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2026-2027 学年九年级上学期数学周周测01
25.1-25.2.1 一元二次方程定义和直接开平方法与配方法
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（
）
A．
2
1
1
x
x
B．
2
3
1
2
1
x
x
C．
2
0
ax
bx
c
D．
2
2
1
x x
x
2．下列方程中，有一根为2 的一元二次方程是（
）
A．
2
0
x
B．
3
4
0
x
x
C．
2
4
0
x
D．
2
0.125
x
3．已知代数式
2
20
x
kx
的值如下表，则关于x 的一元二次方程
2
20
0
x
kx
的根为(
)
x
3
2
1
9
10
11
2
20
x
kx
13
0
11
11
0
13
A．2
B．10
C．2
或10
D．3
或11
4．若方程
2
3
17
x
的两根为a 和b，且a
b
，则下列结论中正确的是（
）
A．a 与b 相等
B．a 与b 互为相反数
C．
3
a 是17 的算术平方根
D．
3
b 是17 的算术平方根
5．将一元二次方程
2
4
9
x
x
配方，得到方程
2
4
9
x
x
▲
▲，其中“▲”表示的数为（
）
A．16
B．4
C．2
D．1
6．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求
出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，错误的是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
7．已知关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
满足
0
a
b
c
，那么下列四个判断中正确的是（
）
A．该方程一定有两个相等的实数根；
B．该方程一定有两个不相等的实数根：
C．该方程一定有一个实数根为
1
x ；
D．该方程一定有一个实数根为
1
x ．
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8．若方程
2 1
1
4
2
0
m
m
x
x
是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（
）
A．1
B．1
C．1
D．2
9．已知关于x 的一元二次方程
2
4
ax
bx
c
（
0
a
）的两个根分别为
1
4
x ，
2
6
x ，小范有以下两种说
法：①
2
b
a
；②关于x 的方程
4
6
4
0
a x
x
和
2
0
ax
bx
c
的解相同，下列判断正确的是（
）
A．①正确，②正确
B．①不正确，②正确
C．①正确，②不正确
D．①不正确，②不正确
10．对于二次三项式
2
2
A
x
mxy
x
（
0
x
且m 为常数），
2
2
B
y
xy
y
，下列说法：
①当
1
m 时，若
0
A
，则
2
x
y
；
②无论x 取任何实数，若等式
2
5
A
x
x
恒成立，则
3
3
27
m y
；
③当
1
m 时，若
6
A
，
7
B ，则
1
x
y
．
其中说法正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．把方程
3
2
2
3
0
x
x
化为一般形式是__________．
12．一元二次方程
2
6
0
x
mx
的一个根为2
，则m 的值为_______．
13．在一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
中，实数a，b，c 满足4
2
0
a
b
c
，则此方程必有一根为________．
14．已知关于x 的方程
2 1
1
0
m n
m
n
x
m
n x
mn
是一元二次方程，则m
n
的值为_____________
15．用配方法解一元二次方程
2
4
0
x
bx
a
得2
3
6
x
，则b 的值为________．
16．对于实数
,
p q ，我们用符号
min
,p q 表示
,
p q 两数中较小的数，如
min 1,2
1
，
min
2, 3
3
，
若
2
2
min
+1 ,
=1
x
x
，则x ________ ．
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的一个根是1，且a ，b 满足
2
2
1
b
a
a
，求此一元二次方程．
18．有一组数据：3，
2
1
x ，5，2
3
x
，4，它们的平均数是4，求x 的值．
19．解方程：
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(1)
2
1
1
4
2 x
(2)
2
1
2
0
2
x
x
（配方法）
20．某同学解一元二次方程
2
2
6
1
0
x
x
的解题步骤如下：
解：
2
2
6
1
x
x
①
2
1
3
2
x
x
②
2
2
3
1
3
2
2
x
x
③
2
3
1
2
2
x
④
该方程没有实数根⑤
(1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________．
(2)请写出用配方法解方程
2
2
6
1
0
x
x
的正确过程．
21．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应
变能力和创新能力．定义：方程
2
0
cx
bx
a
是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的倒方程，其中a，b ，c为
常数（且a，
0
c
）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程
2
4
3
1
0
x
x
的倒方程是______；
(2)若
1
x 是一元二次方程
2
2
0
x
x
c
的倒方程的解，求出c的值；
(3)若m 是一元二次方程
2
6
1
0
x
x
的倒方程的一个实数根，求
3
2
6
2026
m
m
m
的值．
22．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程
4
6
x x
．
解：原方程可变形，得，
2
2
2
2
6
x
x
，
整理得，
2
2
2
2
6
x
，
所以，
2
2
10
x
，
所以，直接开平方得，
2
10
x
，或
2
10
x
．
所以，原方程的解为：
1
2
10
x
，
2
2
10
x
．
(1)下面是小强同学用发现的新解法解方程
3
9
3
x
x
时，写的解题过程．
解：原方程可变形，得，
3
x
m
n
x
m
n
，
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整理得，
2
2
3
x
m
n
，
所以，
2
2
3
x
m
n
，
所以，直接开平方得，
2
3
x
m
n
，或
2
3
x
m
n
，
所以，原方程的解为：
2
1
3
x
m
n
，
2
2
3
x
m
n
．
请直接写出上述过程中的m ，n 的值及方程
3
9
3
x
x
的根；
(2)请用小强同学发现的新解法解方程：
11
5
36
x
x
．
23．【阅读理解】
在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x 的一元二次方程
2
2
x
ax
b
（
0
a
，
0
b
）的图解法是：如图，
作Rt
ABC
△
，其中
90
ACB
，
2
a
BC
，AC
b
，在斜边上截取
2
a
BD
，则AD 的长就是所求方程的正
根．
【推导验证】
对方程
2
2
x
ax
b
进行配方，
得
2
2
2
2
2
2
a
a
x
ax
b
，
因为
90
ACB
，所以
2
2
2
AB
AC
BC
，
……
(1)请你继续完成上述推导．
【尝试应用】
(2)若利用此图解法解方程
2
2
5
x
x
，那么BC _____，AB _____，方程的正根x _____．
(3)已知关于x 的一元二次方程
2
64
x
ax
（
0
a
），利用上述图解法求解时，有
3
2
BD
AD
，求a 的值．
24．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结
合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成
2
2
a
b
（a，b 是整数）的形式，则称这个
数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为
2
2
10
3
1
，所以10是“和谐数”．
【解决问题】
(1)判断40是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”）
【探究问题】
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(2)若
2
8
25
a
a
可配方成
2
2
a
m
n
（m ，n 为常数），则mn 的值________．
(3)已知
2
2
4
5
6
M
a
ab
b
b
k
（a ，b 是整数，k 是常数），要使M 为“和谐数”，试求出符合条件的一
个k 值，并说明理由．
【拓展应用】
(4)已知实数x ，y 满足
2
5
10
y
x
x
，当x 为多少时，y
x
能取得最小值，并求出最小值．
