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2026-2027 学年九年级上学期数学周周测03
25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．若、是方程
2
2
2026
0
x
x
的两个实数根，则
的值为（
）
A．2026
B．2
C．2
D．2026
【答案】D
【详解】解：∵，是方程
2
2
2026
0
x
x
的两个实数根，
∴
2026
2026
1
.
2．关于
的一元二次方程
的根的情况是（
）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的同号实数根
D．有两个不相等的异号实数根
【答案】D
【分析】先计算根的判别式判断根的个数，再根据两根之积的符号判断根的符号，即可得到结论．
【详解】∵对于一元二次方程
，
，
，
，
∴根的判别式
，
∵
，
∴
，方程有两个不相等的实数根，
设方程的两根为
，
，由根与系数的关系得
，
∴方程的两根异号，
∴方程有两个不相等的异号实数根．
3．下列方程的两个实数根的和为
的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：A．
，
，该方程有实根，
，不符合
题意；
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B．
，
，该方程有实根，且
，不符合题意；
C．
，
，该方程有实根，且
，符合题意；
D．
，
，该方程无实根，不符合题意
4．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为
和
，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2 和9，则原来的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方
程．
【详解】解：设原一元二次方程为
，
∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为
和
，
∴根据根与系数的关系，
，
∴
，
∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为
和，
∴根据根与系数的关系，
，
∴原方程为
．
5．对于任意实数
，，定义一种新运算“⊙”：
，若关于x 的方程
，
已知该方程的两个根为
、
，则
的值为（
）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】A
【分析】先根据新定义代入
，
，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系
即可得到答案.
【详解】∵
，且
，
∴将
，
代入得：
，
整理得：
，
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∴
．
6．若
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
2026
0
x
x
的两个实数根，则
2
1
1
2
x
x
x
的值是（
）
A．2024
B．2026
C．2028
D．4052
【答案】C
【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出
结果．
【详解】解：∵
1x 是一元二次方程
2
2
2026
0
x
x
的实数根，
∴
2
1
1
2
2026
0
x
x
，
∴
2
1
1
2
2026
x
x
，
∴
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2026
2026
x
x
x
x
x
x
x
x
，
∵
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
2026
0
x
x
的两个实数根，
∴
1
2
2
x
x
，
∴
2
1
1
2
2
2026
2028
x
x
x
．
7．若实数a，b，c 满足
，且
，则一元二次方程
的两个
实数根
满足的数量关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先对已知等式因式分解得到a 与c 的关系，再代入一元二次方程，结合根与系数的关系判断两根
的数量关系。
【详解】解：∵
，
对左边变形得
，
即
，
又∵
，
∴
，即
，
∴
，
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得
，
将
代入一元二次方程
，
得
，
整理得
，
对于一元二次方程
，常数项为
，
由根与系数的关系得
．
8．已知一个矩形相邻两边长（单位：
）是关于
的方程
（
是常数）的两个根，则这个矩
形的面积（单位：
）可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】矩形相邻两边是方程的两个实根，矩形面积等于两根乘积，利用一元二次方程判别式得到面积的
取值范围，即可得到符合条件的选项．
【详解】解：设矩形相邻两边长为方程
的两个根
，
∵矩形面积
，
由一元二次方程根与系数的关系得
，
∴
，
∵方程有两个正实根，
∴判别式
，
∵
，
∴
，解得
，
即
，
观察选项，只有A 选项
，符合要求．
9．已知关于x 的一元二次方程
2
2
2(
1)
2
0
x
k
x
k
的两个实数根为
1x 和
2x ，设
1
2
x
x
t
k
，则t 的最大
值为（
）
A．4
B．4
C．6
D．6
【答案】D
【分析】先根据题目分别找出
1
a ，
2
1
b
k
，
2
2
c
k
，再计算并判断正负并求出k 的取值范围，
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进而计算t 并求出最大值．
【详解】解：由题意可知
1
a ，
2
1
b
k
，
2
2
c
k
，
∴
2
2
4(
1)
4
2
8
4
0
k
k
k
，
∴
1
2
k
，
∵
1
2
2
1
x
x
k
，
∴
2
1
2
2
k
t
k
k
，
∴当
1
2
k
时，t 最大，
6
t
．
10．对于一元二次方程
（
），下列说法：
①若
，则
；
②若方程
有两个不相等的实数根，则方程
必有两个不相等的实数根；
③若c 是方程
的一个根，则一定有
成立；
④若
是一元二次方程
的根，则
；
⑤若方程
有两个不相等的实数根，则方程
也一定有两个不相等的实数根．
其中正确的个数有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题根据一元二次方程根的定义，一元二次方程判别式与根的关系，逐个判断五个说法的正误，
统计正确个数即可得到答案．
【详解】解：①若
，则
是方程
的根，方程有实根，因此判别式
，
故①正确；
②若方程
有两个不相等的实数根，则该方程判别式
，即
；
对于方程
，其判别式
，
，
，
因此方程
必有两个不相等的实数根，故②正确；
③若是方程
的一个根，代入得
，整理得
；
当
时，等式成立，但
不一定等于
，故③错误；
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④若
是方程
的根，则
，两边同乘
得
，
配方整理得
，故④正确；
⑤若方程
有两个不相等的实数根，则
；
当
时，方程
变为
，是一元一次方程，只有一个实数根，故⑤错误；
综上，正确的说法共个．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______．
【答案】
【分析】设该一元二次方程为
，由题意得
，
，
，然后利用根与系数的
关系求解．
【详解】解：设该一元二次方程为
，
由题意可知
，方程的两个根分别为
，
，
根据根与系数的关系，得
，
代入得
，
解得
，
∴这个方程的常数项是6．
12．写一个二次项系数为1 的一元二次方程，让它的两个根分别为5，
（化为一般形式）：______．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出一次项系数和常数项，即可得到所求方程．
【详解】解：设所求一元二次方程为
由题意得，二次项系数为，两根分别为和
∴
，
计算得
，
因此所求一元二次方程为
．
13．若一个一元二次方程的两个根分别为2 和
，请写出一个符合条件的方程______．
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【答案】
（答案不唯一）
【分析】先计算两根的和与积，再根据根与系数的关系写出符合条件的一元二次方程；
【详解】解：设一元二次方程为
，设两根分别为
，
，
∵
，
，
令
，可得
，
，因此符合条件的一元二次方程可为
（答案不唯一）；
14．已知
，
是方程
的两个实数根，则
=________．
【答案】5
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵
，
是方程
的两个实数根，
∴
．
15．菱形的两条对角线的长是方程
的两根，则菱形的面积是______．
【答案】
3
【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可．
【详解】解：设方程
的两个根为
，
，
由根与系数的关系得：
，
∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根，
∴菱形两条对角线的乘积为
，
∵菱形的面积等于对角线乘积的
，
∴菱形的面积为
．
16．已知关于
的一元二次方程
，方程有两个互为相反数的实数根，则
的值是
__________．
【答案】
/
【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出
的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结
果．
【详解】解：设方程
的两个实数根为
，
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由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：
，
解得：
，
将
代入原方程，得
，
此时判别式
，方程有两个不相等的实数根，符合题意．
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．关于
的一元二次方程
有一个根是
，求
的值及方程的另一个根．
【答案】
；另一个根是0
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
将
代入方程求出
，再根据根与系数的关系求另一个根．
【详解】解：将
代入方程可得：
，
解得：
，
∴该方程为
；
设方程的另一个根为
，由根与系数的关系得，
，
解得：
；
综上所述，
，另一个根为0．
18．已知关于x 的一元二次方程
的两个不相等的实数根
，
满足
，求m
的值．
【答案】
【分析】首先根据根的判别式求出m 的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将
，转化为关于m 的方程，求出m 的值并检验．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
的两个不相等的实数根
，
，
∴
，
，
∵
，
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∴
，即
，
解得：
或
，
由判别式大于零，得
，
解得
，
∴
．
19．已知关于x 的方程
(1)当方程的一个根为2 时，求c 的值．
(2)若方程的两根之积为3，求方程的根．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）将方程的根
代入原方程即可求解；
（2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：将方程的根
代入原方程：
，解得
；
（2）设方程的两根为
，
，若方程的两根之积为3，
则
，解得
，
即：
，
解得
，
．
20．已知关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
x
x
m
有两个实数根
1
2
,
x x ．
(1)求m 的取值范围．
(2)当
2
2
1
2
1
2
6
x
x
x x
时，求m 的值．
【答案】(1)
2
m
(2) 3
2
【分析】（1）根据判别式
0
求解即可；
（2）利用根与系数的关系可用m 表示出已知等式，可求得m 的值．
【详解】（1）解：
原方程有两个实数根，
2
Δ
2
4
1
0
m
，即4 4
4
0
m
．
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解得
2
m
．
（2）解：
1
2
1
2
2,
1
x
x
x x
m
且
2
2
1
2
1
2
6
x
x
x x
，
2
1
2
1
2
1
2
2
6
x
x
x x
x x
即
2
1
2
1
2
8
0
x
x
x x
．
22
8
1
0
m
，
3
2
m
．
21．已知
的两边
，
的长是关于
的一元二次方程
的两个根，第三边
的长是
．
(1)求证：无论
取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当
为何值时，
是以
为斜边的直角三角形？
【答案】(1)证明：∵对于一元二次方程
，
∴
．
∴无论
取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当
时，
是以
为斜边的直角三角形．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得
，
，从而得到
，再根据勾股定理可得关于
的方程，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵
，
的长是关于
的一元二次方程
的两个根，
∴
，
，
∴
，即
，
∴
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，
∵
是以
为斜边的直角三角形，
∴
，
∵第三边
的长是
，
∴
，
整理得
，即
，
解得
，
，
当
时，
，符合题意；
当
时，
，不符合题意；
∴当
时，
是以
为斜边的直角三角形．
22．已知关于x 的方程
．
(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
，
是方程的两根．
①当
时，求m 的值；
②直接写出代数式
的最小值．
【答案】(1)将
，整理得
，
∴
，
无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根
(2)①
；②0
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可；
（2）①把
代入方程
，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得
，
，再代入
，即可求解．
【详解】（1）略
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（2）解：①把
代入方程
，得
，
．
②将
，整理得
∵
，
是方程的两根，
，
，
∴
，
所以代数式
的最小值为0．
23．已知关于x 的一元二次方程
有两个实数根
，
，若满足
，则此类方程叫做
“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）
①
；②
(2)已知关于x 的方程
是“差根方程”，求a 的值．
(3)已知
是直角三角形，斜边
的长为
，若
的两边
、
的长是一个二次项系数为1 的
“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”．
【答案】(1)①
(2)
(3)
【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握
相关知识，正确理解新的定义是解题的关键．
（1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可；
（2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可；
（3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系
数为1 的方程即可．
【详解】（1）解：①
解得：
或
，
，
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是“差根方程”；
②
解得：
，
，
，
②不是“差根方程”；
（2）解：方程
因式分解得：
，
解得：
，
，
方程
是“差根方程”，
，
，
或
，
解得：
或
；
（3）解：设
、
，
是直角三角形，斜边
的长为
，
，
，
、
是“差根方程”的两个实数根，
，
，
，
，
，
，
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、
是三角形的边长，均为正数，
，
方程二次项系数为1，
所求差根方程为
．
24．对于代数式
2
ax
bx
c
，若存在实数n ，使得当x
n
时，代数式的值等于常数，则称n 为这个代数式
的常定数．例如，对于代数式
2
2
1
ax
ax
，当
0
x
时，代数式的值为1，当
2
x
时，代数式的值为1，所
以0 和2 是这个代数式的常定数，当
1
x 时，代数式的值为
2
1
1
a
a
a
，不是恒定的常数，所以1 不
是这个代数式的常定数．
(1)判断：
2
x
__________（是或不是）代数式
2
3
4
mx
mx
的常定数．
(2)代数式
2
5
4
mx
mx
是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由．
(3)已知代数式
2
2
4
mx
nx
，当x 分别为0 和1 时，代数式的值均为4，若
2
1
(
3)
(
3)
6
2 m x
n x
n
存在两
个常定数
1x 和
2x ，求
1
2
x
x
的值．
【答案】(1)
不是
(2)
有常定数，常定数为0 和5
(3)
7
【分析】（1）根据常定数的定义判断即可；
（2）原式变形为
2
5
4
m x
x
，根据常定数的定义得出
2
5
0
x
x
，解方程即可；
（3）先根据当
1
x 时，代数式
2
2
4
mx
nx
的值为4，求出
2
m
n
，代入
2
1
3
3
6
2 m x
n x
n
并化简
得
2
3
3
6
n
x
x
，根据常定数的定义得出
2
3
3
6
0
x
x
，化简后根据根与系数的关系求解
即可.
【详解】（1）解：当
2
x
时，代数式的值为
2
3
4
4
6
4
2
4
mx
mx
m
m
m
，不是恒定的常数，
所以
2
x
不是这个代数式的常定数；
（2）解：有常定数，常定数为0 和5
理由：若
2
2
5
4
5
4
mx
mx
m x
x
有常定数，
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则
2
5
0
x
x
，
解得
0
x
或
5
x
故代数式
2
5
4
mx
mx
有常定数，常定数为0 和5 ；
（3）解：当
1
x 时，代数式
2
2
4
mx
nx
的值为4，
∴
2
4
4
m
n
，
∴
2
m
n
，
∴
2
1
3
3
6
2 m x
n x
n
2
1
2
3
3
6
2
n x
n x
n
2
3
3
6
n x
n x
n
2
3
3
6
n
x
x
，
∵
2
1
(
3)
(
3)
6
2 m x
n x
n
存在两个常定数
1x 和
2x ，
∴
2
3
3
6
0
x
x
，即
2
7
6
0
x
x
，
∴
1
2
7
x
x
.
7．【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，
则称这个四边形为该方程的“根对四边形”．
【问题解决】已知一个根对四边形ABCD的两条对角线的长是方程
2
2
4
12
12
0
x
a
x
a
（
1
a ）的两
个实数根．
(1)当
2
a
时，求这两条对角线的长．
(2)若该根对四边形是矩形，求对角线AC 的长．
(3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为a ，求a 的值．
【答案】(1)两条对角线的长分别为2 和6
(2)对角线AC 的长为6
(3) a 的值为5
【分析】（1）把
2
a
代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度；
（2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式Δ
0
，先求出a ，再解方程得到对
角线长度；
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（3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为
,
m n，则半对角线
,
2 2
m n 与菱形边长构成直角三角形，满足勾股
定理：
2
2
2
2
2
m
n
a
；结合韦达定理：
2
4
m
n
a
，
12
12
mn
a
，再利用完全平方变形求解a ，最
后检验
1
a 且根为正数．
【详解】（1）解将
2
a
代入方程：
2
2 2
4
12 2 12
0
x
x
，
化简：
2
8
12
0
x
x
，
因式分解：
2
6
0
x
x
，
解得
1
2
x
，
2
6
x
．
两根均为正数，符合对角线长度要求，
两条对角线长分别为2 和6 ．
（2）解：由矩形对角线相等，
则方程有两个相等实数根，Δ
0
．
2
2
4
4 1
12
12
a
a
2
4
16
16
48
48
a
a
a
2
4
32
64
a
a
，
令Δ
0
：
2
4
32
64
0
a
a
，
2
8
16
0
a
a
，
2
4
0
a
，
解得
4
a
（满足
1
a ），
把
4
a
代入原方程：
2
8
4
48 12
0
x
x
，
2
12
36
0
x
x
，
2
6
0
x
，
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1
2
6
x
x
，
矩形对角线AC 的长为6．
（3）解：设方程两根（对角线长）为
,
m n ，由韦达定理：
2
4,
12
12
m
n
a
mn
a
，
菱形对角线互相垂直平分，边长为a ，由勾股定理：
2
2
2
2
2
m
n
a
，
两边同乘4：
2
2
2
4
m
n
a
，
由完全平方公式
2
2
2
2
m
n
m
n
mn
，代入：
2
2
2
4
2 12
12
4
a
a
a
，
2
2
4
16
16
24
24
4
a
a
a
a
，
8
40
0
a
，
解得
5
a
，
检验：
5 1
a
，代入原方程：
2
2
10
4
60 12
14
48
0
x
x
x
x
，
解得
1
6
x
，
2
8
x
，两根均为正实数，符合对角线长度要求．
a
的值为5 ．
小学
初中
