文档内容
2024 学年上学期九年级期中诊断性调研
数学问卷
（时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（ 分）
1. 在下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做
中心对称图形，由此即可判断．
【详解】解： 、 、 图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
故 、 、 不符合题意；
、图形是中心对称图形，
故 符合题意．
故选： ．
【点睛】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2. 已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x＝－4，x＝7，则原方程可化为（ ）
1 2
A. （x－4）（x－7）＝0 B. （x＋4）（x＋7）＝0
C. （x－4）（x＋7）＝0 D. （x＋4）（x－7）＝0
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接代入计算即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
， ，
， ，
第1页/共31页
学科网（北京）股份有限公司原方程可化为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握
根与系数的字母表达式，并会代入计算．
3. 若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程 有两个实数根，则 根据性质列不等式即可得到答案.
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
即：
解得：
故选：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程有实数根，则 ”是解题的关键.
4. 由二次函数 可知（ ）
A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的对称轴为直线
C. 函数最小值为3 D. 随 的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式可以得到 ，判断A错误；对称轴是直线 ，判断B错误；顶点
第2页/共31页
学科网（北京）股份有限公司坐标为 ，其最小值为3，判断C正确；且知道当 时， 随 的增大而减小，判断D错误．
【详解】解：A、 二次函数 中， ，
其图象的开口向上，故本选项错误；
B、 二次函数的解析式是 ，
其图象 的对称轴是直线 ，故本选项错误；
C、 由函数解析式可知其顶点坐标为 ，
为
其最小值 3，故本选项正确；
D、 二次函数的图象开口向上，对称轴是直线 ，
当 时， 随 的增大而减小，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数顶点式的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
5. 将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转120°后可得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质以及旋转的方向得出对应顶点位置即可得出答案．
【详解】解：∵图形绕其中心按逆时针方向旋转120°，
∴旋转后可得到图形是：阴影部分的长边转到下面水平方向，
故选B．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转方向和旋转角度得出对应点位置是解题关键．
第3页/共31页
学科网（北京）股份有限公司6. 将抛物线 向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将抛物线 化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．
【详解】解：将 化为顶点式为：
向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的表达式为
故选：A
【点睛】此题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线平移规律是解题关键．
7. 如图，在 中， ，将 绕点C逆时针旋转得到 ，点A，B的对应点分
别为D，E，连接 ．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转可知 ，即可求出 ，由于 ，则可判断
，即A选项错误；由旋转可知 ，由于 ，即推出 ，即B选
第4页/共31页
学科网（北京）股份有限公司项错误；由三角形三边关系可知 ，即可推出 ，即C选项错误；由旋转可
知 ，再由 ，即可证明 为等边三角形，即推出 ．即可求出
，即证明
，即D选项正确；
【详解】由旋转可知 ，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ 为钝角，
∴ ，
∴ ，故B选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C选项错误，不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴ ，故D选项正确，符合题意；
第5页/共31页
学科网（北京）股份有限公司故选D．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形
结合的思想是解答本题的关键．
8. 广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每
轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了
个人，则第一轮传染了 个人，第二轮作为传染源的是 人，则传染 人，依题意列方程：
即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了 个人，依题意得 ，
即 ，
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，
人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
9. 一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A B.
.
C. D.
第6页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由二次函数 图象得到字母系数的正负，
再与一次函数 的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故A选
项不可能；
B、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故B选项不可能；
C、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故C选项不可能；
D、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故D选项符合题意；
故选：D．
10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在
的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接BM．先判定△FAE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD＝AB＝5，CM
第7页/共31页
学科网（北京）股份有限公司＝3，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝ ，进而得出EF的长．
【详解】解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．
∴∠FAB＝∠MAE
∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE＝∠MAB．
∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF＝BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝5．
∵DM＝2，
∴CM＝3．
∴在Rt△BCM中，BM＝ ，
∴EF＝ ，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质、三角形的判定和性质,关键在于做好辅助线,熟记性质.
二、填空题（ 分）
11. 已知关于x的一元二次方程： 有两个实根 、 ，则 _____．
【答案】3
【解析】
第8页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的
两根时， ， ．根据根与系数的关系即可得出 ，此题得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程： 有两个实根 、 ，
∴ ．
故答案为：3．
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知 ，将 先向右平移3个单位长度
得到 （点A，B，C的对应点分别是 ），再绕 顺时针方向旋转 得到
（点 ，的对应点分别是 ），则 的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——平移和旋转．直接利用平移的性质和旋转的性质得出对应点
位置，然后作图，进而得出答案．
【详解】解：如图， ， 即为所求．
第9页/共31页
学科网（北京）股份有限公司根据图形可知， 的坐标是 ，
故答案是： ．
13. 某种型号的微机，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百
分率为______
【答案】30%
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，
可列方程求解．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，
7200（1-x）2=3528，
x=30%或x=170%（舍去）．
平均每次降价的百分率为 30%．
故答案为：30%．
14. 如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式 的解集是___________．
【答案】 或
【解析】
第10页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【分析】由图象判断 是对称轴，与x轴一个交点是 ，则另一个交点 ，结合函数图象即
可求解 ．
【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线 ，
与x轴一个交点坐标 ，
由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是 ，
∴ 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结
合解不等式是解题的关键．
15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ，当水面宽度为 时，拱顶离水面
___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】如图建立平面直角坐标系，由题意得： 为抛物线顶点且坐标为 ， ， ，
求出抛物线解析式，然后把 代入求解即可．
【详解】解：如图建立平面直角坐标系，
由题意得： 为抛物线顶点且坐标为 ， ， ，
设抛物线解析式为 ，
第11页/共31页
学科网（北京）股份有限公司即 ，
抛物线解析式为 ，
当水面宽度为 时，即当 ， ，
水面下降的高度为 ，拱顶离水面6m．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够
准确地建立坐标系进行求解．
16. 已知二次函数 图象与 轴交于点 ，点 在二次函数的图象上，且
轴，以 为斜边向上作等腰直角三角形 ，当等腰直角三角形 的边与 轴有两个公共
点时 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】过点B作BD⊥AC于D．根据二次函数的解析式和对称性求出OA和AC的长度，再根据等腰三角
形的性质和等角对等边求出BD的长度，最后通过数形结合思想确定OA0，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的对称性，等腰三角形的性质，等角对等边，正确应用数形结合思想是解题关
键．
第13页/共31页
学科网（北京）股份有限公司三、解答题（共72分）
17. 解方程：x2＋2x＋1＝3x＋3
【答案】x＝﹣1，x＝2
1 2
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程．
【详解】解：∵x2+2x+1＝3x+3，
∴（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
则（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2＝0，
解得x＝﹣1，x＝2．
1 2
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解决问题的关键是降次——化二次为一次，本题是利用因式分
解法降次，化为一元一次方程．
18. 请按以下要求用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）：
（1）如图1，将 绕点O逆时针旋转90°得 ，画出 ；
（2）如图2，设 绕点Q逆时针旋转得 ，画出点Q．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）连接 ， ，利用网格分别作线段 ， ，的垂直平分线，交点即为所求的点 ．
第14页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：如图1， 即为所求．
【小问2详解】
如图2，点 即为所求．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
19. 已知抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）把抛物线沿 轴向下平移 个单位，若抛物线的顶点落在 轴上，求 的值．
【答案】（1）
第15页/共31页
学科网（北京）股份有限公司（2） 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称轴：
（1）根据对称轴 ，代入计算，即可作答．
（2）把 进行分类讨论，当 和 ，进行列式作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵
∴ ；
【小问2详解】
当 时，开口向上，则
∵ 沿 轴向下平移 个单位，得到抛物线
，且新抛物线顶点落在 轴上，
∴
解得： ；
当 时，开口向下，则
∵ 沿 轴向下平移 个单位，得到抛物线
，且新抛物线顶点落在 轴上，
∴
第16页/共31页
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
综上， 或
20. 如图，P是正 内的一点，若将 绕点A逆时针旋转到 ，
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质：对应角相等，以及等边三角形的性质：三个角均为 ，即可得解；
（2）将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，可得： 为等边三角形，
利用勾股定理逆定理可得： 是直角三角形，即可得解．
【小问1详解】
解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵将 绕点A逆时针旋转到 ，
∴ ，
第17页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
即： ；
【小问2详解】
解：如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
则： ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理逆定理．熟练掌握旋转前后的
两个图形全等，是解题的关键．本题是旋转全等模型，遇到等腰（边）三角形内部一点，可以通过旋转构
造全等三角形来解题．
第18页/共31页
学科网（北京）股份有限公司21. 如图，利用函数 的图象，直接回答：
（1）方程 的解是______；
（2）不等式 的解集为______；
（3）不等式 的解集为______．
【答案】（1） ，
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据图象即可求解；
（2）根据图象即可求解；
（3）根据题意，令 ，可求出一次函数与二次函数的交点，根据图示即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，当 或 时， ，
∴方程 的解是 ， ，
故答案为： ， ．
【小问2详解】
解：根据图示可得，当 时， ，
第19页/共31页
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【小问3详解】
解：令 ，当 ，解得， ， ，即二次函数与直线的交点坐标为 ，
，作图如下，
∴当 时， ；当 时， ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数图象的综合，掌握二次函数图象的性质，二次函数与一次函数
交点的计算方法是解题的关键．
22. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两实数根为 ，且满足 ，试求出 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系；
（1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可．
【小问1详解】
第20页/共31页
学科网（北京）股份有限公司证明：方程为： ，
方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：由（1）得 ，
解得： ，
实数 的值为 ．
23. 某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照
物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单
价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）y=-2x+260（ ）；（2）80元；（3）销售单价为85元时，每天获得 的利润
第21页/共31页
学科网（北京）股份有限公司最大，最大利润是3150元
【解析】
【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
【详解】解：（1）设y=kx+b（k≠0，b为常数）
将点（60，140），（70，120）代入得：
，解得 ，
∴y与x的函数关系式为：y=-2x+260，
解不等式组 ，
得： 且x为整数；
（2）由题意得： ，
化简得：x2-180x+8000=0，
解得：x=80，x=100，
1 2
∵ =85，
∴x=100＞85（不符合题意，舍去）
2
答：销售单价为80元；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得，
，
=-2x2+360x-13000
=-2(x-90)2+3200
∵a=-2＜0，抛物线开口向下，
∴w有最大值，
∵ ，
第22页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴当x=85时，w =3150，
最大值
答：销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元.
【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识
点，难度中等略大，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24. 在 中， ， ，点D，E是边 ， 的中点，连接 ， ，
点M，N分别是 和 的中点，连接 ．
（1）如图1， 与 的数量关系是_________；
（2）如图2，将 绕点A顺时针旋转，连接 ，请写出 和 的数量关系，并就图2的情形
说明理由；
（3）在 的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段 的长．
【答案】（1）
（2） ，见解析
（3） 或
【解析】
【分析】（1）可证 ， ，即可求解；
（2）连接 ，可证 ，可得 ，即可求解；
第23页/共31页
学科网（北京）股份有限公司（3）①当点E在线段 上时，过点 作 于点 ，可求 ， ，
即可求解；②当点D在线段 上时，过点 作 于点Q，可求 ，
，即可求解．
【小问1详解】
解： 点D，E是边 ， 的中点，
， ，
，
，
点M，N分别是 和 的中点，
是 的中位线，
，
，
故答案： ．
【小问2详解】
解： ，理由如下：
如图，连接 ，
第24页/共31页
学科网（北京）股份有限公司由（1）同理可得： ，
由旋转得： ，
，
，
在
和 中
，
（ ），
，
点M，N分别是 和 的中点，
，
．
【小问3详解】
解：①如图，当点E在线段 上时，过点 作 于点
第25页/共31页
学科网（北京）股份有限公司，
， ，
，
在（1）中： 点D，E是边 ， 的中点，
，
，
， ，
，
，
，
，
在 中，
，
；
第26页/共31页
学科网（北京）股份有限公司②如图，当点D在线段 上时，过点 作 于点Q，
在 中， ， ，
，
由①同理可求 ，
在 中， ，
， ，
；
．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等判定及性质，三角形中
位线定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系 中，抛物线 （ 是常数）的顶点为 ．
（1）直接写出点 的坐标：______（用含 的式子表示）；
第27页/共31页
学科网（北京）股份有限公司（2）若过点 作平行 轴的直线交抛物线于点 ， （ 在 的左边， 在 的右边），
，求 的最小值；
（3）在第（2）问的条件下，将直线AB向上平移与抛物线分别交于 、 ，与y轴交于 ，（ 在
的左边， 在 的右边），且 ，当点 关于直线AB的对称点在直线 的上方时，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数综合，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质；
（1）抛物线 的对称轴为 ，将 代入抛物 即可求得答案；
（2）设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，根据题意可得 ，结合 ，可
得 ，可知 是 的二次函数；
（3）在（2）的条件下，求得当 关于 的对称点在 上时， ，结合函数图象，即可
求解．
【小问1详解】
第28页/共31页
学科网（北京）股份有限公司解：抛物线 的对称轴为 ，
将 代入抛物线 ，得
所以，点 的坐标为
【小问2详解】
解：令 ，则
即 ，
设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，根据题意可得
，
解得 ，
又 ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴当 时， 的最小值为 ；
第29页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
解：∵ 的坐标为 ， ，
∴ 到 的距离为
当 关于 的对称点在 上时，
则
设 ，则
设 、 的横坐标为 ，则 是方程 即 的两根，
∴
解得：
∴
第30页/共31页
学科网（北京）股份有限公司又 ，
∴
解得： 或 （因为抛物线开口向上， ，舍去）
即当 关于 的对称点在 上时，
在（2）中，当 ，
∴当点 关于直线AB的对称点在直线 的上方时，
第31页/共31页
学科网（北京）股份有限公司
