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1 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第4 章 相似三角形 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、用相似三角形的性质与判定求线段长 题型2、用相似三角形的性质与判定求线段比值 题型3、用相似三角形的性质与判定求线段最值 题型4、相似三角形与四边形的综合 题型5、相似三角形与函数的综合 题型6、相似三角形的与圆的综合 题型7、用相似三角形的性质与判定求图形面积 题型8、用相似三角形的性质与判定测量 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形问题，要熟练掌握相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）和性质（对应边成比例、对 应角相等、面积比等于相似比的平方）；解题关键在于找准或构造“A 型”“X 型”“母子型”等基本相似模型； 求线段长时，常通过比例式列方程；求线段比值时，注意利用中间比进行转化；最值问题常结合对称、旋 转、轨迹圆将动线段转化为定点到定直线的距离；与四边形、圆、函数综合时，要善于挖掘隐含的相似关 系，并灵活运用方程思想与数形结合思想；实际测量问题要先建立几何模型，再借助相似比求解未知量． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 目 录 2 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1、用相似三角形的性质与判定求线段长 典例1 （2026·浙江绍兴·二模）如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在边 ， 上运动， 满足 ，连接 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，当 的长最大时， 的长为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质可得 ，如图：过F 作 于H，则四边形 是矩形，则 ；设 ，则 ， ， ，再证明 ，利用相似三角形的性质可得 ，整理为方程为 ，再利用一元二次方程根的判别式可得 ， 的最大值 为 ，最后代入方程求x 的值即可解答． 【详解】解：∵在正方形 中， ， ∴ ， 如图：过F 作 于H，则四边形 是矩形， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， 3 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ，解得： ， 整理为关于x 的一般式为： 且该方程有实数根， ∴ ，解得： ， ∴ ， ∴ 的最大值为 ， 当 的长最大时，将 代入方程 ，解得： ，即 ， ∴当 的长最大时， 的长为 ． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求线段长度． 2.方法：识别或构造“A 型”“X 型”等基本模型；列出对应边比例式；设未知数建立方程求解． 变式1-1 （2026·辽宁阜新·二模）如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图 所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（ ）和健身区（ ）均为正方 形，且点 、 分别为 、 的黄金分割点（其中 ， ），若 长为 ，则 的 长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义求解即可． 【详解】解：∵ 长为 ，且点 为 的黄金分割点， 4 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵点 为 的黄金分割点，四边形 是正方形， ∴点 为 的黄金分割点， ∴ ， 即 的长为 ． 变式1-2 图1 中周长为58 的矩形纸片剪掉一块边长为4 的正方形后，将剩下的部分沿着虚线剪开，拼成不 重叠、无缝隙的矩形 （如图2），则图2 中线段 的长为__________，连接部分⑤的对角线交矩形 于点M、N，则 __________． 【答案】 10 【分析】如图（见解析），结合两个图形得出 ， ，再证出 ，求出 的 长，即可得 的长；先得出 的长，再得出 ， 的长，然后证出 ，利用相似三 角形的性质求解即可． 【详解】解：由图1 和图2 可知， ，它们等于剪掉的那块正方形的边长，即 ； （理由是图2 中的 ）， ∴ ， ∵ ， 5 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设图1 中周长为58 的矩形纸片的长为 ，则宽为 ， ∴ ， ， ， ∴ ， 解得 或 （此时 ，不符合题意，舍去）， 经检验， 是所列分式方程的解， ∴ ， ， ， ∴图2 中线段 的长为10． 如图，延长 ，交 于点 ， 由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， 6 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， 设 ， 在 中， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题的难点在于正确找出相似三角形． 变式1-3 （2026·浙江温州·二模）如图，在 中， ， ，点 在边 上，连接 ， 以 为直角边构造等腰 ，斜边 恰好经过 中点 ，若 ，则 的长为_______． 【答案】 【分析】如图，连接 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，设 ，根据平行四边形的 性质推出点 与点 重合，且点 在 上， ，根据勾股定理得 ，根据 等腰直角三角形的性质得 ， ，继而得到 ， ，证明 得 ，解得 ，最后由 可得 答案． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，设 ， 7 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 与 是 的对角线， ∴点 是 的中点， ∵ 恰好经过 中点 ， ∴点 与点 重合，且点 在 上， ∴ ， ∵在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是等腰直角三角形，且 为斜边， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴ ， 8 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， 即 的长为 ． 题型2、用相似三角形的性质与判定求线段比值 典例2 （2026·浙江杭州·三模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形 是 黄金矩形（ ），点 、 分别在边 、 上，将矩形沿直线 折叠，使点 的对应点 落在 边上，点 的对应点为 ，过点 作 于点 ，当矩形 也是黄金矩形（ ）时，则 ___________． 【答案】 / 【分析】连接 ，根据黄金矩形的定义设 ， ，则 ，证明 得到 ，从而 ，设 ，则 ，在 中，根据 构造方程，求解得到 ，从而 ． 【详解】解：连接 ， ∵矩形 是黄金矩形， ， ， ∴设 ， ， ∵矩形 是黄金矩形， ， 9 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是四边形 翻折得到， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵在矩形 中， ， 又 ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵在 中， ， ∴ 解得： ， ∴ ， ∴ ． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求线段比值． 2.方法：寻找中间比进行转化；利用面积比、周长比与相似比的关系；注意黄金分割等特殊比值． 变式2-1 （2026·浙江杭州·二模）黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比 的矩形，它因视觉上 极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中．若从一个黄金矩形 中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似 10 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 性”．如图，若从原黄金矩形 中依次裁去以宽为边长的正方形，设第 次裁去后剩余矩形的长为 ，则 的值为________． 【答案】 【分析】设原黄金矩形长为 、宽为 ，由黄金分割定义得 ．结合题意， 是为第一次裁剪剩余 矩形的宽， 是为第二次裁剪剩余矩形的宽，利用黄金矩形自相似性，剩余矩形依然是黄金矩形，因此新 矩形宽与长的比值仍为黄金分割比，直接推出 的值． 【详解】解：设原黄金矩形 的长为 ，宽为 ， 根据黄金矩形定义：宽:长= ，即 . 从原矩形裁去边长为宽 的正方形后，剩余新矩形的长为原矩形的宽 ，宽为 ， 由题意，第一次裁剪后剩余矩形的长 ，宽为 ， 剩余矩形仍是黄金矩形，它的宽与长之比依旧等于黄金分割比 ， 即： ， 第二次裁剪后剩余矩形的长为第一次裁剪后剩余矩形的宽 ，宽为 ， 即： ， 第三次裁剪后剩余矩形的长为第二次裁剪后剩余矩形的宽 ， ． 变式2-2 （2026·浙江丽水·模拟预测）如图， 内接于 ， ，连接 并延长，交 于 点 ，交 于点 ，在 上取一点 ，连接 ，交 于点 ，若 ，则 ______． 11 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角的性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、平行线的判定以 及相似三角形的判定与性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知 ，从而 得到角相等， ， ，利用平行线的判定，求得 ，通过对应角的相等， 求得 ， ，设 ，利用三角形相似的性质求线段长度即可． 【详解】解：如图，连接 ， 在 中， 为直径， ， ， 为 的中点， 在 中， ， ， ， ， ， ， 且 ， ， ， ， 且 ， 12 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 在 中，同弧所对的圆周角相等， ， 且 ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，在 中， ， ， ， ， 解得 或 （舍）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 13 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， ． 变式2-3 （2026·浙江台州·二模）如图，在 中， ，点D 和点E 分别是 和 上一点．将 沿 折叠得 ，点F 落在边 上，若 ， ，则 的值为_________． 【答案】 / 【分析】过点A 作 于点H，则 ；证明 与 平行，由平行线分线段成比例定理得到 ，设 ，可推出 ，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A 作 于点H， ∵ ， ∴ ； ∵ ， 14 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 与 平行， ∴ ， 设 ， ∴ ， ∴ ， 由折叠的性质可得 ， ∴ ． 题型3、用相似三角形的性质与判定求线段最值 典例3 （25-26 八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形 中， ， ，且 ，对角线 ， 相交于点 ， 是 上的一个动点，作 交 于点 ，作 交 于点 ，连结 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分、平行线证得相似三角形，结合垂直条件推导两组直角三角形 相似，通过设参数化简线段长度，借助勾股定理推导出 与 的正比例关系式；再依据垂线段最短，确 定点 到对角线 的垂线段为 最小值，结合三角形面积公式求出 的最小长度，最终代入关系式算出 的最小值． 【详解】解： 四边形 是矩形， ， ， ， 对角线 ，且 为 中点， ， ， 15 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 过点 分别作 于 ， 于 ， 则四边形 为矩形， ，且 , ， ， ， ， ， 设 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 又 ， ， ， 其中 ， 16 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 代入得： ， 约分化简得： ， ， ， 在 中，由勾股定理得 ， 将 、 代入，利用完全平方公式展开并整理： ， ， ，即 ， 为定值， 当 取最小值时， 取得最小值， 点 在线段 上运动， 根据垂线段最短，当 时， 取得最小值（即点 到直线 的距离）， ， 代入得： ， 解得 ， 将 代入 的表达式： ． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求线段最值． 2.方法：确定动点轨迹；将目标线段用相似比表示为某变量的函数；结合函数性质或几何不等式求最值． 17 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-1 （2026·浙江杭州·二模）如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， ， ，满足 ，则 面积的最小值是（ ）． A．24 B． C． D． 【答案】D 【分析】设 ，利用相似得到 关于 的代数式，再构建面积函数求最小值． 【详解】解： ， ，相似比 ， 设 ，由相似： ， ， ， 在 上： ， 在 上： ， ， 综合得 ， ， ， ， 是开口向下的二次函数， 越大，越小， 18 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 可取的最大值为 ，代入： ． 变式3-2 （25-26 九年级下·浙江温州·期中）如图，在矩形 中， 为对角线， 于点 ， 交 于点 ，则 的最大值为________． 【答案】 【分析】证明 ，得到 ，设 ，勾股定理得到 ，将 的最大值转化为二次函数求最值即可. 【详解】解：∵矩形 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴当 时， 的值最大，为 . 变式3-3 （2026·浙江杭州·一模）如图，四边形 是边长为4 的正方形，点E 是 边上一动点（不 19 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 与B，C 重合），连接 ，将 沿 翻折得到 ，过点E 作 交 于点H，连接 ．则 在点E 移动过程中，线段 的最小值为______． 【答案】1 【分析】动点F 的运动轨迹为以点A 为圆心，以4 为半径的正方形内部的 ，设 ， ，得到 ，当 时，y 取得最大值1，此时点记作 ，过点R 作 于点T，得 到 ，连接 交 于点Q， ， ．连接 ，根据题意， 得 ，当F 与Q 重合，点H 与R 重合时， 取得最小值，此时 的最小 值就是 ； 【详解】解：∵ 沿 翻折得到 ，四边形 是边长为4 的正方形， ∴ ， 故点F 到定点A 的距离等于定长4， 故动点F 的运动轨迹为以点A 为圆心，以4 为半径的正方形内部的 ， ∵四边形 是边长为4 的正方形， ∴ ， ， 设 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 因为 ， ∴ 有最大值，且当 时，y 取得最大值1，此时点记作 ， 20 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， 过点R 作 于点T， 则四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， 连接 交 于点Q， 则 ， ． 连接 ，根据题意，得 ， 当F 与Q 重合，点H 与R 重合时， 取得最小值，此时 的最小值就是 ； 题型4、相似三角形与四边形的综合 典例4 （25-26 八年级下·浙江温州·期末）在正方形 中， ， 为 ， 上的动点（不与顶点 重合），且 ，连结 ，作 ，分别交射线 ，线段 于点 ， ．在点 ， 运动的过 程中，下列线段比值不变的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 21 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】过点 作 交 于点 ，交 于点 ，利用正方形性质以及 证明 ，得到 ， ， 为定值；再结合 ，通过相似证明 ， 推出 ，设 ，从而得到其余选项比值随 、 移动改 变． 【详解】解：过点 作 交 于点 ，交 于点 ， 则四边形 为矩形， ∴ ， ， ， 又 ， ， ∴ ， 又四边形 是正方形， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴在点 ， 运动的过程中， 为定值，为 ，B 正确； 又 ， ， ∴ ， ， 设 ， 则 ， ， ， ， ， 22 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 不是定值，A 错误； 不是定值，C 错误； 不是定值，D 错误． 题型模版 1.特征：相似三角形与正方形、矩形、菱形、平行四边形的综合问题． 2.方法：利用特殊四边形的边、角、对角线性质；寻找共角或等角以判定相似；结合勾股定理列方程． 变式4-1 （2026·浙江舟山·二模）如图，在菱形 中， 为对角线，过点 作 ，交 于 点 ，若 ， ，则菱形的边长为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得 ，过点 作 于点 ，利用等腰三角形三线合一求出 的 长，再证明 ，利用相似比求出 的长即可． 【详解】解：过点 作 于点 ． 四边形 是菱形， ． ， ， 23 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 即 ， ， ． 即菱形的边长为 ． 变式4-2 （2026·浙江台州·二模）如图，在菱形 中， ，E，F 分别是边 ， 上的点， 连结 ，点A关于直线 的对称点G恰好落在边 上，连结 ， ， 交对角线 于点M，若 ， ，则 的长为______． 【答案】4 【分析】过点 作 交 的延长线于点 ，先证明 ，然后证明 ，最 后通过 和平行得到 求解即可． 【详解】解：过点 作 交 的延长线于点 ， 24 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵四边形 是菱形， ∴ , ， ∵ ∴ ， 为等边三角形， ∴ 由对称可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∴ 是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ， ∴ ， 同理可得， 为等边三角形， ∴ ， 25 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ． 变式4-3 （25-26 九年级下·浙江温州·期中）如图1，已知平行四边形 ，以 为圆心， 的长为 半径作弧交 于点 ．再分别以 ， 为圆心，适当长度为半径作弧交于点 ，连接 交 于点 ， 连接 ． (1)求证：四边形 为菱形； (2)如图2，已知 ， ．作射线 ，交 的延长线于点 ，连接 ，若 ，求 的 长． 【答案】(1)证明： 平行四边形 ， ， ， 由题意可知 平分 ， ， ， ． ， ． 又 ， 四边形 是平行四边形， 26 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 四边形 是菱形； (2) 【分析】 （1）运用角平分线加平行线推等腰模型得到 ，再结合 得到 ，根据 即 得到四边形 是平行四边形，继而证明四边形 是菱形； （2）作 于点 ，根据 证明 ，从而得到 ，从而得到 ， ，设 ，利用等腰三角形的性质得到 ，则 ，利用D 求出x 的值，再用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：作 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ，解得 ， ∴ ， 27 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ． 题型5、相似三角形与函数的综合 典例5 （2026·浙江温州·二模）如图1，在 中，点 是边 上的定点，点 从点 出发，依次沿 的路线匀速运动，回到点 时停止．设点 运动的路程为 ， 为 ，则 关于 的 函数图象如图2 所示，其中 ， 分别是所在曲线的最低点，下列选项错误的是（ ） A． B．点 的纵坐标为144 C． D．点 在该函数图象上 【答案】C 【分析】根据图2 最高点得出 长，根据 点横坐标得出 长进而求出 及 点纵坐标；结合图2 终点横坐标及选项D 验证 长，利用勾股定理逆定理推导 长，从而判断选项． 【详解】解：由图2 可知， 的最大值为400，此时 运动到 点， ∴ ，解得 ，故A 选项正确； 由图2 可知， 点为 段的最低点，此时 ，过点D 作 ， 28 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 点横坐标为36， ∴ ， 在 中， ， ∴ 点纵坐标为 ，故B 选项正确； 在图1 中，作点B 关于 的对称点F， 则 ， ， 根据图2 可知 运动到点B 和点F 时， 相等， 则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， ， 由图2 可知 运动到 点时 ， ∴ ， ∴ ， 选项C 中 ，故C 选项错误； 29 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在 中， ， 若选项D 正确，即点 在函数图象上， 此时 在 段， ， 则 从 点运动了 ， ∴ ， 又 ，∴ ， ∴ ，符合题意； 综上，D 选项正确，C 选项错误． 题型模版 1.特征：相似三角形与函数图象、解析式的综合问题． 2.方法：从函数图象中提取关键信息；用相似比建立变量关系；联立方程求交点或参数． 变式5-1 （2026·浙江宁波·二模）如图1，在 中， ，点D 是边 上的定点，动点E 以每秒1 个单位长度的速度从点A 出发，沿边 匀速运动，到达点C 后停止，连接 ，设点E 的 运动时间为x（单位：秒）， 为y，在动点E 运动过程中，y 与x 的函数图像如图2 所示，则下列选项正 确的是（ ） A． B． C． D．点 在该函数图像上 【答案】B 【分析】首先结合图像确定 ，结合点 的纵坐标相等，根据二次函数图像的对称性质可得此 段函数图像的对称轴为 ，过点 作 于点 ，连接 ，即 ，证明 ，利 用相似三角形的性质可解得 ，故选项A 错误；在 中，由勾股定理可得 ， 易得 ，故选项B 正确；当点 与点 重合时， 取最大值，解得此时 30 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，故选项C 错误；当 时，利用勾股定理解得 ，易 得点 不在该函数图像上，故选项D 错误． 【详解】解：如下图，根据题意，可得当点 在线段 上时，函数 的图像为 段， 当点 在线段 上时，函数 的图像为 段， 当 ，即点 与点 重合时， ， 即 ，解得 （负值舍去）， 当点 运动到点 ，即点 与点 重合时， ， 即 ，解得 （负值舍去）， ∴ ， 由函数图像可知，点 的纵坐标相等，即 两点的中点在此段函数图像的对称轴上，即此段函数图像 的对称轴为 ， 如下图，过点 作 于点 ，连接 ， 当点 与点 重合时， 取最小值，即 取最小值， ∴ 取最小值，此时 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ，故选项A 错误，不符合题意； 31 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在 中， ， ∴ ，故选项B 正确，符合题意； 当点 与点 重合时， 取最大值，即此时 ， ∵ ， ∴ ， 即 ，故选项C 错误，不符合题意； 当 时，如图，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴点 不在该函数图像上，故选项D 错误，不符合题意． 变式5-2 如图1， 内接于 ， 为 的直径， ．点 为弧 上的一点，且 ， 连接 并延长交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ． (1)求证： ； (2)如图2，连接 ． ①求证： ； ②若 ， ，求 的值． (3)设 ， ，求 关于 的函数关系式． 【答案】(1)证明： 为 的直径， ， ， ， ， 32 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， ； (2)①证明： ， 是直径， ， ， 由（1）可得 ， ， ， ； ② (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得到 、 ，再利用垂线的定义得到 ，进 而证明 ，再利用对顶角相等得出结论 ； （2）①根据圆周角定理得到 ，进而得到 ，结合（1）中结论得到 ，从而得出结论； ②连接 ，根据圆周角定理求出 、 ，利用勾股定理求出 长，易证明 ， 求出 长，由①知 ，则 ，据此求解即可； （3）设 ，则 ，利用勾股定理求出 长，同（2）求出 长和 值，利用相似三角 形的性质求出 的值，再求出 的值，两式相乘求出 ，从而求出 与 的函数关系式． 【详解】（1）略； （2）①略； ②解：连接 ， 33 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， 是 的直径， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 、 ， ， ， ， 解得： ， 由①知， ， ； （3）解： ， 设 ，则 ， 由（2）可知， ， 由勾股定理得： ， 由（2）可知： 和 ， 、 ， ， 34 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， 得： ， 关于 的函数关系式为： ． 【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握相关性 质定理是解题的关键． 变式5-3 （25-26 八年级下·山东济南·期末）二次函数 的图象经过点 ，与x 轴交于 点B 和点 ，与y 轴交于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接 ，平移线段 至 ，使点B 的对应点E 落在二次函数在第一象限的图象上，点D 的 对应点F 落在直线 上，请求出此时点E 的坐标； (3)如图2，在x 轴上有一动点 （ ），过点P 作直线 轴，交抛物线于点M．连接 并 延长，交y 轴于点N，连接 ， ，设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求m 的值． 【答案】(1) (2) 35 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出 ， ，直线 的表达式为 ，设点 ，根据平移的性质 得到 ，然后代入 求解即可； （3）首先表示出 ， ， ， ，证明 ， 得到 ，求出 ，然后表示出 ， ，然后根据 列方程求解． 【详解】（1）解：将 和 代入 ， 得 ， 解得 ， ∴二次函数的表达式为 ； （2）解：令 得， ， 解得： ， ， ， 把 代入 中，得： ， ， ∴点B 向左平移3 个单位，向下平移3 个单位得到点D， ∵ ， ∴可得直线 的表达式为 ， ∵平移线段 至 ， 设点 ，则点E 向左平移3 个单位，向下平移3 个单位得到点 ， 将点F 代入 ，得 整理得， ， 解得 （舍去）， ， ∴ ； 36 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解： ， 轴，交抛物线于点M， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ，即 ， 解得 ， ， ， ， ， 整理得， ， 解得 （舍去）， ， 的值是 ． 题型6、相似三角形的与圆的综合 典例6 如图，在 中， ， ，以其三边为边向外分别作正方形，连结 ，点 在 外接圆上， ，过点 作 交边 于点 ，交边 于点 ，若 ，则 的长为（ ） 37 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知 ，而在 中，由勾股定理得 ，因此需要进一 步结合条件再寻找关于 的等量关系．首先连接 ，过点 作 ，结合 ， ， 可求出 ， ，然后根据 利用相似三角形的判定和性质得到一个关于 的等式，进而使问题得解． 【详解】解：如图，连接 ，过点 作 ， ， ， ． 四边形 为正方形， ， 四边形 为矩形， ． ， ， 38 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ． 在 中，由勾股定理，得 ． 如图，分别过 作 ， ，交 于点 ， ， 过点 作 ． 设 ， ， 由等面积法可知 ， 则 ． 为等腰直角三角形， ， ， ． ， ． 在 和 中 ， ， 同理可知 ， ， ． 在等腰直角三角形 中， ， 同理可知在等腰直角三角形 中， 39 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ． ， ， ． 在 和 中， ， ，即 ． 在 中，由勾股定理得 ， ， ， 题型模版 1.特征：相似三角形与圆的综合问题． 2.方法：利用圆周角定理、圆内接四边形性质寻找等角；结合圆幂定理、切割线定理建立比例关系． 变式6-1 （2026·浙江温州·三模）如图，已知 是 的中线， 的外接圆 交 于点 ， 直径 于点 ． 40 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： ． (2)若 ， 的半径为5，求 的长． 【答案】(1)证明：∵直径 于点 ， ， ， 又 ， ． (2) 【分析】（1）根据垂径定理可得 得出 ，结合公共角 ，即可得证； （2）连结 ，根据垂径定理可得 ，进而根据勾股定理求得 ，进而求得 ，由 得出 ，根据 ，代入比例式得出 的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接 ， ∵直径 于点 ， ， 又 ， 的半径为5， ， ， ， ， 41 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ∵由（1）得 ， ， 又 是 的中线， ， ， ∴解得 ． 变式6-2 （2026·江苏无锡·二模）如图，点P 是 的 边上一动点（不与点B、C 重合）过点P 作 交 于点D、作 交 于点E，点M、N 分别为线段 、 上的两个点，且 ， ，则与 的面积相等的是（ ） A． 的面积 B． 的面积 C． 的面积 D． 的面积 【答案】C 【分析】连接 ，证明 ，得出 ，由已知得出 ，则 ，又 ，则 ，进而得出 ，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， ． ∴ ∴ ， 42 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ，故选项C 符合题意； 无法得出 的面积、 的面积、 的面积与 的面积相等，故A、B、D 不符合题意． 变式6-3 （2026·浙江·中考真题）如图1， 内接于 ， 是直径 上的一点，满足 ， 连接 并延长交 于点 ，连接 ，点 在弦 上，且 ．过点 作 ，交 于点 ， 交 于点 ．设 ． (1)用含 的代数式表示 和 的大小； (2)如图1，若 ，求证： ； (3)如图3，若 的半径为1，点 在 上，且 ，求 的长． 【答案】(1) ； ； (2)证明：如图，连接 ， 43 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 为 所对的圆周角， ∴ ， ∵ 为直径， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 同理： ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 44 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 三点共线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得 ，结合圆周角定理与直角三 角形的两锐角互余可得答案． （2）如图，连接 ，表示 ，证明 ，可得 ， 求解 ，证明 ，再进一步证明即可． （3）如图，连接 ，证明 ， ，可得 ，证明 ，可得 ，设 ，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 为 所对的圆周角， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （2）略 （3）解：如图，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， 同理： ， 45 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， 结合（1）可得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 同理可得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， ∵ ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为直径， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得： （ 大于直径，舍去）， ∴ 的长为 ． 题型7、用相似三角形的性质与判定求图形面积 典例7 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，它是我国古代数学的骄傲．在赵爽弦图中， 过F，H 作直线分别交 ， 于点M，N，已知 ，记正方形 的面积为 ，图中两 46 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 块阴影部分面积和为 ，则 的值是______． 【答案】3 【分析】设 ， ，证明 得到 ，则有 ；过M 作 于Q，证明 得到 ，则有 ， ，可得 ；证明 可得 ，则 ，进而可求解． 【详解】解：设 ， ， 由题意，四边形 是正方形， ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 过M 作 于Q，则 ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ； 47 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 题型模版 1.特征：利用相似三角形的判定与性质求图形面积． 2.方法：利用相似三角形面积比等于相似比的平方；通过等积变形或割补法转化面积；注意同高、同底模型． 变式7-1 （25-26 八年级下·浙江绍兴·期末）平行四边形 的面积为 ，点E，H 在边 上，点F， G 在边 上， ，连接对角线 ，分别交 ， 于点N，Q，连结 交 于点M，连 结 ， ，若 ，则图中 与 的面积和为________． 【答案】30 【分析】利用线段比例关系确定点M 和点Q 在图形中的相对位置，进而利用“等高模型”将不规则三角形 面积转化为已知平行四边形面积的一部分即可． 【详解】解：由题意知，设 ，则 ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 48 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 变式7-2 （2026·浙江宁波·二模）如图，在 中，点 为 上一点，将 沿 翻折得到 ， 点 的对应点 恰好落在 的中点处，延长 交 于点 ，则 与四边形 的面积比为 ________． 【答案】 【分析】设 ，根据折叠的性质和三角形等积变化可以求出 ，再利用中点模型倍 长中线模型证明 ，由此可得 ，进而可求 ， ，再结合图 形求面积即可. 【详解】解：如图，延长 交 延长线于 ，连接 、 ，设 ， ， 由折叠可知： ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， 49 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又∵在 中， ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵在 中， ， ， ∴ ， ， ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ , ∴ 与四边形 的面积比为 . 变式7-3 （25-26 九年级下·浙江金华·期中）如图，在 中， 为对角线 上一点，线段 与线 段 关于过点 的直线对称，点 的对应点 在线段 上， ， 与 相交于点 ，连接 ， 且 ，则四边形 与 的面积之比为________． 50 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】设直线与 、 相交于点 、 ，连接 ，由题意可得直线 ， 、 、 三点共线， 设 ，则 ， ，证明 ，得出 ，设 ，则 ， ，由对称性可得， ，故 ，求出 ， ，证明 ， 得出 的边 上的高为 ，求出 ， ，即可得解． 【详解】解：设直线与 、 相交于点 、 ，连接 ，如图： ， ∵线段 与线段 关于过点O 的直线l 对称，点A 的对应点 在线段 上， ∴直线 ， 、 、 三点共线， ∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴设 ，则 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， 由对称性可得， ，故 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 51 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 与 的对应高之比为 ， ∴ 的边 上的高为 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴四边形 与 的面积之比为 ． 题型8、用相似三角形的性质与判定测量 典例8 （2025·辽宁鞍山·一模）如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且 ，光屏上显示的缩 小的实像 高 ．若物体AH 到焦点 的距离 与焦点 到凸透镜中心线 的距离 之比为 ， 则物体的高 为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，如图，根据题意得 ，再证明 ，则利用 相似三角形的性质得到 ， 然后利用 得到物体的高． 【详解】解：如图所示，由题意得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵光屏上显示的缩小的实像高 ， 由题意可得， ， ∴ . 52 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即物体的高为 ， 故答案为： ． 题型模版 1.特征：利用相似三角形解决测量、投影等实际问题． 2.方法：将实际问题抽象为相似三角形模型；利用同一时刻物高与影长成比例或构造“A 型”模型计算． 变式8-1 （2026·陕西西安·模拟预测）周末小颖和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量 时，他们选择了河对岸岸边的点 为参照点，又在他们所在的岸边选择了点 为参照点，且 与河岸垂直， 测量示意图如图所示，在点 处竖起标杆 ，小颖沿着直线 后退至点 时，小颖眼睛 看到参照点 与 标杆的顶端 恰好在同一直线上，继续后退至点 时，小颖眼睛 看到标杆顶端 与参照点 恰好在同一 条直线上．已知点 ，，，，共线， ， ， ，测得 ， ， ．请根据相关测量信息，求河宽 ． 【答案】 【分析】由 ， ， ，得 ，所以 ， ， 所以 ， ，即 ， ，设 ， ，则 ， ， 然后通过 得 ，整理得 ，即 ，最后整体代入即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， 设 ， ，则 ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，整理得 ， ∴ ， 53 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ （米）， ∴河宽 为 米． 变式8-2 （2026·陕西咸阳·二模）咸阳二号桥是咸阳市标志性建筑之一．晓华和小敏利用无人机和所学 过的相似的知识测量咸阳二号桥桥塔的高度．如图，晓华从 点竖直升起一架无人机到 处在空中悬停， 米，小敏从 点竖直升起一架无人机，当该无人机在 处时，发现 处的无人机、 处的无人机和 桥塔底端 恰好在一条直线上，小敏继续控制无人机垂直上升到 处，发现 处的无人机、 处的无人机和 桥塔顶端 恰好在一条直线上， 米， 米． ， ， ，点 、 、 在一条直线上，点 、 、 在一条水平直线上，图中所有点都在同一平面内．请你求出桥塔的高度 ． 【答案】桥塔的高度 为88 米 【分析】先证明 得 ，则 ，再证明 ，得 ，即可求解． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ． ∴桥塔的高度 为88 米． 54 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式8-3 （25-26 九年级上·山西晋中·期末）项目学习 项目主题：自制视力表 项目背景：通常标准对数视力表的测试距离是 ．为了保护好眼睛，同学们想依据自己卧室的大小，自制 合适的视力表，定期测试视力，预防近视． 驱动问题：如何设计并制作符合自己卧室大小的视力表？ 项目实施： (1)观察与测量 标准对数视力表中每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不 同的检测距离需要不同的视力表．小华任选了一张测试距离为 的标准对数视力表中的个视力值，测 得对应行“E”的边长 ，通过表格记录如下： ①猜想与满足________函数关系（填：“一次”或“反比例”）； ②直接写出与的函数关系式________； (2)计算与设计 小华用硬纸板复制了标准对数视力表中不同行的两个“E”，分别编号为①②，并如图摆放，从右侧点 看 去，点 ， ， 恰好在一条直线上．发现此时，， ， 之间满足一定的关系，从而可以根据不同的 测试距离设计相应大小的“E”，制作符合需求的视力表． 已知测试距离为 的标准对数视力表中，视力 对应的“E”高为 ．小华卧室的测试距离为 ， 请你帮她计算自制的视力表中视力 对应的“E”高应为多少 ？ 【答案】(1)反比例， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数、相似三角形的判定与性质． 55 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)由表中的数据可知 ，所以与满足反比例关系，用待定系数法求出反比例函数的解析式； (2)根据 可知 ，利用相似三角形的性质可知 ，求出 ，即为 自制的视力表中视力 对应的“E”高． 【详解】（1）解：由表中数据可知 ， 与满足反比例关系， 设 ， 把 代入 ， 可得： ， 解得： ， 与的函数关系式是 ； 故答案为：反比例， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， 解得： ， 自制的视力表中视力 对应的“E”高为 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2026·上海·三模）如图，已知在 和 中， ， ， ，现在用 一条直线将 分割成两个小三角形，分别记作 ， ，用另一条直线将 也分割成两个小三角形， 分别记作 ， ．那么以下说法不正确的是（ ） 56 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．当两条分割线分别经过点A、D 时，存在 与 相似且 与 相似 B．当两条分割线分别经过点B、E 时，存在 与 相似且 与 相似 C．当两条分割线分别经过点A、D 时，存在 与 相似且 与 相似 D．当两条分割线分别经过点B、E 时，存在 与 相似且 与 相似 【答案】C 【分析】首先计算两个三角形的各内角度数， 为等腰直角三角形， 为含 角的直角三角 形，然后根据相似三角形的判定定理，分别分析四个选项中分割后的三角形角度关系，判断是否存在相似 情况即可． 【详解】解：在 中， ，则 ， 在 中， ，则 ， 对于A 选项：作 ，则 角度为 ， 角度为 ， 作 ，则 角度为 ， 角度为 ， 此时 且 ，故说法A 正确； 对于B 选项：作 ，则 角度为 ， 角度为 ， 57 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 作 ，则 角度为 ， 角度为 ， 此时 且 ，故说法 B 正确； 对于C 选项：当分割线经过点A 时，设交 于点M，则 为 ， 为 ， ， 是直角三角形， ， ， 是钝角三角形， 直角三角形与钝角三角形不可能相似， 不存在 与 相似； 同理，当分割线经过点D 时， 是直角三角形， 是钝角三角形，不存在 与 相似，说法C 不正确； 对于D 选项：当分割线经过点B 且 时， 均为等腰直角三角形， ， 58 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当分割线经过点E 且 时， 均为含 的直角三角形， ，故说法D 正确 ． 2．（25-26 八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图①，在等边三角形 中，点D 是边 上一动点（不与 点B，C 重合），以 为边向右作等边 ，边 与 相交于点F，设 ， ，若y 与x 的 函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形 的面积为（ ） A．6 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】设等边三角形 的边长为a，先证明 ，可得 ，所以 ，根据 二次函数的最大值为 列方程求解，得到 ，即可求得答案． 【详解】解：设等边三角形 的边长为a，则 ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 59 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， 当 时，y 的最大值为 ， ， 解得 ， 等边三角形 的面积为 ． 3．（2026·浙江宁波·二模）如图，矩形 内接于 ，点E 是 上一点，连接 、 分别交 于点F、G．若点F 是 的中点， ， ，则 的长为________． 【答案】 / 【分析】连接 ，首先证明 为 直径，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半”可得 ，进而证明 均为等腰三角形，可得 ， ；证明 ，由相似三角形的性质可解得 ，进一步可得 ；证明 ，由相似三角形的性质进一步求解即可． 【详解】解：如下图，连接 ， 60 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵四边形 为矩形， ∴ ， ， ， ∴ 为 直径， ∴ ， ∵点F 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ，解得 （负值舍去）， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ，解得 ． 4．（25-26 九年级下·浙江杭州·期中）如图，在 中，点 在 上， ，过 上一 点 作 于点 ，使得 ，连结 ，若 ， ，则 的长为________． 61 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】6 【分析】由 且 可得 ，进而证得 ，利用相似比及 建立 、 、 的数量关系；作 的角平分线 ，利用 证得 ，结合角平分线性 质及勾股定理列方程求解 的长，进而求得 ． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ①， 作 的平分线 交 于点 ， ， ， ， 又 ， ， ， 62 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， 在 中， 平分 ， ∴点K 到到 等距， ∴ ， ， ， ， ②， 由①得 ， 代入②得 ， ， ， ， 在 中， ， ， ， 两边同乘 得 ， 展开整理得 ， ， ， 即 ， 解得 或 ， 经检验 符合题意， 63 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ． 5．（2026·浙江温州·三模）【问题背景】 小龙同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”．如图1，若P 是 内部一点，且 ，则称点P 为 的布洛卡点，同时称 为 的布洛卡角．布洛卡点的发 现，引起了小龙同学研究“三角形几何”的极大热情． 【解决问题】 (1)如图2，P 为等边三角形 的布洛卡点，求 的布洛卡角的度数． (2)如图3，在 中， ， ，点 为 的布洛卡点，且 ．设 ， 请用m 的代数式表示 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明 ，根据等边所对的角相等列出等量关系式即可解得． （2）证明 ，再根据相似的性质求线段长即可． 【详解】（1）解：∵P 为等边三角形 的布洛卡点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理可得 ， 在 和 中， 64 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解： ， ， ， 又 ， ，则 ， ， ，即 ， ． 6．（2026·浙江温州·二模）在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同 的折叠方式，感受数学的奥秘． 【实践操作1】折法：如图1． 步骤1：将正方形 对折，得到折痕 ，连接 ； 步骤2：将正方形沿 折叠，使点 翻折至点 处， 交 于点 ． 【实践操作2】折法：如图2． 步骤1：将正方形 对折，得到折痕 ，连接 ． 步骤2：将正方形折叠，使点 落在 上，得点 ，得到折痕 ． 【问题解决】 65 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)在实践操作1 中，猜想 的形状，并说明理由． (2)在实践操作2 中，若 ，求 的长． 【答案】(1) 是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由 得 ，由折叠得 ，可得 ，由等角对等 边可得结论； （2）由折叠得 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，得 ， 得出 ，设 ，则 ，由勾股定理得出 ，证明 ，四边形 是矩形，得 ，求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：猜想： 是等腰三角形，理由如下： ∵正方形 对折得到折痕 ， ∴ ，且 垂直平分 , ， ∴ ， 由折叠得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形； （2）解：∵四边形 是正方形， ， ∴ ， ， ， 由折叠得 垂直平分 ， ∴ 为 的中点， ∴ ， 如图，过点 作 交 于点 ，交 于点 ， ∴ ， ， 66 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ , 由折叠得 , ∴ ， ∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形， 又 , ∴四边形 是矩形， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 7．已知 ， ， ． (1)找出与 相等的角并证明； (2)求证： ； (3) ， ，求 ． 67 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)与 相等的角是 . 证明： ， ， ， ； (2)证明：如图，在 上截取 ，使 ，连接 ， 由（1）得 ，即 ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ． (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质直接求解即可； （2）在 上截取 ，使 ，即可证明 ，可得 和 均为等腰三角形且顶 68 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 角相等，即可证明 ； （3）由（2）可得 ，即可得 ，设 ，则 ，根据 ，可求得 ，即可证明 ，列比例求出 ，代入 以上数据即可求得 的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知： ， ∴ ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， 则 ， 又 ， ， ， ， ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 8．（2026·浙江温州·二模）如图1，在 中， ， 是斜边上的中线， ， ． 69 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求 的长． (2)如图2，是线段 上的一点，连接 ，作 与 关于直线 对称，延长 交直线 于 ． ①当 时，求 的长． ②求 的最小值． 【答案】(1) (2)① ；②1 【分析】（1）由直角三角形的性质可得 ，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）①由直角三角形的性质可得 ， ，由勾股定理可得 ，则 ，由折叠的性质可得 ，即可得出 ， ， ，由平行 线的性质并结合等边对等角得出 ，延长 交 于点 ，作 于点 ，则 ， ，证明 ，设 ，则 ，求出 ， 再证明 ，得出 ，最后再由勾股定理计算即可得出结果；②由①可得 ， ，从而可得 ，由垂线段最短可得，当点 与点 重合时，此时 的长最小 为，进而得出 的最小值为，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在 中， ， 是斜边上的中线， ， ， ∴ ， ∴ ； （2）解：①∵在 中， ， 是斜边上的中线， ∴ ， ， ， ∴ ， 由折叠的性质可得 ， ∴ ， ， ， 70 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 如图，延长 交 于点 ，作 于点 ， 则 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 71 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得： ， ∴ ； ②由①可得： ， ， ∴ ， ∴ ， 由垂线段最短可得，当点 与点 重合时，此时 的长最小为， ∴ 的最小值为， ∴ 的最小值为 ． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）已知， 内接于圆 ， ，连接 并延长交 边于点 ，交圆 于点 ，连接 、 ． (1)如图1，当 时，求 的度数． (2)如图2，当 平分 时． ①求证： ． ②若 ，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易得 是等边三角形，然后问题可求解； （2）①由题意易得 ，然后问题可求证； ②由题意易得 ，则有 ，然后可得 ，设 ，则有 ， 进而通过①中的相似可得 ，则 ，最后根据勾股定理建立方程进 行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， 72 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ； （2）①证明：∵ 平分 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； ②∵ ， ， ∴ 是等腰三角形，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， 设 ，则有 ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， 73 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 整理得： ， 解得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 10．（2026·浙江台州·二模）如图①，已知四边形 是 的内接四边形， 、 的延长线交于点 ， 、 的延长线交于点 ，连接 ，已知 ． (1)若 ，求 的度数； (2)求证： ； (3)如图②，若 是直径， ，求 的值（用含k 的代数式表示）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用等腰三角形性质、圆内接四边形对角互补求解； （2）在 上截取一点 使 ，连接 ，证明 ，根据角的关系推导 ，得 到结论； （3）由 为直径得直角，结合相似三角形性质、等腰三角形边角关系求解． 【详解】（1）解： 四边形 是 的内接四边形， ， 又 ， ， ． 74 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：在 上截取一点 使 ，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：过点F 作 于点H，连接 ，在 上截取一点 使 ，连接 ， 根据（2）的结论， ， ， ， ， 根据圆周角定理， ， 是等腰三角形， 根据等腰三角形性质， ， ， 为直径， ， ， ． 75 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，已知 内接于 ， ， ，连结 并延长交 于点 ．点 是线段 上异于端点的动点，过点 作 分别交 ，边 ，边 于点 ， ， ，且点 在 左侧． (1)求证： ； (2)求证： ； (3)设 ，当 时，求 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到 ， ．根据等边对等角得到 ，则 ，根据等角的补角相等即可得到结论； （2）连结 ， ， ，证明 ，则 ，由 即可得到结论； （3）证明 ，得到 ，又由 ， ，得到 ，设 ，根据二次函数的性质进行解 答即可． 【详解】（1）证明： ， ， ． 又 ， ， 76 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ； （2）证明：连结 ， ， ， ∵ ， ， ∵ ， ． 又由（1）知 ， ， ，即 ， ∵ ， ； （3）解：∵在 中， ， ， 而 过点 ， ， ∵ ∴ ， ， ， 又 ， ， ， ． 77 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又 ， ， ． 设 ， 又 ， ∴当 时， ． 当 时， ， 即 ， ∴当 时， ． 12．（2026·浙江湖州·二模）如图，在锐角 中， ，以 为直径作半圆交 ， 于点 ， ，在弦 的延长线上取点 ，使 ，将 沿 翻折至 ，延长 交射线 于点 ． (1)若 ，求 的度数． (2)求证：四边形 是平行四边形． (3)若 ，求 的值． 【答案】(1) (2)证明：∵ ， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 78 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由（1）得： ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形． (3) 【分析】（1）先推导出 ，再根据翻折，得到 ，则 ，即可解答； （2）先推导出 ，得到 ，则 ，继而推导出 ，得到 ，则四边形 是平行四边形，即可解答； （3）连结 ，设 ，则 ， ，推导出 ， ，设 ， 推导出 ， ，得到 ，即 ，继而推导出 ， 得到 ， ，延长 ， 交于点 ，推导出 ，得到， ，进而推导出 ，得到 ，则 ，再根据 ， 得到 ，解得 ，则 ，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形 内接于圆， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 沿 翻折至 ， ∴ ， ∴ ． （2）略 （3）解：如图，连结 ，设 ，则 ， ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， 设 ， ∵ 是直径， ∴ ，即： ， 79 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， 由四边形 内接于圆，同理可得 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故 ，即： ， ， ， 延长 ， 交于点 ， ∵四边形 内接于圆， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故 ，即： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故 ， 即 ， ， ∴ ， 80 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由 得： ，故 ， 由 ，解得： ， ∴ ，即： 的值为 ． 13．（2026·浙江杭州·一模）如图（1），已知正方形 ，矩形 ，其中，B 在边 上，D 在边 上，正方形 的边长为2．设矩形 的边 ， （a，b 均为小于等于2 的正数）．将 矩形的两个角翻折，使G 落在边 上点N 处，E 落在边 上点M 处， 为折痕，连接 ． (1)若M，N 分别为 的中点，求 的长． (2)若 ，求矩形 的面积． (3)如图（2），连接 ，若 恰好经过点C，求证： ． 【答案】(1) (2)8 (3)见解析 【分析】（1）由中点的定义可得 ，再利用勾股定理求解即可； （2）由翻折的性质可得 是正方形，即 、 ，进而得到 ， 利用勾股定理可得 ，再结合 可得 ，进而得到 ，整理得 ，再根据矩形的面积公式求解即可； （3）由（2）求解过程可知： ， ， ， ， 是正方形，易证 可得 ，即 ，整理得： ；再证明 ， 易证四边形 是平行四边形可得 ；再证明 可得 ，进而 证明结论． 【详解】（1）解：∵M，N 分别为 的中点， 81 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ． （2）解：∵将矩形的两个角翻折，使G 落在边 上点N 处，E 落在边 上点M 处， ∴ 是正方形， ∴ ， ， ∵矩形 的边 ， （a，b 均为小于等于2 的正数）． ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，整理得： ， ∴矩形 的面积 ． （3）解：由（2）求解过程可知： ， ， ， ， 是正方形， ∴ ， ， ， ∵矩形 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，同理可得： ， ∴ ， 同理可得： ， ∴ ， ∴ ，即 ，整理得： ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 82 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ． 14．（25-26 九年级上·广西贵港·期中）［综合与实践］ 同学们综合利用数学和物理知识可以解决生活中很多实际问题．例如：已知树 ， 和灯柱 ，如图1 所示，在灯柱 上有一盏路灯 （ 与 重合），树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵树在路灯下都有 影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定物体在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图1，若树 的高度为4 米，其离路灯的距离 为6 米，两棵树的影长 ， 均为3 米，两棵树 之间的距离 为6 米，求树 的高度； (2)如图2，建筑物 高为50 米，建筑物 上有一个LED 广告牌 ，合计总高度 为60 米，两座建 筑物之间的直线距离 为30 米．一个观测者（身高不计）先站在 处观测，发现能看见广告牌 的底 端 处，观测者沿着直线 向前走了10 米到 处观测，发现刚好看到广告牌 的顶端 处．则广告牌 的高度为多少米？ (3)以上两个案例是用数学中哪些知识来解决问题的？从以上两个案例中，谈谈你的收获．（写出一条即可） 【答案】(1)树 的高度为 米 (2)广告牌 的高度为 米 83 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3) 问题①目的：引导学生从解题上升到讲理，提炼共性原理（相似三角形判定与性质），核心是建立模型观念 ——通过构造“A 型”或“X 型”相似模型，将不可测的实际问题转化为可计算的比例问题，从而深化应 用意识，理解数学是解决现实问题的有力工具． 用数学中相似三角形的判定和性质的知识来解决问题 问题②目的：建立数学与生活的桥梁．引导学生反思学习过程，审视数学与现实的联系；同时为教师提供 教学反馈，优化实践环节设计．（以下答案仅供参考，写一条即可） 1.知识层面:理解了相似三角形“由平行判定相似”和“对应边成比例”的核心性质，掌握了将实际测量问 题转化为几何模型的方法，体会到数学知识与现实生活的紧密联系． 2.能力层面:提升了动手操作能力(如测量高度、调整观测位置)、逻辑推理能力(通过已知条件推导相似关系) 和问题解决能力，学会了用数学思维分析和解决实际测量难题． 3.思维层面:感悟到“建模思想”(将树高、影子等实际量抽象为三角形边长)和“转化思想”(将未知量转化 为可测量的已知量)，培养了从实际情境中提取数学信息的意识． 4.实践层面:认识到测量过程中“同一时刻”“同一直线”等细节对结果准确性的影响，养成了严谨、细致的 科学探究态度，理解了团队协作(如分工测量、核对数据)的重要性． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键． （1）证明 ，根据相似三角形的性质列出比例式求出 ，再根据 求出 即可； （2）根据 求出 ，再根据 求出 ，进而求出 ； （3）开放型题目，言之有理即可． 【详解】（1）解：由题意画出图形，如图， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 84 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 答：树 的高度为 米； （2）如图， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得： 米， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得： ， ∴ （米）， 答：广告牌 的高度为 米． （3）略 15．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1 中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形， 85 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 它们的面积 ， ， 之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究 （1）如图2，在 中， 为斜边，分别以 为斜边向外侧作 ， ， ， 若 ，则面积 ， ， 之间的关系式为 ； 推广验证 （2）如图3，在 中， 为斜边，分别以 为边向外侧作任意 ， ， ， 满足 ， ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若 不成立，请说明理由； 拓展应用 （3）如图4，在五边形 中， ， ， ， ，点 在 上， ， ，求五边形 的面积． 【答案】（1） ；（2）结论成立，证明看解析；（3） 【分析】 （1）由题目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC 均为直角三角形，又因为 ，则有 ∽ ∽ ，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，找到从而找到面积之间的关 系； （2）在△ABD、△ACE、△BCF 中， ， ，可以得到 ∽ ∽ ， 利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，从而找到面积之间的关系； （3）将不规则四边形借助辅助线转换为熟悉的三角形，过点A 作AH BP 于点H，连接PD，BD，由此可 知 ， ，即可计算出 ，根据△ABP∽△EDP∽△CBD，从而有 ，由（2）结论有， 最后即可计算出四边形ABCD 的面积． 【详解】（1）∵△ABC 是直角三角形， ∴ ， ∵△ABD、△ACE、△BCF 均为直角三角形，且 ， 86 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∽ ∽ ， ∴ ， ， ∴ ∴ 得证． （2）成立，理由如下： ∵△ABC 是直角三角形， ∴ ， ∵在△ABD、△ACE、△BCF 中， ， ， ∴ ∽ ∽ ， ∴ ， ， ∴ ∴ 得证． （3）过点A 作AH BP 于点H，连接PD，BD， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴PH=AH= ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ，ED=2， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴△ABP∽△EDP， 87 / 87 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴△ABP∽△EDP∽△CBD ∴ 故最后答案为 ． 【点睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性质，若两三角形相似，则有面积的比值为边长的平方，根据 此性质找到面积与边长的关系即可；（3）主要考查了不规则四边形面积的计算以及（2）的结论，其中合理 正确利用前面得出的结论是解题的关键．
