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1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第3 章 圆的基本性质 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、与圆有关的角度计算 题型2、弧长、路径长计算 题型3、图形面积 题型4、与圆有关的线段问题 题型5、与圆有关的线段比值问题 题型6、与圆有关的最值计算问题 题型7、圆的折叠问题 题型8、圆与函数的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的基本性质问题，要熟练掌握圆心角、圆周角、弦、弧、直径之间的相互关系，灵活运用垂径定理、 圆周角定理及其推论；求弧长与路径长时，要找准圆心、半径和圆心角，注意动点的轨迹形状；与面积相 关的问题，常用割补法、对称变换或等积变形将不规则图形转化为规则图形；涉及线段长度与比值时，要 善于构造直角三角形、相似三角形或利用圆幂定理、切割线定理；最值问题常结合对称、折叠、旋转转化 为定点到定圆或定直线的距离问题；圆与函数综合题要建立合适的坐标系，利用解析几何方法求解，同时 注意几何性质的运用． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 目 录 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1、与圆有关的角度计算 典例1 如图， 是 的外接圆，将 绕点顺时针旋转至 ，使点在 上，再将 沿 翻折，点恰好与点重合，已知 ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：利用圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系进行角度计算． 2.方法：根据同弧所对圆心角与圆周角的倍数关系；结合等腰、等边三角形及三角形内角和进行推导；注意 圆内接四边形对角互补． 变式1-1 （25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图， 是 的直径，等腰三角形 的底边 、腰 分别交 于点 ，，其中弦 ．连接 ， ，设 度， 度，则（ ） A． B． C． D． 变式1-2 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰 内接于 ， ，E 是圆上一点， 将 沿 折叠至 ，使点D 落在 上．且 过点O，则 =________， =________． 题型2、弧长、路径长计算 典例2 如图， 是 的外接圆，其中 ， ，以为圆心 为半径的弧恰好过圆 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 心且交 于点 ，分别以、 为圆心，适当长度为半径作弧，两段弧交于点，连接 并延长交 于点，则劣弧 的长为（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：求圆中弧长、动点路径长及轨迹相关问题． 2.方法：确定轨迹圆的圆心与半径；计算对应圆心角；代入弧长公式 l=nπR/180；注意起点、终点与运动方 向． 变式2-1 如图，为等边三角形 的外心，点 以 的速度从点出发沿 方向运动，连结 并 延长交 于点，点关于 的对称点为点 ，连结 ， ．设点 运动的时间为，已知 ， 当 时，则点 运动的路径长为_________cm． 变式2-2 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以 为圆心作 ，使 其经过原点O，与x 轴交于点B，并与y 轴交于点A．点E 是圆弧上一点，连接 ，点F 为 的中点．当 点E 沿着圆弧从点A 顺时针运动到点B 时，点F 的运动路径长是______． 变式2-3 如图，在 中， ，以 为直径作半 ，点 是该半圆上的点，连接 交 于点， ． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：为 的中点； (2)若 ，求 的长． 题型3、图形面积 典例3 如图， ， 的角平分线 交 于点，以 的中点为圆心， 为半径的半圆 分别交 ， 于点 ， ，连接 ， ， ．若 ， ，则扇形 的面积 为（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：圆中阴影部分面积、弓形面积及图形面积的计算． 2.方法：用扇形面积、三角形面积进行割补；利用对称、旋转实现等积转化；注意整体减局部或局部相加． 变式3-1 如图，矩形 的长为，宽为，将长为的线段 的两端放在矩形的相邻的两边上同时滑动．如 果点从点出发，沿图中所示方向按 滑动到点停止，同时点 从点出发，沿图中 所示方向按 滑动到点停止．点是矩形 内的任意一点，把点落在线段 的中 点 所经过的路线围成的图形区域内的概率记为，则 _____． 变式3-2 （25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，将 绕点顺时针旋转 得到 ，连接 ，则阴影部分的面积为___________ ． 5 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-3 （25-26 九年级上·河北石家庄·期中）如图， 为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦 长时，发现 点、 点分别与刻度1 和4 对齐，则弦 ，弦 与圆围成的阴影部分的面积和是______， 弦 的长度是______． 题型4、与圆有关的线段问题 典例4 如图， 是半圆的直径， 为弦， 于点 ，过点作 交半圆于点，过点 作 于点 ．若 ，则 的长为___________． 题型模版 1.特征：与圆有关的弦长、半径、直径及线段长度计算． 2.方法：构造由半径、弦心距、半弦组成的直角三角形；利用垂径定理、勾股定理列方程；结合已知条件求 解． 变式4-1 （25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，点是半径为2的圆上一点， 内接于该圆， ， 将线段 绕点逆时针旋转 得到线段 ，直线 与圆的另一个交点记为，连接 ， ，则线段 的取值范围为__________． 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-2 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图， 是 的外接圆， 是直径， 于点， 的角平分线交 于点 ．连接 ，若 ，则 ___________． 变式4-3 （25-26 九年级上·浙江台州·期末）如图，扇形 中， ， ，点P 是线段 上 的动点，将扇形 绕点P 逆时针旋转 得到一个新扇形，当点O 在新扇形 的内部（包括边界）时， 的取值范围为______． 题型5、与圆有关的线段比值问题 典例5 如图，两矩形 和 彼此相邻内接于半圆，其中点、 、在圆上，点、、 在直径 上，已知 ， ，则 _____ ． 题型模版 1.特征：圆中线段比值、比例关系及代数化求值问题． 2.方法：通过相似三角形、三角函数或圆幂定理建立比例；设未知数列方程；注意化简与代换． 变式5-1 如图，已知菱形 的顶点在⊙上，且边 ， 分别与⊙相交于 ，两点，连接 ．若 点 为 的中点，则 的值为_____． 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式5-2 （25-26 九年级上·浙江温州·期末）如图， 于点，过，， 三点作圆弧，其圆心 为，作 于点， 于点 ．若 ，则 的值为__________． 变式5-3 （25-26 九年级上·浙江台州·期末）如图，在正方形 中，以边 上的点O 为圆心， 的 长为半径画弧，分别与边 ， 交于点E，F．若 ，则 的值为_____． 题型6、与圆有关的最值计算问题 典例6 如图，在矩形 中， ， ．点E 为 的中点，点F 为 边上的动点，连接 ， 作点A 关于 的对称点G，连接 ，则点F 从点A 运动到点B 的过程中， 的最大值与最小值之和为 （ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：圆背景下的线段最值、面积最值及范围问题． 2.方法：识别定点、定长、定角，转化为圆上点到定点或定直线距离；利用三角形三边关系或对称求最值． 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式6-1 （25-26 九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中， 、 ，点在轴 正半轴上，点 在轴正半轴上，且 ，以 为直径在第一象限作半圆，交线段 于、 ，则线 段 的最大值为_____． 变式6-2 （25-26 九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图， 是圆的直径，点在圆上， 是圆上的一个 动点（不与 重合），连接 ．过点作 于，连接 和 ．若 ，则 的最 大值为___________． 变式6-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）如图， 是圆O 的直径， ，弦 ，P 是圆O 上 的动点，取 的中点D，则 的最大值为______． 题型7、圆的折叠问题 典例7 如图， 是 的直径， 是 的弦，先将 沿 翻折交 于点 ．再将 沿 翻折交 于点．若 ，设 ，则所在的范围是（ ） 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 题型模版 1.特征：圆的折叠、翻折及其对应弧、角、线段关系问题． 2.方法：抓住折叠前后对应量相等；利用对称性确定对应点、对应弧；结合圆的性质列方程求解． 变式7-1 （25-26 九年级下·浙江金华·阶段检测）如图， 是 的弦，将 沿着弦 折叠，点是折 叠后的 上一动点，连结 并延长交 于点，点是 的中点，连结 ．若半径 ， 则 的最小值为__________． 变式7-2 （25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，已知 是 的直径，点为圆上一点．将 沿 弦 翻折，交 于点 ，把 沿直径 翻折，交 于点，点恰好是翻折后的 上一个四等分点， 且 ，则 的值为______． 变式7-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知矩形 内接于 ， ， ，点 是 上一点，连结 ，将 沿着直线 折叠，交线段 于点 ． （1）半径 __________； （2）连接 ，若 ，则 __________． 10 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型8、圆与函数的综合问题 典例8 （25-26 九年级上·浙江金华·期末）如图，已知 ， ，动点在线段 上由向 运动，连接 ，将 绕点逆时针旋转 得 ，连接 ．设 ， 的面积为，关于的函 数图象如图所示，最高点为 ．则 的值为（ ） A． B． C． D．无法确定 题型模版 1.特征：圆与函数、坐标系相结合的综合问题． 2.方法：建立坐标系写出圆与函数解析式；联立方程求交点；结合几何性质简化代数运算． 变式8-1 如图，二次函数 （其中 ）的图像与轴交于，两点（点在点左侧）， 与轴交于点，连接 ， ，点 为 的外心．记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的值为_____． 变式8-2 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图，外形参数如图所 示．装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形 和下方的圆弧 组成．抛物线 的高度为 ，矩形 的边 ， ，圆弧 的拱高为 ．在装置内部安装矩形电 子显示屏 ，点， 在圆弧 上，点 ， 在抛物线上， 轴． 11 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 问题解决：如图，该小组以矩形 的顶点为原点，以 边所在的直线为轴，以 边所在的直线 为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)分别求出抛物线的函数表达式和圆弧 所在圆的半径． (2)为满足矩形电子显示屏 的空间要求，需要 到 的水平距离为 ，求此时矩形 的 面积． 变式8-3 （25-26 九年级上·浙江湖州·阶段检测）在平面直角坐标系中，图形上任意两个点的纵坐标分别 记为 ，定义 的最大值为图形的“竖直高”． (1)计算出下列图形的“竖直高”； ① ，其中 ； ②如图1，以原点为圆心，作 ，四边形 内接于 ， ， 与线段 围成的图 形； (2)如果抛物线 与经过点 的直线围成的图形“竖直高”是，求实数的 值． 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知平面直角坐标系内的三点，，，其中，两点的坐标分别为 ， ，点满足 （为坐标原点），则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）如图， 是 的直径， ，弦 交 于点，半径 ，点， 位于 两侧，作 交 于点，连接 交 于点 ．若 的面积为5， 则 的面积为（ ） A．6 B． C．7 D． 3．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图， 为圆的弦，是弧 的中点，连结 并延长， 是 的半径，作 ，交 的延长线于点 ，连结 ．给出下列结论：①若 ，则 ； ②若 ，则 ．其中正确的是（） A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错 4．如图，在锐角三角形 中，分别以三边 ， ， 为直径作圆．记三角形外的阴影面积为 ，三 角形内的阴影面积为 ，在以下四个选项的条件中，不一定能求出 的是（ ）． A．已知 的三条中位线的长度 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 B．已知 的面积 C．已知 的长度，以及 ， 的长度和 D．已知 ， 的长度及 的度数 5．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 和正方形 ．延长 交以 为直径的半圆于点 ，连接 ．若 ，则 的值为______． 6．（25-26 九年级上·浙江金华·期中）如图， 中， ， ，则 的最大面积是 ______，若 的中点是 ，那么中线 的最大值是______． 7．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，点C 是半圆O 上的一个动点，将 沿着 折叠交直径 于 点D，点E 是 的中点，连结 ．若 ，则 的最小值是______． 8．（25-26 九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在 中，点A、B、C 均在圆上，连接 、 、 、 、 ． (1)若 ， ，求 的度数． 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)若 ， ， ①若 ，求 ． ②若 ，求点O 到 的距离． 9．（25-26 九年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，四边形 为 的内接四边形，且 ． (1)求 的度数． (2)若 的半径为5． ①如图2，连接 ，求 的长． ②如图3，连接 ，若 平分 ，求 的最大值． (3)如图4，若 是 的直径，直接写出线段 之间的等量关系． 10．如图①， 是 的直径，点C 是 上的点，连接 并延长 至点D，使 ，连接 交 于点E． (1)求证：点C 是劣弧 的中点； (2)如图②，连接 ，若 ，求阴影部分的面积． 11．（25-26 九年级上·浙江台州·期末）已知， 的半径为10， 是 的弦， ． 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，作弦 ，若满足 ，则 ______； (2)若C，D 是圆上两点，且满足 ． ①如图2，连接 ，求 的长； ②在圆上截取 （点A，F 不重合），连接 ， ，分别交线段 于点M，N．当点N 恰为 的 中点时，求 的面积． 12．（25-26 九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，已知 是 的外接圆，点是 上的动点（不 与、 重合），连接并延长 到，连接 、 交于点 ．已知 ． (1)求证： ； (2)若 ， ， 为等腰三角形 ①证明： ； ②当 时，证明： ； ③ 时，求 的长 13．如图，在正方形 中，为 边上一点（不与点 重合），连接 ，以 为直径作圆，交对角 线 于点，连接 并延长交 于点 ，连接 ．已知 ． (1)若 ，求线段 的长． (2)求证： ． (3)设 ，记 与 的面积差为，试确定与的函数关系式． 14．（25-26 九年级下·浙江杭州·开学考试）阅读材料：如图1，若点P 是 外的一点，线段 交 于 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点A，则 长是点P 与 上各点之间的最短距离． 证明：延长 交 于点B，显然 ．如图2，在 上任取一点C（与点A，B 不重合），连接 ， ． ，且 ， ， ， 的长是点P 与 上各点之间的最短距离． 由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差． 请用上述结论解决下列问题． (1)如图3，在 中， ， ，以 为直径的半圆O 交 于D，P 是弧 上的 一个动点，连接 ，求 长的最小值． (2)如图4，在边长为2 的菱形 中， ，M 是 边的中点，点N 是 边上一动点，将 沿 所在的直线翻折得到 ，连接 ．求线段 长的最小值． (3)如图5，已知正方形 的边长为4，点G 是以 为直径的半圆O 上的一动点，点P 是 边上另一动 点，连接 ， ，求 的最小值． 15．（25-26 九年级上·浙江湖州·期末）某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论： 甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形． 乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形． (1)判断甲乙两位同学的结论（ ） A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．两位同学都正确 D．两位同学都错误 (2)如图1， 的半径为3，矩形 内接于圆O．丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当 该矩形为正方形时，其面积最大．以下是他的证明思路： 矩形 面积最大 → 面 积最大 → 当 是______三角 形时，面积最大 → 圆内接矩形 是正方形 根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断 的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多 少？ 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)如图2，这两个圆都是以点O 为圆心的同心圆， ， ，矩形 的两边 和 分别为同心 圆的两条弦．请你求出矩形 面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少？
