4.2 整式的加法与减法
第3 课时 整式的加减
课标要点
1. 整合去括号、合并同类项知识，归纳整式加减完整运算步骤：去括号→合并同类项，掌
握整式加减通用流程。
2. 掌握两个整式求和、求差的列式方法，求差时给后一个整式整体加括号再去括号，规范
列式书写。
熟练完成整式化简后代入数值求值，能处理含负数、分数、π 的代入计算，简化运算量。
4. 会解决整式加减综合题型：不含某项、与字母取值无关、多项式升幂 / 降幂排列、实
际应用列式化简。
5. 体会数式通性、类比、化归思想，能运用整式加减模型解决生活中数量、价格、图形周
长面积等实际问题。
学习重难点
重点：
1. 整式加减完整运算步骤（去括号 + 合并同类项）；
2. 两个整式相减时正确添加括号、规范去符号；
3. 整式先化简再代入求值的标准解题格式。
难点：
1. 整式作差列式时忘记给后式加括号，导致符号全部出错；
2. 多层括号、多字母、负系数混合运算中符号连续出错；
3. 综合题型结合参数求解（不含某项、与字母无关）；
4. 根据几何图形、生活应用题自主列出整式并完成化简计算。
第四章
整式的加减
知识点
整式的加减
◆1、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
◆2、整式的加减步骤及注意问题
（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，
去括号后括号内的各项都要改变符号．
随学随练
1．（24-25 七年级下·重庆·开学考试）下列计算正确的是（ ）
A．−3𝑎𝑏−2𝑎𝑏= −𝑎𝑏
B．−2(6𝑎2−3𝑎+ 1) = −12𝑎2 +6𝑎+ 2
C．3𝑎3−2𝑎2 = 𝑎
D．−
3
2𝑎𝑏−𝑎𝑏= −
5
2𝑎𝑏
【答案】D
【分析】本题考查整式的混合运算以及实数的混合运算，根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可
求出答案．
【详解】解：A、−3𝑎𝑏−2𝑎𝑏= −5𝑎𝑏，原式计算错误，故A 不符合题意；
B、−2(6𝑎2−3𝑎+ 1) = −12𝑎2 +6𝑎−2，原式计算错误，故B 不符合题意；
C、3𝑎3、2𝑎2不是同类项，不能合并，原式计算错误，故C 不符合题意；
D、−
3
2𝑎𝑏−𝑎𝑏= −
5
2𝑎𝑏，正确，故D 符合题意．
故选：D．
2．（25-26 七年级上·山东菏泽·期末）已知𝑎−2𝑏= −4，则−4𝑎+ 2(4𝑏−𝑎)−4(𝑏−𝑎+ 1)的值为（ ）
A．4
B．−12
C．−8
D．8
【答案】A
【分析】本再利用整体代入法计算．
【详解】解：−4𝑎+ 2(4𝑏−𝑎)−4(𝑏−𝑎+ 1)
= −4𝑎+ 8𝑏−2𝑎−4𝑏+ 4𝑎−4
= (−4𝑎−2𝑎+ 4𝑎) + (8𝑏−4𝑏)−4
= −2𝑎+ 4𝑏−4
= −2(𝑎−2𝑏)−4；
已知𝑎−2𝑏= −4，将其题考查整式的化简求值，关键是通过去括号、合并同类项将代数式转化为含已知条
件的形式，代入，原式=−2 × (−4)−4 = 8−4 = 4．
故选：A．
3．先化简，再求值．
(1)−(𝑥2−𝑦2)−[3𝑥𝑦−(𝑥2−𝑦2)]，其中𝑥= −3，𝑦= −4
(2)
1
2𝑥−3 𝑥−
1
3 𝑦2 + −
3
2 𝑥+ 𝑦2 ，其中𝑥，𝑦满足|𝑥−2| + (𝑦+ 3)2 = 0
【答案】(1)化简结果为−3𝑥𝑦，值为−36
(2)化简结果为−4𝑥+ 2𝑦2，值为10
【分析】（1）先去括号再合并同类项，最后将𝑥= −3，𝑦= −4代入计算即可；
（2）先去括号再合并同类项，再根据非负性求出
𝑥= 2
𝑦= −3
，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：−(𝑥2−𝑦2)−[3𝑥𝑦−(𝑥2−𝑦2)]
= −𝑥2 + 𝑦2−(3𝑥𝑦−𝑥2 + 𝑦2)
= −𝑥2 + 𝑦2−3𝑥𝑦+ 𝑥2−𝑦2
= −3𝑥𝑦
当𝑥= −3，𝑦= −4时，
原式= −3 × (−3) × (−4) = −36；
（2）解：
1
2𝑥−3 𝑥−
1
3 𝑦2 + −
3
2 𝑥+ 𝑦2
= 1
2 𝑥−3𝑥+ 𝑦2−3
2 𝑥+ 𝑦2
= −4𝑥+ 2𝑦2
|𝑥−2| + (𝑦+ 3)2 = 0
𝑥−2 = 0
𝑦+ 3 = 0
解得
𝑥= 2
𝑦= −3
原式= −4 × 2 + 2 × (−3)2 = 10．
4．（25-26 七年级上·四川凉山·期末）一位同学做一道题：“已知两个多项式𝐴，𝐵，计算2𝐴+ 𝐵?他误将
“2𝐴+ 𝐵”看成“𝐴+ 2𝐵”，求得的结果为9𝑥2−2𝑥+ 7，已知𝐵= 𝑥2 +3𝑥−2 ．
(1)求𝐴；
(2)当𝑥=
1
5 时，求2𝐴+ 𝐵的值．
【答案】(1)7𝑥2−8𝑥+ 11
(2)18
【分析】（1）先根据题意计算𝐴= 9𝑥2−2𝑥+ 7−2(𝑥2 + 3𝑥−2)即可；
（2）根据题意列式2𝐴+ 𝐵= 2(7𝑥2−8𝑥+ 11) + 𝑥2 +3𝑥−2，再去括号合并化简，将代入𝑥=
1
5计算即可.
【详解】（1）解：根据题意得𝐴= 9𝑥2−2𝑥+ 7−2(𝑥2 + 3𝑥−2)
= 9𝑥2−2𝑥+ 7−2𝑥2−6𝑥+ 4
= (9−2)𝑥2−(2 + 6)𝑥+ 4 + 7
= 7𝑥2−8𝑥+ 11；
（2）解：2𝐴+ 𝐵= 2(7𝑥2−8𝑥+ 11) + 𝑥2 +3𝑥−2
= 14𝑥2−16𝑥+ 22 + 𝑥2 + 3𝑥−2
= 15𝑥2−13𝑥+ 20，
当𝑥=
1
5时，原式= 15 ×
1
5
2
−13 ×
1
5 +20
= 15 × 1
25 −13
5 + 20
= 3
5 −13
5 + 20
= −2 + 20
= 18.
题型一 利用整式的加减计算
▌例1（2025 七年级上·全国·专题练习）计算
(1)3𝑥2−[7𝑥−2(4𝑥+ 2)+ 2𝑥2]−𝑥2；
(2)−(3𝑎2−4𝑎𝑏)−[𝑎2−2(2𝑎2−𝑎𝑏)+ 2𝑎𝑏]．
【答案】(1)𝑥+ 4
(2)0
【分析】本题考查了整式的加减运算，解答时要先去括号，再合并同类项得出结果．
（1）按照去括号和合并同类项的法则计算即可；
（2）按照去括号和合并同类项的法则计算即可．
【详解】（1）解：3𝑥2−[7𝑥−2(4𝑥+ 2)+ 2𝑥2]−𝑥2
= 3𝑥2−(7𝑥−8𝑥−4 + 2𝑥2)−𝑥2
= 3𝑥2−7𝑥+ 8𝑥+ 4−2𝑥2−𝑥2
= 𝑥+ 4；
（2）解：−(3𝑎2−4𝑎𝑏)−[𝑎2−2(2𝑎2−𝑎𝑏)+ 2𝑎𝑏]
= −3𝑎2 + 4𝑎𝑏−𝑎2 + 2(2𝑎2−𝑎𝑏)−2𝑎𝑏
= −3𝑎2 + 4𝑎𝑏−𝑎2 + 4𝑎2−2𝑎𝑏−2𝑎𝑏
= 0．
▌对点练1-1 （25-26 七年级上·安徽合肥·期末）计算7𝑎2−5𝑎+ 3减去4𝑎2 +2𝑎−1的差，结果正确的
是（ ）
A．3𝑎2−3𝑎+ 4
B．3𝑎2−3𝑎+ 2
C．3𝑎2−7𝑎+ 2
D．3𝑎2−7𝑎+ 4
【答案】D
【分析】本题考查整式的加减运算，先根据题意列出减法算式，再通过去括号、合并同类项得出结果．
【详解】解：由题意得(7𝑎2−5𝑎+ 3)−(4𝑎2 +2𝑎−1)
= 7𝑎2−5𝑎+ 3−4𝑎2−2𝑎+ 1
= 3𝑎2−7𝑎+ 4．
故选：D．
▌对点练1-2 若一个一次式与𝑥−1的和是5𝑥−3，那么这个一次式是_______．
【答案】4𝑥−2
【分析】本题主要考查了整式加减的运算，根据题意列出算式进行计算即可．
【详解】解：∵一个一次式与𝑥−1的和是5𝑥−3，
∴这个一次式为：
5𝑥−3−(𝑥−1)
= 5𝑥−3−𝑥+ 1
解题贴士
用A、B 表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B 加上括号后，然后去括号再进
行化简.
= 4𝑥−2．
故答案为：4𝑥−2．
▌对点练1-3 已知𝐴= 3𝑎−2𝑏+ 1，𝐵= 3𝑏+ 2𝑎−2．
(1)求𝐴−3𝐵．
(2)如果𝐴+ 𝐵+ 𝐶= 0，求𝐶．
【答案】(1)−3𝑎−11𝑏+ 7
(2)−5𝑎−𝑏+ 1
【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）将𝐴= 3𝑎−2𝑏+ 1，𝐵= 3𝑏+ 2𝑎−2代入𝐴−3𝐵中，去括号，合并同类项即可．
（2）将𝐴= 3𝑎−2𝑏+ 1，𝐵= 3𝑏+ 2𝑎−2代入𝐴+ 𝐵+ 𝐶= 0中，化简即可．
【详解】（1）解：∵𝐴= 3𝑎−2𝑏+ 1，𝐵= 3𝑏+ 2𝑎−2，
∴𝐴−3𝐵
= 3𝑎−2𝑏+ 1−3(3𝑏+ 2𝑎−2)
= 3𝑎−2𝑏+ 1−9𝑏−6𝑎+ 6
= −3𝑎−11𝑏+ 7．
（2）解：∵𝐴= 3𝑎−2𝑏+ 1，𝐵= 3𝑏+ 2𝑎−2，𝐴+ 𝐵+ 𝐶= 0，
∴𝐶= −(𝐴+ 𝐵)
= −(3𝑎−2𝑏+ 1 + 3𝑏+ 2𝑎−2)
= −(5𝑎+ 𝑏−1)
= −5𝑎−𝑏+ 1．
题型二 整式的化简求值---直接代入求值
▌例2 （24-25 七年级上·辽宁本溪·期末）先化简，再求值：(3𝑎2𝑏+ 2𝑎𝑏2 + 1)−2(2𝑎𝑏2 + 3𝑎2𝑏−1)．其中
𝑎= −1，𝑏= 1．
【答案】−3𝑎2𝑏−2𝑎𝑏2 +3；2
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号
前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化
简，然后再把数据代入求值即可．
【详解】解：(3𝑎2𝑏+ 2𝑎𝑏2 + 1)−2(2𝑎𝑏2 + 3𝑎2𝑏−1)
= 3𝑎2𝑏+ 2𝑎𝑏2 + 1−(4𝑎𝑏2 + 6𝑎2𝑏−2)
= 3𝑎2𝑏+ 2𝑎𝑏2 + 1−4𝑎𝑏2−6𝑎2𝑏+ 2
= −3𝑎2𝑏−2𝑎𝑏2 +3，
当𝑎= −1，𝑏= 1时，
原式= −3 × (−1)2 × 1−2 × (−1) × 12 +3
= −3 + 2 + 3
= 2．
▌对点练2-1 先化简，再求值：3(𝑥2−4𝑥𝑦)−[5𝑥2−2𝑦+ 2(2𝑥𝑦+ 𝑦−𝑥2)]，其中𝑥= −
1
8，𝑦= 5．
【答案】−16𝑥𝑦，10
【详解】解：原式= 3𝑥2−12𝑥𝑦−(5𝑥2−2𝑦+ 4𝑥𝑦+ 2𝑦−2𝑥2)
= 3𝑥2−12𝑥𝑦−3𝑥2−4𝑥𝑦
= −16𝑥𝑦，
当𝑥= −
1
8，𝑦= 5时，原式= −16 × −
1
8 × 5 = 10．
▌对点练2-2 （25-26 七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：4(3𝑎2𝑏−2𝑎𝑏2)−3(−𝑎𝑏2 + 2𝑎2𝑏)，其中
𝑎= −1，𝑏= 2．
【答案】6𝑎2𝑏−5𝑎𝑏2，32
【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则是解题的关键．先去括号、合并同类项得到最简
结果，把𝑎= −1，𝑏= 2代入即可．
【详解】解：原式= 12𝑎2𝑏−8𝑎𝑏2 +3𝑎𝑏2−6𝑎2𝑏
= (12𝑎2𝑏−6𝑎2𝑏) + (−8𝑎𝑏2 + 3𝑎𝑏2)
= 6𝑎2𝑏−5𝑎𝑏2．
当𝑎= −1，𝑏= 2时，
原式= 6 × (−1)2 × 2−5 × (−1) × 22 = 12 + 20 = 32．
▌对点练2-3 先化简，再求值：4𝑥2𝑦−[6𝑥𝑦−2(4𝑥𝑦−2−2𝑥2𝑦)] +1 ，其中x，y 满足(𝑥+ 2)2 + |𝑦−1| = 0．
【答案】2𝑥𝑦−3，−7
【详解】解：4𝑥2𝑦−[6𝑥𝑦−2(4𝑥𝑦−2−2𝑥2𝑦)] +1
解题贴士
进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行计算即可.
= 4𝑥2𝑦−(6𝑥𝑦−8𝑥𝑦+ 4 + 4𝑥2𝑦) + 1
= 4𝑥2𝑦−6𝑥𝑦+ 8𝑥𝑦−4−4𝑥2𝑦+ 1
= 2𝑥𝑦−3
∵(𝑥+ 2)2 + |𝑦−1| = 0,(𝑥+ 2)2 ≥0,|𝑦−1| ≥0
∴𝑥+ 2 = 0,𝑦−1 = 0
∴𝑥= −2,𝑦= 1
∴原式= 2 × (−2) × 1−3 = −7．
题型三 整式的化简求值---整体代入求值
▌例3 （25-26 七年级上·安徽阜阳·阶段检测）若2𝑎−𝑏= 2，则−2(𝑎2 + 𝑏)−(−2𝑎2−4𝑎+ 3)的值为_____．
【答案】1
【分析】本题考查了整式的加减−化简求值，先去括号，再合并同类项，然后将已知条件代入化简后的结果
中计算即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
【详解】解：−2(𝑎2 + 𝑏)−(−2𝑎2−4𝑎+ 3)
= −2𝑎2−2𝑏+ 2𝑎2 + 4𝑎−3
= 4𝑎−2𝑏−3
= 2(2𝑎−𝑏)−3，
∵2𝑎−𝑏= 2，
∴原式= 2 × 2−3 = 4−3 = 1，
故答案为：1．
▌对点练3-1 （25-26 七年级上·湖北随州·期中）已知−2(𝑚2−2𝑛) +3(𝑚2−3𝑛) +6 = 0，则代数式𝑚2−2
(4𝑚2 + 5𝑛) +45𝑛−5的值为________．
【答案】37
【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的加减中的化简求值，解题关键是掌握上述知识点
并能熟练运用求解．
先化简已知方程得到𝑚2与𝑛的关系式，再将所求代数式变形后代入求值．
【详解】解： −2(𝑚2−2𝑛) +3(𝑚2−3𝑛) +6 = 0，
解题贴士
先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求值即可．
去括号，得−2𝑚2 +4𝑛+ 3𝑚2−9𝑛+ 6 = 0，
合并同类项，得𝑚2−5𝑛+ 6 = 0，
即𝑚2−5𝑛= −6．
所以𝑚2−2(4𝑚2 + 5𝑛) +45𝑛−5
= 𝑚2−8𝑚2−10𝑛+ 45𝑛−5
= −7𝑚2 + 35𝑛−5
= −7(𝑚2−5𝑛)−5
= −7 × (−6)−5
= 42−5
= 37．
故答案为：37．
▌对点练3-2 （25-26 七年级上·内蒙古赤峰·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要思想，它在整式的
加减中应用极为广泛．我们知道，
①4(𝑎+ 𝑏) +2(𝑎+ 𝑏)−(𝑎+ 𝑏) = (4 + 2−1)(𝑎+ 𝑏) = 5(𝑎+ 𝑏)；
②3(𝑥+ 𝑦)2−7(𝑥+ 𝑦) +8(𝑥+ 𝑦)2 +6(𝑥+ 𝑦) = (3 + 8)(𝑥+ 𝑦)2 + (−7 + 6)(𝑥+ 𝑦) = 11(𝑥+ 𝑦)2−(𝑥+ 𝑦)．
①、②中就是把(𝑎+ 𝑏)和(𝑥+ 𝑦)各看成了一个整体进行的化简．
请利用“整体思想”尝试解决下列问题：
(1)把(2𝑎+ 𝑏)看成一个整体，化简4(2𝑎+ 𝑏)−(2𝑎+ 𝑏) +
3
5(2𝑎+ 𝑏)；
(2)若𝑥= 2时，整式𝑎𝑥2−𝑏𝑥+ 3 = 9，当𝑥= −4时，求整式𝑎𝑥2 +2𝑏𝑥+ 8的值．
【答案】(1)
36
5 𝑎+
18
5 𝑏
(2)32
【分析】（1）把(2𝑎+ 𝑏)看成一个整体，仿照示例化简即可；
（2）将𝑥= 2代入𝑎𝑥2−𝑏𝑥+ 3 = 9中化简得2𝑎−𝑏= 3，再将𝑥= −4代入所求式子，然后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：4(2𝑎+ 𝑏)−(2𝑎+ 𝑏) +
3
5(2𝑎+ 𝑏)
=
4−1 +
3
5 (2𝑎+ 𝑏)
= 18
5 (2𝑎+ 𝑏)
=
36
5 𝑎+
18
5 𝑏；
（2）解：将𝑥= 2代入𝑎𝑥2−𝑏𝑥+ 3 = 9中得，
4𝑎−2𝑏+ 3 = 9，
∴4𝑎−2𝑏= 6，
∴2𝑎−𝑏= 3，
当𝑥= −4时，𝑎𝑥2 +2𝑏𝑥+ 8 = 16𝑎−8𝑏+ 8 = 8(2𝑎−𝑏) +8 = 8 × 3 + 8 = 32．
▌对点练3-3（24-25 七年级上·山西吕梁·期末）阅读材料
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如
4𝑥−2𝑥+ 𝑥= (4−2 + 1)𝑥= 3𝑥．由此，若我们把(𝑎+ 𝑏)看成一个整体，当成字母“x”，则4(𝑎+ 𝑏)−2(𝑎+ 𝑏)
+ (𝑎+ 𝑏) = (4−2 + 1)(𝑎+ 𝑏) = 3(𝑎+ 𝑏)．
迁移应用：
(1)把(𝑚−𝑛)2看成一个整体，合并2(𝑚−𝑛)2−4(𝑚−𝑛)2 + (𝑚−𝑛)2的结果是_________；
(2)已知𝑥2−2𝑦= 4，求3𝑥2−6𝑦−21的值；
(3)已知𝑎−5𝑏= 3,5𝑏−3𝑐= −5,𝑑−3𝑐= 10，求(𝑎−3𝑐) + (5𝑏−𝑑)−(5𝑏−3𝑐)的值．
【答案】(1)−(𝑚−𝑛)2
(2)−9
(3)−12
【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．
（1）仿照材料，把(𝑚−𝑛)2看成一个整体，即可合并；
（2）将𝑥2−2𝑦= 4整体代入计算即可；
（3）先去括号，再添括号，根据 𝑑−3𝑐= 10，得到3𝑐−𝑑= −10，然后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：2(𝑚−𝑛)2−4(𝑚−𝑛)2 + (𝑚−𝑛)2
= (2−4 + 1)(𝑚−𝑛)2
= −(𝑚−𝑛)2；
（2）解：∵ 𝑥2−2𝑦= 4，
∴ 3𝑥2−6𝑦−21
= 3(𝑥2−2𝑦)−21
= 3 × 4−21
= 12−21
= −9；
（3）解：∵ 𝑑−3𝑐= 10，
∴ 3𝑐−𝑑= −10，
∴ (𝑎−3𝑐) + (5𝑏−𝑑)−(5𝑏−3𝑐)
= 𝑎−3𝑐+ 5𝑏−𝑑−5𝑏+ 3𝑐
= (𝑎−5𝑏) + (5𝑏−3𝑐) + (3𝑐−𝑑)
= 3 + (−5) + (−10)
= −12．
题型四 整式加减中与某个字母无关问题
▌例4（22-23 七年级下·江苏泰州·开学考试）已知：𝐴= 𝑎𝑥2−𝑥+ 1,𝐵= 3𝑥2−2𝑥+ 4．（𝑎为常数）
(1)若2𝐴+ 𝐵不含𝑥2项，求出𝑎的值；
(2)在（1）的基础上化简：𝐵−4𝐴．
【答案】(1)𝑎= −
3
2
(2)9𝑥2 +2𝑥
【分析】（1）先代入A、B 计算2𝐴+ 𝐵，合并同类项后，根据不含𝑥2项即𝑥2项的系数为0，求解𝑎的值；
（2）将（1）得到的𝑎代入，计算𝐵−4𝐴，合并同类项得到化简结果．
【详解】（1）解：2𝐴+ 𝐵= 2(𝑎𝑥2−𝑥+ 1) + (3𝑥2−2𝑥+ 4)
= 2𝑎𝑥2−2𝑥+ 2 + 3𝑥2−2𝑥+ 4
= (2𝑎+ 3)𝑥2−4𝑥+ 6，
∵2𝐴+ 𝐵不含𝑥2项，
∴2𝑎+ 3 = 0，
解得𝑎= −
3
2．
（2）解：当𝑎= −
3
2时，
𝐵−4𝐴= (3𝑥2−2𝑥+ 4)−4(−
3
2𝑥2−𝑥+ 1)，
= 3𝑥2−2𝑥+ 4 + 6𝑥2 +4𝑥−4，
= 9𝑥2 +2𝑥．
▌对点练4-1 （25-26 七年级上·贵州铜仁·期中）已知多项式𝐴= 2𝑥2−2𝑥2𝑦，𝐵= 𝑥3−2𝑥2𝑦+ 𝑦3，𝐶= −𝑥3
−𝑦3．
(1)求𝐴+ 𝐵−𝐶；
(2)试判断𝐴−𝐵+ 𝐶的值是否与𝑥的取值无关．
【答案】(1)2𝑥3 +2𝑥2−4𝑥2𝑦+ 2𝑦3
(2)否
【分析】本题主要考查了整式加减的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
（1）先根据整式的加减混合运算，求出𝐴+ 𝐵−𝐶的值即可；
（2）把整式进行整理，然后令含x 项的系数等于0，即可得到答案．
【详解】（1）解：𝐴+ 𝐵−𝐶
= 2𝑥2−2𝑥2𝑦+ (𝑥3−2𝑥2𝑦+ 𝑦3)−(−𝑥3−𝑦3)
= 2𝑥2−2𝑥2𝑦+ 𝑥3−2𝑥2𝑦+ 𝑦3 + 𝑥3 + 𝑦3
= 2𝑥3 +2𝑥2−4𝑥2𝑦+ 2𝑦3；
（2）解：𝐴−𝐵+ 𝐶= 2𝑥2−2𝑥2𝑦−(𝑥3−2𝑥2𝑦+ 𝑦3) + (−𝑥3−𝑦3)
= 2𝑥2−2𝑥2𝑦−𝑥3 + 2𝑥2𝑦−𝑦3−𝑥3−𝑦3
= 2𝑥2−2𝑥3−2𝑦3，
𝐴−𝐵+ 𝐶的值与𝑥的取值有关．
▌对点练4-2（25-26 七年级上·福建龙岩·期中）已知多项式𝐴= 2𝑥2 +3𝑥𝑦+ 2𝑦，多项式𝐵= 𝑥2−𝑥𝑦+ 𝑥−
1
2，
代数式𝑀= 𝐴−2𝐵．
(1)先化简，再求值：当𝑥= 1, 𝑦= −1时，求𝑀的值；
(2)若代数式𝑀的值与𝑥的取值无关，求𝑦的值．
【答案】(1)5𝑥𝑦−2𝑥+ 2𝑦+ 1，−8
(2)𝑦=
2
5
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项，然后把𝑥= 1, 𝑦= −1的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
解题贴士
整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或
“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0.
（2）易得𝑀= 5𝑥𝑦−2𝑥+ 2𝑦+ 1 = (5𝑦−2)𝑥+ 2𝑦+ 1与𝑥的取值无关．可得5𝑦−2 = 0，最后进行计算即可
解答．
【详解】（1）解：𝑀= (2𝑥2 + 3𝑥𝑦+ 2𝑦)−2 𝑥2−𝑥𝑦+ 𝑥−
1
2
= 2𝑥2 + 3𝑥𝑦+ 2𝑦−2𝑥2 + 2𝑥𝑦−2𝑥+ 1
= 5𝑥𝑦−2𝑥+ 2𝑦+ 1
当𝑥= 1, 𝑦= −1时，
原式= 5 × 1 × (−1)−2 × 1 + 2 × (−1) +1
= −5−2−2 + 1
= −8
（2）解：由（1）得𝑀化简后为5𝑥𝑦−2𝑥+ 2𝑦+ 1，
∵多项式𝑀的值与𝑥的取值无关，
∴𝑀= 5𝑥𝑦−2𝑥+ 2𝑦+ 1 = (5𝑦−2)𝑥+ 2𝑦+ 1与𝑥的取值无关．
即5𝑦−2 = 0，解得𝑦=
2
5．
▌对点练4-3（25-26 七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y 的多项式𝐴= 4𝑥2 +𝑚𝑦−12与多项式𝐵= 𝑛𝑥2
−2𝑦+ 1．
(1)当𝑚≠0时，多项式A 是几次几项式：______．
(2)当𝑚= 1，𝑛= 5时，计算𝐴+ 𝐵；
(3)如果A 与2𝐵的差中不含𝑥2和y，求𝑚𝑛的值．
【答案】(1)二次三项式
(2)9𝑥2−𝑦−11
(3)−8
【分析】（1）依据多项式的次数与项数的定义进行判断，多项式的次数为最高次项的次数，项数为多项式
中单项式的个数．
（2）代入给定的𝑚与𝑛的值得到多项式𝐴和𝐵，再通过合并同类项完成整式的加法运算．
（3）先求出𝐴与2𝐵的差，根据差中不含某一项则该项系数为0的性质，求出𝑚和𝑛的值，进而计算𝑚𝑛的值．
【详解】（1）解：∵多项式𝐴= 4𝑥2 +𝑚𝑦−12，且𝑚≠0，
∴该多项式的最高次是2，包含3 个单项式，
∴多项式A 是二次三项式
（2）解：当𝑚= 1，𝑛= 5时
𝐴= 4𝑥2 +𝑦−12，𝐵= 5𝑥2−2𝑦+ 1
𝐴+ 𝐵= 4𝑥2 +𝑦−12 + 5𝑥2−2𝑦+ 1 = 9𝑥2−𝑦−11
（3）解：𝐴−2𝐵= 4𝑥2 +𝑚𝑦−12−2(𝑛𝑥2−2𝑦+ 1)
= 4𝑥2 + 𝑚𝑦−12−2𝑛𝑥2 + 4𝑦−2
= (4−2𝑛)𝑥2 + (𝑚+ 4)𝑦−14
∵𝐴与2𝐵的差中不含𝑥2项和𝑦项，
∴4−2𝑛= 0，𝑚+ 4 = 0，
解得𝑛= 2，𝑚= −4，
∴𝑚𝑛= (−4) × 2 = −8．
题型五 整式加减中的错看问题
▌例5 （24-25 七年级上·四川广安·期末）一道关于多项式的题“已知两个多项式A，B，若𝐵= 𝑥2−𝑥−1，求
𝐴−𝐵．”小明做这道题时，误将𝐴−𝐵看成𝐴+ 𝐵，得到的结果为3𝑥2−3𝑥+ 5．请求出𝐴−𝐵的正确结果．
【答案】𝑥2−𝑥+ 7
【分析】本题考查了是整式的加减，由已知，误将𝐴−𝐵看成𝐴+ 𝐵，我们可得，𝐴+ 𝐵= 3𝑥2−3𝑥+ 5，则
𝐴= 3𝑥2−3𝑥+ 5−𝐵，把已知B 代入得出A，再运用去括号、合并同类项求得𝐴−𝐵．
【详解】解：由题意，得𝐴+ 𝐵= 3𝑥2−3𝑥+ 5，𝐵= 𝑥2−𝑥−1，
∴𝐴= 𝐴+ 𝐵−𝐵
= (3𝑥2−3𝑥+ 5)−(𝑥2−𝑥−1)
= 3𝑥2−3𝑥+ 5−𝑥2 + 𝑥+ 1
= 2𝑥2−2𝑥+ 6，
∴𝐴−𝐵= (2𝑥2−2𝑥+ 6)−(𝑥2−𝑥−1)
= 2𝑥2−2𝑥+ 6−𝑥2 + 𝑥+ 1
= x2−x + 7．
▌对点练5-1 （25-26 七年级上·江西宜春·期中）一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算
解题贴士
看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即
可.
2𝐴−𝐵”．他误将“2𝐴−𝐵”看成“𝐴−2𝐵”，求得的结果为5𝑥2−2𝑥+ 4．已知𝐵= −2𝑥2 +3𝑥−7，求2𝐴−𝐵的正确
答案．
【答案】4𝑥2 +5𝑥−13
【分析】把相应的式子代入，利用整式的加减的法则进行运算即可．
【详解】∵𝐴−2𝐵= 5𝑥2−2𝑥+ 4，𝐵= −2𝑥2 +3𝑥−7
∴𝐴= 5𝑥2−2𝑥+ 4 + 2𝐵
𝐴= 5𝑥2−2𝑥+ 4 + 2(−2𝑥2 + 3𝑥−7) = 5𝑥2−2𝑥+ 4−4𝑥2 + 6𝑥−14
= 𝑥2 +4𝑥−10，
∴2𝐴−𝐵= 2(𝑥2 + 4𝑥−10)−(−2𝑥2 + 3𝑥−7) = 2𝑥2 +8𝑥−20 + 2𝑥2−3𝑥+ 7 = 4𝑥2 +5𝑥−13．
▌对点练5-2 （25-26 七年级上·山东临沂·期中）已知两个多项式𝐴，𝐵，计算3𝐴+ 2𝐵．某同学做题时误将
“3𝐴+ 2𝐵”看成了“2𝐴+ 3𝐵”， 求得的结果为4𝑥2−8𝑥+ 7．已知𝐵= 2𝑥2−4𝑥+ 3，求3𝐴+ 2𝐵．
【答案】𝑥2−2𝑥+ 3
【分析】本题主要考查整式的加减运算，解题的关键是掌握整式的加减混合运算法则．根据𝐴=
1
2
(4𝑥2−8𝑥+ 7−3𝐵)，代入𝐵= 2𝑥2−4𝑥+ 3即可求得多项式𝐴，然后计算3𝐴+ 2𝐵即可．
【详解】解：∵ 𝐵= 2𝑥2−4𝑥+ 3，2𝐴+ 3𝐵= 4𝑥2−8𝑥+ 7，
∴ 𝐴=
1
2(4𝑥2−8𝑥+ 7−3𝐵)
= 1
2 [4𝑥2−8𝑥+ 7−3(2𝑥2−4𝑥+ 3)]
= 1
2 (4𝑥2−8𝑥+ 7−6𝑥2 + 12𝑥−9)
= 1
2 (−2𝑥2 + 4𝑥−2)
= −𝑥2 +2𝑥−1，
3𝐴+ 2𝐵
= 3(−𝑥2 + 2𝑥−1) + 2(2𝑥2−4𝑥+ 3)
= −3𝑥2 + 6𝑥−3 + 4𝑥2−8𝑥+ 6
= 𝑥2−2𝑥+ 3，
综上，3A + 2B的结果为x2−2x + 3．
▌对点练5-3 小强同学在考试时没有认真审题，在计算𝐴+ 𝐵时，误将𝐴+ 𝐵看成了𝐴−𝐵，求得的结果是3𝑥2
−2𝑦+ 1，已知𝐴= 2𝑥2−3𝑦，
(1)请你帮他求出𝐴+ 𝐵；
(2)若|𝑥−1| + 𝑦+
1
4
2
= 0，求𝐴+ 𝐵的值．
【答案】(1)𝑥2−4𝑦−1
(2)1
【分析】（1）由𝐵= 𝐴−(𝐴−𝐵)，代入后进行化简即可；
（2）根据“两个非负数的和为0，则这两个数一定为0”确定𝑥，𝑦的值，再代入由（1）所得的结果中进行计
算即可．
【详解】（1）解：∵𝐴−𝐵的结果是3𝑥2−2𝑦+ 1，𝐴= 2𝑥2−3𝑦，
∴𝐵= 𝐴−(𝐴−𝐵)
= 2𝑥2−3𝑦−(3𝑥2−2𝑦+ 1)
= 2𝑥2−3𝑦−3𝑥2 + 2𝑦−1
= −𝑥2−𝑦−1，
∴𝐴+ 𝐵= 2𝑥2−3𝑦+ (−𝑥2−𝑦−1)
= 2𝑥2−3𝑦−𝑥2−𝑦−1
= 𝑥2−4𝑦−1；
（2）解：∵|𝑥−1| + 𝑦+
1
4
2
= 0，|𝑥−1| ≥0，𝑦+
1
4
2
≥0，
∴𝑥−1 = 0，𝑦+
1
4 = 0，
∴𝑥= 1，𝑦= −
1
4，
∴𝐴+ 𝐵= 𝑥2−4𝑦−1
= 12−4 × −
1
4 −1
= 1 + 1−1
= 1．
题型六 整式加减与数轴、绝对值的结合
▌例6 （25-26 七年级上·全国·阶段检测）a，b 在数轴上对应的点如图所示：
(1)比较大小−𝑎 ________−𝑏；
(2)化简：|−𝑎−𝑏| + |𝑎+ 𝑏|−|𝑎−1|．
【答案】(1) >
(2)−𝑎−2𝑏−1
【分析】本题主要考查了数轴比大小和绝对值的性质，准确分析计算是解题的关键．
先根据𝑎，𝑏在数轴上的位置，确定𝑎，𝑏的符号和绝对值的大小，再根据有理数的大小比较和加减法则化简
即可．
【详解】（1）由图可知：𝑎< −1 < 0 < 𝑏< 1，|𝑎| > |𝑏|，
∴−𝑎> 1，−1 < −𝑏< 0，
∴−𝑎> −𝑏；
故答案是：> ．
（2）由（1）可得：−𝑎−𝑏= (−𝑎) + (−𝑏) > 0，𝑎+ 𝑏< 0，𝑎−1 = 𝑎+ (−1) < 0，
∴ |−𝑎−𝑏| + |𝑎+ 𝑏|−|𝑎−1| = −𝑎−𝑏−𝑎−𝑏−(1−𝑎) = −𝑎−𝑏−𝑎−𝑏−1 + 𝑎= −𝑎−2𝑏−1．
▌对点练6-1 （25-26 七年级上·湖南常德·期中）有理数𝑎、𝑏、𝑐在数轴上的位置如图：
(1)用“ > ”或“ < ”填空：𝑎________0，𝑏________0，𝑎+ 𝑏________0，𝑐−𝑎________0；
(2)化简：𝑏+ |𝑎+ 𝑏|−|𝑐−𝑎|．
【答案】(1) < , > , < , >
(2)−𝑐
【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值：
（1）根据点在数轴上的位置，判断出数的符号，式子的符号即可；
（2）根据绝对值的意义，化简绝对值即可．
【详解】（1）解：由数轴可知：𝑎< 0 < 𝑏< 𝑐，|𝑎| > |𝑏|，
∴𝑎+ 𝑏< 0,𝑐−𝑎> 0；
故答案为：< , > , < , > ；
（2）解：由（1）可知：𝑎+ 𝑏< 0,𝑐−𝑎> 0，
∴𝑏+ |𝑎+ 𝑏|−|𝑐−𝑎| = 𝑏−𝑎−𝑏−𝑐+ 𝑎= −𝑐．
▌对点练6-2 （24-25 七年级上·天津河北·期中）有理数a，b，c 在数轴上的对应点位置如图所示，
解题贴士
先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可
得到结果．
(1)判断：𝑎−𝑏______0，𝑎+ 𝑏______0，𝑎−𝑐______0；（填“>”，“<”或“ = ”）
(2)化简式子：|𝑎−𝑏| + |𝑎+ 𝑏|−2|𝑎−𝑐|．
【答案】(1) < ，< ，< ；
(2)−2𝑐
【分析】本题考查了绝对值，有理数的比较大小，整式的加减运算，掌握正数的绝对值等于它本身，负数
的绝对值等于它的相反数，0 的绝对值等于0 是解题的关键．
（1）根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大，绝对值的定义，有理数的加法，减法法法则判断即可；
（2）根据绝对值的性质去掉绝对值化简即可．
【详解】（1）解：根据数轴得：𝑎< 𝑏< 0 < 𝑐，|𝑎| > |𝑏|，
∴𝑎−𝑏< 0，𝑎+ 𝑏< 0，𝑎−𝑐< 0；
（2）解：∵𝑎−𝑏< 0，𝑎+ 𝑏< 0，𝑎−𝑐< 0；
∴|𝑎−𝑏| + |𝑎+ 𝑏|−2|𝑎−𝑐|
= −(𝑎−𝑏)−(𝑎+ 𝑏) + 2(𝑎−𝑐)
= −𝑎+ 𝑏−𝑎−𝑏+ 2𝑎−2𝑐
= −2𝑐．
▌对点练6-3（25-26 七年级上·江西赣州·期中）已知有理数𝑎、𝑏、𝑐在数轴上的位置如图所示：
(1)𝑎___________0，𝑐___________0，𝑎−𝑐___________0．
(2)|𝑏| = ___________，|𝑐| = ___________．
(3)化简：|𝑎−𝑏| + |𝑐−𝑏|−(𝑐−𝑎)
【答案】(1) < , > , <
(2)−𝑏，𝑐
(3)0
【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，整式的加减；
（1）由数轴得，𝑎< 0，𝑏< 0，𝑐> 0，|𝑎| > |𝑐|，进一步得出𝑎−𝑐< 0即可；
（2）根据绝对值的性质结合（1）中的结论即可化简；
（3）根据绝对值的性质结合（1）中的结论可得𝑎−𝑏< 0,𝑐−𝑏> 0，再化简绝对值，进行加减计算即可求解．
【详解】（1）解：由数轴得，𝑎< 0，𝑏< 0，𝑐> 0，|𝑎| > |𝑐|，则𝑎−𝑐< 0
故答案为：< , > , < ．
（2）解：∵𝑏< 0，𝑐> 0，
∴|𝑏| = −𝑏，|𝑐| = 𝑐，
故答案为：−𝑏，𝑐．
（3）解：∵𝑎< 0，𝑏< 0，𝑐> 0，
∴𝑎−𝑏< 0,𝑐−𝑏> 0，
∴|𝑎−𝑏| + |𝑐−𝑏|−(𝑐−𝑎)
= 𝑏−𝑎+ 𝑐−𝑏−(𝑐−𝑎)
= 𝑏−𝑎+ 𝑐−𝑏−𝑐+ 𝑎
= 0
题型七 利用整式加减解决数学问题
▌例6 7（25-26 七年级下·云南玉溪·期末）一个两位数，十位上的数字是𝑎，个位上的数字是𝑏，把这个两位
数记为𝑥，交换十位与个位数字后得到的新两位数记为𝑦，且𝑥≠𝑦．
(1)若𝑥−𝑦= 9，试比较𝑎与𝑏的大小关系；
(2)若𝑇=
44
𝑥+𝑦，且𝑇的值为正整数，求𝑎，𝑏的值．
【答案】(1)𝑎> 𝑏
(2)𝑎= 1，𝑏= 3或𝑎= 3，𝑏= 1
【分析】（1）先求出𝑥= 10𝑎+ 𝑏,𝑦= 10𝑏+ 𝑎，再代入𝑥−𝑦= 9化简即可；
（2）先求出𝑇，再根据𝑎,𝑏,𝑇都为正整数解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：𝑥= 10𝑎+ 𝑏,𝑦= 10𝑏+ 𝑎，
∴𝑥−𝑦= (10𝑎+ 𝑏)−(10𝑏+ 𝑎) = 9𝑎−9𝑏，
∵𝑥−𝑦= 9，
∴9𝑎−9𝑏= 9，
∴𝑎−𝑏= 1 > 0，
∴𝑎> 𝑏．
（2）解：由题意得：𝑥= 10𝑎+ 𝑏,𝑦= 10𝑏+ 𝑎，
∴𝑥+ 𝑦= (10𝑎+ 𝑏) + (10𝑏+ 𝑎) = 11𝑎+ 11𝑏，
∵𝑇=
44
𝑥+𝑦，
∴𝑇=
44
11𝑎+11𝑏=
4
𝑎+𝑏，
∵𝑎,𝑏都为正整数，
∴𝑎+ 𝑏≥2，
∵𝑥≠𝑦，
∴10𝑎+ 𝑏≠10𝑏+ 𝑎，
∴𝑎≠𝑏，
又∵𝑇的值为正整数，
∴𝑎+ 𝑏= 2或𝑎+ 𝑏= 4，
∴①当𝑎+ 𝑏= 2时，则𝑎= 1，𝑏= 1，不符合题意，舍去；
②当𝑎+ 𝑏= 4时，则𝑎= 1,𝑏= 3或𝑎= 3,𝑏= 1或𝑎= 2,𝑏= 2（不符合题意，舍去）；
综上，𝑎= 1,𝑏= 3或𝑎= 3,𝑏= 1．
▌对点练7-1 （25-26 七年级下·河北承德·阶段检测）按要求解答下列各题：
(1)列式：设𝑎𝑏𝑐是一个三位数，则𝑎𝑏𝑐用含𝑎，𝑏，𝑐的代数式表示为______；
(2)定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作
顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数：______；
(3)推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3 整除．设𝑎𝑏𝑐 (1 ≤𝑎≤7)是一个顺子数．
①请用含𝑎的代数式表示𝑏和𝑐；
②通过整式的运算，证明上述发现的结论．
【答案】(1)100𝑎+ 10𝑏+ 𝑐
(2)789（答案不唯一）
(3)①𝑏= 𝑎+ 1，𝑐= 𝑎+ 2；
②证明：100𝑎+ 10𝑏+ 𝑐
= 100𝑎+ 10(𝑎+ 1) + (𝑎+ 2)
= 100𝑎+ 10𝑎+ 10 + 𝑎+ 2
= 111𝑎+ 12
= 3(37𝑎+ 4)，
∵1 ≤𝑎≤7，𝑎为正整数，
∴37𝑎+ 4为整数，
∴顺子数都可以被3 整除．
解题贴士
根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数
相隔1，上下相邻的数相隔7．
【分析】（1）根据多位数的表示方法列出含a，b，c 的代数式即可；
（2）根据顺子数的定义，写出一个顺子数即可；
（3）①根据顺子数的定义，百位数为a，十位数为𝑎+ 1，个位数为𝑎+ 2可得到结果；
②把顺子数表示为100𝑎+ 10(𝑎+ 1) + (𝑎+ 2)，整理为3(37𝑎+ 4)，证得结论．
【详解】（1）解：三位数𝑎𝑏𝑐可表示为：100𝑎+ 10𝑏+ 𝑐；
（2）解：根据题意一个顺子数为：789（答案不唯一）；
（3）解：①∵三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，
∴𝑏= 𝑎+ 1，𝑐= 𝑎+ 2；
②略
▌对点练7-2 （25-26 七年级下·北京·期末）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课
上，同学们探究类似填幻方的数字游戏．将数字1，2，3，4，5，6 填入如图所示的“□”中，每个数字只用
一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等．记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题：
(1)如图1，图中已填好了四个数，请将图1 补充完整，并直接写出S 的值；
(2)如图2，中间三个“□”中的数字分别为a，b，𝑎+ 𝑏−3．为了求出𝑎+ 𝑏的值，同学们展开了讨论：
小明说：由所填的数只能在1 和6 之间，可得关于𝑎+ 𝑏的不等式，进而可求出
𝑎+ 𝑏的值；
小林说：观察整个图形，找到S 与𝑎+ 𝑏的关系，进而求出𝑎+ 𝑏的值．
请结合同学们的讨论和你的思考，求出𝑎+ 𝑏的值．
【答案】(1)如图所示：
，𝑆= 12
(2)6 或9
【分析】（1）根据下方两个圆圈上已填的数字和分别为8 与7，要填的两个数字为4 与5，据此左边要填
的数字为4，右边要填的数字为5，即可补充图，并求得S；
（2）三个圆圈上的所有数字和为3𝑆= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 𝑎+ 𝑏+ (𝑎+ 𝑏−3)，即𝑆= 6 +
2
3(𝑎+ 𝑏)，根
据𝑎，𝑏取值即可确定𝑎+ 𝑏的值．
【详解】（1）解：图略；
𝑆= 2 + 6 + 4 = 12；
（2）解：由题意3𝑆= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 𝑎+ 𝑏+ (𝑎+ 𝑏−3) = 18 + 2(𝑎+ 𝑏)，
∴𝑆= 6 +
2
3(𝑎+ 𝑏)，
∵a，b 为1 到6 中某两个数，
∴a，b 最小取1，2，最大取5，6，
∴3 ≤𝑎+ 𝑏≤11，
∵𝑎+ 𝑏−3 > 0，
∴3 < 𝑎+ 𝑏≤11，
∴S 为整数，
∴𝑎+ 𝑏是3 的倍数，
∴𝑎+ 𝑏= 6或9．
▌对点练7-3（25-26 七年级上·河北保定·期末）【问题发现】如图①是2026 年1 月的日历，用“目”字形阴
影框中的三个数字均满足“三个数字之和是中间数字的3 倍”理由如下：设中间数为𝑥，则“目”字框中最上面
的数表示为(𝑥−7)，最下面的数表示为(𝑥+ 7)，三个数字之和为(𝑥−7) + 𝑥+ (𝑥+ 7) = 3𝑥，所以“目”字框中
三个数之和是中间数的3 倍．
【类比联想】请根据上面的探究过程，猜想图②的“𝑍”字形阴影框中日历中的五个数，这五个数从小到大依
次为𝐴、𝐵、𝐶、𝐷、𝐸．
(1)若日历中用“𝑍”字形框中五个数，其中最小的数是1，则“𝑍”字形框中的五个数之和为_______．
(2)在日历中将“𝑍”字形框上下左右移动，框中日历表中的五个数字之和能被5 整除吗？通过计算说明理由．
(3)【类比探究】请你根据上述探究过程，猜想图中由8 × 4个数字组成的偶数方阵中任意“十”字框中的5 个
数字之和𝑏与框中心的数字𝑎的关系为__________________．
【答案】(1)45
(2)能，理由见解析
(3)𝑏= 5𝑎
【分析】本题考查了整式的加减法运算，以及代数式的化简运算，解决本题的关键是读懂题意并由其中一
个数字表示出另外一个数字．
（1）根据“𝑍”字形框中最小的数是1，可得到其余四个数字，再由加法运算求解即可．
（2）设“𝑍”字形框中最小的数为x，再表示出其余四个数字，由加法运算后判断即可．
（3）由“十”字框的框中心的数字𝑎，分别表示出其余四个数字，再由运算求解关系即可．
【详解】（1）解：用“𝑍”字形框中五个数，其中最小的数是1，
则这五个数分别为1,2,9,16,17，
故这五个数之和为1 + 2 + 9 + 16 + 17 = 45．
故答案为：45．
（2）解：能，理由如下：
设“𝑍”字形框中最小的数为x，则其余四个数字为𝑥+ 1,𝑥+ 8,𝑥+ 15,𝑥+ 16，
这五个数之和为𝑥+ 𝑥+ 1 + 𝑥+ 8 + 𝑥+ 15 + 𝑥+ 16 = 5𝑥+ 40 = 5(𝑥+ 8)，
∵5(𝑥+ 8)是5 的倍数，
∴框中日历表中的五个数字之和能被5 整除．
（3）解：“十”字框中框中心的数字𝑎，
则框中心上方的数字𝑎−16，框中心下方的数字𝑎+ 16，框中心左方的数字𝑎−2，框中心右方的数字𝑎+ 2，
∴“十”字框中的5 个数字之和𝑏= 𝑎+ 𝑎−16 + 𝑎+ 16 + 𝑎−2 + 𝑎+ 2 = 5𝑎，
∴“十”字框中的5 个数字之和𝑏与框中心的数字𝑎的关系为𝑏= 5𝑎．
故答案为：𝑏= 5𝑎．
题型八 利用整式加减进行新定义运算
▌例8【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题：
一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0 时，式子的
值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子𝑎𝑏𝑐中任意两个字母交换位置，可得到式子𝑏𝑎𝑐,𝑎𝑐𝑏,𝑐𝑏𝑎，因
为𝑎𝑏𝑐= 𝑏𝑎𝑐= 𝑎𝑐𝑏= 𝑐𝑏𝑎，所以𝑎𝑏𝑐是对称式．而式子𝑎−𝑏中的字母a，b 交换位置，得到式子𝑏−𝑎，但是
𝑎−𝑏≠𝑏−𝑎，所以𝑎−𝑏不是对称式．
(1)下列式子：①𝑎+ 𝑏+ 𝑐；②𝑎2𝑏；③𝑎2 + 𝑏2，其中是对称式的是
（填序号）．
(2)①写出一个系数为−2，只含有字母a，b 且次数为8 的单项式，使该单项式是对称式；
②写出一个只含有字母a，b 的三次三项式，使该多项式是对称式；
(3)已知 𝐴= 𝑎2𝑏−2𝑏2𝑐+
2
5𝑎𝑐2， 𝐵= 𝑎2𝑏−4𝑏2𝑐 ，求5𝐴−3𝐵，并判断所得结果是否是对称式．
【答案】(1)①③
(2)①−2𝑎4𝑏4；②𝑎2𝑏+ 𝑎𝑏2 +1（答案不唯一）
(3)5𝐴−3𝐵= 2𝑎2𝑏+ 2𝑏2𝑐+ 2𝑎𝑐2，不是对称式
【分析】（1）根据对称式的含义即可作出判断；
（2）根据对称式的含义及单项式的定义即可完成；
（3）去括号合并同类项即可求得5𝐴−3𝐵，根据对称式的含义判断是否是对称式即可．
【详解】（1）解：∵𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 𝑏+ 𝑎+ 𝑐= 𝑎+ 𝑐+ 𝑏= 𝑐+ 𝑏+ 𝑎，
∴𝑎+ 𝑏+ 𝑐是对称式；
∵𝑎2𝑏≠𝑏2𝑎，
∴𝑎2𝑏不是对称式；
∵𝑎2 + 𝑏2 = 𝑏2 + 𝑎2，
∴𝑎2 + 𝑏2是对称式；
即其中是对称式的是①③；
（2）解：①根据题意得：该单项式是−2𝑎4𝑏4；
②根据题意得：该多项式可以为𝑎2𝑏+ 𝑎𝑏2 +1；
（3）解：∵𝐴= 𝑎2𝑏−2𝑏2𝑐+
2
5𝑎𝑐2， 𝐵= 𝑎2𝑏−4𝑏2𝑐 ，
∴5𝐴−3𝐵
= 5 𝑎2𝑏−2𝑏2𝑐+
2
5 𝑎𝑐2 −3(𝑎2𝑏−4𝑏2𝑐)
= 5𝑎2𝑏−10𝑏2𝑐+ 2𝑎𝑐2−3𝑎2𝑏+ 12𝑏2𝑐
= 2𝑎2𝑏+ 2𝑏2𝑐+ 2𝑎𝑐2，
∵2𝑎2𝑏+ 2𝑏2𝑐+ 2𝑎𝑐2 ≠2𝑎2𝑐+ 2𝑐2𝑏+ 2𝑎𝑏2，
∴所得结果不是对称式．
▌对点练8-1 （24-25 七年级上·河北沧州·阶段检测）定义一种新运算：对于任意有理数𝑚，𝑛都有
𝑚◆𝑛= 2𝑚−3𝑛，例如：3◆2 = 2 × 3−3 × 2 = 0．
(1)直接写出(−2)◆2的值；
(2)先化简，再求值：(𝑎+ 2𝑏)◆(𝑎−3𝑏)，其中𝑎= 2◆3，𝑏= (−1)◆1．
【答案】(1)−10
(2)−𝑎+ 13𝑏，−60
【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键．
（1）根据新定义运算计算即可求解；
（2）先根据新定义运算法则计算出𝑎,𝑏的值，再根据新定义运算计算即可求解．
【详解】（1）解：(−2)◆2 = 2 × (−2)−3 × 2 = −4−6 = −10；
（2）解：𝑎= 2◆3 = 2 × 2−3 × 3 = −5，𝑏= (−1)◆1 = 2 × (−1)−3 × 1 = −5
(𝑎+ 2𝑏)◆(𝑎−3𝑏)
= 2(𝑎+ 2𝑏)−3(𝑎−3𝑏)
= 2𝑎+ 4𝑏−3𝑎+ 9𝑏
= −𝑎+ 13𝑏
所以，原式= −𝑎+ 13𝑏= −(−5) +13 × (−5) = −60
解题贴士
将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去
括号．
▌对点练8-2 对于有理数𝑎,𝑏，定义了一种新运算“※”为：𝑎※𝑏 =
3𝑎−2𝑏(𝑎≥𝑏)
2𝑎−
2
3 𝑏(𝑎＜𝑏)
，
如：5※3 = 3 × 5−2 × 3 = 9，1※3 = 2 × 1−
2
3 × 3 = 0 ，
(1)计算：①3※(−2) = ；②(−5)※(−4) = ．
(2)若𝑓(𝑥) = (𝑥−2)※3 + 4 ，且𝑥< 3，求𝑓(𝑥)的表达式．
(3)若𝐴= −𝑥3−2𝑥2 +7 ，𝐵= −𝑥3−3𝑥2 +1 ，且𝐴※𝐵= 11 ，求2𝑥3 +4𝑥 的值．
【答案】(1)13；−
22
3
(2)𝑓(𝑥) = 2𝑥−2
(3)24
【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可；
（2）根据𝑥< 3得𝑥−2 < 3，进而根据新定义的运算方法进行计算即可；
（3）利用作差法比较𝐴,𝐵的大小关系，根据新定义的运算方法进行计算求解即可.
【详解】（1）解：①3※(−2) = 3 × 3−2 × (−2) = 13 ；
②(−5)※(−4) = 2 × (−5)−
2
3 × (−4) = −10 +
8
3 = −
22
3 ；
（2）解：∵𝑥< 3，
∴𝑥−2 < 1 < 3，
∴𝑥−2 < 3 ，
∴𝑓(𝑥) = (𝑥−2)※3 + 4
= 2(𝑥−2)−
2
3 × 3 + 4
= 2𝑥−2；
（3）解：∵𝐴= −𝑥3−2𝑥2 +7 ，𝐵= −𝑥3−3𝑥2 +1 ，
∴𝐴−𝐵= 𝑥2 +6 > 0 ，
∴𝐴> 𝐵 ，
∵𝐴※𝐵= 11 ，
∴3(−𝑥3−2𝑥2 + 7)−2(−𝑥3−3𝑥2 + 1) = 11 ，
解得𝑥= 2，
∴2𝑥3 +4𝑥= 2 × 23 +4 × 2 = 24 .
▌对点练8-3（25-26 七年级上·北京通州·期中）给定有理数𝑎，𝑏，对整式𝐴，𝐵，定义新运算“ ⊕”：
𝐴⊕𝐵= 𝑎𝐴+ 𝑏𝐵；对正整数𝑛(𝑛≥2)和整式𝐴，定义新运算“ ⊗”：𝑛⊗𝐴= 𝐴⊕𝐴⊕⋯⊕𝐴
𝑛个𝐴
（按从左到右
的顺序依次做“ ⊕”运算）．特别地，1 ⊗𝐴= 𝐴．
例如，当𝑎= 1，𝑏= 2时，若𝐴= 𝑥，𝐵= −𝑦，则𝐴⊕𝐵= 𝐴+ 2𝐵= 𝑥−2𝑦，2 ⊗𝐴= 𝐴⊕𝐴= 3𝑥．
(1)当𝑎= 2，𝑏= 1时，若𝐴= 𝑥+ 𝑦，𝐵= 𝑥−2𝑦，则𝐴⊕𝐵= _____，3 ⊗𝐵= _____．
(2)对每一个正整数𝑛和整式𝐴，均有𝑛⊗𝐴= 𝐴，直接写出𝑎，𝑏满足的关系；
(3)当𝑎= 2，𝑏= 1时，若𝐴= 3𝑥2 +15𝑥𝑦，𝐵= 2𝑥2−62𝑥𝑦−𝑦2，𝑝，𝑞是正整数，令𝑃= 𝑝⊗𝐴，𝑄= 𝑞⊗𝐵，
且𝑃⊕𝑄不含𝑥𝑦项，直接写出𝑝和𝑞的值．
【答案】(1)3𝑥，7𝑥−14𝑦
(2)𝑎+ 𝑏= 1
(3)𝑝= 5,𝑞= 4
【分析】本题主要考查了新运算的定义、指数运算、数字规律、整式运算等知识点，熟练掌握新运算的理
解和相关运算法则是解题的关键．
（1）根据新定义直接代入化简即可；
（2）将𝑛⊗𝐴根据不同的n 值运算展开发现规律，据此确定𝑎，𝑏满足的关系；
（3）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有𝑥𝑦的项的系数为0，然后列举验证，找出正
整数的解即可．
【详解】（1）解：当𝑎= 2，𝑏= 1时，若𝐴= 𝑥+ 𝑦，𝐵= 𝑥−2𝑦，
∴𝐴⊕𝐵= 𝑎𝐴+ 𝑏𝐵= 2(𝑥+ 𝑦) +1(𝑥−2𝑦) = 2𝑥+ 2𝑦+ 𝑥−2𝑦= 3𝑥，
∴3 ⊗𝐵= 𝐵⊕𝐵⊕𝐵
= [2(𝑥−2𝑦) + 1(𝑥−2𝑦)] ⊕(𝑥−2𝑦)
= (3𝑥−6𝑦) ⊕(𝑥−2𝑦)
= 2(3𝑥−6𝑦) + (𝑥−2𝑦)
= 6𝑥−12𝑦+ 𝑥−2𝑦
= 7𝑥−14𝑦．
故答案为：3𝑥，7𝑥−14𝑦．
（2）解：要使对每一个正整数n 和整式A，均有𝑛⊗𝐴= 𝐴，我们先分析𝑛⊗𝐴的规律：
当𝑛= 1时，1 ⊗𝐴= 𝐴（符合要求）；
当𝑛= 2时，2 ⊗𝐴= 𝐴⊕𝐴= 𝑎𝐴+ 𝑏𝐴= (𝑎+ 𝑏)𝐴，
由2 ⊗𝐴= 𝐴，得𝑎+ 𝑏= 1；
当𝑛= 3时，
3 ⊗𝐴= (2 ⊗𝐴) ⊕𝐴= (𝑎+ 𝑏)𝐴⊕𝐴= 𝑎× (𝑎+ 𝑏)𝐴+ 𝑏𝐴= (𝑎(𝑎+ 𝑏)+ 𝑏)𝐴，代入𝑎+ 𝑏= 1，得
𝑎× 1 + 𝑏= 𝑎+ 𝑏= 1，即
3 ⊗𝐴= 𝐴；
以此类推，可得𝑎+ 𝑏= 1．
（3）解：分析𝑝⊗𝐴，
当𝑎= 2,𝑏= 1时，2 ⊗𝐴= 𝐴⊕𝐴= 2𝐴+ 𝐴= 3𝐴；
3 ⊗𝐴= (2 ⊗𝐴) ⊕𝐴= 3𝐴⊕𝐴= 2 × (3𝐴) + 𝐴= 7𝐴．
观察规律可得， 𝑝⊗𝐴= (2𝑝−1)𝐴，即𝑃= (2𝑝−1)𝐴
同理，𝑄= 𝑞⊗𝐵= (2𝑞−1)𝐵．
∴𝑃⊕𝑄= 2𝑃+ 𝑄= 2(2𝑝−1)𝐴+ (2𝑞−1)𝐵
将𝐴= 3𝑥2 +15𝑥𝑦，𝐵= 2𝑥2−62𝑥𝑦−𝑦2代入， 得：
2(2𝑝−1)𝐴+ (2𝑞−1)𝐵
= 2(2𝑝−1) (3𝑥2 + 15𝑥𝑦) + (2𝑞−1) (2𝑥2−62𝑥𝑦−𝑦2)
= (6 × 2𝑝−6 + 2 × 2𝑞−2)𝑥2 + (30 × 2𝑝−30−62 × 2𝑞+ 62)𝑥𝑦+ (−2𝑞+ 1)𝑦2
= (6 × 2𝑝−6 + 2 × 2𝑞−2)𝑥2 + (30 × 2𝑝−62 × 2𝑞+ 32)𝑥𝑦+ (−2𝑞+ 1)𝑦2，
∵𝑃⊕𝑄不含𝑥𝑦项，
∴30 × 2𝑝−62 × 2𝑞+32 = 0，
∴15 × 2𝑝−31 × 2𝑞+16 = 0，
试𝑞= 2，则31 × 4 = 124,15 × 2𝑝= 124−16 = 108,2𝑝= 108 ÷ 15 = 7.2，不是整数；
试𝑞= 3，则31 × 8 = 248,15 × 2𝑝= 248−16 = 232,2𝑝= 232 ÷ 15 ≈15.47，不是整数；
试𝑞= 4，则31 × 16 = 496,15 × 2𝑝= 496−16 = 480,2𝑝= 480 ÷ 15 = 32,2𝑝= 32，则𝑝= 5；
验证𝑝= 5,𝑞= 4时：
30 × 25−62 × 24 +32 = 30 × 32−62 × 16 + 32 = 960−992 + 32 = 0，符合要求．
所以𝑝= 5,𝑞= 4．
题型九 运用整式的加减解决实际问题
▌例9 新学期学校准备更换校园内垃圾桶，计划采购大小两种型号垃圾桶．大垃圾桶单价𝑚元/个，小垃圾
桶单价比大垃圾桶单价的
1
2多20 元，此次预计采购大垃圾桶5 个，小垃圾桶7 个．
(1)用含𝑚的代数式表示此次购买垃圾桶共付款多少元？
(2)若大垃圾桶单价为120 元/个，学校预算1200 元，是否够用？请说明理由．
【答案】(1)
17
2 𝑚+ 140（元）
(2)解：将𝑚= 120代入得
17
2 × 120 + 140 = 1160（元），
因为1160 < 1200，
所以学校预算够用．
【分析】（1）先根据小垃圾桶单价和大垃圾桶单价的数量关系，用含𝑚的代数式写出小垃圾桶的单价，因
为总付款等于大垃圾桶总费用加上小垃圾桶总费用，所以分别计算两种垃圾桶的总费用后相加，化简得到
总付款的代数式即可；
（2）将𝑚= 120代入第一问得到的总付款代数式，计算出实际总费用，如果计算出的实际总费用小于等于
1200 元，那么预算够用，反之则不够用．
【详解】【小题1】解：5𝑚+ 7
1
2 𝑚+ 20 =
17
2 𝑚+ 140（元）；
【小题2】略．
▌对点练9-1 （25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）为进一步优化校园环境，营造雅致的学习生活氛围，
学校计划在勤业楼前修建一块凹字形花坛，专门用于种植麦冬草如图是计划修建的一块凹字形花坛．(单位：
米)
(1)用含𝑎，𝑏的代数式表示花坛的周长：
(2)当𝑎= 2，𝑏= 3时，求花坛的周长．
【答案】(1)16𝑎+ 8𝑏
(2)56 米
【分析】此题考查列代数式，已知字母的值求代数式的值，
（1）分别计算各边的长，由此得到图形的周长；
（2）将字母的值代入（1）的结果计算即可
【详解】（1）解：由题意可知：花坛上边长为𝑎+ 3𝑏+ 𝑎= 2𝑎+ 3𝑏，
下边长为2𝑎+ 3𝑏，
左右两边宽为2(3𝑎+ 𝑏)，
解题贴士
有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法
则计算出最后的结果.
内宽为2 × 3𝑎= 6𝑎，
花坛的周长= 2(2𝑎+ 3𝑏) +2(3𝑎+ 𝑏) +6𝑎
= 4𝑎+ 6𝑏+ 6𝑎+ 2𝑏+ 6𝑎= 16𝑎+ 8𝑏．
（2）当𝑎= 2，𝑏= 3时，
花坛的周长为：16𝑎+ 8𝑏= 16 × 2 + 8 × 3 = 32 + 24 = 56（米）．
所以花坛周长为56 米．
▌对点练9-2 （25-26 七年级上·江苏徐州·期中）对联是中华传统文化的瑰宝，对联（阴影部分）装裱后，
如图所示，上下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为侧边，一般情况下，天头长是对联长的
1
4，地头长是天头长的
2
3，侧边宽是天头长的
1
3，左右的侧边宽相等．若某副对联长为𝑚cm，宽为𝑛cm．
(1)天头长＝______；地头长＝______；侧边宽＝______；
(2)求这幅对联装裱后的周长（用含m、n 代数式表示）；
(3)若𝑚= 120，𝑛= 25，求这幅对联装裱后的面积．
【答案】(1)
1
4𝑚，
1
6𝑚，
1
12𝑚
(2)
19
6 𝑚+ 2𝑛
(3)7650cm2
【分析】本题考查整式加减的应用；
（1）根据“天头长是对联长的
1
4，地头长是天头长的
2
3，侧边宽是天头长的
1
3”列代数式即可；
（2）表示出装裱后的长和宽，再求周长即可；
（3）把𝑚= 120，𝑛= 25，代入求出装裱后的长和宽，最后求面积即可．
【详解】（1）解：∵天头长是对联长的
1
4，地头长是天头长的
2
3，侧边宽是天头长的
1
3，
∴天头长=
1
4𝑚；地头长=
1
4𝑚×
2
3 =
1
6𝑚；侧边宽=
1
4𝑚×
1
3 =
1
12𝑚，
故答案为：
1
4𝑚，
1
6𝑚，
1
12𝑚；
（2）解：装裱后的长=
1
4𝑚+ 𝑚+
1
6𝑚 =
17
12𝑚，
装裱后的宽= 𝑛+
1
12𝑚+
1
12𝑚= 𝑛+
1
6𝑚，
装裱后的周长= 2
17
12 𝑚+ (𝑛+
1
6 𝑚) =
19
6 𝑚+ 2𝑛；
（3）解：当𝑚= 120，𝑛= 25时，
17
12𝑚⋅(𝑛+
1
6𝑚) =
17
12 × 120 × (25 +
1
6 × 120) = 7650cm2
答：这幅对联装裱后的面积为7650cm2．
▌对点练9-3 某学校为了全面提高学生的综合素养，组织了音乐，朗诵，舞蹈，美术共四个社团，学生积极
参加（每个学生限报一项），参加社团的学生共有（6x﹣2y）人，其中音乐社团有x 人参加，朗诵社团的人
数比音乐社团人数的两倍少y 人，舞蹈社团的人数比朗诵社团人数的一半多3 人．
（1）参加朗诵社团有
人；（用含x，y 的式子表示）
（2）求朗诵社团比舞蹈社团多多少人？（用含x，y 的式子表示）
（3）求美术社团有多少人？（用含x，y 的式子表示）
（4）若x＝65，y＝40，求美术社团的人数．
【分析】（1）根据朗诵社团与音乐社团的人数的等量关系可得答案；
（2）根据舞蹈社团与朗诵社团人数的等量关系，求出参加舞蹈社团的人数，再根据整式的加减运算法则可
得答案；
（3）先根据整式的加减运算法则，用x，y 表示出参加美术社团的人数；
（4）再将x，y 的值代入计算美术社团的人数即可．
【详解】解：（1）∵音乐社团有x 人参加，朗诵社团的人数比音乐社团的人数的两倍少y 人，
∴参加朗诵社团的人数为（2x﹣y）人；
（2）∵舞蹈社团的人数比朗诵社团人数一半多3 人，
由（1）知，参加朗诵社团的人数为（2x﹣y）人，
∴参加舞蹈社团的人数为1
2（2x﹣y）+3＝（x−1
2y+3）人，
∵2x﹣y﹣（x−1
2y+3）
＝2x﹣y﹣x + 1
2y﹣3
＝x−1
2y﹣3，
∴朗诵社团比舞蹈社团多（x−1
2y﹣3）人；
（3）∵6x﹣2y﹣x﹣（2x﹣y）﹣（x−1
2y+3）
＝6x﹣2y﹣x﹣2x+y﹣x + 1
2y﹣3
＝2x−1
2y﹣3，
∴参加美术社团的人数为（2x−1
2y﹣3）人；
（4）当x＝65，y＝40 时，
2x−1
2y﹣3
＝2×65−1
2 × 40﹣3
＝107．
∴美术社团的人数为107 人．
【点睛】本题考查整式的加减、列代数式，掌握运算法则是关键．
基础通关
1．（23-24 七年级上·上海·阶段检测）一个四次整式与一个五次整式相加，其结果是（ ）
A．四次整式
B．五次整式
C．不高于四次的整式
D．不低于四次的整式
【答案】B
【分析】依据多项式次数的定义，即多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，只需判断相加后最高次
项是否存在即可．
【详解】解：∵五次整式的定义是最高次项为五次项，且五次项系数不为0，
又∵四次整式最高次为四次，不含五次项，
∴两个整式相加后，结果中五次项系数仍不为0，最高次仍为五次，
∴结果是五次整式．
8．（24-25 七年级上·江苏盐城·期中）一多项式与2𝑎2 +3𝑎−7的和为−𝑎2 +4𝑎−9，则这个多项式为（ ）
A．−𝑎2−𝑎+ 2
B．−𝑎2−7𝑎+ 16
C．−3𝑎2 +𝑎−2
D．3𝑎2−𝑎+ 2
【答案】C
【分析】此题考查了整式的加减，根据题意列出关系式−𝑎2 +4𝑎−9−(2𝑎2 + 3𝑎−7)，然后去括号，合并同
类项即可得到结果，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得−𝑎2 +4𝑎−9−(2𝑎2 + 3𝑎−7)
= −𝑎2 + 4𝑎−9−2𝑎2−3𝑎+ 7
= −3𝑎2 +𝑎−2，
故选：C．
9．（25-26 七年级上·陕西西安·期末）已知𝐴= −6𝑥2 +3𝑥，𝐵= 4𝑥2−5𝑥，且𝐶−𝐴= 2𝐵，则C 的表达式是
（ ）
A．−2𝑥2−2𝑥
B．8𝑥2 +𝑥
C．−14𝑥2 +13𝑥
D．2𝑥2−7𝑥
【答案】D
【分析】本题考查整式的加减运算，先通过等式变形得到𝐶= 𝐴+ 2𝐵，再代入𝐴、𝐵的表达式，利用去括号、
合并同类项法则计算即可．
【详解】解：∵𝐶−𝐴= 2𝐵，
∴𝐶= 𝐴+ 2𝐵，
又∵𝐴= −6𝑥2 +3𝑥，𝐵= 4𝑥2−5𝑥，
∴2𝐵= 2(4𝑥2−5𝑥) = 8𝑥2−10𝑥，
∴𝐶= (−6𝑥2 +3𝑥) + (8𝑥2−10𝑥) = −6𝑥2 +3𝑥+ 8𝑥2−10𝑥= (−6𝑥2 +8𝑥2) + (3𝑥−10𝑥) = 2𝑥2−7𝑥，
故选：D．
11．（25-26 七年级上·四川绵阳·期末）对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：
𝑎𝑐
𝑏𝑑= 𝑎2 + 𝑏2
−𝑐𝑑．则
2𝑥−𝑦
3𝑥−𝑦
𝑦
𝑥−𝑦的计算结果是（ ）
A．𝑥2 + 𝑦2−𝑥𝑦
B．𝑥2 + 𝑦2
C．𝑥2−𝑦2
D．𝑥2 +2𝑦2
【答案】B
【分析】本题考查整式的混合运算，理解新运算法则是解答的关键．根据新运算的法则，列式计算即可．
【详解】解：原式= (2𝑥−𝑦)2 + 𝑦2−(3𝑥−𝑦)(𝑥−𝑦)
= (4𝑥2−4𝑥𝑦+ 𝑦2) + 𝑦2−(3𝑥2−4𝑥𝑦+ 𝑦2)
= 4𝑥2−4𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑦2−3𝑥2 + 4𝑥𝑦−𝑦2
= (4𝑥2−3𝑥2) + (−4𝑥𝑦+ 4𝑥𝑦) + (𝑦2 + 𝑦2−𝑦2)
= 𝑥2 + 𝑦2
故选B．
17．（25-26 七年级上·山东临沂·阶段检测）已知𝑎+ 𝑏= 7，𝑎𝑏= 10，则代数式(5𝑎𝑏+ 4𝑎+ 7𝑏) + (3𝑎−4𝑎𝑏)
的值为（
）
A．59
B．62
C．77
D．139
【答案】A
【分析】本题考查代数式的化简求值，运用整体代入思想简化计算，首先去括号，合并同类项将原代数式
化简，再将所求代数式化成用(𝑎+ 𝑏)与𝑎𝑏表示的形式，然后把已知代入即可求解．
【详解】解：∵(5𝑎𝑏+ 4𝑎+ 7𝑏) + (3𝑎−4𝑎𝑏)
= 5𝑎𝑏+ 4𝑎+ 7𝑏+ 3𝑎−4𝑎𝑏
= 𝑎𝑏+ 7𝑎+ 7𝑏
= 𝑎𝑏+ 7(𝑎+ 𝑏)
∴当𝑎+ 𝑏= 7，𝑎𝑏= 10时
原式= 10 + 7 × 7 = 59．
故选：A．
6．（22-23 七年级上·全国·期末）当𝑚> 6时，化简|𝑚−1|−3|5−𝑚| +2|𝑚−6|得（ ）．
A．6𝑚−28
B．2𝑚−4
C．2
D．−8
【答案】C
【分析】
由已知𝑚> 6，可得出𝑚−1 > 0，5−𝑚< 0，𝑚−6 > 0，再去绝对值，然后去括号、合并同类项即可解答．
【详解】解：∵𝑚> 6，
∴𝑚−1 > 0，5−𝑚< 0，𝑚−6 > 0，
∴|𝑚−1|−3|5−𝑚| +2|𝑚−6|
= 𝑚−1−3(𝑚−5) + 2(𝑚−6)
= 𝑚−1−3𝑚+ 15 + 2𝑚−12
= 2．
素养提升
7．（25-26 七年级上·浙江嘉兴·期末）小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于𝑥的多项式5𝑥2 +2𝑝𝑥+ 𝑞
𝑥2−4𝑥+ 6的值与𝑥的取值无关，求𝑝+ 𝑞的值．”，则𝑝+ 𝑞= （ ）
A．1
B．−3
C．0
D．−5
【答案】B
【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值，把所给多项式合并同类项，再根据多项
式的值与x 的取值无关得到含x 的项的系数为0，据此求出p、q 的值即可得到答案．
【详解】解：5𝑥2 +2𝑝𝑥+ 𝑞𝑥2−4𝑥+ 6 = (5 + 𝑞)𝑥2 + (2𝑝−4)𝑥+ 6．
∵关于𝑥的多项式5𝑥2 +2𝑝𝑥+ 𝑞𝑥2−4𝑥+ 6的值与𝑥的取值无关
5 + 𝑞= 0，且2𝑝−4 = 0，
∴𝑞= −5，𝑝= 2，
∴ 𝑝+ 𝑞= 2 + (−5) = −3，
故选：B．
8．（25-26 七年级下·广东茂名·期末）某客户到商场购买夹克30 件，T 恤x 件（𝑥> 30）．商场有两种优
惠方案：方案一，买一件夹克送一件T 恤；方案二，夹克和T 恤都按定价的九折付款．已知夹克每件200
元，T 恤每件40 元．当𝑥= 50时，选择方案一比方案二节省（ ）
A．200 元
B．240 元
C．300 元
D．400 元
【答案】D
【分析】先求出方案一和方案二的总费用，求差即可解答．
【详解】解：方案一的总费用为200 × 30 + 40(𝑥−30) = 40𝑥+ 4800（元），
当𝑥= 50时，40𝑥+ 4800 = 40 × 50 + 4800 = 6800（元）；
方案二的总费用为90% × 200 × 30 + 90% × 40𝑥= 36𝑥+ 5400（元），
当𝑥= 50时，36𝑥+ 5400 = 36 × 50 + 5400 = 7200（元），
方案一比方案二节省7200−6800 = 400（元）．
9．（25-26 七年级上·陕西安康·期末）若将多项式3𝑥2𝑦2−2𝑥𝑦2 +5𝑥−2的次数记为𝑎，三次项的系数记为𝑏，
常数项记为𝑐，则代数式2(𝑏2−2𝑎𝑐)−3𝑏2 +5𝑎𝑐的值为_____．
【答案】−12
【分析】本题主要考查了多项式的相关定义，代数式求值，根据多项式各项的次数确定最高次数为4，即𝑎= 4；
识别三次项及其系数为−2，即𝑏= −2；常数项为−2，即𝑐= −2，将a、b、c 代入代数式并化简计算即可．
【详解】解：多项式 3𝑥2𝑦2−2𝑥𝑦2 +5𝑥−2中，项3𝑥2𝑦2的次数为2 + 2 = 4，是最高次数，故𝑎= 4；
项−2𝑥𝑦2的次数为1 + 2 = 3，系数为−2，故𝑏= −2；
常数项为−2，故𝑐= −2；
代数式2(𝑏2−2𝑎𝑐)−3𝑏2 +5𝑎𝑐化简为：2𝑏2−4𝑎𝑐−3𝑏2 +5𝑎𝑐= −𝑏2 +𝑎𝑐，
代入𝑎= 4，𝑏= −2，𝑐= −2，得：
−(−2)2 +4 × (−2) = −4 + (−8) = −12．
故答案为：−12．
10．（25-26 七年级上·江苏南通·期中）若3𝑚−2𝑛= −3，𝑚𝑛= −1，则代数式3(𝑚−𝑛)−(2𝑚𝑛−𝑛)的值为
__________．
【答案】−1
【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或
代数式的值代入计算．
先去括号合并同类项，再代入已知条件计算即可．
【详解】3(𝑚−𝑛)−(2𝑚𝑛−𝑛)
= 3𝑚−3𝑛−2𝑚𝑛+ 𝑛
= 3𝑚−2𝑛−2𝑚𝑛，
∵3𝑚−2𝑛= −3，𝑚𝑛= −1，
∴原式= −3−2 × (−1) = −3 + 2 = −1，
故答案为：−1．
11．（23-24 六年级上·山东烟台·阶段检测）若代数式𝐴= 3𝑥m−1𝑦8 +6， 𝐵= 𝑠𝑦𝑛+2𝑥3−4，且𝐴+ 𝐵= 2，
则𝑚+ 𝑛+ 𝑠的值_____．
【答案】7
【分析】先由题意得到3𝑥m−1𝑦8 +6 + 𝑠𝑦𝑛+2𝑥3−4 = 2，继而确定3𝑥m−1𝑦8与𝑠𝑦𝑛+2𝑥3是同类项，再由同类项
的定义求出𝑚,𝑛,𝑠的值，即可求解𝑚+ 𝑛+ 𝑠．
【详解】解：∵𝐴= 3𝑥m−1𝑦8 +6， 𝐵= 𝑠𝑦𝑛+2𝑥3−4，且𝐴+ 𝐵= 2
∴3𝑥m−1𝑦8 +6 + 𝑠𝑦𝑛+2𝑥3−4 = 2，
∴3𝑥m−1𝑦8 +𝑠𝑦𝑛+2𝑥3 = 0，
∴3𝑥m−1𝑦8与𝑠𝑦𝑛+2𝑥3是同类项，
∴𝑠+ 3 = 0,𝑚−1 = 3,𝑛+ 2 = 8，
∴𝑠= −3,𝑚= 4,𝑛= 6，
∴𝑚+ 𝑛+ 𝑠= 4 + 6 + (−3) = 7．
12．如图，从边长为(𝑎+ 1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(𝑎−1)cm的正方形(𝑎> 1)，剩余部分沿虚线
又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的长为__________．
【答案】2𝑎cm
【分析】根据拼图的过程可得出长方形的长即可．
【详解】解：由拼图可知，长方形的长为：(𝑎+ 1) + (𝑎−1) = 2𝑎cm．
13．（2026·四川成都·中考真题）已知𝑎+ 2𝑏= 3，则2(2𝑎−𝑏) +10𝑏+ 4 = _____．
【答案】16
【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将𝑎+ 2𝑏= 3整体代入计算即可．
【详解】解：∵𝑎+ 2𝑏= 3，
∴2(2𝑎−𝑏) +10𝑏+ 4
= 4𝑎−2𝑏+ 10𝑏+ 4
= 4𝑎+ 8𝑏+ 4
= 4(𝑎+ 2𝑏) + 4
= 4 × 3 + 4
= 16．
14．（2025 七年级上·全国·专题练习）计算
(1)3𝑥2−[7𝑥−2(4𝑥+ 2)+ 2𝑥2]−𝑥2；
(2)−(3𝑎2−4𝑎𝑏)−[𝑎2−2(2𝑎2−𝑎𝑏)+ 2𝑎𝑏]．
【答案】(1)𝑥+ 4
(2)0
【分析】本题考查了整式的加减运算，解答时要先去括号，再合并同类项得出结果．
（1）按照去括号和合并同类项的法则计算即可；
（2）按照去括号和合并同类项的法则计算即可．
【详解】（1）解：3𝑥2−[7𝑥−2(4𝑥+ 2)+ 2𝑥2]−𝑥2
= 3𝑥2−(7𝑥−8𝑥−4 + 2𝑥2)−𝑥2
= 3𝑥2−7𝑥+ 8𝑥+ 4−2𝑥2−𝑥2
= 𝑥+ 4；
（2）解：−(3𝑎2−4𝑎𝑏)−[𝑎2−2(2𝑎2−𝑎𝑏)+ 2𝑎𝑏]
= −3𝑎2 + 4𝑎𝑏−𝑎2 + 2(2𝑎2−𝑎𝑏)−2𝑎𝑏
= −3𝑎2 + 4𝑎𝑏−𝑎2 + 4𝑎2−2𝑎𝑏−2𝑎𝑏
= 0．
15．（24-25 七年级上·云南昆明·期中）（1）先化简，再求值：3𝑥−2 𝑥−
1
3 𝑦2 +
1
3 𝑦2−2𝑥，其中𝑥= −2，
𝑦=
2
3．
（2）已知𝑎2 +𝑎𝑏= 3，𝑎𝑏+ 𝑏2 = 1，试求𝑎2 +2𝑎𝑏+ 𝑏2，𝑎2−𝑏2的值．
【答案】（1）−𝑥+ 𝑦2，2
4
9；（2）𝑎2 +2𝑎𝑏+ 𝑏2 = 4，𝑎2−𝑏2 = 2
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，代数式求值，添括号：
（1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可；
（2）𝑎2 +2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎2 + 𝑎𝑏) + (𝑎𝑏+ 𝑏2)，𝑎2−𝑏2 = (𝑎2 + 𝑎𝑏)−(𝑎𝑏+ 𝑏2)，据此代值计算即可．
【详解】解：（1）3𝑥−2 𝑥−
1
3 𝑦2 +
1
3 𝑦2−2𝑥
= 3𝑥−2𝑥+ 2
3 𝑦2 + 1
3 𝑦2−2𝑥
= −𝑥+ 𝑦2，
当𝑥= −2，𝑦=
2
3时，原式= −(−2) +
2
3
2
= 2 +
4
9 = 2
4
9；
（2）∵𝑎2 +𝑎𝑏= 3，𝑎𝑏+ 𝑏2 = 1，
∴𝑎2 +2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎2 + 𝑎𝑏) + (𝑎𝑏+ 𝑏2) = 1 + 3 = 4，
𝑎2−𝑏2 = (𝑎2 + 𝑎𝑏)−(𝑎𝑏+ 𝑏2) = 3−1 = 2．
迁移创新
16．（25-26 七年级上·江西吉安·期末）已知𝐴= 2𝑥2 +3𝑥𝑦−𝑦，小明在计算2𝐴−𝐵时，误将其按2𝐴+ 𝐵计算，
结果得到6𝑥2 +4𝑥𝑦−2𝑦．
(1)求多项式𝐵；
(2)2𝐴−𝐵的正确结果是多少？
【答案】(1)𝐵= 2𝑥2−2𝑥𝑦
(2)2𝐴−𝐵= 2𝑥2 +8𝑥𝑦−2𝑦
【分析】（1）根据𝐵= (2𝐴+ 𝐵)−2𝐴代入计算即可；
（2）直接代入计算即可．
【详解】（1）解：（1）𝐵= (2𝐴+ 𝐵)−2𝐴
= 6𝑥2 + 4𝑥𝑦−2𝑦−2(2𝑥2 + 3𝑥𝑦−𝑦)
= 6𝑥2 + 4𝑥𝑦−2𝑦−4𝑥2−6𝑥𝑦+ 2𝑦
= 2𝑥2−2𝑥𝑦；
（2）解：2𝐴−𝐵
= 2(2𝑥2 + 3𝑥𝑦−𝑦)−(2𝑥2−2𝑥𝑦)
= 4𝑥2 + 6𝑥𝑦−2𝑦−2𝑥2 + 2𝑥𝑦
= 2𝑥2 +8𝑥𝑦−2𝑦．
17．（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）已知有理数𝑎，𝑏在数轴上对应位置如图．
(1)用“ > ”或“ < ”填空：1−𝑏______0，𝑎+ 1______0；
(2)比较𝑎，𝑏，−𝑎，−𝑏的大小(用“ < ”把它们连接起来)，填写在横线上______；
(3)化简：|1−𝑏|−|𝑎−𝑏| + |𝑎+ 1|．
【答案】(1) < , >
(2)−𝑏< 𝑎< −𝑎< 𝑏
(3)2𝑎
【分析】本题考查了根据数轴判断式子的符号，根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减．
（1）根据数轴上点的位置可得𝑏> 1,−1 < 𝑎，进而可得1−𝑏< 0，𝑎+ 1 > 0；
（2）根据数轴可得𝑏> 1,−1 < 𝑎，进而在数轴上表示出−𝑏,−𝑎，再根据数轴比较大小，即可求解；
（3）根据数轴可得1−𝑏< 0，𝑎+ 1 > 0，𝑎−𝑏< 0，进而化简绝对值，再根据整式的加减化简，即可求解．
【详解】（1）解：根据数轴可得𝑏> 1,−1 < 𝑎，
∴1−𝑏< 0，𝑎+ 1 > 0
故答案为：< , > ．
（2）解：根据数轴可得𝑏> 1,−1 < 𝑎
∴−𝑏< −1,0 < −𝑎< 1
如图
∴−𝑏< 𝑎< −𝑎< 𝑏
（3）解：∵1−𝑏< 0，𝑎+ 1 > 0，𝑎−𝑏< 0，
∴|1−𝑏|−|𝑎−𝑏| + |𝑎+ 1|
= 𝑏−1−(𝑏−𝑎) + 𝑎+ 1
= 𝑏−1−𝑏+ 𝑎+ 𝑎+ 1
= 2𝑎
18．（25-26 七年级下·广西南宁·开学考试）对于两个有理数a，b 的大小比较，有下面的方法：
若𝑎−𝑏> 0，则𝑎> 𝑏；若𝑎−𝑏= 0，则𝑎= 𝑏；若𝑎−𝑏< 0，则𝑎< 𝑏；我们把这种比较两个数大小的方法叫
做“作差法”．
(1)分别求出图1 中长方形的周长𝐶1和图2 中长方形的周长𝐶2；
(2)若𝑎> 𝑏，请用“作差法”比较𝐶1，𝐶2的大小．
【答案】(1)𝐶1 = 8𝑎+ 2𝑏，𝐶2 = 6𝑎+ 4𝑏
(2)𝐶1 > 𝐶2
【分析】（1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答．
（2）根据𝐶1 = 8𝑎+ 2𝑏，𝐶2 = 6𝑎+ 4𝑏，列式𝐶1−𝐶2 = 2𝑎−2𝑏，再结合𝑎> 𝑏，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，长方形A 的周长𝐶1 = (3𝑎−𝑏+ 𝑎+ 2𝑏) × 2 = 8𝑎+ 2𝑏，
长方形B 的周长𝐶2 = (2𝑎+ 𝑏+ 𝑎+ 𝑏) × 2 = 6𝑎+ 4𝑏，
（2）解：由（1）得𝐶1 = 8𝑎+ 2𝑏，𝐶2 = 6𝑎+ 4𝑏，
则𝐶1−𝐶2
= (8𝑎+ 2𝑏)−(6𝑎+ 4𝑏)
= 8𝑎+ 2𝑏−6𝑎−4𝑏
= 2𝑎−2𝑏，
∵𝑎> 𝑏，
∴𝑎−𝑏> 0，
∴𝐶1−𝐶2 = 2𝑎−2𝑏= 2(𝑎−𝑏) > 0，
∴𝐶1 > 𝐶2．
19．（25-26 七年级下·安徽安庆·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为
广泛．如已知𝑎+ 2𝑏= 2，求3𝑎+ 6𝑏−3的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a 与b 的值，但可以将
(𝑎+ 2𝑏)看作一个整体，其值即为2，而3𝑎+ 6𝑏−3 = 3(𝑎+ 2𝑏)−3，将𝑎+ 2𝑏= 2整体代入，即可求得
3𝑎+ 6𝑏−3 = 3 × 2−3 = 3．
(1)已知𝑥2−𝑦= 5，则3𝑥2−3𝑦−5 = ______；
(2)若𝑚+ 3𝑛= −5，求2(3𝑚+ 𝑛)−4(𝑚−𝑛)的值；
(3)设多项式𝐴= 𝑎𝑥2 +4𝑥−1，𝐵= 𝑏𝑥2−𝑐𝑥+ 2，𝐶= 5𝑥2 +𝑑𝑥−𝑦，若𝐴+ 𝐵+ 𝐶的结果与x 的取值无关，求
𝑎+ 𝑏−𝑐+ 𝑑的值．
【答案】(1)10
(2)−10
(3)𝑎+ 𝑏−𝑐+ 𝑑= −9
【分析】（1）将所求代数式变形后整体代入已知条件计算；
（2）先化简代数式，再整体代入已知条件求值；
（3）先计算𝐴+ 𝐵+ 𝐶并合并同类项，根据结果与𝑥取值无关，得到对应𝑥各次项的系数为0，再整体代入计
算所求代数式的值．
【详解】（1）解：∵𝑥2−𝑦= 5，
∴3𝑥2−3𝑦−5 = 3(𝑥2−𝑦)−5 = 3 × 5−5 = 10；
（2）解：2(3𝑚+ 𝑛)−4(𝑚−𝑛) = 6𝑚+ 2𝑛−4𝑚+ 4𝑛= 2𝑚+ 6𝑛= 2(𝑚+ 3𝑛) = 2 × (−5) = −10；
（3）解：𝐴+ 𝐵+ 𝐶
= 𝑎𝑥2 + 4𝑥−1 + 𝑏𝑥2−𝑐𝑥+ 2 + 5𝑥2 + 𝑑𝑥−𝑦
= (𝑎+ 𝑏+ 5)𝑥2 + (4−𝑐+ 𝑑)𝑥−𝑦+ 1，
∵𝐴+ 𝐵+ 𝐶的结果与𝑥的取值无关，
∴𝑎+ 𝑏+ 5 = 0，4−𝑐+ 𝑑= 0，
∴𝑎+ 𝑏= −5，−𝑐+ 𝑑= −4，
∴𝑎+ 𝑏−𝑐+ 𝑑= (𝑎+ 𝑏) + (−𝑐+ 𝑑) = −5−4 = −9．
20．我们规定：使得a﹣b＝2ab 成立的一对数a，b 为“有趣数对”，记为
（a，b）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，
1）都是“有趣数对”．
（1）数对（1，1
3），（1.5，3），（−1
2，﹣1）中，是“有趣数对”的是
；
（2）若（k，﹣3）是“有趣数对”，求k 的值；
（3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mn−1
2m﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2 的值．
【分析】（1）利用“有趣数对”的定义进行判断即可；
（2）利用“有趣数对”的定义列出方程，解方程即可得出结论；
（3）先将代数式化简，再利用“有趣数对”的定义得出m，n 的关系式，最后利用整体代入的方法化简运
算即可．
【详解】解：（1）∵1−1
3 = 2
3，2×1 × 1
3 = 2
3，
∴1−1
3 = 2 × 1 × 1
3，
∴数对（1，1
3）是“有趣数对”；
∵1.5﹣3＝﹣1.5，2×1.5×3＝9，
∴1.5﹣3≠2×1.5×3，
∴数对（1.5，3）不是“有趣数对”；
∵−1
2−（﹣1）= 1
2，2 × (−1
2) × （﹣1）＝1，
∴−1
2−（﹣1）≠2×（−1
2）×1，
∴数对（−1
2，﹣1）不是“有趣数对”．
综上，是“有趣数对”的是（1，1
3），
故答案为：（1，1
3）；
（2）∵（k，﹣3）是“有趣数对”，
∴k﹣（﹣3）＝2×k×（﹣3），
∴k+3＝﹣6k，
∴7k＝﹣3，
∴k = −3
7；
（3）8[3mn−1
2m﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2
＝8（3mn−1
2m﹣2mn+2）﹣12m2+4n+12m2
＝24mn﹣4m﹣16mn+16﹣12m2+4n+12m2
＝8mn﹣4m+4n+16，
∵（m，n）是“有趣数对”，
∴m﹣n＝2mn．
∴原式＝8mn﹣4（m﹣n）+16
＝8mn﹣4×2mn+16
＝8mn﹣8mn+16
＝16．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，整式的加减与化简求值，本题是阅读型题目，理解新定义并熟
练运用是解题的关键．
