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专题27 不等式的基本性质
（题型突破·举一反三）
题型01 不等式的性质
题型02 不等式的性质比较大小（天平）
题型03 不等式的性质比较大小
题型04 比较大小（数轴）
题型05 利用不等式的性质进行证明
题型06 作差法比较大小
题型07 不等式变形为x＞a 或x＜a 的形式
▌题型01 不等式的性质
不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c.
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边
都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
即：如果 a>b，c>0，那么ac>bc 或
𝑎
𝑐＞
𝑏
𝑐；
如果 a>b， c<0，那么ac<bc 或
𝑎
𝑐＜
𝑏
𝑐.
【典例1】（2026 春•皇姑区校级期末）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＞0
B．a+m＞b+m
C．﹣3a＞﹣3b
D．2a＞2b
【分析】根据不等式性质即可解答．
【解答】解：A 选项，若a＜b，则a﹣b＜0，故A 错，
B 选项，若a＜b，则a+m＜b+m，故B 错，
C 选项，若a＜b，则﹣3a＞﹣3b，故C 正确，
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D 选项，若a＜b，则2a＜2b，故D 错．
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•文山市期末）若x＜y，则下列不等式不正确的是（ ）
A．x+5＜y+5
B．x﹣1＜y﹣1
C．
𝑥
2 ＜
𝑦
2
D．﹣2x＜﹣2y
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：A．∵x＜y，
∴x+5＜y+5，故该选项不符合题意；
B．∵x＜y，
∴x﹣1＜y﹣1，故该选项不符合题意；
C．∵x＜y，
∴
𝑥
2 ＜
𝑦
2，故该选项不符合题意；
D．∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，故该选项符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（2026 春•黄山期末）下列变形正确的是（ ）
A．由﹣x＞5，得x＞﹣5
B．由−1
2 𝑥≤6，得x≥﹣3
C．由x＞y，得xz2＞yz2
D．由xz2＞yz2，得x＞y
【分析】根据不等式性质逐一判断各选项即可．
【解答】解：A、∵﹣x＞5，
∴x＜﹣5，原变形错误，不符合题意；
B、∵−1
2 𝑥≤6，
∴x≥﹣12，原变形错误，不符合题意；
C、∵x＞y，当z2＝0 时，xz2＝yz2，
∴xz2≥yz2，原变形错误，不符合题意；
D、∵xz2＞yz2，
∴z2＞0，
∴x＞y，正确，符合题意．
故选：D．
【变式1-3】（2026 春•北流市期末）已知a＜b，下列结论中成立的是（ ）
A．a+1＞b+1
B．﹣3a＞﹣3b
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C．
1
2 𝑎+ 2＞
1
2 𝑏+ 2
D．
𝑎
𝑐＜
𝑏
𝑐
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项即可得出结论．
【解答】解：A、不等式两边加同一个数，不等号方向不变，∵a＜b，∴a+1＜b+1，故A 错误；
B、不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，故B 正确；
C、不等式两边乘正数再加同一个数，不等号方向不变，∵a＜b，∴
1
2 𝑎＜
1
2 𝑏，故
1
2 𝑎+ 2＜
1
2 𝑏+ 2，故C
错误；
D、由于未给出c 的符号，当c＜0 时，不等式两边除以c 后不等号方向改变，得
𝑎
𝑐＞
𝑏
𝑐，故D 不恒成立．
故选：B．
▌题型02 不等式的性质比较大小（天平）
（1） 看图写不等式，直接把天平状态写成：左＞右或左＝右或左＜右；
（2）用不等式性质变形；
（3）消掉相同的，比剩下的，天平两边同时拿走一样重的东西，大小关系不变。
【典例1】（2026 春•怀仁市期末）已知天平右盘中每个砝码的质量均为3𝑔，则物体𝑀的质量𝑥（单位：𝑔）
的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据天平的倾斜方向列出不等式组，求出𝑥的取值范围，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：由右图可知，物体𝑀的质量小于3 个砝码的质量，
∴𝑥< 3 × 3，即𝑥< 9，
由左图可知，物体𝑀的质量大于1 个砝码的质量，
∴𝑥> 3，
∴物体𝑀的质量𝑥的取值范围是3 < 𝑥< 9，
在数轴上表示时，3 和9 处应为空心圆圈，且取两点之间的部分，观察选项，只有A 选项符合．
故选：A．
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【变式1-1】（2026 春•奈曼旗期末）如图，天平右边托盘里的每个砝码的质量都是10 千克，则图中显示物
体质量的范围是（ ）
A．大于20 千克
B．小于30 千克
C．大于20 千克且小于30 千克
D．大于20 千克或小于30 千克
【分析】根据题意可以直接得到物体质量的范围．
【解答】解：天平右边托盘里的每个砝码的质量都是10 千克，
由图可得物体质量大于2 个砝码的质量之和，即大于20 千克．
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•龙岗区期末）如图，天平左边的苹果质量为𝑥克，右边的砝码质量为200 克，则𝑥的取
值范围可表示为（ ）
A．x<200 B．x≤200 C．x>200 D．x≥200
【分析】根据不等式的定义，即可解答．
【解答】解：如图，天平左边的苹果质量为𝑥克，右边的砝码质量为200 克，则𝑥的取值范围可表示为𝑥>200，
故选：C．
【变式1-3】（2025 春•浦东新区月考）设A，B，C 表示三种不同的物体，先后用天平称了两次，情况如图
所示，则这三个物体按质量从大到小应为（ ）
A．A＞B＞C
B．C＞B＞A
C．B＞A＞C
D．A＞C＞B
【分析】根据题意可得：A＞B，3C＝B+C，从而可得2C＝B，进而可得B＞C，即可解答．
【解答】解：由题意得：A＞B，3C＝B+C，
∴2C＝B，
∴B＞C，
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∴A＞B＞C，
故选：A．
▌题型03 不等式的性质比较大小
利用不等式的性质比较大小，作差，变形，判断符号，下结论。
【典例1】（2025 秋•黄浦区校级月考）当x＞y 时，比较﹣3x+5 与﹣3y+5 的大小，并说明理由．请将下面
的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质．
（1）∵x＞y，﹣3＜0，
∴﹣3x ﹣3y（ ），
∴﹣3x+5 ﹣3y+5（ ）．
（2）若（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a 的取值范围为 ．（直接写出答案）
【分析】（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）由x＞y 得到（a﹣3）x＜（a﹣3）y，可得a﹣3＜0，进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x＞y，﹣3＜0，
∴﹣3x＜﹣3y（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变），
∴﹣3x+5＜﹣3y+5（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）．
故答案为：＜；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；＜；不等式的两边都加上同一个数，
不等号的方向不变；
（2）∵x＞y 且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，
∴a﹣3＜0，
解得：a＜3．
故答案为：a＜3．
【变式1-1】（2025 秋•海盐县期中）小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结
果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正．
已知x＞y，试比较﹣2x+2025 与﹣2y+2025 的大小．
解：∵x＞y，①
∴﹣2x＞﹣2y，②
∴﹣2x+2025＞﹣2y+2025．③
（1）小华的解题过程中，从步骤 开始出现错误（填写序号）；
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（2）请写出正确的解题过程．
【分析】本题考查不等式的基本性质，特别是不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向改变这
一性质的应用．解题关键是准确掌握不等式在乘除负数时的符号变化规则．
【解答】解：（1）小华从步骤②开始出现错误．因为根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一
个负数﹣2，不等号方向应该改变，而小华没有改变不等号方向，所以步骤②错误．
故答案为：②；
（2）正确解题过程：
∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y（不等式两边同时乘以﹣2，不等号方向改变），
∴﹣2x+2025＜﹣2y+2025（不等式两边同时加2025，不等号方向不变）．
【变式1-2】（2025•宜春校级开学）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知n＜0，试比较：𝑚−1
2 𝑛
与𝑚−1
5 𝑛的大小．
解：∵−1
2 ＜−1
5，n＜0，
∴根据不等式的基本性质3，得
−1
2 𝑛＜−1
5 𝑛，第一步
∴根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m，得𝑚−1
2 𝑛＜𝑚−1
5 𝑛．第二步
（1）上述解题过程中，从第 一 步开始出现错误，错误的原因是 不等式的两边都乘以同一个负数，
不等号的方向没有改变 ；
（2）请写出正确的解题过程．
【分析】（1）根据不等式的性质即可得到答案；
（2）根据不等式的性质即可解答．
【解答】解：（1）由题干中的解题步骤可得从第一步开始出现错误，错误的原因是不等式的两边都乘以
同一个负数，不等号的方向没有改变，
故答案为：一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（2）∵−1
2 ＜−1
5，n＜0，
∴根据不等式的基本性质3，得−1
2 𝑛＞−1
5 𝑛，
∴根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m，得𝑚−1
2 𝑛＞𝑚−1
5 𝑛．
【变式1-3】（2025•青秀区校级开学）阅读下述材料完成问题．
利用不等式的性质说明下列结论的正确性：
如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d．
解：因为a＞b，所以a+c＞b+c．①
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又因为c＞d，所以b+c＞b+d．②
由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，
所以由①②，可得a+c＞b+d．
通过上述材料，我们可以得到不等式的同向可加性．
例如：若x＞1，y＞2，那么x+y＞1+2，即x+y 的取值范围是x+y＞3．
（1）根据上述性质解决问题：若x＜1，y＜3，则x+y 的取值范围是x+y＜4 ；若﹣1＜x＜2，0＜y＜1，
则x+y 的取值范围是 ﹣1＜x+y＜3 ；
（2）【性质应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y 的取值范围．
解：由x﹣y＝﹣3，得x＝y﹣3．
将x＝y﹣3 代入x＜﹣1 得，
y﹣3＜﹣1，
即y＜2．
又因为y＞1，
所以1＜y＜2．
以上是求解的部分过程，请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整
（3）【拓展提升】已知x+y＝3，且x＞2，y＞﹣2，则2x﹣y 的取值范围是 3＜2x﹣y＜12 ．
【分析】（1）根据不等式的性质进行计算即可；
（2）先根据已知条件把x 用y 表示出来，再根据x＜﹣1 和y＞1 求出y 的取值范围，然后再根据不等式
的性质进行解答即可；
（3）先根据已知条件把x 用y 表示出来，再根据x＞1 和y＞﹣4 求出y 的取值范围，然后再根据不等式
的性质进行解答即可．
【解答】解：（1）∵x＜1，y＜3，
∴x+y＜1+3，即x+y＜4，
∵﹣1＜x＜2，0＜y＜1，
∴﹣1+0＜x+y＜2+1，即﹣1＜x+y＜3，
故答案为：x+y＜4；﹣1＜x+y＜3．
（2）由x﹣y＝﹣3，得x＝y﹣3，
将x＝y﹣3 代入x＜﹣1，
∴y﹣3＜﹣1，
∴y＜2，
∵y＞1，
∴1＜y＜2，
∴2＜2y＜4，
∴2﹣3＜2y﹣3＜4﹣3，即﹣1＜y+y﹣3＜1，
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∴﹣1＜x+y＜1．
（3）∵x+y＝3，
∴x＝3﹣y，
∴2x﹣y
＝2（3﹣y）﹣y
＝6﹣2y﹣y
＝6﹣3y，
∵x＞2，
∴3﹣y＞2，
∴﹣y＞﹣1，
∴y＜1，
∵y＞﹣2，
∴﹣2＜y＜1，
∴﹣3＜﹣3y＜6，
∴3＜6﹣3y＜12，
∴3＜2x﹣y＜12，
故答案为：3＜2x﹣y＜12．
▌题型04 比较大小（数轴）
数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大。
【典例1】（2026•庆元县二模）在数轴上表示数a 的点如图所示，则3a 与2a 的大小关系是（ ）
A．3a＜2a
B．3a≤2a
C．3a＞2a
D．3a≥2a
【分析】根据数a 在数轴上的位置可知a＜0，再用作差比较即可．
【解答】解：由数a 在数轴上的位置可知：a＜0，
∴3a﹣2a＝a＜0，
∴3a＜2a，
故选：A．
【变式1-1】（2025 秋•宜春期末）已知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示．
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（1）用“＞”或“＜”填空：
b﹣c ＜ 0，a+b ＜ 0，c﹣a ＞ 0；
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|．
【分析】（1）利用数轴确定a＜0＜b＜c，|c|＞|a|＞|b|，依此即可求解；
（2）根据（1）中得到的符号，分别去掉绝对值符号后进行加减运算．
【解答】解：（1）∵大数减小数结果是正数，小数减大数结果是负数，
a＜0＜b＜c，|c|＞|a|＞|b|，
∴b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，
故答案为：＜，＜，＞；
（2）∵b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，
∴|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|
＝﹣b+c﹣a﹣b﹣2c+2a
＝a﹣2b﹣c．
【变式1-2】（2025 秋•长沙县期末）如图，数轴上的点A，B，C，D，E 对应的数分别为a，b，c，d，e，
且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等．
（1）填空：a﹣c ＜ 0，b﹣a ＞ 0，b﹣d ＜ 0（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）化简：|a﹣c|﹣|b﹣a|+|b﹣d|；
（3）若|a|＝|e|，|b|＝3，则b﹣e 的值是 ﹣9 ．
【分析】（1）根据数轴得出a＜b＜c＜d＜e，再比较即可；
（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可；
（3）先求出b、e 的值，再代入求出即可．
【解答】解：（1）从数轴可知：a＜b＜c＜d＜e，
∴a﹣c＜0，b﹣a＞0，b﹣d＜0，
故答案为：＜；＞；＜；
（2）|a﹣c|﹣|b﹣a|+|b﹣d|
＝﹣a+c﹣（b﹣a）﹣（b﹣d）
＝﹣a+c﹣b+a﹣b+d
＝c+d﹣2b；
（3）∵|a|＝|e|，
∴a、e 互为相反数，
∴c 是原点，
∵|b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等，
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∴b＝﹣3，e＝6，
∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【变式1-3】（2026 春•秦淮区期中）如图，数轴上点A，B 分别表示数a，b．
（1）a+b ＞ 0，a﹣b ＜ 0（用“＞”、“＝”和“＜”填空）；
（2）比较a2 与b2 的大小，并说明理由（已知a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b））．
【分析】（1）根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题；
（2）根据题意，利用作差法进行计算即可．
【解答】解：（1）由所给数轴可知，
a＜0＜b 且|a|＜|b|，
则a+b＞0，a﹣b＜0．
故答案为：＞，＜；
（2）a2＜b2，理由如下：
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
因为a+b＞0，a﹣b＜0，
所以（a+b）（a﹣b）＜0，
所以a2＜b2．
▌题型05 利用不等式的性质进行证明
1. 看条件：圈出题干给出的已知大小关系；
2. 定变形：确定要做加、减、乘、除，重点判断乘数正负；
3. 选性质：乘除负数，记得改变不等号方向；
4. 递推写结论：步步写明依据，完成证明。
【典例1】（25-26 七年级下·江苏南京·期末）代数推理：证明“如果𝑎< 𝑏, 𝑐< 𝑑，那么𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑．”
【分析】利用不等式的性质，通过作差判断符号证明结论，先根据已知条件得到两个差为负数，再计算两
个差的和，判断和的符号即可推导出结论．
【详解】证明：∵𝑎< 𝑏，𝑐< 𝑑
∴𝑎−𝑏< 0，𝑐−𝑑< 0
∴(𝑎+ 𝑐) −(𝑏+ 𝑑) = (𝑎−𝑏) + (𝑐−𝑑) < 0
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即(𝑎+ 𝑐) −(𝑏+ 𝑑) < 0
∴𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑．
【变式1-1】（25-26 七年级下·海南海口·期末）【阅读理解】
在证明命题“如果𝑎、𝑏、𝑐、𝑑都是正数，且𝑎> 𝑏，𝑐> 𝑑，那么𝑎𝑐> 𝑏𝑑”时，小明的证明方法如下：
证明：∵𝑎> 𝑏，𝑐是正数，
∴𝑎𝑐>________．
∵𝑐> 𝑑，𝑏是正数，
∴𝑏𝑐>________．
∴𝑎𝑐> 𝑏𝑑（不等关系具有传递性）．
【问题解决】
(1)请将上述的证明过程填写完整；
(2)若𝑎< 𝑏，𝑏是负数，请求证𝑎2 > 𝑏2．
【分析】（1）根据不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变得到𝑎𝑐> 𝑏𝑐，𝑏𝑐> 𝑏𝑑，进而根据
不等式的传递性可证得结论；
（2）根据不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变得到𝑎2 > 𝑎𝑏，𝑎𝑏> 𝑏2，进而根据不等式的
传递性可证得结论．
【详解】（1）证明：∵𝑎> 𝑏，𝑐是正数，
∴𝑎𝑐> 𝑏𝑐．
∵𝑐> 𝑑，𝑏是正数，
∴𝑏𝑐> 𝑏𝑑．
∴𝑎𝑐> 𝑏𝑑（不等关系具有传递性）．
（2）(2)证明：∵𝑎< 𝑏，𝑏是负数，
∴𝑎< 0，
∵𝑎< 𝑏，𝑎是负数，
∴𝑎2 > 𝑎𝑏，
∵𝑎< 𝑏，𝑏是负数，
∴𝑎𝑏> 𝑏2，
∴𝑎2 > 𝑏2．
【变式1-2】（25-26 七年级下·福建泉州·期末）已知a，b，c，d 为四个互不相等的有理数．
(1)如果𝑎< 𝑏，𝑐< 𝑑，试说明：𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑．
在下列说理中，填空（数学符号或理由）：
解：∵𝑎< 𝑏，
∴𝑎+ 𝑐_____①_____𝑏+ 𝑐，
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又∵𝑐< 𝑑，
∴𝑏+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑（_____②_____），
∴𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑．
(2)如果a，b，c，d 都是正数，且𝑎> 𝑏，𝑐> 𝑑，那么𝑎𝑐与𝑏𝑑的大小关系如何？请说明你的结论的正确性．
【分析】（1）根据不等式的性质补全说明过程即可；
（2）根据不等式的性质得到𝑎𝑐> 𝑏𝑐，𝑏𝑐> 𝑏𝑑，可知𝑎𝑐> 𝑏𝑑．
【详解】（1）解：∵𝑎< 𝑏，
∴𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑐，
又∵𝑐< 𝑑，
∴𝑏+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑（不等式两边加同一个数，不等号的方向不变），
∴𝑎+ 𝑐< 𝑏+ 𝑑；
（2）𝑎𝑐> 𝑏𝑑，理由如下：
∵𝑎> 𝑏，𝑐> 0，
∴𝑎𝑐> 𝑏𝑐，
∵𝑐> 𝑑，𝑏> 0，
∴𝑏𝑐> 𝑏𝑑，
∴𝑎𝑐> 𝑏𝑐> 𝑏𝑑，
∴𝑎𝑐> 𝑏𝑑．
【变式1-3】（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）利用不等式的相关性质，判断命题“如果𝑎、𝑏、𝑐、𝑑都是正
数，且𝑎< 𝑏、𝑐< 𝑑，那么𝑎𝑐< 𝑏𝑑”的真假性，并证明你的结论．
【分析】先根据不等式两边同乘正数不等号方向不变的性质，得到两个中间不等式，再利用不等式的传递
性即可推导出结论．
【详解】解：该命题是真命题，
证明：∵𝑎、𝑏、𝑐、𝑑都是正数，且𝑎< 𝑏，𝑐> 0，
∴𝑎𝑐< 𝑏𝑐，
∵𝑐< 𝑑，𝑏> 0，
∴𝑏𝑐< 𝑏𝑑，
∴𝑎𝑐< 𝑏𝑑，
∴该命题是真命题．
▌题型06 作差法比较大小
要比较两个代数式 𝐴、𝐵 的大小，计算𝐴−𝐵的结果，通过差的正负判断大小：
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则𝐴−𝐵> 0 ⇔𝐴> 𝐵；
𝐴−𝐵= 0 ⇔𝐴= 𝐵；
𝐴−𝐵< 0 ⇔𝐴< 𝐵。
【典例1】（2025•泰州二模）已知a＞b，则2﹣a 与3﹣b 的大小关系是（ ）
A．2﹣a＞3﹣b
B．2﹣a＝3﹣b
C．2﹣a＜3﹣b
D．无法比较
【分析】根据作差法即可求解．
【解答】解：2﹣a﹣（3﹣b）＝2﹣a﹣3+b＝﹣1+b﹣a，
∵a＞b，
∴b﹣a＜0，
∴﹣1+b﹣a＜0，
即2﹣a＜3﹣b，
故选：C．
【变式1-1】已知x＜y，比较﹣2x﹣3 与﹣2y﹣3 的大小，结果正确的是（ ）
A．﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3
B．﹣2x﹣3＜﹣2y﹣3
C．﹣2x﹣3＝﹣2y﹣3
D．﹣2x﹣3≥﹣2y﹣3
【分析】根据x＜y，应用不等式的性质，首先判断出﹣2x 与﹣2y 的大小关系，然后判断出﹣2x﹣3 与﹣
2y﹣3 的大小关系即可．
【解答】解：∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，
∴﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3．
故选：A．
【变式1-2】（25-26 七年级下·河南南阳·期末）我们知道可用求差法比较两个数的大小．例如，比较-5 和-6
的大小：
∵−5 −(−6) = −5 + 6 = 1 > 0，
∴−5 > −6．
(1)请用不等式的性质说明下列结论的正确性：如果𝑎−𝑏> 0，那么𝑎> 𝑏．
(2)已知𝑚> 0，请用求差法比较2𝑚−1与3𝑚+ 1的大小．
【分析】（1）根据不等式的性质说明即可；
（2）根据题意用求差法比较即可．
【详解】（1）解：∵𝑎−𝑏> 0，
∴𝑎−𝑏+ 𝑏> 0 + 𝑏，
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∴𝑎> 𝑏．
（2）解：∵2𝑚−1 −(3𝑚+ 1) = 2𝑚−1 −3𝑚−1 = −𝑚−2，
∵𝑚> 0，
∴−𝑚−2 < 0，
∴2𝑚−1 < 3𝑚+ 1．
【变式1-3】利用不等式（或等式）的基本性质，解答下列问题：
(1)如果𝑎−𝑏< 0，那么𝑎 𝑏；如果𝑎−𝑏= 0，那么𝑎 𝑏；如果𝑎−𝑏> 0，那么𝑎
𝑏．
(2)比较2𝑎与𝑎的大小；
(3)若𝑎> 𝑏，𝑐> 𝑑，①比较𝑎+ 𝑐与𝑏+ 𝑑的大小；②比较𝑎−𝑑与𝑏−𝑐的大小．
【分析】（1）直接根据不等式和等式的性质求解即可；
（2）用作差法比较即可；
（3）①先得出𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑐，𝑏+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑，然后利用不等式的传递性可得结论；
②先得出−𝑑> −𝑐，与𝑎> 𝑏的两边分别相加可得结论．
【详解】（1）解：如果𝑎−𝑏< 0，两边都加b，那么𝑎< 𝑏；如果𝑎−𝑏= 0，两边都加b，那么𝑎= 𝑏；如
果𝑎−𝑏> 0，两边都加b，那么𝑎> 𝑏；
（2）解：2𝑎−𝑎= 𝑎，
分三种情况讨论∶
当𝑎> 0时，2𝑎−𝑎> 0，得2𝑎> 𝑎；
当𝑎= 0时，2𝑎−𝑎= 0，得2𝑎= 𝑎；
当𝑎< 0时，2𝑎−𝑎< 0，得2𝑎< 𝑎；
（3）解：①∵𝑎> 𝑏，
∴𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑐．
∵𝑐> 𝑑，
∴𝑏+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑，
∴𝑎+ 𝑐> 𝑏+ 𝑑；
②∵𝑐> 𝑑，
∴不等式两边同乘−1，不等号方向改变，得−𝑑> −𝑐．
又∵𝑎> 𝑏，
∴𝑎+ (−𝑑) > 𝑏+ (−𝑑) > 𝑏+ (−𝑐)，即𝑎−𝑑> 𝑏−𝑐．
▌题型07 不等式变形为x＞a 或x＜a 的形式
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不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c.
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边
都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
即：如果 a>b，c>0，那么ac>bc 或
𝑎
𝑐＞
𝑏
𝑐；
如果 a>b， c<0，那么ac<bc 或
𝑎
𝑐＜
𝑏
𝑐.
【典例1】根据不等式的性质，将下列不等式变形为𝑥> 𝑎或𝑥< 𝑎的形式．
（1）𝑥−
1
4 <
3
4，根据不等式的性质______，不等式两边都______，得_____；
（2）
3
2 𝑥> −5，根据不等式的性质_____，不等式两边都______，得______；
（3）−8𝑥> 16，根据不等式的性质______，不等式两边都______，得______．
【分析】（1）根据不等式性质1，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）根据不等式性质2，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）根据不等式性质3，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：（1）𝑥−
1
4 <
3
4，根据不等式的性质1，不等式两边都加上
1
4，得𝑥< 1；
（2）
3
2 𝑥> −5，根据不等式的性质2，不等式两边都乘以
2
3，得𝑥> −
10
3 ；
（3）−8𝑥> 16，根据不等式的性质3，不等式两边都除以−8，得𝑥< −2．
【变式1-1】（2026 七年级下·江苏·专题练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“𝑥> 𝑎”或“𝑥< 𝑎”的
形式．
(1)𝑥−1 < 5；
(2)−
1
2 𝑥+ 1 ≥4．
【分析】（1）根据不等式的性质进行解答即可；
（2）根据不等式的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：𝑥−1 < 5，
不等式两边同时加上1，得𝑥< 6；
（2）解：−
1
2 𝑥+ 1 ≥4，
不等式两边同时减去1，得−
1
2 𝑥≥3，
不等式的两边同时乘−2，得𝑥≤−6．
【变式1-2】根据不等式的性质，将下列不等式化成“𝑥> 𝑎”或“𝑥< 𝑎”的形式．
（1）−
2
3 𝑥< −2．
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（2）10𝑥> 7𝑥+ 1．
【分析】（1）根据不等式的性质，两边都除以−
2
3，可得答案；
（2）根据不等式的性质，两边都减7𝑥，整理后再两边都除以3，可得答案．
【详解】解：（1）将−
2
3 𝑥< −2两边都除以−
2
3，
得𝑥> 3．
（2）将10𝑥> 7𝑥+ 1两边都减7𝑥，
得10𝑥−7𝑥> 7𝑥−7𝑥+ 1，
即3𝑥> 1，
两边都除以3，
得𝑥>
1
3．
【变式1-3】（24-25 八年级下·广东佛山·阶段检测）依据不等式的性质，把下列不等式化成𝑥> 𝑎或𝑥< 𝑎的
形式：
(1)𝑥+ 3 < 5
(2)−2𝑥< 5
(3)
1
7 𝑥< −3
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等
式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基
本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式
的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（1）根据不等式的性质两边都减去3 即可求解；
（2）根据不等式的性质两边都除以−2即可求解；
（3）根据不等式的性质两边都乘以7 即可求解．
【详解】（1）解：∵𝑥+ 3 < 5，
∴𝑥+ 3 −3 < 5 −3，
∴𝑥< 2；
（2）解：∵−2𝑥< 5，
∴−2 ÷ (−2)𝑥< 5 ÷ (−2)，
∴𝑥> −
5
2；
（3）解：∵
1
7 𝑥< −3，
∴
1
7 × 7𝑥< −3 × 7，
∴𝑥< −21．
