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1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第4 章 相似三角形 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、用相似三角形的性质与判定求线段长 题型2、用相似三角形的性质与判定求线段比值 题型3、用相似三角形的性质与判定求线段最值 题型4、相似三角形与四边形的综合 题型5、相似三角形与函数的综合 题型6、相似三角形的与圆的综合 题型7、用相似三角形的性质与判定求图形面积 题型8、用相似三角形的性质与判定测量 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形问题，要熟练掌握相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）和性质（对应边成比例、对 应角相等、面积比等于相似比的平方）；解题关键在于找准或构造“A 型”“X 型”“母子型”等基本相似模型； 求线段长时，常通过比例式列方程；求线段比值时，注意利用中间比进行转化；最值问题常结合对称、旋 转、轨迹圆将动线段转化为定点到定直线的距离；与四边形、圆、函数综合时，要善于挖掘隐含的相似关 系，并灵活运用方程思想与数形结合思想；实际测量问题要先建立几何模型，再借助相似比求解未知量． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 目 录 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1、用相似三角形的性质与判定求线段长 典例1 （2026·浙江绍兴·二模）如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在边 ， 上运动， 满足 ，连接 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，当 的长最大时， 的长为（ ）． A． B． C． D． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求线段长度． 2.方法：识别或构造“A 型”“X 型”等基本模型；列出对应边比例式；设未知数建立方程求解． 变式1-1 （2026·辽宁阜新·二模）如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图 所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（ ）和健身区（ ）均为正方 形，且点 、 分别为 、 的黄金分割点（其中 ， ），若 长为 ，则 的 长为（ ） A． B． C． D． 变式1-2 图1 中周长为58 的矩形纸片剪掉一块边长为4 的正方形后，将剩下的部分沿着虚线剪开，拼成不 重叠、无缝隙的矩形 （如图2），则图2 中线段 的长为__________，连接部分⑤的对角线交矩形 于点M、N，则 __________． 3 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式1-3 （2026·浙江温州·二模）如图，在 中， ， ，点 在边 上，连接 ， 以 为直角边构造等腰 ，斜边 恰好经过 中点 ，若 ，则 的长为_______． 题型2、用相似三角形的性质与判定求线段比值 典例2 （2026·浙江杭州·三模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形 是 黄金矩形（ ），点 、 分别在边 、 上，将矩形沿直线 折叠，使点 的对应点 落在 边上，点 的对应点为 ，过点 作 于点 ，当矩形 也是黄金矩形（ ）时，则 ___________． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求线段比值． 2.方法：寻找中间比进行转化；利用面积比、周长比与相似比的关系；注意黄金分割等特殊比值． 变式2-1 （2026·浙江杭州·二模）黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比 的矩形，它因视觉上 极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中．若从一个黄金矩形 中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似 性”．如图，若从原黄金矩形 中依次裁去以宽为边长的正方形，设第 次裁去后剩余矩形的长为 ，则 的值为________． 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式2-2 （2026·浙江丽水·模拟预测）如图， 内接于 ， ，连接 并延长，交 于 点 ，交 于点 ，在 上取一点 ，连接 ，交 于点 ，若 ，则 ______． 变式2-3 （2026·浙江台州·二模）如图，在 中， ，点D 和点E 分别是 和 上一点．将 沿 折叠得 ，点F 落在边 上，若 ， ，则 的值为_________． 题型3、用相似三角形的性质与判定求线段最值 典例3 （25-26 八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形 中， ， ，且 ，对角线 ， 相交于点 ， 是 上的一个动点，作 交 于点 ，作 交 于点 ，连结 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求线段最值． 2.方法：确定动点轨迹；将目标线段用相似比表示为某变量的函数；结合函数性质或几何不等式求最值． 变式3-1 （2026·浙江杭州·二模）如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， ， ，满足 ，则 面积的最小值是（ ）． A．24 B． C． D． 变式3-2 （25-26 九年级下·浙江温州·期中）如图，在矩形 中， 为对角线， 于点 ， 交 于点 ，则 的最大值为________． 变式3-3 （2026·浙江杭州·一模）如图，四边形 是边长为4 的正方形，点E 是 边上一动点（不 与B，C 重合），连接 ，将 沿 翻折得到 ，过点E 作 交 于点H，连接 ．则 在点E 移动过程中，线段 的最小值为______． 题型4、相似三角形与四边形的综合 典例4 （25-26 八年级下·浙江温州·期末）在正方形 中， ， 为 ， 上的动点（不与顶点 重合），且 ，连结 ，作 ，分别交射线 ，线段 于点 ， ．在点 ， 运动的过 程中，下列线段比值不变的是（ ）． 6 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 题型模版 1.特征：相似三角形与正方形、矩形、菱形、平行四边形的综合问题． 2.方法：利用特殊四边形的边、角、对角线性质；寻找共角或等角以判定相似；结合勾股定理列方程． 变式4-1 （2026·浙江舟山·二模）如图，在菱形 中， 为对角线，过点 作 ，交 于 点 ，若 ， ，则菱形的边长为（ ）． A． B． C． D． 变式4-2 （2026·浙江台州·二模）如图，在菱形 中， ，E，F 分别是边 ， 上的点， 连结 ，点A关于直线 的对称点G恰好落在边 上，连结 ， ， 交对角线 于点M，若 ， ，则 的长为______． 变式4-3 （25-26 九年级下·浙江温州·期中）如图1，已知平行四边形 ，以 为圆心， 的长为 半径作弧交 于点 ．再分别以 ， 为圆心，适当长度为半径作弧交于点 ，连接 交 于点 ， 连接 ． 7 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：四边形 为菱形； (2)如图2，已知 ， ．作射线 ，交 的延长线于点 ，连接 ，若 ，求 的 长． 题型5、相似三角形与函数的综合 典例5 （2026·浙江温州·二模）如图1，在 中，点 是边 上的定点，点 从点 出发，依次沿 的路线匀速运动，回到点 时停止．设点 运动的路程为 ， 为 ，则 关于 的 函数图象如图2 所示，其中 ， 分别是所在曲线的最低点，下列选项错误的是（ ） A． B．点 的纵坐标为144 C． D．点 在该函数图象上 题型模版 1.特征：相似三角形与函数图象、解析式的综合问题． 2.方法：从函数图象中提取关键信息；用相似比建立变量关系；联立方程求交点或参数． 变式5-1 （2026·浙江宁波·二模）如图1，在 中， ，点D 是边 上的定点，动点E 以每秒1 个单位长度的速度从点A 出发，沿边 匀速运动，到达点C 后停止，连接 ，设点E 的 运动时间为x（单位：秒）， 为y，在动点E 运动过程中，y 与x 的函数图像如图2 所示，则下列选项正 确的是（ ） 8 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D．点 在该函数图像上 变式5-2 如图1， 内接于 ， 为 的直径， ．点 为弧 上的一点，且 ， 连接 并延长交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ． (1)求证： ； (2)如图2，连接 ． ①求证： ； ②若 ， ，求 的值． (3)设 ， ，求 关于 的函数关系式． 变式5-3 （25-26 八年级下·山东济南·期末）二次函数 的图象经过点 ，与x 轴交于 点B 和点 ，与y 轴交于点D． 9 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接 ，平移线段 至 ，使点B 的对应点E 落在二次函数在第一象限的图象上，点D 的 对应点F 落在直线 上，请求出此时点E 的坐标； (3)如图2，在x 轴上有一动点 （ ），过点P 作直线 轴，交抛物线于点M．连接 并 延长，交y 轴于点N，连接 ， ，设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求m 的值． 题型6、相似三角形的与圆的综合 典例6 如图，在 中， ， ，以其三边为边向外分别作正方形，连结 ，点 在 外接圆上， ，过点 作 交边 于点 ，交边 于点 ，若 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：相似三角形与圆的综合问题． 2.方法：利用圆周角定理、圆内接四边形性质寻找等角；结合圆幂定理、切割线定理建立比例关系． 10 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式6-1 （2026·浙江温州·三模）如图，已知 是 的中线， 的外接圆 交 于点 ，直 径 于点 ． (1)求证： ． (2)若 ， 的半径为5，求 的长． 变式6-2 （2026·江苏无锡·二模）如图，点P 是 的 边上一动点（不与点B、C 重合）过点P 作 交 于点D、作 交 于点E，点M、N 分别为线段 、 上的两个点，且 ， ， 则与 的面积相等的是（ ） A． 的面积 B． 的面积 C． 的面积 D． 的面积 变式6-3 （2026·浙江·中考真题）如图1， 内接于 ， 是直径 上的一点，满足 ， 连接 并延长交 于点 ，连接 ，点 在弦 上，且 ．过点 作 ，交 于点 ， 交 于点 ．设 ． (1)用含 的代数式表示 和 的大小； (2)如图1，若 ，求证： ； (3)如图3，若 的半径为1，点 在 上，且 ，求 的长． 11 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型7、用相似三角形的性质与判定求图形面积 典例7 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，它是我国古代数学的骄傲．在赵爽弦图中， 过F，H 作直线分别交 ， 于点M，N，已知 ，记正方形 的面积为 ，图中两 块阴影部分面积和为 ，则 的值是______． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求图形面积． 2.方法：利用相似三角形面积比等于相似比的平方；通过等积变形或割补法转化面积；注意同高、同底模型． 变式7-1 （25-26 八年级下·浙江绍兴·期末）平行四边形 的面积为 ，点E，H 在边 上，点F， G 在边 上， ，连接对角线 ，分别交 ， 于点N，Q，连结 交 于点M，连 结 ， ，若 ，则图中 与 的面积和为________． 变式7-2 （2026·浙江宁波·二模）如图，在 中，点 为 上一点，将 沿 翻折得到 ， 点 的对应点 恰好落在 的中点处，延长 交 于点 ，则 与四边形 的面积比为 ________． 变式7-3 （25-26 九年级下·浙江金华·期中）如图，在 中， 为对角线 上一点，线段 与线 段 关于过点 的直线对称，点 的对应点 在线段 上， ， 与 相交于点 ，连接 ， 且 ，则四边形 与 的面积之比为________． 12 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型8、用相似三角形的性质与判定测量 典例8 （2025·辽宁鞍山·一模）如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且 ，光屏上显示的缩 小的实像 高 ．若物体AH 到焦点 的距离 与焦点 到凸透镜中心线 的距离 之比为 ， 则物体的高 为_____ ． 题型模版 1.特征：利用相似三角形解决测量、投影等实际问题． 2.方法：将实际问题抽象为相似三角形模型；利用同一时刻物高与影长成比例或构造“A 型”模型计算． 变式8-1 （2026·陕西西安·模拟预测）周末小颖和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量 时，他们选择了河对岸岸边的点 为参照点，又在他们所在的岸边选择了点 为参照点，且 与河岸垂直， 测量示意图如图所示，在点 处竖起标杆 ，小颖沿着直线 后退至点 时，小颖眼睛 看到参照点 与 标杆的顶端 恰好在同一直线上，继续后退至点 时，小颖眼睛 看到标杆顶端 与参照点 恰好在同一 条直线上．已知点 ，，，，共线， ， ， ，测得 ， ， ．请根据相关测量信息，求河宽 ． 变式8-2 （2026·陕西咸阳·二模）咸阳二号桥是咸阳市标志性建筑之一．晓华和小敏利用无人机和所学 过的相似的知识测量咸阳二号桥桥塔的高度．如图，晓华从 点竖直升起一架无人机到 处在空中悬停， 米，小敏从 点竖直升起一架无人机，当该无人机在 处时，发现 处的无人机、 处的无人机 和桥塔底端 恰好在一条直线上，小敏继续控制无人机垂直上升到 处，发现 处的无人机、 处的无人机 和桥塔顶端 恰好在一条直线上， 米， 米． ， ， ，点 、 、 在一条直线上，点 、 、 在一条水平直线上，图中所有点都在同一平面内．请你求出桥塔的高度 ． 13 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式8-3 （25-26 九年级上·山西晋中·期末）项目学习 项目主题：自制视力表 项目背景：通常标准对数视力表的测试距离是 ．为了保护好眼睛，同学们想依据自己卧室的大小，自制 合适的视力表，定期测试视力，预防近视． 驱动问题：如何设计并制作符合自己卧室大小的视力表？ 项目实施： (1)观察与测量 标准对数视力表中每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不 同的检测距离需要不同的视力表．小华任选了一张测试距离为 的标准对数视力表中的 个视力值 ，测 得对应行“E”的边长 ，通过表格记录如下： ①猜想 与 满足________函数关系（填：“一次”或“反比例”）； ②直接写出 与 的函数关系式________； (2)计算与设计 小华用硬纸板复制了标准对数视力表中不同行的两个“E”，分别编号为①②，并如图摆放，从右侧点 看 去，点 ， ， 恰好在一条直线上．发现此时， ， ， 之间满足一定的关系，从而可以根据不同的 测试距离设计相应大小的“E”，制作符合需求的视力表． 已知测试距离为 的标准对数视力表中，视力 对应的“E”高为 ．小华卧室的测试距离为 ， 14 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 请你帮她计算自制的视力表中视力 对应的“E”高应为多少 ？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2026·上海·三模）如图，已知在 和 中， ， ， ，现在用 一条直线将 分割成两个小三角形，分别记作 ， ，用另一条直线将 也分割成两个小三角形， 分别记作 ， ．那么以下说法不正确的是（ ） A．当两条分割线分别经过点A、D 时，存在 与 相似且 与 相似 B．当两条分割线分别经过点B、E 时，存在 与 相似且 与 相似 C．当两条分割线分别经过点A、D 时，存在 与 相似且 与 相似 D．当两条分割线分别经过点B、E 时，存在 与 相似且 与 相似 2．（25-26 八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图①，在等边三角形 中，点D 是边 上一动点（不与 点B，C 重合），以 为边向右作等边 ，边 与 相交于点F，设 ， ，若y 与x 的 函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形 的面积为（ ） A．6 B． C．9 D． 3．（2026·浙江宁波·二模）如图，矩形 内接于 ，点E 是 上一点，连接 、 分别交 于点F、G．若点F 是 的中点， ， ，则 的长为________． 15 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4．（25-26 九年级下·浙江杭州·期中）如图，在 中，点 在 上， ，过 上一 点 作 于点 ，使得 ，连结 ，若 ， ，则 的长为________． 5．（2026·浙江温州·三模）【问题背景】 小龙同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”．如图1，若P 是 内部一点，且 ，则称点P 为 的布洛卡点，同时称 为 的布洛卡角．布洛卡点的发 现，引起了小龙同学研究“三角形几何”的极大热情． 【解决问题】 (1)如图2，P 为等边三角形 的布洛卡点，求 的布洛卡角的度数． (2)如图3，在 中， ， ，点 为 的布洛卡点，且 ．设 ， 请用m 的代数式表示 ． 6．（2026·浙江温州·二模）在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同 的折叠方式，感受数学的奥秘． 【实践操作1】折法：如图1． 步骤1：将正方形 对折，得到折痕 ，连接 ； 步骤2：将正方形沿 折叠，使点 翻折至点 处， 交 于点 ． 【实践操作2】折法：如图2． 16 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 步骤1：将正方形 对折，得到折痕 ，连接 ． 步骤2：将正方形折叠，使点 落在 上，得点 ，得到折痕 ． 【问题解决】 (1)在实践操作1 中，猜想 的形状，并说明理由． (2)在实践操作2 中，若 ，求 的长． 7．已知 ， ， ． (1)找出与 相等的角并证明； (2)求证： ； (3) ， ，求 ． 8．（2026·浙江温州·二模）如图1，在 中， ， 是斜边上的中线， ， ． (1)求 的长． (2)如图2，是线段 上的一点，连接 ，作 与 关于直线 对称，延长 交直线 于 ． ①当 时，求 的长． ②求 的最小值． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）已知， 内接于圆 ， ，连接 并延长交 边于点 ，交圆 17 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 于点 ，连接 、 ． (1)如图1，当 时，求 的度数． (2)如图2，当 平分 时． ①求证： ． ②若 ，求 的长． 10．（2026·浙江台州·二模）如图①，已知四边形 是 的内接四边形， 、 的延长线交于点 ， 、 的延长线交于点 ，连接 ，已知 ． (1)若 ，求 的度数； (2)求证： ； (3)如图②，若 是直径， ，求 的值（用含k 的代数式表示）． 11．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，已知 内接于 ， ， ，连结 并延长交 于点 ．点 是线段 上异于端点的动点，过点 作 分别交 ，边 ，边 于点 ， ， ，且点 在 左侧． (1)求证： ； 18 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)求证： ； (3)设 ，当 时，求 的取值范围． 12．（2026·浙江湖州·二模）如图，在锐角 中， ，以 为直径作半圆交 ， 于点 ， ，在弦 的延长线上取点 ，使 ，将 沿 翻折至 ，延长 交射线 于点 ． (1)若 ，求 的度数． (2)求证：四边形 是平行四边形． (3)若 ，求 的值． 13．（2026·浙江杭州·一模）如图（1），已知正方形 ，矩形 ，其中，B 在边 上，D 在边 上，正方形 的边长为2．设矩形 的边 ， （a，b 均为小于等于2 的正数）．将 矩形的两个角翻折，使G 落在边 上点N 处，E 落在边 上点M 处， 为折痕，连接 ． (1)若M，N 分别为 的中点，求 的长． (2)若 ，求矩形 的面积． (3)如图（2），连接 ，若 恰好经过点C，求证： ． 14．（25-26 九年级上·广西贵港·期中）［综合与实践］ 同学们综合利用数学和物理知识可以解决生活中很多实际问题．例如：已知树 ， 和灯柱 ，如图1 所示，在灯柱 上有一盏路灯 （ 与 重合），树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵树在路灯下都有 影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： 19 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①根据光源确定物体在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图1，若树 的高度为4 米，其离路灯的距离 为6 米，两棵树的影长 ， 均为3 米，两棵树 之间的距离 为6 米，求树 的高度； (2)如图2，建筑物 高为50 米，建筑物 上有一个LED 广告牌 ，合计总高度 为60 米，两座建 筑物之间的直线距离 为30 米．一个观测者（身高不计）先站在 处观测，发现能看见广告牌 的底 端 处，观测者沿着直线 向前走了10 米到 处观测，发现刚好看到广告牌 的顶端 处．则广告牌 的高度为多少米？ (3)以上两个案例是用数学中哪些知识来解决问题的？从以上两个案例中，谈谈你的收获．（写出一条即可） 15．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1 中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形， 它们的面积 ， ， 之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究 （1）如图2，在 中， 为斜边，分别以 为斜边向外侧作 ， ， ， 若 ，则面积 ， ， 之间的关系式为 ； 推广验证 （2）如图3，在 中， 为斜边，分别以 为边向外侧作任意 ， ， ， 满足 ， ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若 不成立，请说明理由； 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 拓展应用 （3）如图4，在五边形 中， ， ， ， ，点 在 上， ， ，求五边形 的面积．
