组）结合求参数
题型15 方程组与不等式（组）结合求参数
题型16 不等式与不等式（组）结合求参数
题型17 不等式解集相同求参数
题型18 新定义求参数
▌题型01 由不等式的定义求参数
1. 只含一个未知数；
2. 未知数的次数是1；
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3. 不等号两边都是整式；
4. 未知数系数不能为0。
【典例1】（2026 春•南丰县校级期中）若不等式（k﹣2）x|k|﹣1+3＜5 是关于x 的一元一次不等式，则k 的值
是 ﹣2 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
【解答】解：∵不等式（k﹣2）x|k|﹣1+3＜5 是关于x 的一元一次不等式，
∴根据一元一次不等式的定义得，|k|﹣1＝1 且k﹣2≠0，
解得k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【变式1-1】（2026 春•温江区期末）关于x 的不等式（a﹣4）x|a﹣3|+1＞0 是一元一次不等式，则a 的值为
2 ．
【分析】根据一元一次不等式的概念得出a 的值即可．
【解答】解：由题意得{|𝑎−3| = 1
𝑎−4 ≠0 ，
解得a＝2，
故答案为：2．
【变式1-2】（2026 春•万州区月考）若（a+1）x|a|+2＞0 是关于x 的一元一次不等式，则a 的值为 1 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义列得关于a 的方程，解方程即可．
【解答】解：若（a+1）x|a|+2＞0 是关于x 的一元一次不等式，
则|a|＝1 且a+1≠0，
解得：a＝1，
故答案为：1．
【变式1-3】（2026 春•杨浦区校级月考）若（a﹣2026）x|a|﹣2025＞1 是关于x 的一元一次不等式，则a＝ ﹣
2026 ．
【分析】根据一元一次不等式的概念即可求解．
【解答】解：∵（a﹣2026）x|a|﹣2025＞1 是关于x 的一元一次不等式，
∴{|𝑎| −2025 = 1
𝑎−2026 ≠0 ，
解得a＝﹣2026
▌题型02 由不等式的性质求参数
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不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c.
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边
都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
即：如果 a>b，c>0，那么ac>bc 或
𝑎
𝑐＞
𝑏
𝑐；
如果 a>b， c<0，那么ac<bc 或
𝑎
𝑐＜
𝑏
𝑐.
【典例1】（2026 春•谯城区期末）如图表示的是关于x 的不等式（a﹣2）x＞2﹣a 的解集，则a 的取值范围
是（ ）
A．a≤2
B．a≥2
C．a＜2
D．a＞2
【分析】首先根据数轴确定不等式的解集为x＜﹣1，根据不等式的性质可知x 的系数为负数，从而求出
a 的取值范围．
【解答】解：首先根据数轴确定不等式的解集为x＜﹣1，根据不等式的性质可知x 的系数为负数，从而
求出a 的取值范围如下：
原不等式的解集为 x＜﹣1．
原不等式可变形为：（a﹣2）x＞﹣（a﹣2），
∵解集的不等号方向与原不等式相反，
∴a﹣2＜0，
解得a＜2，
此时𝑥＜−(𝑎−2)
𝑎−2 ，即 x＜﹣1，符合题意．
∴a 的取值范围是a＜2．
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•科尔沁区校级期末）已知（m﹣2）x＞m﹣2 的解集是x＜1，则m 的取值范围是（ ）
A．m＞2
B．m＜2
C．m≥2
D．m≤2
【分析】由关于x 的不等式（m﹣2）x＞m﹣2 的解集是x＜1，知m﹣2＜0，解之即可．
【解答】解：∵关于x 的不等式（m﹣2）x＞m﹣2 的解集是x＜1，
∴m﹣2＜0，
则m＜2，
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故选：B．
【变式1-2】（2026 春•渠县校级期末）若不等式（m﹣2026）x＞m﹣2026 两边同时除以（m﹣2026），得x
＜1，则m 的取值范围是m＜2026 ．
【分析】根据不等式两边除以（m﹣2026）后不等号方向改变，可得m﹣2026 为负数，列不等式求解即
可．
【解答】解：不等式（m﹣2026）x＞m﹣2026，两边除以（m﹣2026）之后，不等号从“＞”变成了“＜”．
根据不等式的基本性质，能够让不等号方向反转，说明除数是负数．
m﹣2026＜0，
移项计算：m＜2026．
故答案为：m＜2026．
【变式1-3】（2026 春•怀宁县期末）已知关于x，y 的二元一次方程组{3𝑥−4𝑦= 𝑘
2𝑥−3𝑦= 2𝑘+ 3的解满足x﹣y＜0．
（1）求k 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x﹣2k＜1 的解为x＞1，请写出符合条件的k 的整数值．
【分析】（1）观察方程两式相见即可得到x﹣y，再根据x﹣y＜0 代入求解即可得到答案；
（2）分类解出不等式的解集，再根据x＞1 求解即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得{3𝑥−4𝑦= 𝑘 ①
2𝑥−3𝑦= 2𝑘+ 3 ②，
①﹣②得，
x﹣y＝﹣k﹣3，
∵x﹣y＜0，
∴﹣k﹣3＜0，
解得k＞﹣3；
（2）不等式移项可得，（2k+1）x＜2k+1，
当2k+1＞0 时，x＜1，不符合题意舍去；
2k+1＜0 时，x＞1，
解得𝑘＜−1
2，
由（1）得k＞﹣3，
∴符合的k 值有﹣2，﹣1
▌题型03 由不等式的解集求参数
（1）解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示（如x>号）。
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（2）对比定参：将所得解集与已知解集（如x>3）进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。
（3）系数化1 定方向：注意系数含参时，化1 步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。
（4）端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。
【典例1】（2026 春•西安校级期末）已知关于x 的不等式3x﹣2a＜4﹣5x 的解集为x＜a﹣1，则a 的值是
（ ）
A．2
B．﹣2
C．3
D．﹣3
【分析】先求解原一元一次不等式，再根据题目给出的解集列出关于a 的一元一次方程，解方程即可得
到a 的值．
【解答】解：3x﹣2a＜4﹣5x，
移项得3x+5x＜4+2a，
合并同类项得8x＜4+2a，
系数化为1 得𝑥＜2+𝑎
4 ，
∵关于x 的不等式3x﹣2a＜4﹣5x 的解集为x＜a﹣1，
∴
2+𝑎
4
= 𝑎−1，
解得a＝2．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•市中区期末）已知关于x 的不等式ax﹣b＞0 的解集为𝑥＜1
3，则关于x 的不等式（a+b）
x≥b﹣a 的解集是 𝑥≤−1
2 ．
【分析】根据已知不等式的解集，判断出a＜0，得到a 与b 的等量关系，代入所求不等式，根据不等式
的基本性质求解即可．
【解答】解：由条件可知a＜0，且
𝑏
𝑎=
1
3，即𝑏= 1
3 𝑎，
将𝑏= 1
3 𝑎代入不等式（a+b）x≥b﹣a，得：
(𝑎+ 1
3 𝑎)𝑥≥1
3 𝑎−𝑎，
整理得
4𝑎
3 𝑥≥−
2𝑎
3 ，
∴𝑥≤−1
2，
即所求不等式的解集为𝑥≤−1
2．
故答案为：𝑥≤−1
2．
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【变式1-2】（2026 春•西和县校级期末）已知不等式3x﹣m＞2 的解集为x＞1，则m 的值为 1 ．
【分析】先将不等式3x﹣m＞2 的解集用含m 的式子表示出来，再根据x＞1，即可得到m 的值．
【解答】解：由不等式3x﹣m＞2 可得x＞2+𝑚
3 ，
∵不等式3x﹣m＞2 的解集为x＞1，
∴
2+𝑚
3
=1，
解得m＝1，
故答案为：1．
【变式1-3】（2026•霸州市二模）已知关于x 的不等式
𝑥−3
2
+ 𝑎＜
3𝑥+1
2
的解集为x＞1，则a 的值为 3 ．
【分析】先解关于x 的一元一次不等式，再根据已知解集x＞1 建立关于a 的一元一次方程，求解即可得
到a 的值．
【解答】解：
𝑥−3
2
+ 𝑎＜
3𝑥+1
2
，
x﹣3+2a＜3x+1，
x﹣3x＜1+3﹣2a，
﹣2x＜4﹣2a，
x＞a﹣2，
∵不等式的解集为x＞1，
∴a﹣2＝1，
解得a＝3．
故答案为：3．
▌题型04 由不等式的整数解求参数
1.解不等式，写出解集；
2.把已知的整数全部写出来；
3.在数轴标记整数，圈出解集区间；
4.定参数范围，端点代入检验等号是否成立。
【典例1】（2026 春•沛县月考）若关于x 的不等式2x﹣m＜5 的正整数解是1，2，3，则实数m 的范围为
（ ）
A．m＞1
B．m≤3
C．1≤m＜3
D．1＜m≤3
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【分析】先解关于x 的不等式得到解集，再根据正整数解只有1，2，3，确定
𝑚+5
2 的范围，求解后即可得
到m 的取值范围．
【解答】解：原不等式移项得2x＜5+m，
系数化为1 得𝑥＜𝑚+5
2 ，
∵不等式的正整数解是1，2，3，
∴3＜𝑚+5
2
≤4，
解得1＜m≤3．
故选：D．
【变式1-1】已知不等式3x﹣a≤0 的正整数解恰是1，2，3，4，那么a 的取值范围是（ ）
A．a＞12
B．12≤a≤15
C．12＜a≤15
D．12≤a＜15
【分析】首先确定不等式组的解集，利用含a 的式子表示，再根据整数解的个数就可以确定有哪些整数
解，然后根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．
【解答】解：不等式的解集是：x≤𝑎
3，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4，
∴4≤𝑎
3 ＜5，
∴a 的取值范围是12≤a＜15．
故选：D．
【变式1-2】（2025 春•安新县期末）已知关于x 的不等式组{𝑥−𝑚≥0
3𝑥−𝑛＜0的整数解为1，2（其中m，n 为整
数），则满足条件的（m，n）共有（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
【分析】根据所给不等式组的整数解为1，2，得出m，n 的取值范围，再根据m，n 为整数即可解决问题．
【解答】解：解不等式x﹣m≥0 得，
x≥m；
解不等式3x﹣n＜0 得，
x＜𝑛
3；
因为不等式组的整数解为1，2，
所以0＜m≤1，且2＜𝑛
3 ≤3，
则0＜m≤1，6＜n≤9．
又因为m，n 为整数，
所以m＝1，n＝7，8，9，
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所以满足条件的（m，n）共有3 对．
故选：C．
【变式1-3】（2026 春•磴口县校级期末）已知关于x 的不等式4x﹣a≤0 的正整数解是1，2，3，4．则a 的
取值范围是 16≤a＜20 ．
【分析】解不等式9x﹣a≤0 得x≤𝑎
9，其中，最大的正整数为4，故4≤𝑎
9 ＜5，从而求解．
【解答】解：解不等式4x﹣a≤0，得x≤𝑎
4，
∵不等式的正整数解是1，2，3，4，
∴4≤𝑎
4 ＜5，
解得16≤a＜20．
故答案为：16≤a＜20．
▌题型05 由不等式整数解的个数求参数
1.解不等式，得到带参数的解集；
2.写出题目给的全部整数解；
3.画数轴，锁定参数的大致范围；
4.端点一定要回代检验，判断等号能不能取。
【典例1】（2026 春•尤溪县期末）若如图所示关于x 的不等式解集中有且只有3 个正整数解，则字母a 的
取值范围是（ ）
A．a＜4
B．a＞3
C．3＜a≤4
D．3≤a＜4
【分析】由关于x 的不等式解集中有且只有3 个正整数解得正整数解为1，2，3，故可得出字母a 的取值
范围是3≤a＜4．
【解答】解：根据题意，不等式的正整数解为1，2，3，
∴字母a 的取值范围是3≤a＜4．
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•江岸区期末）若m 为正整数，且二元一次方程组{𝑚𝑥+ 2𝑦= 10
3𝑥−2𝑦= 0
有整数解，已知关于
x 的不等式mx﹣a≥0 的非正整数解有且仅有5 个，则a 的取值范围为（ ）
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A．﹣10＜a≤﹣8
B．﹣2≤a＜﹣10
C．﹣10＜a≤﹣8 或﹣35＜a≤﹣28
D．﹣12≤a＜﹣10 或﹣35≤a＜﹣28
【分析】根据解二元一次方程组的步骤及解一元一次不等式的步骤进行求解即可．
【解答】解：解方程组{𝑚𝑥+ 2𝑦= 10
3𝑥−2𝑦= 0
得，{
𝑥= 10
𝑚+3
𝑦=
15
𝑚+3
．
因为m 为正整数且该方程有整数解，
所以m＝2．
由mx﹣a≥0 得，x≥𝑎
2．
因为该不等式的非正整数解有且仅有5 个，
所以−5＜𝑎
2 ≤−4，
解得﹣10＜a≤﹣8．
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•南郑区期末）已知关于x 的不等式x＜a 的正整数解只有4 个，则a 的取值范围是 4
＜a≤5 ．
【分析】根据不等式的解集的正整数解个数求参数的取值范围，根据正整数解的个数确定出所有正整数
解，即可得到参数a 的取值范围．
【解答】解：根据题意可知不等式的正整数解为1，2，3，4，
∴4＜a≤5．
故答案为：4＜a≤5．
【变式1-3】（2026 春•海珠区期末）若关于x 的不等式3x﹣a＜2x 有且只有3 个正整数解，则a 的取值范
围是 3＜a≤4 ．
【分析】解关于x 的不等式，并根据题意求得a 的取值范围即可．
【解答】解：3x﹣a＜2x，
解得：x＜a，
∵该不等式有且只有3 个正整数解，
∴这3 个正整数解必然为1，2，3，
则3＜a≤4，
故答案为：3＜a≤4．
▌题型06 由不等式最值求参数
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1.先解不等式组，写出含参数解集；
2.根据条件，锁定这个最大/最小整数；
3.数轴定位参数大致区间；
4.端点代入检验，判断等号取舍。
【典例1】（2026 春•中原区校级期中）已知关于x 的不等式x﹣3m+3＞0 的最小整数解为10，则整数m 的
值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】先求解原不等式得到x 的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m 的不等式组，解出m 的取
值范围后即可得到整数m 的值．
【解答】解：移项得 x＞3m﹣3，
∵不等式的最小整数解为10，
∴9≤3m﹣3＜10，
不等式三边同时加3，得12≤3m＜13，
三边同时除以3，得4 ≤𝑚＜13
3 ，
∴m＝4．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•合肥校级期末）已知关于x 的不等式组{
−𝑥+ 𝑎＞2
𝑥−𝑥−5
2 ＞−1
的最大整数解和最小整数解互
为相反数，则a 的取值范围是（ ）
A．8＜a≤9
B．8≤a＜9
C．9＜a≤10
D．9≤a＜10
【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据最大整数解与最小整数解互为相反数确定关
于a 的不等式，求解即可得到a 的取值范围．
【解答】解：{
−𝑥+ 𝑎＞2①
𝑥−𝑥−5
2 ＞−1②
解不等式①得：x＜a﹣2，
解不等式②得x＞﹣7，
∴不等式组的解集为﹣7＜x＜a﹣2，
∵不等式组的最大整数解和最小整数解互为相反数，
∴不等式组的最小整数解为﹣6，最大整数解为6，
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可得6＜a﹣2≤7，
解得8＜a≤9．
故选：A．
【变式1-2】（2026•龙凤区三模）已知关于x 的不等式3x﹣m+1＞0 的最小整数解为2，则实数m 的取值范
围是 4≤m＜7 ．
【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2 得出关于m 的不等式组，解之即可求得m 的取值范围．
【解答】解：解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞𝑚−1
3 ，
∵不等式有最小整数解2，
∴1≤𝑚−1
3
＜2，
解得：4≤m＜7，
故答案为4≤m＜7．
【变式1-3】（2026 春•莲湖区期中）若关于x 的不等式
2𝑥+2
3
＜𝑥+ 𝑎的最小整数解为2，则a 的取值范围是
0＜𝑎≤1
3 ．
【分析】先解出不等式的解集，再根据最小整数解为2 列出关于a 的不等式，求出a 的范围即可．
【解答】解：由
2𝑥+2
3
＜𝑥+ 𝑎得：x＞2﹣3a，
∵不等式
2𝑥+2
3
＜𝑥+ 𝑎的最小整数解为2，
∴1≤2﹣3a＜2，
解得0＜𝑎≤1
3，
故答案为：0＜𝑎≤1
3．
▌题型07 由不等式组的解集求参数
（1） 解表参数：将不等式组的解集用含参数的代数式表示（如x>a、x≤b)；
（2）对比定参：根据已知解集或解集特征（如无解、整数解个数），建立关于参数的不等式（组）求解；
（3）数轴分析：在数轴上标出已知解集范围，反向推断参数所在位置，直观建立不等关系；
（4）端点取舍：涉及“>”“<”时，需单独讨论端点能否取等，通过代入验证确定。
【典例1】（2026 春•红河州期末）若关于x 的不等式组{ 𝑥−2＞3
2𝑥+ 1＞𝑎
的解集是x＞5，则a 的取值范围是（ ）
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A．a≤11
B．a＜11
C．a≥5
D．a＞5
【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据“同大取大”的不等式组解集法则，结合已知解集求
a 的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣2＞3，得x＞5；
解不等式2x+1＞a，得𝑥＞𝑎−1
2 ；
∵不等式组的解集是x＞5，
∴
𝑎−1
2
≤5，
解得a≤11．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•霍邱县期末）不等式组{2(𝑥−1)＜4
𝑥−𝑚＜0
的解集为x＜3，则m 的取值范围在数轴上表示
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先分别求解不等式组中的不等式，再利用不等式组的解集为x＜3 确定m 的取值范围，即可求
解．
【解答】解：解不等式2（x﹣1）＜4，得x＜3；
解不等式x﹣m＜0，得x＜m；
∵不等式组{2(𝑥−1)＜4
𝑥−𝑚＜0
的解集为x＜3，
∴m≥3，
则m 的取值范围在数轴上表示为：
选项B 符合题意．
故选：B．
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【变式1-2】（2026 春•利津县期末）不等式组{2𝑥−5 ≤𝑥+ 1
𝑥＜𝑛
解集为x≤6，则n 取值范围是（ ）
A．n≥6
B．n≤6
C．n＜6
D．n＞6
【分析】解第一个不等式得出其解集，再根据题意求得n 的取值范围即可．
【解答】解：解第一个不等式得：x≤6，
∵原不等式组的解集为x≤6，
∴n＞6，
故选：D．
【变式1-3】（2026 春•朝阳区校级期末）若关于x 的不等式组{𝑥+ 𝑎＜3
𝑏−2𝑥＜0
的解集为1＜x＜2，则a+b 的值是
（ ）
A．1
B．﹣1
C．3
D．﹣3
【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含a，b 的解集，再对照已知解集求出a，b 的值，最
后计算a+b 即可．
【解答】解：由{ 𝑥+ 𝑎＜3①
𝑏−2𝑥＜0②
可得{
𝑥＜3 −𝑎
𝑥＞𝑏
2
，
∵不等式组{𝑥+ 𝑎＜3
𝑏−2𝑥＜0
的解集为1＜x＜2，
∴3﹣a＝2，
𝑏
2 =1，
解得a＝1，b＝2，
∴a+b＝1+2＝3，
故选：C．
▌题型08 由不等式组的整数解求参数
（1） 解不等式组；
（2）根据整数解，画出数轴定区间，先在数轴上标出所有满足条件的整数，再确定参数所在区间的大致范
围；
（3）列不等式组锁定参数范围；
（4）单独验证端点等号。
【典例1】（2026 春•嘉定区期中）若不等式组{3𝑥−2 ≤𝑎
𝑥−3＞1 有一个整数解为x＝7，则a 的取值范围是a≥
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19 ．
【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“唯一整数解为 x＝7”确定 a 的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣3＞1，
移项得x＞4，
解不等式3x﹣2≤a，
移项得3x≤a+2，
两边同除以3 得x≤𝑎+2
3 ，
∴结合两个解集，不等式组的解集为：4＜x≤𝑎+2
3 ，
∵不等式组有一个整数解x＝7，则：7≤𝑎+2
3 ，
解得：a≥19，
故答案为：a≥19．
【变式1-1】（2025 春•涪城区校级期末）若关于x 的不等式组{
𝑥−10
5
≤−1 −1
5 𝑥，
𝑥−2＞−1
2 𝑚
的最大整数解与最小整数
解的和为﹣2，则满足条件的整数m 的和为 27 ．
【分析】依据题意，解出不等式组的解集，然后再由最大整数解与最小整数解的和为﹣2，进而计算可以
得解．
【解答】解：关于x 的不等式组{
𝑥−10
5
≤−1 −1
5 𝑥，
𝑥−2＞−1
2 𝑚
的最大整数解与最小整数解的和为﹣2，
由题意，{
𝑥−10
5
≤−1 −1
5 𝑥①
𝑥−2＞−1
2 𝑚②
，
∴由①得，𝑥≤5
2；由②得，𝑥＞2 −1
2 𝑚．
∴原不等式组的解集为2 −1
2 𝑚＜𝑥≤5
2．
∴这个不等式组的最大整数解为2．
又最大整数解与最小整数解的和为﹣2，
∴这个不等式组的最小整数解为﹣4．
∴−5 ≤2 −1
2 𝑚＜−4．
∴12＜m≤14．
∴满足题意的整数m 有13，14．
∴满足题意的整数m 的和为27．
故答案为：27．
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【变式1-2】（2026 春•宣州区期末）已知关于x 的不等式组{𝑥−𝑎＞0
1 −𝑥≥0
的最大整数解与最小整数解的差是4，
则a 的取值范围是 ﹣4≤a＜﹣3 ．
【分析】先求解不等式组得到解集，再根据已知条件得到最小整数解，据此确定参数a 的取值范围，注意
端点值的取舍．
【解答】解：已知关于x 的不等式组{𝑥−𝑎＞0
1 −𝑥≥0
的最大整数解与最小整数解的差是4，
由不等式x﹣a＞0 得x＞a，由不等式1﹣x≥0 得x≤1，
∴不等式组的解集为a＜x≤1，
∵不等式组的最大整数解与最小整数解的差是4，且不等式组的最大整数解为1，
∴最小整数解为1﹣4＝﹣3，可得﹣4≤a＜﹣3．
故答案为：﹣4≤a＜﹣3．
【变式1-3】（2026•船山区校级模拟）若关于x 的不等式组{2𝑥−6 + 𝑚≤0
4𝑥−𝑚> 0
的整数解仅有1 和2，则m 的取
值范围是 ．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据它的整数解仅有1 和2 即可得到关于m 的不等式组，再求解即
可．
【解答】解：{2𝑥−6 + 𝑚≤0①
4𝑥−𝑚> 0②
，
解不等式①，得：𝑥≤3 −
1
2 𝑚，
解不等式②，得：𝑥>
1
4 𝑚，
∴
1
4 𝑚< 𝑥≤3 −
1
2 𝑚，
∵关于x 的不等式组{2𝑥−6 + 𝑚≤0
4𝑥−𝑚> 0
的整数解仅有1 和2，
∴{
0 <
1
4 𝑚< 1
2 ≤3 −
1
2 𝑚< 3
，
解得0＜m≤2，
故答案为：0＜m≤2．
▌题型09 由不等式组整数解的个数求参数
1. 解不等式组，写出解集；
2. 写出全部符合的整数；
3. 画数轴，确定参数大致范围；
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4. 端点代入检验，确定等号取或舍。
【典例1】（2026 春•汉阴县期末）若关于x 的不等式组{
𝑥−𝑎＜0
7−6𝑥
2
≤8
有且只有3 个整数解，则a 的取值范围为
（ ）
A．1＜a≤2
B．1＜a＜2
C．1≤a＜2
D．1≤a≤2
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤解答即可．
【解答】解：{
𝑥−𝑎＜0
7−6𝑥
2
≤8
，
解不等式x﹣a＜0，得x＜a，
解不等式
7−6𝑥
2
≤8，得𝑥≥−3
2，
∴原不等式组的解集为−3
2 ≤𝑥＜𝑎．
∵不等式组有且只有3 个整数解，
∴整数解为﹣1，0，1，
∴1＜a≤2．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•江阳区期末）若关于x 的不等式组{
2𝑥+ 1 ≥𝑥+ 𝑎
𝑥
2 + 1＞5
2 𝑥−9只有1 个整数解，则a 的取值范
围是（ ）
A．a＞4
B．a≤5
C．4≤a＜5
D．4＜a≤5
【分析】先分别解两个不等式求出不等式组的解集，再根据不等式组只有1 个整数解，确定整数解后得
到关于a 的不等式，即可求出a 的取值范围．
【解答】解：解不等式2x+1≥x+a，
移项得2x﹣x≥a﹣1
∴x≥a﹣1，
解不等式
𝑥
2 + 1＞
5
2 𝑥−9，
两边同乘2 得x+2＞5x﹣18，
移项整理得﹣4x＞﹣20，
系数化为1 得x＜5，
∴不等式组的解集为a﹣1≤x＜5，
∵不等式组只有1 个整数解，
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∴唯一的整数解为4，
可得3＜a﹣1≤4，
三边同时加1，解得4＜a≤5；
故选：D．
【变式1-2】（2026 春•商南县期末）不等式组{𝑥≤𝑎+ 1
𝑥＞2
有3 个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A．4≤a＜5
B．4＜a≤5
C．5＜a≤6
D．5≤a＜6
【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定a 的取值范围．
【解答】解：不等式组{𝑥≤𝑎+ 1
𝑥＞2
有3 个整数解，
解不等式组，得2＜x≤a+1
∵不等式组有3 个整数解，
∴整数解为3，4，5，
∴5≤a+1＜6，
解得4≤a＜5，
故选：A．
【变式1-3】（2026 春•内江期末）若关于x 的不等式组{𝑥−3𝑥−5
2
＜2
2𝑥−𝑎≤−1
有且只有4 个整数解，则a 的取值范
围是（ ）
A．9＜a≤11
B．9≤a＜11
C．11＜a≤13
D．11≤a＜13
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有4 个整数解确定关
于a 的不等式，求解即可得到a 的取值范围．
【解答】解：{𝑥−3𝑥−5
2
＜2①
2𝑥−𝑎≤−1②
，
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得𝑥≤𝑎−1
2 ，
∴不等式组的解集为1＜𝑥≤𝑎−1
2 ，
由条件可知4 个整数解为2，3，4，5，
∴5 ≤𝑎−1
2 ＜6，即{
5 ≤𝑎−1
2
𝑎−1
2 ＜6
，
解得11≤a＜13．
故选：D．
▌题型10 由不等式组解集的最值求参数
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1.解不等式组，写出含参数的解集；
2.根据题意，锁定最小/最大整数；
3.数轴标出整数，圈定参数大致范围；
4.把两个端点代入原题，检验等号。
【典例1】若关于x 的不等式组{3𝑥−5 ≥1
2𝑥−𝑎＜8 ，的最大整数解为3，则a 的所有整数解的和为（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
【分析】解出关于x 的不等式组，根据最大整数解为3 列出关于a 的不等式组，解得a 的范围，从而求
得a 的整数值，即可得答案．
【解答】解：由3x﹣5≥1 得x≥2，
由2x﹣a＜8 得x＜𝑎+8
2 ，
∴不等式组的解集为2≤x＜𝑎+8
2 ，
∵关于x 的不等式组{3𝑥−5 ≥1
2𝑥−𝑎＜8 的最大整数解为3，
∴3＜𝑎+8
2
≤4，
解得﹣2＜a≤0，
∴整数a 可以取﹣1，0，
∴a 的所有整数解的和为﹣1+0＝﹣1，
故选：B．
【变式1-1】（2026 春•宿城区校级期末）若关于x 的不等式组{ 𝑥＞𝑏
𝑥≤3
的最小整数解是2，则实数b 的取值范
围是（ ）
A．1＜b＜2
B．1≤b＜2
C．﹣1＜b＜0
D．﹣1≤b＜0
【分析】先根据题意得出不等式组有解，即b＜x≤3，再根据不等式组的最小整数解是2 即可求出b 的取
值范围．
【解答】解：∵关于x 的不等式组{ 𝑥＞𝑏
𝑥≤3
有解，
∴b＜x≤3，
∵不等式组的最小整数解是2，
∴1≤b＜2，
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故选：B．
【变式1-2】（2026 春•瑶海区校级期末）已知关于x 的不等式组{
𝑥−𝑚≥4
𝑥−4
2
≤𝑥−3的最小整数解是3，则实数m
的取值范围是（ ）
A．﹣2≤m＜﹣1
B．﹣2＜m≤﹣1
C．﹣2＜m＜﹣1
D．﹣2≤m≤﹣1
【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集为x≥max（4+m，2），根据最小整数解是3，可知
2 不是解而3 是解，从而得出关于m 的不等式组，求解即可．
【解答】解：解第一个不等式得x≥4+m．
解第二个不等式得x≥2．
∴不等式组的解集为 x≥max（4+m，2）．
∵最小整数解是3，
∴2 不是解，故 max（4+m，2）＞2．
又∵3 是解，故 max（4+m，2）≤3，
∵max（4+m，2）＞2，
∴4+m＞2．
即 m＞﹣2．
∵max（4+m，2）≤3 且 4+m＞2，
∴max（4+m，2）＝4+m≤3．
即 m≤﹣1．
∴﹣2＜m≤﹣1．
故选：B．
【变式1-3】对于m，n 定义一种新运算T，规定：T（m，n）= {
2𝑚+ 3𝑛+ 3(𝑚≥𝑛)
4𝑚−3𝑛+ 1(𝑚＜𝑛) ，即当m≥n 时，T（m，
n）＝2m+3n+3；当m＜n 时，T（m，n）＝4m﹣3n+1．若关于x 的不等式T（x+t，x+t﹣1）＜10t 的最大
整数解为3t+5，则t＝ −8
3或﹣3 ．
【分析】根据题意，得出关于t 的等式，据此进行求解即可．
【解答】解：由题知，
因为x+t＞x+t﹣1，
则由T（x+t，x+t﹣1）＜10t 得，
2（x+t）+3（x+t﹣1）+3＜10t，
解得x＜t，
因为该不等式的最大整数解为3t+5，
所以3t+5＜t≤3t+6，
解得−3 ≤𝑡＜−5
2．
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又因为3t+5 为最大整数解，
所以t= −8
3或﹣3．
故答案为：−8
3或﹣3．
▌题型11 由不等式组的至多/少整数解的个数求参数
1.解不等式组，写出解集
2.理解题意：
至多n 个：整数解数量不能超过n，可以是1、2…n 个；
至少n 个：整数解数量不能少于n，可以是n、n+1…个
3.数轴锁定参数临界位置
4.端点回代检验等号
【典例1】（2026 春•广安区期末）若关于x 的不等式组{
𝑥≤𝑎
𝑥−1
2
+ 1＞𝑥+1
3
至少有4 个整数解，则a 满足的条
件是 a≥3 ．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，求其整数解，进而求得a 的取值范围．
【解答】解：不等式组整理得{
𝑥≤𝑎
𝑥＞−1，
关于x 的不等式组{
𝑥≤𝑎
𝑥−1
2
+ 1＞𝑥+1
3
至少有4 个整数解，
∴不等式组的整数解为0，1，2，3，
所以a≥3，
故答案为：a≥3．
【变式1-1】（2026 春•南京期末）若不等式组{3𝑥−8 ≥0
𝑥＜𝑎
至少有4 个整数解，则a 的取值范围是a＞6 ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知得出即可．
【解答】解：由题意，解不等式3x﹣8≥0 得：x≥8
3，
由∵x＜a，且不等式组有解，
∴原不等式组的解集为
8
3 ≤x＜a，
∵不等式组至少有4 个整数解，
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∴不等式组的整数解至少有3，4，5，6，
∴a＞6．
故答案为：a＞6．
【变式1-2】（2026 春•遂平县期中）若整数a 使关于x 的不等式组{
𝑥−2＞𝑎
𝑥+1
2
≤2𝑥+5
6
至少有4 个整数解，且使关
于x，y 的方程组{𝑎𝑥+ 2𝑦= 0
𝑥+ 𝑦= 6
的解为正整数那么所有满足条件的整数a 的和是 ﹣14 ．
【分析】根据不等式组求出a 的范围，然后根据关于x，y 的方程组{𝑎𝑥+ 2𝑦= 0
𝑥+ 𝑦= 6
的解为正整数得到a﹣2
＝﹣6 或a﹣2＝﹣12，从而即可得到所有满足条件的整数a 的和．
【解答】解：{
𝑥−2＞𝑎①
𝑥+1
2
≤2𝑥+5
6
②
，
解不等式①得，x＞a+2，
解不等式②得，3（x+1）≤2x+5，
3x+3≤2x+5，
3x﹣2x≤﹣3+5，
x≤2，
∵不等式组至少有4 个整数解，
∴a+2＜﹣1，
解得：a＜﹣3，
解方程组{𝑎𝑥+ 2𝑦= 0①
𝑥+ 𝑦②
，
①﹣②×2 得：（a﹣2）x＝﹣12，
∴𝑥= −12
𝑎−2，
将𝑥= −12
𝑎−2代入②得：𝑦= 6𝑎
𝑎−2，
∴方程组的解为：{
𝑥= −12
𝑎−2
𝑦= 6𝑎
𝑎−2
，
∵关于x，y 的方程组{𝑎𝑥+ 2𝑦= 0
𝑥+ 𝑦= 6
的解为正整数，
∴a﹣2＝﹣6 或a﹣2＝﹣12，
∴a＝﹣4 或a＝﹣10，
∴所有满足条件的整数a 的和是：﹣4+（﹣10）＝﹣14，
故答案为：﹣14．
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【变式1-3】（2026 春•虹口区校级期末）若关于x 的不等式组{
3(𝑥−1)
2
≤𝑥+ 2
𝑥＜3𝑥−2𝑎
至少有四个整数解，且关于y
的方程（y﹣a）+（3y﹣5）＝2（y﹣1）有非负整数解，求：所有满足条件的整数a 的值之和．
【分析】根据所给不等式组，求出a 的取值范围，再结合所给方程有非负整数解求出满足条件的所有整
数a 的值即可．
【解答】解：由题知，
解不等式
3(𝑥−1)
2
≤𝑥+ 2得，x≤7，
解不等式x＜3x﹣2a 得，x＞a，
因为所给不等式组至少有四个整数解，
所以a＜4．
由方程（y﹣a）+（3y﹣5）＝2（y﹣1）得，
y= 𝑎+3
2 ，
则
𝑎+3
2
≥0，
解得a≥﹣3，
所以﹣3≤a＜4．
因为
𝑎+3
2 是非负整数，
所以a＝﹣3 或﹣1 或1 或3，
则所有满足条件的整数a 的值之和为：﹣3﹣1+1+3＝0．
▌题型12 由不等式组整数解的和求参数
1.解不等式组，得到含参数解集；
2.根据“整数解的和”，反推是哪几个整数；
3.数轴确定参数大致范围；
4.端点代入检验，判断等号。
【典例1】（2026 春•合肥期末）已知关于x 的不等式组{𝑥＜5
𝑥＞𝑎
的所有正整数解的和是9，则a 的取值范围是
（ ）
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A．1＜a＜2
B．1＜a≤2
C．1≤a＜2
D．1≤a≤2
【分析】根据题意得出一元一次不等式组的整数解是2，3，4，即可得出a 的取值范围．
【解答】解：根据题意得一元一次不等式组的正整数解是2，3，4，
所以a 的取值范围是1≤a＜2，
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•翠屏区期末）若关于x 的不等式
2𝑥−5
3
−2＜2𝑥+ 3＜2𝑎−1的所有整数解的和为﹣
9，则整数a 的值为 1 或4 ．
【分析】先求解连不等式得到x 的取值范围，再根据所有整数解的和为﹣9 分情况讨论，确定a﹣2 的范
围，进而求出整数a 的值．
【解答】解：若关于x 的不等式
2𝑥−5
3
−2＜2𝑥+ 3＜2𝑎−1的所有整数解的和为﹣9，则
解得x＜a﹣2，
∵原不等式有解，
∴原不等式的解集为﹣5＜x＜a﹣2，
当整数解为﹣4，﹣3，﹣2 时，和为（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）＝﹣9，符合题意，
此时满足﹣2＜a﹣2≤﹣1，解得0＜a≤1，
∵a 为整数，
∴a＝1；
当整数解为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1 时，和为（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1＝﹣9，符合题
意，
此时满足1＜a﹣2≤2，解得3＜a≤4，
∴a＝4；
故答案为：1 或4．
【变式1-2】（2026 春•金凤区校级期末）已知关于x 的不等式组{
5𝑥−𝑎＞3(𝑥−1)
𝑥
2 −2 ≤𝑥−4
3
的所有正整数解的和为
9，则a 的取值范围是 5≤a＜7 ．
【分析】先解出不等式组的解集，再根据所有正整数解的和为9，确定
𝑎−3
2 的取值范围，进而求出a 的取
值范围．
【解答】解：解不等式5x﹣a＞3（x﹣1），
整理得2x＞a﹣3，
解得𝑥＞𝑎−3
2 ，
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解不等式
𝑥
2 −2 ≤
𝑥−4
3 ，
两边同乘6 得3x﹣12≤2（x﹣4），
去括号得3x﹣12≤2x﹣8，
移项合并同类项得x≤4，
∴不等式组的解集为
𝑎−3
2
＜𝑥≤4，
∵不等式组的所有正整数解的和为9，且x≤4，可得正整数解只能为2，3，4，满足2+3+4＝9，
∴1 ≤𝑎−3
2 ＜2，
不等式三边同乘2 得2≤a﹣3＜4，
三边同加3 得5≤a＜7．
故答案为：5≤a＜7．
【变式1-3】（2026 春•栾城区期末）若关于x 的不等式组{𝑥−𝑎＞0
7 −2𝑥≥1
的所有整数解的和是5，则a 的取值范
围是 1≤a＜2 或﹣2≤a＜﹣1 ．
【分析】解各不等式得出对应的解集，再根据题意求得a 的取值范围即可．
【解答】解：解第一个不等式得：x＞a，
解第一个不等式得：x≤3，
∵它的所有整数解得和是5，
∴其整数解可能为3，2 或3，2，1，0，﹣1，
则1≤a＜2 或﹣2≤a＜﹣1，
故答案为：1≤a＜2 或﹣2≤a＜﹣1．
▌题型13 由不等式组有解/无解求参数
1.解不等式组；
2.对比大小，列关系式
大于号的上界 ＜ 小于号的下界 ⇒ 有解
大于号的上界 ≥ 小于号的下界 ⇒ 无解；
3.单独验证端点等号；
4.写出参数范围。
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【典例1】（2026 春•巴中期末）若不等式组{
2𝑥−3＞5
𝑥−𝑎
3
≤1 有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．a＜1
C．a≤1
D．a≥1
【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组有解即两个解集存在公共部分，列出关于
a 的不等式即可求解．
【解答】解：{
2𝑥−3＞5①
𝑥−𝑎
3
≤1②
解2x﹣3＞5 得：x＞4；
解
𝑥−𝑎
3
≤1得：x≤a+3；
∵不等式组有解，即两个解集存在公共部分，
∴4＜a+3，解得a＞1．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•杨浦区期中）已知0＜b＜a，那么下列不等式组中，无解的是（ ）
A．{𝑥＞−𝑎
𝑥＜𝑏
B．{𝑥＜−𝑎
𝑥＞−𝑏
C．{𝑥＜𝑎
𝑥＞−𝑏
D．{𝑥＞−𝑎
𝑥＜−𝑏
【分析】由0＜b＜a 得出﹣a＜﹣b＜0，再根据每个选项中的不等式组求出解集即可判断．
【解答】解：∵0＜b＜a，
∴﹣a＜﹣b＜0，
A、不等式组{𝑥＞−𝑎
𝑥＜𝑏
的解集是﹣a＜x＜b，故此选项不符合题意；
B、不等式组{𝑥＜−𝑎
𝑥＞−𝑏
无解，故此选项符合题意；
C、不等式组{𝑥＜𝑎
𝑥＞−𝑏
的解集是﹣b＜x＜a，故此选项不符合题意；
D、不等式组{𝑥＞−𝑎
𝑥＜−𝑏
的解集是﹣a＜x＜﹣b，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•泗县期末）若关于x 的不等式组{𝑥−𝑎＞3
1 −2𝑥＞𝑥−2
无解，则a 的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2
B．a≤﹣2
C．a＞﹣2
D．a≥﹣2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得关于a 的
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不等式，解之即可．
【解答】解：由x﹣a＞3 得x＞a+3，
由1﹣2x＞x﹣2，得：x＜1，
∵不等式组无解，
∴a+3≥1，
解得a≥﹣2，
故选：D．
【变式1-3】（2026 春•界首市期末）若关于x 的不等式组{
𝑥
2 −1＜2 −𝑥
𝑎+ 3𝑥≤4𝑥+ 2
有解，且关于y 的方程
𝑎−𝑦
2
=
𝑦
3 −1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【解答】解：解不等式组{
𝑥
2 −1＜2 −𝑥
𝑎+ 3𝑥≤4𝑥+ 2
得a﹣2≤x＜2，
∴a﹣2＜2，
解得a＜4，
由程
𝑎−𝑦
2
=
𝑦
3 −1得y= 3𝑎+6
5
，
∵方程的解
3𝑎+6
5
为非负整数，a 为整数，
∴a＝3，
3𝑎+6
5
=3 符合题意，
a＝﹣2 时，
3𝑎+6
5
=0，符合题意．
∴3+（﹣2）＝1，
故选：A．
▌题型14 方程与不等式（组）综合求参数
1.解方程，把未知数用参数表示；
2.根据条件列不等式：解为正、负、非负、x>y 等；
3.解不等式，得到参数范围；
4.若要求整数参数，筛选整数，端点检验。
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【典例1】（2026 春•济宁校级期末）若关于x 的一元一次方程3a﹣3x＝﹣9 的解为非负数，则a 的取值范
围是（ ）
A．a＜3
B．a≥3
C．a＞﹣3
D．a≥﹣3
【分析】先解一元一次方程，得到用a 表示的x，再根据解为非负数得到x≥0，解关于a 的不等式即可得
到结果．
【解答】解：3a﹣3x＝﹣9，
移项得 3x＝3a+9，
两边同除以3 得x＝a+3，
∵关于x 的一元一次方程3a﹣3x＝﹣9 的解为非负数，
∴x≥0，
即a+3≥0
解得a≥﹣3．
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•蓬溪县期末）已知关于x 的方程3k﹣5x＝﹣9 的解是非负数，则k 的最小值是（ ）
A．﹣2
B．﹣3
C．2
D．3
【分析】将k 看作已知数，先解出方程中x 的表达式，再根据解是非负数的条件列出关于k 的不等式，求
解不等式得到k 的取值范围，即可得到k 的最小值．
【解答】解：解方程3k﹣5x＝﹣9，得𝑥= 3𝑘+9
5
，
∴
3𝑘+9
5
≥0，
解得k≥﹣3，
∴k 的最小值是﹣3．
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•朝阳区校级月考）若关于x 的方程x﹣2a＝2x﹣5 的解是非负数，则a 的取值范围是
（ ）
A．𝑎≥5
2
B．𝑎＞5
2
C．𝑎≤5
2
D．𝑎＜5
2
【分析】先解关于x 的一元一次方程，得到用含a 的式子表示x，再根据“解是非负数”列出关于a 的不
等式，求解不等式即可得到a 的取值范围．
【解答】解：解方程 x﹣2a＝2x﹣5，
得：x＝5﹣2a，
∵方程的解是非负数，
∴x≥0，
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即5﹣2a≥0，
解得：𝑎≤5
2．
故选：C．
【变式1-3】（2026•安徽模拟）已知实数a，b 满足2a﹣5b＝11，且﹣1≤a≤4，则3a+2b 的取值范围为（ ）
A．﹣2≤3a+2b≤17
B．﹣3≤3a+2b≤18
C．﹣8.2≤3a+2b≤10.8
D．﹣5≤3a+2b≤20
【分析】由2a﹣5b＝11 得到b= 2𝑎−11
5
，将其代入3a+2b 中整理后根据已知条件即可求得答案．
【解答】解：已知实数a，b 满足2a﹣5b＝11，
则b= 2𝑎−11
5
，
那么3a+2b＝3a+ 4𝑎−22
5
= 19𝑎−22
5
，
∵﹣1≤a≤4，
∴﹣8.2≤19𝑎−22
5
≤10.8，
故选：C．
▌题型15 方程组与不等式（组）综合求参数
1. 解表参数：先将方程组用参数表示解；
2.转化为不等式组：根据解的范围或整数解条件，建立关于参数的不等式组求解；
3.代入消参：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式；
4.数轴定范围：解出参数范围后，结合数轴和实际问题筛选最终值。
【典例1】（2026 春•海淀区校级期末）若关于x，y 的方程组{𝑥+ 2𝑦= 𝑘+ 1
3𝑥+ 2𝑦= 3𝑘−3，满足x+y＞2，则k 的取值
范围是（ ）
A．k＞1
B．k＞5
2
C．k＞3
D．k＞3
2
【分析】利用整体的思想进行计算可得：x+y＝k−1
2，从而可得k−1
2 ＞2，然后进行计算即可解答．
【解答】解：{𝑥+ 2𝑦= 𝑘+ 1①
3𝑥+ 2𝑦= 3𝑘−3②，
①+②得：4x+4y＝4k﹣2，
解得：x+y＝k−1
2，
∵x+y＞2，
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∴k−1
2 ＞2，
解得：k＞5
2，
故选：B．
【变式1-1】（2026 春•海淀区校级期末）已知关于x，y 的方程组{2𝑥+ 𝑦= 3𝑚
𝑥+ 3𝑦= 𝑚+ 1的解满足﹣1≤x﹣2y≤3，
则所有满足条件的整数m 的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【分析】将方程组中两个方程作差，得到x﹣2y＝2m﹣1，再结合已知不等式求出m 的取值范围，然后求
解即可．
【解答】解：{2𝑥+ 𝑦= 3𝑚①
𝑥+ 3𝑦= 𝑚+ 1②，
①﹣②，得：x﹣2y＝2m﹣1，
∵﹣1≤x﹣2y≤3，
∴﹣1≤2m﹣1≤3，
∴0≤2m≤4，
∴0≤m≤2，
∴该不等式组的整数解为0，1，2，
∴所有满足条件的整数m 的个数3，
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•朝阳区校级月考）已知关于x、y 的方程组{𝑥+ 𝑦= 2𝑚+ 7
𝑥−𝑦= 4𝑚−3的解为正数．
（1）求m 的取值范围；
（2）化简|3m+2|﹣|m﹣5|﹣2（2m﹣4）．
【分析】（1）根据题意，得出关于m 的不等式组，据此进行求解即可；
（2）结合绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）由{𝑥+ 𝑦= 2𝑚+ 7
𝑥−𝑦= 4𝑚−3得，
{𝑥= 3𝑚+ 2
𝑦= −𝑚+ 5．
因为该方程组的解为正数，
所以{3𝑚+ 2＞0
−𝑚+ 5＞0
，
解得−2
3 ＜𝑚＜5；
（2）因为−2
3 ＜𝑚＜5，
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则3m+2＞0，m﹣5＜0，
所以|3m+2|﹣|m﹣5|﹣2（2m﹣4）＝3m+2﹣（﹣m+5）﹣2（2m﹣4）＝3m+2+m﹣5﹣4m+8＝5．
【变式1-3】（2026 春•宛城区期末）已知关于x、y 的方程组{𝑥+ 𝑦= −7 −𝑚
𝑥−𝑦= 1 + 3𝑚．
（1）求这个方程组的解；（用含m 的代数式表示）
（2）若（1）中求得的解满足x 为非正数，y 为负数．
①求m 的取值范围；
②若关于x 的不等式（2m+1）x＜2m+1 的解集在数轴上的表示如图所示，直接写出m 的整数值．
【分析】（1）用加减消元法求解即可；
（2）①根据x 为非正数，y 为负数列不等式组求解即可；
②根据系数化为1 时不等号方向改变得出2m+1＜0，结合①中求得的m 的取值范围写出m 的整数值即
可．
【解答】解：（1）{𝑥+ 𝑦= −7 −𝑚①
𝑥−𝑦= 1 + 3𝑚②，
①+②解得x＝m﹣3，
把x＝m﹣3 代入①解得y＝﹣4﹣2m，
∴{𝑥= 𝑚−3
𝑦= −4 −2𝑚；
（2）①∵方程组的解满足x 为非正数，y 为负数，
∴{𝑚−3 ≤0
−4 −2𝑚＜0，
∴﹣2＜m≤3；
②∵不等式（2m+1）x＜2m+1 的解为x＞1，
∴（2m+1）x＜2m+1 的两边同时除以2m+1 时，不等号的方向发生了改变，
∴2m+1＜0，
∴𝑚＜−1
2，
∵﹣2＜m≤3，
∴−2＜𝑚＜−1
2，
∴m＝﹣1．
▌题型16 不等式与不等式（组）综合求参数
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1.分别解不等式、不等式组，写出含参数解集；
2.根据条件：有解、无解、整数解、解集相同、解集包含锁定临界；
3.画数轴定位参数范围；
4.端点代入检验，判断等号取舍。
【典例1】已知0＜ax+b≤3的解集为2＜x≤5，则0＜a（3x-1）+b≤3的解集为 ．
【分析】根据不等式的性质解不等式，解二元一次方程组，求出a,b 的值，再代入求值即可．
【解答】解：0＜ax+b≤3，
两边同时减去b 得，-b＜ax≤3-b,
∵解集为2＜x≤5，即不等号的方向不变，
∴a＞0，
∴两边同时除以a 得，−
𝑏
𝑎< 𝑥≤
3−𝑏
𝑎，
∴{
−
𝑏
𝑎= 2
3−𝑏
𝑎= 5
，解得，{ 𝑎= 1
𝑏= −2，
∴把{ 𝑎= 1
𝑏= −2代入0＜a（3x-1）+b≤3 得，0＜3x-1-2≤3，
∴1＜x≤2，
故答案为：1＜x≤2．
【变式1-1】已知1≤𝑎𝑥+ 𝑏＜3 的解集为2 ≤𝑥< 3，则2 ≤𝑎(1 −𝑥) + 𝑏< 3的解集为 ．
【分析】利用换元法，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：由题意可得：则1≤𝑎𝑥+ 𝑏＜3 的解集为2 ≤1 −𝑥< 3，
∴−2 < 𝑥≤−1；
故答案为：−2 < 𝑥≤−1．
【变式1-2】（2026 春•朝阳区校级期末）定义：若关于同一个未知数的不等式（组）A 和B 的解集相同，则
称A 与B 为同解不等式（组）．例如：不等式A：x﹣2≤0 的解集是x≤2，不等式B：3﹣2x≥﹣1 的解
集也是x≤2，所以不等式A 和不等式B 为同解不等式．
（1）下列不等式（组）是同解不等式（组）的是 ①③ （只填序号）；
①3﹣3x＞0；②
2𝑥−1
3
−
𝑥
2 ＞−1；③{
2𝑥+3
5
−𝑥+1
2 ＞0
2𝑥−3＜0
．
（2）若关于x 的不等式A：2﹣5x＞0，不等式B：
5𝑥+𝑎
2
＜1是同解不等式，求a 的值；
小学
初中
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（3）若关于x 的不等式P：2（3﹣x）＜4，不等式组Q：{
𝑥−𝑎
2 ＞7
2 −𝑥
𝑥−1＞0
，是同解不等式（组），直接写出
关于x 的不等式（a﹣4）x+4＜a 的解集为x＞1 ．
【分析】（1）先分别解不等式（组），然后根据同解不等式的意义即可判断得解；
（2）分别解不等式A、B，从而结合不等式A 与B 同解，则
2−𝑎
5
=
2
5 ⇒𝑎= 0，故可得解；
（3）依据题意，解不等式P：2（3﹣x）＜4，则x＞1；解不等式𝑄：𝑥−𝑎
2 ＞7
2 −𝑥⇒𝑥＞7+𝑎
3 ，结合不等
式P 与Q 同解，从而列式计算可以得解．
【解答】解：（1）①由题意，∵3﹣3x＞0，
∴x＜1；
②
2𝑥−1
3
−
𝑥
2 ＞−1，
∴2（2x﹣1）﹣3x＞﹣6．
∴x＞﹣4；
③{
2𝑥+3
5
−𝑥+1
2 ＞0
2𝑥−3＜0
，
解不等式
2𝑥+3
5
−
𝑥+1
2
＞0 得，x＜1；
解不等式2x﹣3＜0 得，x＜3
2，
∴原不等式组的解集为：x＜1．
∴所以同解的是①和③．
故答案为：①③；
（2）解不等式A：2﹣5x＞0，则x＜2
5；
解不等式B：
5𝑥+𝑎
2
＜1 ⇒𝑥＜
2−𝑎
5 ．
∵不等式A 与B 同解，则
2−𝑎
5
=
2
5 ⇒𝑎= 0；
（3）解不等式P：2（3﹣x）＜4，则x＞1；
解不等式𝑄：𝑥−𝑎
2 ＞7
2 −𝑥⇒𝑥＞7+𝑎
3 ．
∵不等式P 与Q 同解，
∴
7+𝑎
3
= 1 ⇒𝑎= −4．
代入不等式（a﹣4）x+4＜a，则（﹣8）x+4＜﹣4，
∴x＞1．
故答案为：x＞1．
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【变式1-3】（2025 春•朝阳区校级期末）如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式的解，那么称一
元一次不等式为该一元一次不等式组的“母不等式”．例如：不等式组{2𝑥−3＜5
5𝑥+ 5 ≥2𝑥−4
的解集为﹣3≤x
＜4，不等式3x+2＞﹣10 的解集为x＞﹣4，可以发现﹣3≤x＜4 在x＞﹣4 的范围内，则称不等式3x+2＞
﹣10 为不等式组{2𝑥−3＜5
5𝑥+ 5 ≥2𝑥−4
的“母不等式”．特别的，不等式x＞1 也是不等式x＞1 的“母不等
式”．
（1）解不等式组{3𝑥≤2𝑥+ 1①
2𝑥−3 ≥𝑥−5②，请结合题意填空，完成本题的解答．
解不等式①，得 x≤1 ，
解不等式②，得 x≥﹣2 ；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤1 ；
（2）在下列不等式①x＜0，②x＜2，③x≥0，④x≥﹣2 中，是（1）中不等式组的“母不等式”的是 ②
④ ；（填序号）
（3）若关于x 的不等式（a﹣5）x≥a﹣5（a≠5）是（1）中不等式组的“母不等式”，则a 的取值范围
是 a＜5 ；
（4）如果不等式2（x﹣1）﹣4a＜x﹣2 是不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6的“母不等式”，不等式：2(𝑥−1
4) ≥
3𝑥−𝑎
2
不是不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6的“母不等式”，则a 的取值范围是 1≤a＜2 ．
【分析】（1）依据题意，根据解不等式组的方法进行计算即可判断得解；
（2）依据题意，结合（1），﹣2≤x≤1，进而根据“母不等式”的意义逐个判断可以得解；
（3）依据题意，分a＞5 和a＜5 分别进行计算进而可以判断得解；
（4）依据题意，解不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6，可得﹣1≤x＜4，又解不等式2（x﹣1）﹣4a＜x﹣2，则x＜
4a，结合不等式2（x﹣1）﹣4a＜x﹣2 是不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6的“母不等式”，可得a≥1，又解不等
式2(𝑥−1
4) ≥3𝑥−𝑎
2
，故x≥1﹣a，最后结合不等式2(𝑥−1
4) ≥3𝑥−𝑎
2
不是不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6的“母不
等式”，且﹣1≤x＜4，从而1﹣a＞﹣1，进而计算即可判断得解．
【解答】解：（1）{3𝑥≤2𝑥+ 1①
2𝑥−3 ≥𝑥−5②，
解不等式①得：3x﹣2x≤1，
∴x≤1，
解不等式②得：2x﹣x≥3﹣5，
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x≥﹣2；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴原不等式组的解集为﹣2≤x≤1，
故答案为：x≤1；﹣2≤x≤1．
（2）由题意，结合（1），﹣2≤x≤1，
∵①x＜0，②x＜2，③x≥0，④x≥﹣2，
∴（1）中不等式组的“母不等式”的是②④．
故答案为：②④．
（3）∵不等式为（a﹣5）x≥a﹣5（a≠5），
∴①当a＞5 时，x≥1．
又∵关于x 的不等式（a﹣5）x≥a﹣5（a≠5）是（1）中不等式组的“母不等式”，且结合（1），﹣2≤
x≤1，
∴此时不合题意．
②当a＜5 时，x≤1．
又∵关于x 的不等式（a﹣5）x≥a﹣5（a≠5）是（1）中不等式组的“母不等式”，且结合（1），﹣2≤
x≤1，
∴此时符合题意．
综上，a＜5．
故答案为：a＜5．
（4）由题意，∵解不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6，
∴﹣1≤x＜4．
∵解不等式2（x﹣1）﹣4a＜x﹣2，
∴x＜4a．
又∵不等式2（x﹣1）﹣4a＜x﹣2 是不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6的“母不等式”，
∴4a≥4．
∴a≥1．
∵解不等式2(𝑥−1
4) ≥3𝑥−𝑎
2
，
∴x≥1﹣a．
∵不等式2(𝑥−1
4) ≥3𝑥−𝑎
2
不是不等式组{𝑥+ 3 ≥2
3𝑥−2＜𝑥+ 6的“母不等式”，
∴1﹣a＞﹣1．
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∴a＜2．
又∵a≥1，
∴1≤a＜2．
故答案为：1≤a＜2．
▌题型17 不等式解集相同求参数
1. 化简不含参数的那一个不等式，写出完整解集。
2. 化简带参数的不等式/组
- 如果未知数系数含参数：先判断正负。
- 系数＞0：不等号方向不变
- 系数＜0：不等号必须变号
3. 左右解集对齐
- 普通不等式：直接对比边界数值相等
- 同大取大、同小取小型不等式组：参数是一个取值范围，不是一个固定数
4. 回代检验，排除错误参数。
【典例1】（2026 春•榆林期末）已知不等式3x＜2（x+3）与关于x 的不等式3x﹣a＞5x 的解集相同，求a
的值．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同计算即可得出结果．
【解答】解：由不等式3x＜2（x+3），得x＜6．
由不等式3x﹣a＞5x，得𝑥＜−𝑎
2．
根据题意可得6 = −𝑎
2，
∴a＝﹣12．
【变式1-1】（2026•龙凤区校级二模）关于x 的两个不等式①
3𝑥+𝑎
2
＜1 与②1﹣3x＞0．
（1）若两个不等式的解集相同，求a 的值．
（2）若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围．
【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a 的值即可；
（2）根据不等式①的解都是②的解，求出a 的范围即可．
【解答】解：（1）由①得：x＜2−𝑎
3 ，
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由②得：x＜1
3，
由两个不等式的解集相同，得到
2−𝑎
3
=
1
3，
解得：a＝1；
（2）由不等式①的解都是②的解，得到
2−𝑎
3
≤
1
3，
解得：a≥1．
【变式1-2】（2026 春•浔阳区校级月考）若关于x 的不等式x﹣a＞1 的解集与不等式
𝑥−1
2
＞
1
3的解集相同，
求a 的值．
【分析】分别求出两不等式的解集，再根据两不等式的解集相同，可得关于a 的方程，即可求解．
【解答】解：
𝑥−1
2
＞
1
3，
3（x﹣1）＞2，
3x﹣3＞2，
3x＞5，
解得：𝑥＞5
3，
x﹣a＞1，
解得：x＞a+1，
∵关于x 的不等式x﹣a＞1 的解集与不等式
𝑥−1
2
＞
1
3的解集相同，
∴𝑎+ 1 = 5
3，
解得：𝑎= 2
3．
【变式1-3】（2026 春•顺义区校级期中）我们把符号“|𝑎
𝑏
𝑐
𝑑|”称为二阶行列式，规定它的运算法则为|𝑎
𝑏
𝑐
𝑑| =
𝑎𝑑−𝑏𝑐，如|2
3
4
5| = 2 × 5 −3 × 4 = −2．（1）求不等式|3
1 −𝑥
2
𝑥
| ＞3的解集．
（2）若关于x 的不等式|𝑚
𝑥
3
2| ＜0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m 的值．
【分析】（1）由题意得3x﹣2（1﹣x）＞3，解之即可；
（2）由题意得2m﹣3x＜0，求得x＞2
3m，继而可得关于m 的方程，解之即可．
【解答】解：（1）由题意知3x﹣2（1﹣x）＞3，
3x﹣2+2x＞3，
3x+2x＞3+2，
5x＞5，
x＞1；
（2）由题意得2m﹣3x＜0，
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解得x＞2
3m，
则
2
3m＝1，
解得m= 3
2．
▌题型18 新定义求参数
（1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运
算；
（2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新；
（3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的；
（4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行。
【典例1】（2026 春•会泽县期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此
方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程2x﹣3＝1 与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x
﹣3＝1 和不等式x+3＞0 的“梦想解”．
（1）已知方程4x﹣2＝6 与不等式2x﹣3＜7 的“梦想解”是x，求x 的值；
（2）若关于x，y 的方程组{𝑥+ 𝑦= 3𝑎+ 5
𝑥−𝑦= 5𝑎−3与不等式x+2y≥a+10 的“梦想解”均为正数（即“梦想解”
中的x，y 均为正数），求a 的取值范围．
【分析】（1）根据“梦想解”的定义求解即可；
（2）解方程组得{𝑥= 4𝑎+ 1
𝑦= 4 −𝑎，根据“梦想解”的定义列不等式组，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵4x﹣2＝6，
∴x＝2，
∵2×2﹣3＝1＜7，
∴x＝2；
（2）解方程组{𝑥+ 𝑦= 3𝑎+ 5
𝑥−𝑦= 5𝑎−3，
解得：{𝑥= 4𝑎+ 1
𝑦= 4 −𝑎，
∵关于x，y 的方程组与不等式x+2y≥a+10 的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的x，y 均为正数），
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∴{
4𝑎+ 1＞0①
4 −𝑎＞0②
(4𝑎+ 1) + 2(4 −𝑎) ≥𝑎+ 10③
，
解不等式①，得：𝑎＞−1
4，
解不等式②，得：a＜4，
解不等式③，得：a≥1，
∴不等式组的解集为1≤a＜4，
即a 的取值范围1≤a＜4．
【变式1-1】（2026 春•红河州期末）对于有理数a，b，定义新运算g，规定：𝑔(𝑎，𝑏) = {
𝑎+ 3𝑏(𝑎≥𝑏)
2𝑎+ 𝑏(𝑎＜𝑏) ．
如：计算g（1，2）时，∵1＜2，∴g（1，2）＝2×1+2＝4，
计算g（5，﹣2）时，∵5＞﹣2，∴g（5，﹣2）＝5+3×（﹣2）＝﹣1，
（1）求g（2，5）的值；
（2）若关于正数n 的不等式组：{ 𝑔(2𝑛，2𝑛−1)＞5
𝑔(𝑛−1，𝑛+ 2) ≤6𝑘
恰好有5 个整数解，求k 的取值范围．
【分析】（1）根据2＜5，代入求解即可；
（2）先表示出g（2n，2n﹣1）与g（n﹣1，n+2），再得到n 的取值范围，结合“恰好有5 个整数解”这
一条件求解即可．
【解答】解：（1）由条件可知g（2，5）＝2×2+5＝9；
（2）由条件可知g（2n，2n﹣1）＝2n+3（2n﹣1）＝8n﹣3，
∵g（2n，2n﹣1）＞5，
∴8n﹣3＞5，
解得n＞1；
∵n﹣1﹣（n+2）＝﹣3＜0，
∴n﹣1＜n+2，
∴g（n﹣1，n+2）＝2（n﹣1）+n+2＝3n，
∵g（n﹣1，n+2）≤6k，
∴3n≤6k，
解得n≤2k，
∴{𝑛＞1
𝑛≤2𝑘
，即1＜n≤2k，
∵有5 个整数解，
∴6≤2k＜7，
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解得3 ≤𝑘＜7
2．
【变式1-2】（2026 春•会泽县期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此
方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程2x﹣3＝1 与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x
﹣3＝1 和不等式x+3＞0 的“梦想解”．
（1）已知方程4x﹣2＝6 与不等式2x﹣3＜7 的“梦想解”是x，求x 的值；
（2）若关于x，y 的方程组{𝑥+ 𝑦= 3𝑎+ 5
𝑥−𝑦= 5𝑎−3与不等式x+2y≥a+10 的“梦想解”均为正数（即“梦想解”
中的x，y 均为正数），求a 的取值范围．
【分析】（1）根据“梦想解”的定义求解即可；
（2）解方程组得{𝑥= 4𝑎+ 1
𝑦= 4 −𝑎，根据“梦想解”的定义列不等式组，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵4x﹣2＝6，
∴x＝2，
∵2×2﹣3＝1＜7，
∴x＝2；
（2）解方程组{𝑥+ 𝑦= 3𝑎+ 5
𝑥−𝑦= 5𝑎−3，
解得：{𝑥= 4𝑎+ 1
𝑦= 4 −𝑎，
∵关于x，y 的方程组与不等式x+2y≥a+10 的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的x，y 均为正数），
∴{
4𝑎+ 1＞0①
4 −𝑎＞0②
(4𝑎+ 1) + 2(4 −𝑎) ≥𝑎+ 10③
，
解不等式①，得：𝑎＞−1
4，
解不等式②，得：a＜4，
解不等式③，得：a≥1，
∴不等式组的解集为1≤a＜4，
即a 的取值范围1≤a＜4．
【变式1-3】（2026 春•深圳校级期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称
该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程x﹣1＝3 的解为x＝4，而不等式组{𝑥−1＞1
𝑥−2＜3
．的
解集为2＜x＜5，不难发现x＝4 在2＜x＜5 的范围内，所以方程x﹣1＝3 是不等式组{𝑥−1＞1
𝑥−2＜3
．的“关
联方程”．
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（1）方程2x﹣6＝0 是 （填“是”或“不是”）不等式组{2𝑥+ 1＞𝑥−3
𝑥−3 ≤1
．的“关联方程”；
（2）关于x 的方程2x﹣k＝1 是不等式组{𝑥−1 ≥2𝑥
2𝑥+ 3＞𝑥．的“关联方程”，求k 的取值范围；
（3）若关于x 的方程
𝑥+5
3
−3𝑚= 0是关于x 的不等式组{
𝑥+2𝑚
2
＞𝑚
𝑥−𝑚≤2𝑚+ 1
的“关联方程”，且此时不等
式组有2 个整数解，试求m 的取值范围．
【分析】（1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可；
（2）解方程和不等式组后，再解关于k 的不等式组即可；
（3）解方程和不等式组后，再解关于m 的不等式组，由不等式组有2 个整数解得到新的不等式组，解新
不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）2x﹣6＝0，
解得x＝3，
解不等式组{2𝑥+ 1＞𝑥−3①
𝑥−3 ≤1②
，
解不等式①得x＞﹣4，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集为﹣4＜x≤4，
∵x＝3 在﹣4＜x≤4 的范围内，
∴方程2x﹣6＝0 是不等式组{2𝑥+ 1＞𝑥−3
𝑥−3 ≤1
．的“关联方程”；
（2）2x﹣k＝1，
解得𝑥= 𝑘+1
2 ，
{𝑥−1 ≥2𝑥①
2𝑥+ 3＞𝑥②，
解不等式①得x≤﹣1，
解不等式②得x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤﹣1，
由题意可得：−3＜𝑘+1
2
≤−1，
解得﹣7＜k≤﹣3；
（3）
𝑥+5
3
−3𝑚= 0，
去分母得，x+5﹣9m＝0
移项合并同类项得，x＝9m﹣5；
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{
𝑥+2𝑚
2
＞𝑚①
𝑥−𝑚≤2𝑚+ 1②
，
解不等式①得x＞0，
解不等式②得x≤3m+1，
∴不等式组的解集为0＜x≤3m+1，
∴0＜9m﹣5≤3m+1，
解得
5
9 ＜𝑚≤1，
由题意可得：2≤3m+1＜3，
解得
1
3 ≤𝑚＜
2
3，
∴
5
9 ＜𝑚＜
2
3．
