文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1 / 29
第一章 三角形
知识点一·三角形的有关概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的表示：用符号"△"表示，顶点为A、B、C 的三角形记作"△ABC"，读作"三角形ABC"。
3.三角形的三要素：三条边、三个内角、三个顶点。
4.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
知识点二·三角形的边角关系
1.°三边关系：三角形任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边。
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2 / 29
①判断三条线段能否组成三角形：只需验证较短两边之和大于最长边。
②已知两边求第三边范围：第三边大于两边之差，小于两边之和。
2.内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
3.外角性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
4.直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。
知识点三·三角形的分类
1.按角分类：
①锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；
②直角三角形：有一个角是直角的三角形；
③钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
2.按边分类：
①不等边三角形：三条边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形（相等的边叫腰，另一边叫底）；
③等边三角形：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。
知识点四·定义与命题
1.定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
2.命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
3.命题的结构：由条件和结论两部分组成，通常可以写成"如果……那么……"的形式。
4.真命题与假命题：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
5.定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，定理可以作为继续推理的依据。
知识点五·证明
1.证明的含义：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、
定理（包括推论），一步步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。
2.证明的一般步骤：
①根据题意，画出图形；
②在"已知"中写出条件，在"求证"中写出结论；
③在"证明"中写出推理过程。
3.反证法：先假设命题不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推理，最后得出与已知条件或定义、
基本事实、定理等矛盾，从而得出假设不成立，即所求证的命题正确。
知识点六·全等三角形
1.全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
3.表示方法：用符号"≌"表示，读作"全等于"。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写
在对应位置上。
4.对应元素：互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
5.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3 / 29
知识点七·三角形全等的判定
1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
2.边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
3.角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
4.角角边（AAS）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
6.注意：SSA（两边及其中一边的对角）和AAA（三角对应相等）不能判定两个三角形全等。
知识点八·角平分线与垂直平分线的性质
1.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2.角平分线的判定（逆定理）：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
4.线段垂直平分线的判定（逆定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
易错点1·三角形三边关系的应用
易错提醒
1.判断三条线段能否组成三角形时，只需验证较短两边之和大于最长边即可，不需要逐一验证三组不等
式。
2.已知两边长求第三边范围时，第三边大于两边之差且小于两边之和，注意差取绝对值。
3.等腰三角形已知两边求周长时，必须分类讨论哪条边是腰，并逐一验证是否满足三边关系，防止漏解
或多解。
【对点训练】1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，9cm
B．6cm，7cm，13cm
C．9cm，9cm，19cm
D．11cm，18cm，22cm
【答案】D
【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形．
【详解】解：A 中，3 + 5 = 8 < 9，不能组成三角形．
B 中，6 + 7 = 13，不能组成三角形．
C 中，9 + 9 = 18 < 19，不能组成三角形．
D 中，11 + 18 = 29 > 22，能组成三角形．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
4 / 29
【对点训练】2．如图，小明为估计池塘岸边𝐴，𝐵间的距离，在池塘一侧选取了一点𝑂，测得𝑂𝐴= 20 m，
𝑂𝐵= 15 m，那么𝐴，𝐵间的距离可能是（ ）
A．5 m
B．35 m
C．40 m
D．23 m
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系定理，确定第三边𝐴𝐵的取值范围，进而判断选项即可．
【详解】解：∵在△𝑂𝐴𝐵中，𝑂𝐴= 20 m，𝑂𝐵= 15 m，
∴根据三角形的三边关系可得：𝑂𝐴−𝑂𝐵< 𝐴𝐵< 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵 ，
即 5m < 𝐴𝐵< 35m，选项中只有23 m符合该范围．
【对点训练】3．若a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三条边长，则|𝑐+ 𝑎−𝑏| −|𝑐−𝑎−𝑏| −|𝑏+ 2𝑐|的化简结果为_______
【答案】−3𝑏
【分析】根据三角形的三边关系可得𝑐+ 𝑎−𝑏> 0, 𝑐−𝑎−𝑏< 0, 𝑏+ 2𝑐> 0，再去绝对值 ，最后合并
同类项即可．
【详解】解：∵a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三条边长，
∴𝑐+ 𝑎−𝑏> 0, 𝑐−𝑎−𝑏< 0, 𝑏+ 2𝑐> 0，
∴|𝑐+ 𝑎−𝑏| −|𝑐−𝑎−𝑏| −|𝑏+ 2𝑐|
= 𝑐+ 𝑎−𝑏−[−(𝑐−𝑎−𝑏)] −(𝑏+ 2𝑐)
= 𝑐+ 𝑎−𝑏+ 𝑐−𝑎−𝑏−𝑏−2𝑐
= −3𝑏．
【对点训练】4．若等腰三角形的两条边长为3 和8，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．14
B．16
C．19
D．14 或19
【答案】C
【分析】分3 是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①3 是腰长时，三角形的三边分别为3、3、8，
∵3+3=6＜8，
∴此时不能组成三角形；
②3 是底边长时，三角形的三边分别为3、8、8，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
5 / 29
此时能组成三角形，
所以，周长=3+8+8=19，
综上所述，这个等腰三角形的周长是19．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题的关键在于要分情况讨论．
易错点2·三角形内角和与外角性质的混淆
易错提醒
1.三角形内角和为180°；外角是一边与另一边延长线组成的角，不是三角形内部的角。
2.外角等于与它不相邻的两个内角之和，关键词是"不相邻"，不能漏掉限定条件。
3.外角大于任何一个与它不相邻的内角，不是大于三角形的所有内角。
4.直角三角形的两个锐角互余（和为90°），这是内角和定理的推论，不要与外角性质混淆。
【对点训练】1．如图，AB ∥CD，直线𝐸𝐹分别交𝐴𝐵、𝐶𝐷于𝐸、𝐹，𝐸𝐺平分∠𝐵𝐸𝐹，若∠2 = 72°，则∠1的
度数为_________．
【答案】36°
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义得到∠𝐹𝐸𝐺= ∠𝐵𝐸𝐺= ∠2，再根据三角形的内角和定理
即可解答．
【详解】解：∵AB ∥CD，
∴∠2 = ∠𝐵𝐸𝐺，
∵𝐸𝐺平分∠𝐵𝐸𝐹，
∴∠𝐹𝐸𝐺= ∠𝐵𝐸𝐺= ∠2，
∵∠2 = 72°，
∴∠𝐹𝐸𝐺= ∠𝐵𝐸𝐺= 72°，
∴∠1 = 180° −∠𝐹𝐸𝐺−∠2 = 36°，
故答案为36°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及角平
分线的定义是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
6 / 29
【对点训练】2．如图，∠𝐵= 46°，∠𝐴+ 10° = ∠1，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，则∠𝐴𝐶𝐷=________°．
【答案】62
【分析】根据三角形的内角和等于180°，得出∠𝐴的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出
∠𝐴𝐶𝐷的度数．
【详解】解：∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠1 = 180°，
又∵∠𝐵= 46°，∠𝐴+ 10° = ∠1，
∴∠𝐴+ 46° + ∠𝐴+ 10° = 180°，
解得：∠𝐴= 62°，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴= 62°．
故答案为：62
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
【对点训练】3．如图，直线𝑙1∥𝑙2，直线AB 交𝑙1，𝑙2于D，B 两点，𝐴𝐶⊥𝐴𝐵交直线𝑙1于点C．若∠1 = 20°，
则∠2 =__________．
【答案】110°/110 度
【分析】利用垂直定义和三角形内角和定理计算出∠ADC 的度数，再利用平行线的性质可得∠3 的度数，
再根据邻补角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示：
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
7 / 29
∵AC⊥AB，
∴∠A=90°，
∵∠1=20°，
∴∠ADC=180°-90°-20°=70°，
∵𝑙1∥𝑙2，
∴∠3=∠ADC=70°，
∴∠2=180°-70°=110°，
故答案为：110°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角定理，垂直的定义，关键是掌握两直线平行，同位
角相等．
【对点训练】4．若△ABC 的三个内角∠𝐴, ∠𝐵, ∠𝐶满足关系式∠𝐵+ ∠𝐶= 3∠𝐴，则此三角形（ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是钝角三角形
C．一定有一个内角为45°
D．一定有一个内角为60°
【答案】C
【分析】此题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，结合已知条件∠𝐵+ ∠𝐶= 3∠𝐴，可
求出∠𝐴的度数，从而判断选项
【详解】∵ ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°（三角形内角和定理），
又∵ ∠𝐵+ ∠𝐶= 3∠𝐴（已知），
∴∠𝐴+ 3∠𝐴= 180°，即 4∠𝐴= 180°，
∴∠𝐴= 45°，
∴ 此三角形一定有一个内角为45°，故选项C 正确，
选项A 错误，因为∠𝐵和∠𝐶可能均为锐角（如80°和55°）或有一个钝角（如100°和35°），不一
定是锐角三角形；
选项B 错误，理由同A，不一定是钝角三角形；
选项D 错误，因为∠𝐴= 45°，且∠𝐵和∠𝐶之和为135°，但可能不含60°（如50°和85°），
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
8 / 29
故选：C
易错点3·三角形分类中的概念交叉
易错提醒
1.°等边三角形是特殊的等腰三角形，不是独立于等腰三角形之外的类别，按边分类时二者是包含关系。
2.°按角分类时，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角，其余角均为锐角。
3.°等腰直角三角形既是等腰三角形又是直角三角形，两种分类标准可以交叉，不要认为一个三角形只
能属于一类。
【对点训练】1．下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系的分类方法是解题的关键．
将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包括等边三角形，
据此即可解答．
【详解】解：将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包
含等边三角形，即A 选项符合题意．
故选：A．
【对点训练】2．如图，点B 在∠𝐴的一条边上固定不动，点C 在∠𝐴的另一条边上可以任意移动，连接𝐵𝐶，
三角形𝐴𝐵𝐶（ ）
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
9 / 29
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形
A．只能是①
B．只能是④
C．可能是①②③
D．可能是①②③④
【答案】D
【分析】此题主要考查三角形的分类，分别画出图形判断即可．
【详解】解：如图，当∠𝐴𝐵𝐶< 90°,∠𝐴𝐶𝐵< 90°时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为锐角三角形；
如图，当∠𝐴𝐵𝐶= 90°或∠𝐴𝐶𝐵= 90°时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为直角三角形；
或
如图，当∠𝐴𝐵𝐶> 90°或∠𝐴𝐶𝐵> 90°时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为钝角三角形；
或
如图，当𝐴𝐵= 𝐴𝐶或𝐴𝐵= 𝐵𝐶或𝐴𝐶= 𝐵𝐶时，此时三角形𝐴𝐵𝐶为等腰三角形；
或
或
综上，三角形𝐴𝐵𝐶可能是①②③④．
故选：D．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
10 /
易错点4·定义与命题的区分及命题改写
易错提醒
1.定义是规定名称或术语意义的句子，命题是对事情作出判断的句子，二者功能不同，不能混为一谈。
2.命题必须作出判断，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。
3.将命题改写为"如果……那么……"形式时，条件和结论要准确区分，不能改变原意。
4.假命题也是命题，不能因为判断不正确就认为它不是命题。
【对点训练】1．命题“对顶角相等”的题设是：___________．
【答案】
两个角是对顶角
【分析】本题考查命题的结构，命题由题设和结论组成，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，
“如果”引出的部分即为题设，据此求解即可.
【详解】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“如
果”引领的部分是题设，
因此该命题的题设是两个角是对顶角.
【对点训练】2．下列语句表示命题的是（ ）
A．作∠𝐴的平分线
B．内错角不相等
C．直角都相等吗
D．画一条线段
【答案】B
【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据定义逐一判断各选项即可．
【详解】解：A 选项、“作∠𝐴的平分线”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不
符合题意；
B 选项、“内错角不相等”对内错角的大小关系作出了明确判断，是命题，故此选项符合题意；
C 选项、“直角都相等吗”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意；
D 选项、“画一条线段”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意．
易错点5·证明过程中的逻辑错误
易错提醒
1.证明必须从已知条件出发，不能把结论当作条件使用，否则犯循环论证的错误。
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
11 /
2.每一步推理都要有依据（定义、基本事实、定理、推论），不能"想当然"或跳步。
3.辅助线要用虚线画出，并在证明开头说明作法（如"连接XX""过点X 作XX⊥XX 于X"）。
4.反证法第一步是假设命题不成立（即结论的反面成立），不是假设结论成立。
【对点训练】1．A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进
行到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1 场球，由此可知，F队比赛场
数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】本题考查单循环赛制问题，利用单循环赛每队最多比赛5 场的规则，从比赛场次最多的A 出
发逐步推理，结合各队已知场次推出F 的比赛场数．
【详解】解：∵六个队进行单循环赛，每个队最多和其余5 队各赛1 场，即每个队最多比赛5 场，
∵A 已比赛5 场，
∴A 与B，C，D，E，F 都已比赛过；
∵E 仅比赛1 场，
∴E 只和A 比赛过，未与B，C，D，F 比赛；
∵B 已比赛4 场，B 已和A 比赛，未和E 比赛，
∴B 与A，C，D，F 都已比赛过，刚好满足4 场；
∵D 已比赛2 场，D 已和A、B 比赛过，刚好满足2 场，因此D 未和C，E，F 比赛；
∵C 已比赛3 场，C 已和A，B 比赛，未和E，D 比赛，
∴C 只能和F 比赛，满足3 场要求；
统计F 的比赛场次：F 分别和A，B，C 各赛1 场，共3 场，
因此F 队比赛场数是3，选B．
【对点训练】2．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就
不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可
能正确的是（ ）
A．甲一个人去了
B．乙、丙两个人去了
C．甲、丙、丁三个人去了
D．四个人都去了
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
12 /
【分析】先根据四人的表述推出确定结论，再逐一排除错误选项，验证得到正确结果．
【详解】解：∵丙说：“无论丁去不去，我都去．”
∴丙一定去．
∵乙说“丙去，我就不去”，丙去，
∴乙一定不去，
A 选项，甲一个人去，与丙一定去矛盾，错误，不符合题意．
B 选项，乙丙两个人去，与丙去则乙不去矛盾，错误，不符合题意．
D 选项，四个人都去，与乙一定不去矛盾，错误，不符合题意．
C 选项，甲丙丁三个人去：符合丙去乙不去的结论，甲的表述为“乙去我就肯定去”，乙不去不影响甲
去，丁的表述为“甲乙中至少有一人去，我就去”，甲去满足条件，丁去符合要求，所有条件均成立，
结论正确，符合题意．
易错点6·全等三角形对应元素的确定
易错提醒
1.记两个三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上，不能随意排列，否则对应关系会错乱。
2.对应边、对应角是根据重合关系确定的，不是凭图形直观或长短大小判断。
3.公共边、公共角一定是对应边、对应角；但对应边、对应角不一定是公共的。
4.两条直线相交形成的对顶角是对应角。
【对点训练】1．如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴，𝐴𝐵和𝐶𝐷，𝐵𝐶和𝐷𝐴是对应边，则∠𝐵的对应角是（ ）
A．∠𝐶𝐴𝐷
B．∠𝐷
C．∠𝐴𝐶𝐷
D．∠𝐴𝐶𝐵
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴，𝐴𝐵和𝐶𝐷，𝐵𝐶和𝐷𝐴是对应
边，点𝐴与点𝐶对应点，点𝐵与点𝐷是对应点，由此即可得到∠𝐵的对应角，理解其概念是解题的关键．
【详解】∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴，
∴∠𝐵的对应角是∠𝐷，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
13 /
故选：B．
【对点训练】2．如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB 的对应边是（ ）
A．DB
B．BC
C．CD
D．AD
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质得出∠CDB＝∠ABD，得出对应边BC 和DA，而BD 和BD 是对应边，故而
得出AB 的对应边为CD．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD，
∴这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，
∴BC 和DA 为对应边，
∴AB 的对应边为CD．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，解题关键是掌握全等三角形的性质．
【对点训练】3．如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴．下列结论：①𝐴𝐵与𝐴𝐷是对应边；②𝐴𝐶与𝐶𝐴是对应边；③∠𝐵𝐴𝐶与
∠𝐷𝐴𝐶是对应角；④∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐴𝐶𝐷是对应角．其中正确的是________．（填序号）
【答案】②④
【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角．
根据全等三角形的有关概念，即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴，
∴𝐴𝐵与𝐶𝐷是对应边，故①错误；
𝐴𝐶与𝐶𝐴是对应边，故②正确；
∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐴𝐶𝐷是对应角，故③错误；
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
14 /
∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐴𝐶𝐷是对应角，故④正确．
所以正确的有②④．
故答案为：②④
易错点7·全等三角形判定定理的误用
易错提醒
1.SAS 中的角必须是两边的夹角；SSA（两边及其中一边的对角）不能判定全等。
2.ASA 中的边必须是两角的夹边；AAS 是两角及其中一角的对边，二者不要混淆。
3.AAA（三角对应相等）只能判定三角形相似，不能判定全等。
4.HL 只适用于直角三角形，且必须是斜边和一条直角边对应相等，两条直角边对应相等用的是SAS。
5.判定全等至少要有一组边对应相等，全是角相等不行。
【对点训练】1．如图，∠𝐴= ∠𝐵，∠1 = ∠2，点D 在𝐴𝐶边上，𝐴𝐸和𝐵𝐷相交于点O．
(1)若∠2 = 40°，求∠𝐴𝐸𝐵的度数；
(2)若∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐶，求证：△𝐴𝐸𝐶≌△𝐵𝐸𝐷．
【答案】(1)40°
(2)证明：∵∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐶，
∴𝐸𝐶= 𝐸𝐷，
由（1）可知：∠𝐴𝐸𝐵= ∠1，
又∵∠1 = ∠2，
∴∠2 = ∠𝐴𝐸𝐵，
∴∠2 + ∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐷，即∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷，
在△𝐴𝐸𝐶和△𝐵𝐸𝐷中，
{
∠𝐴= ∠𝐵
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷
𝐸𝐶= 𝐸𝐷
，
∴△𝐴𝐸𝐶≌△𝐵𝐸𝐷(AAS)．
【分析】（1）在△𝐴𝑂𝐷和△𝐵𝑂𝐸中，利用三角形内角和定理可得∠1 = ∠𝐴𝐸𝐵，从而得到答案；
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
15 /
（2）先证明𝐸𝐷= 𝐸𝐶，∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷，再利用AAS可证得△𝐴𝐸𝐶≌△𝐵𝐸𝐷．
【详解】（1）解：∵∠𝐴= ∠𝐵，∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐴𝑂𝐷，点D 在𝐴𝐶边上，𝐴𝐸和𝐵𝐷相交于点O，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠1，
又∵∠1 = ∠2，∠2 = 40°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠1 = ∠2 = 40°；
（2）略．
【对点训练】2．如图，D、C、F、B 四点在一条直线上，𝐴𝐶= 𝐸𝐹，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐸𝐹⊥𝐵𝐷，垂足分别为点C、
点F，𝐶𝐷= 𝐵𝐹．求证：
(1)△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐹；
(2)𝐴𝐵∥𝐷𝐸．
【答案】(1)证明：∵𝐶𝐷= 𝐵𝐹，
∴𝐶𝐷+ 𝐶𝐹= 𝐵𝐹+ 𝐶𝐹，即𝐷𝐹= 𝐵𝐶，
∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐸𝐹⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐹𝐸= 90°，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐷𝐹中
{
𝐴𝐶= 𝐸𝐹
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐹𝐷
𝐵𝐶= 𝐷𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐹(SAS)；
(2)证明：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐹，
∴∠𝐵= ∠𝐷，
∴𝐴𝐵∥𝐷𝐸．
【分析】（1）根据等式的性质可得出𝐷𝐹= 𝐵𝐶，然后根据SAS证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐹；
（2）根据（1）中△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐹得出∠𝐵= ∠𝐷，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】（1）略
（2）略
【对点训练】3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐹在边𝐴𝐵上，且∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐶𝐹于点𝐷，𝐷𝐸∥𝐶𝐵
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
16 /
交𝐴𝐵于点𝐸．
(1)△𝐴𝐸𝐷与△𝐴𝐶𝐷全等吗？请说明理由；
(2)若𝐶𝐹= 7，𝐴𝐶= 8，𝐴𝐹= 5，求△𝐷𝐸𝐹的周长．
【答案】(1)△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐷，理由如下：
∵𝐷𝐸∥𝐶𝐵，
∴ ∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐵，
∵∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵 ，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐸𝐷，
∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐹 ，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐷(AAS)；
(2)10
【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐸𝐷，再由AAS证明即可；
（2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果．
【详解】（1）略
（2）解：∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐷, 𝐴𝐶= 8，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶= 8, 𝐶𝐷= 𝐸𝐷，
∵𝐴𝐹= 5，
∴𝐸𝐹= 𝐴𝐸−𝐴𝐹= 8 −5 = 3，
∵𝐶𝐹= 7，
∴△𝐷𝐸𝐹的周长为𝐹𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐹= 𝐹𝐷+ 𝐷𝐶+ 𝐸𝐹= 𝐶𝐹+ 𝐸𝐹= 7 + 3 = 10．
易错点8·角平分线与垂直平分线性质的误用
易错提醒
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
17 /
1.角平分线性质中的"距离"是指点到角两边的垂线段长度，不是任意线段的长度。
2.垂直平分线性质中的"两端点"是指被垂直平分的那条线段的两个端点，不是任意两点。
3.性质与判定（逆定理）要区分：已知平分线/垂直平分线→得距离相等是性质；已知距离相等→得点在平分
线/垂直平分线上是判定。
4.三角形三条角平分线交于一点（内心），三条垂直平分线交于一点（外心），交点位置不要记混。
【对点训练】1．有不在同一直线的𝐴, 𝐵, 𝐶三个村庄，现要建设一个活动中心，使三个村庄到活动中心的距
离相等，则活动中心应建在（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶三条中线的交点
B．△𝐴𝐵𝐶三条角平分线的交点
C．△𝐴𝐵𝐶三条高线的交点
D．△𝐴𝐵𝐶三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可确定满足条件的点
的位置.
【详解】解：∵线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等.
∴要使点到𝐴，𝐵的距离相等，该点一定在𝐴𝐵的垂直平分线上，
同理，要使点到𝐵，𝐶的距离相等，该点一定在𝐵𝐶的垂直平分线上.
∴两条垂直平分线的交点，到𝐴，𝐵，𝐶三个点的距离都相等，
∴活动中心应建在△𝐴𝐵𝐶三条边的垂直平分线的交点.
【对点训练】2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶> 𝐴𝐶> 𝐴𝐵，以点A 为圆心，𝐴𝐵的长为半径作弧交𝐵𝐶于点D，再
分别以点D 和点C 为圆心，大于
1
2 𝐷𝐶的长为半径作弧，两弧分别相交于点M 和点N，作直线𝑀𝑁交𝐴𝐶于
点E，交𝐵𝐶于点F．若𝐵𝐷= 6，𝐷𝐹= 4，△𝐴𝐷𝐸的周长是15，则△𝐴𝐵𝐶的周长为（ ）
A．21
B．23
C．25
D．29
【答案】D
【分析】𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐷𝐸= 𝐶𝐸，通过同一个圆的半径相等，和垂直平分线的性质运用可得，之后代换即
可．
【详解】解：由题意可得：𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐷𝐸= 𝐶𝐸，𝐷𝐹= 𝐶𝐹，
𝐶△𝐴𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
18 /
= 𝐴𝐷+ (𝐵𝐷+ 𝐶𝐷) + (𝐴𝐸+ 𝐶𝐸)
= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷+ 2𝐷𝐹+ 𝐷𝐸+ 𝐴𝐸
= (𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸) + 𝐵𝐷+ 2𝐷𝐹
= 15 + 6 + 2 × 4
= 29．
【对点训练】3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐵= 8，𝐶𝐷= 3，则△𝐴𝐵𝐷的面积是
（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
【答案】A
【分析】作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解．
【详解】解：作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，如图，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐶= 90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐶𝐷= 3，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐸= 3，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝐷𝐸=
1
2 × 8 × 3 = 12．
1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（ ）．
A．2、3、6
B．3、5、9
C．3、6、9
D．3、7、9
【答案】D
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大
小，可快速判断能否组成三角形．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
19 /
【详解】解：A 选项，2 + 3 = 5 < 6，不能组成三角形，不符合题意．
B 选项， 3 + 5 = 8 < 9，不能组成三角形，不符合题意．
C 选项，3 + 6 = 9，不能组成三角形，不符合题意．
D 选项，3 + 7 = 10 > 9，能组成三角形，符合题意．
2．图中的两个三角形全等，则∠𝛼的度数是（ ）
A．39°
B．70°
C．71°
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出∠𝛼的度
数．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等，且边长为𝑎的边是两个三角形的对应边，
∴边𝑎所对的内角是对应角，
根据全等三角形对应角相等，可得∠𝛼= 39°．
3．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】D
【详解】解：对于选项A：两直线平行，同位角相等，为真命题，故A 不符合题意；
对于选项B：同旁内角互补，两直线平行，为真命题，故B 不符合题意；
对于选项C：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，为真命题，故C 不符合题意；
对于选项D：只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，原命题缺少两直线平行的前提，
为假命题，故D 符合题意．
4．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 70°．以点𝐴为圆心，适当长为半径作弧，交𝐴𝐵于点𝑀，交𝐴𝐶于
点𝑁；分别以𝑀，𝑁为圆心，大于𝑀𝑁的一半的长为半径作弧，两弧在∠𝐵𝐴𝐶的内部相交于点𝑃；作射线
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
20 /
𝐴𝑃，交𝐵𝐶于点𝐷．则∠𝐵𝐴𝐷=（ ）
A．35°
B．40°
C．105°
D．115°
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求出∠𝐵𝐴𝐶的度数，再根据尺规作图的痕迹判断𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分
线，最后计算∠𝐵𝐴𝐷即可．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 70°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 180° −40° −70° = 70°，
由作图可知：𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 70° = 35°．
5．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1 = 120°，则∠2的度数是
（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．120°
【答案】B
【详解】解：由题意可得：∠2 = ∠1 −90° = 120° −90° = 30°.
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，边𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐵𝐶，𝐴𝐵于点𝐺，𝐷．若△𝐴𝐶𝐺的周长为31cm，𝐴𝐵= 20cm，
则△𝐴𝐵𝐶的周长为（ ）
A．31cm
B．41cm
C．51cm
D．61cm
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
21 /
【答案】C
【详解】解：∵𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐵𝐶，𝐴𝐵于点𝐺，𝐷
∴𝐴𝐺= 𝐵𝐺
∵△𝐴𝐶𝐺的周长为31cm
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐺+ 𝐴𝐺= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐺+ 𝐺𝐵= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐵= 31cm
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为𝐴𝐶+ 𝐶𝐵+ 𝐴𝐵= 31 + 20 = 51(cm)．
7．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒𝐴𝐷，𝐵𝐶的中点𝑂固定在
一起，将两根木棒𝐴、𝐵端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得𝐶，𝐷之
间的距离即内径𝐴𝐵的长度．判定图中三角形全等的依据是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
【答案】A
【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，结合对顶角相等，利用“边角边”即可判定三角形全
等．
【详解】解：∵𝑂是𝐴𝐷，𝐵𝐶的中点
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐷，𝑂𝐵= 𝑂𝐶
在△𝐴𝑂𝐵和△𝐷𝑂𝐶中
{
𝑂𝐴= 𝑂𝐷
∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐷𝑂𝐶
𝑂𝐵= 𝑂𝐶
∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐷𝑂𝐶(SAS)
∴ 判定依据是SAS．
8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是边𝐵𝐶的中点，E 是𝐴𝐷的中点，阴影部分的面积和为2，则△𝐴𝐵𝐶的面积是
___________ ．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
22 /
【答案】4
【分析】根据等底同高的两个三角形面积相等，得到𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐴𝐶𝐷，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐴𝐵𝐸=
2𝑆△𝐵𝐷𝐸，𝑆△𝐴𝐶𝐷= 2𝑆△𝐴𝐶𝐸= 2𝑆△𝐶𝐷𝐸，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，推出𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆阴影计算即可．
【详解】解：∵𝐷，𝐸分别是𝐵𝐶，𝐴𝐷的中点，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐴𝐶𝐷，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐴𝐵𝐸= 2𝑆△𝐵𝐷𝐸，𝑆△𝐴𝐶𝐷= 2𝑆△𝐴𝐶𝐸= 2𝑆△𝐶𝐷𝐸，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸，
∴𝑆阴影= 𝑆△𝐵𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐸+ 𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆阴影= 2 × 2 = 4．
9．如图，点𝐴，𝐶，𝐵，𝐷在同一条直线上，𝐵𝐸∥𝐷𝐹，∠𝐴= ∠𝐹，𝐴𝐵= 𝐹𝐷．若∠𝐹𝐶𝐷= 30°，∠𝐴= 80°，
则∠𝐷𝐵𝐸的度数为________°．
【答案】110
【分析】由𝐵𝐸∥𝐷𝐹得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷，结合已知可证△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐷𝐶(ASA)，得∠𝐸= ∠𝐹𝐶𝐷= 30°，
根据三角形的外角性质得∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐴，代入计算即可．
【详解】解：∵𝐵𝐸∥𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐹𝐷𝐶中，
{
∠𝐹= ∠𝐴
𝐷𝐹= 𝐴𝐵
∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐷𝐶(ASA)，
∴∠𝐸= ∠𝐹𝐶𝐷= 30°，
∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐴= 30° + 80° = 110°．
10．如图，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，交𝐵𝐶于点𝐷，𝐵𝐹⊥𝐴𝐸，交𝐴𝐶延长线于𝐹，且垂足
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
23 /
为𝐸，则以下结论：①𝐴𝐷= 𝐵𝐹；②𝐶𝐷= 𝐶𝐹；③𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐵；④𝐴𝐷= 2𝐵𝐸．正确的个数是________
个．
【答案】4
【分析】利用ASA证明△𝐵𝐶𝐹≌△𝐴𝐶𝐷，根据全等三角形的性质即可判断①②；利用ASA证明△𝐵𝐸𝐴≌
△𝐹𝐸𝐴，推出𝐴𝐵= 𝐴𝐹，𝐵𝐸= 𝐸𝐹，即可判断④；由𝐶𝐷= 𝐶𝐹，𝐴𝐵= 𝐴𝐹，即可判断③．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐵𝐹⊥𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐹𝐸𝐴= 90°，
∴∠𝐹+ ∠𝐹𝐵𝐶= 90°，∠𝐹+ ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐹𝐵𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，
在△𝐵𝐶𝐹和△𝐴𝐶𝐷中，
{
∠𝐹𝐵𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐷
，
∴△𝐵𝐶𝐹≌△𝐴𝐶𝐷(ASA)，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐹，𝐶𝐷= 𝐶𝐹；①②正确；
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸，
在△𝐵𝐸𝐴和△𝐹𝐸𝐴中，
{
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐹𝐸𝐴
，
∴△𝐵𝐸𝐴≌△𝐹𝐸𝐴(ASA)，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐹，𝐵𝐸= 𝐸𝐹，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐹= 2𝐵𝐸，④正确；
∵𝐶𝐷= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐹= 𝐴𝐹，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐹，
小学
初中
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
24 /
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐵，③正确；
综上，①②③④都正确，正确的个数是4个．
11．如图，在2 × 2的方格纸中，∠1 + ∠2 =__________ ．
【答案】
90°
【分析】取格点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷、𝐸，证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(SAS)，则∠1 = ∠𝐵𝐴𝐶，结合∠2 + ∠𝐵𝐴𝐶= 90°
可得，∠1 + ∠2 = 90°．
【详解】解：如图，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐴𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐷𝐴
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
𝐵𝐶= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(SAS)，
∴∠1 = ∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠2 + ∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠1 + ∠2 = 90°．
12．如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐵= ∠𝐷，𝐵𝐶= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，线段𝐴𝐶与线段𝐴𝐸相等吗？请
说明理由．
【答案】解：相等，理由如下：
∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
25 /
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐷，
即∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，∠𝐵= ∠𝐷，𝐵𝐶= 𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸．
【分析】利用AAS证明三角形全等，三角形全等对应的边相等．
【详解】略
13．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点E 在边𝐶𝐷上，𝐵𝐶= 𝐸𝐶，且𝐶𝐴平分∠𝐵𝐶𝐸，F 是四边形𝐴𝐵𝐶𝐷外一点，连
接𝐴𝐹，𝐷𝐹．
(1)△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐶全等吗？请说明理由；
(2)若∠𝐵𝐴𝐹= 2∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐵= 85°，∠𝐷𝐴𝐹= 15°，求∠𝐴𝐷𝐸的度数．
【答案】(1)解：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐶，理由如下：
∵𝐶𝐴平分∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐶中，
{
𝐵𝐶= 𝐸𝐶
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐶(SAS)．
(2)70°
【分析】（1）先得出∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，再根据SAS定理即可得证；
（2）先得出∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵，再得出∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹，然后根据三角形的外角性质求
解即可．
【详解】（1）略．
（2）解：由（1）已得：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐶，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
26 /
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐹= 2∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐹，
∵∠𝐵𝐴𝐹= 2∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐸，
∴2∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐹= 2(∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐸)，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹，
∵∠𝐷𝐴𝐹= 15°，∠𝐵= 85°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 15°，∠𝐴𝐸𝐶= 85°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐶−∠𝐷𝐴𝐸= 85° −15° = 70°．
14．学习完《全等三角形》一章后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸𝐴 𝐵两点间距离”这一问题，
设计了如下方案．
课题
测量河两岸𝐴、𝐵两点间距离
测量工具
测角仪，卷尺
测量方案示意
图
测量步骤
①在点𝐵所在河岸同侧的平地上取点𝐶和点𝐷，使得点𝐴、𝐵、𝐶在一条直线上，且𝐶𝐷= 𝐵𝐶；
②测得∠𝐷𝐶𝐵= 98°，∠𝐴𝐷𝐶= 62°；
③在𝐶𝐷的延长线上取点𝐸，使得∠𝐵𝐸𝐶= 20°；
④测得𝐷𝐸的长度为26米．
(1)根据测量的各角度数，计算出∠𝐶𝐴𝐷=_____°，猜想𝐴、𝐵两点间的距离𝐴𝐵为_____米．
(2)请你借助全等三角形的知识证明此方案正确．
【答案】(1)20，26
(2)证明：由（1）可知∠𝐶𝐴𝐷= 20°，
∵∠𝐵𝐸𝐶= 20°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐸𝐶，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐸𝐶𝐵中，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
27 /
{
∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐸𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐵
𝐶𝐷= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐵(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐸𝐶，
∵𝐶𝐷= 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐶−𝐵𝐶= 𝐸𝐶−𝐶𝐷，即𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
∴𝐴、𝐵两点间的距离𝐴𝐵为26米．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠𝐶𝐴𝐷的度数即可，根据𝐷𝐸的长度为26米猜想𝐴、𝐵两点间
的距离即可．
（2）利用AAS证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐶𝐵，得出𝐴𝐶= 𝐸𝐶，进而得出𝐴𝐵= 𝐷𝐸即可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠𝐷𝐶𝐵= 98°，∠𝐴𝐷𝐶= 62°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 180° −∠𝐷𝐶𝐵−∠𝐴𝐷𝐶= 180° −98° −62° = 20°，
∵𝐷𝐸的长度为26米，
∴猜想𝐴、𝐵两点间的距离𝐴𝐵为26米．
（2）证明：略
15．【综合与探究】
在△𝐴𝑂𝐵和△𝐶𝑂𝐷中，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐶= 𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，连接𝐴𝐶，𝐵𝐷．
(1)【模型呈现】如图1，𝐴，𝑂，𝐷三点共线，试判断𝐴𝐶与𝐵𝐷的数量关系，并说明理由；
(2)【模型应用】如图2，设𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑃，𝐴𝐶，𝑂𝐵相交于点𝑄，若∠𝐴𝑂𝐵= 50°，求∠𝐴𝑃𝐷的
度数．
【答案】(1)𝐴𝐶= 𝐵𝐷，理由如下：
∵∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，
∴∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝐶𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷+ ∠𝐶𝑂𝐵
，∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，
在△𝐴𝑂𝐶和△𝐵𝑂𝐷中，{
𝑂𝐴= 𝑂𝐵
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷
𝑂𝐶= 𝑂𝐷
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
28 /
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(SAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐷．
(2)130°
【分析】（1）利用SAS证明三角形全等，即可得到𝐴𝐶与𝐵𝐷的数量关系；
（2）由全等三角形的性质，可得∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝑂𝐵𝐷，根据三角形的内角和，求出∠𝐵𝑃𝑄= ∠𝐴𝑂𝑄= 50°，
根据平角的定义，即可求出∠𝐴𝑃𝐷．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可得，△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(SAS)，
∴∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝑂𝐵𝐷，
在△𝐴𝑂𝑄和△𝐵𝑃𝑄中，∠𝐵𝑄𝑃= ∠𝐴𝑄𝑂，∠𝑂𝐴𝑄= ∠𝑄𝐵𝑃，
∴∠𝐵𝑃𝑄= ∠𝐴𝑂𝑄= 50°
∴∠𝐴𝑃𝐷= 180° −∠𝐵𝑃𝑄= 180° −50° = 130°．
16．根据图形解决以下问题
(1)如图1，在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，直线𝑙经过点C，过点A 作𝐴𝐷⊥𝑙于点D，
过点B 作𝐵𝐸⊥𝑙于点E，求证：△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵；
(2)在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，点D 是直线𝐴𝐵上一动点，分别过点𝐴, 𝐵作直线𝐶𝐷
的垂线，垂足分别为点𝐸, 𝐹；
①如图2，点D 在线段𝐴𝐵上，△𝐴𝐸𝐶与△𝐶𝐹𝐵是否全等？请说明理由；
②如图3，点D 在线段𝐴𝐵延长线上，若𝐵𝐹= 1，𝐴𝐸= 3，请直接写出线段𝐸𝐹的长．
【答案】(1)证明：∵𝐴𝐷⊥𝑙，𝐵𝐸⊥𝑙，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶= 90°，
又∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸= 90° −∠𝐵𝐶𝐸，
在△𝐴𝐷𝐶和△𝐶𝐸𝐵中，{
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶= 90°
𝐶𝐴= 𝐶𝐵
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
29 /
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵(AAS)．
(2)①△𝐴𝐸𝐶≌△𝐶𝐹𝐵；
理由：∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，𝐵𝐹⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐸= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，
又∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹= 90° −∠𝐵𝐶𝐹，
在△𝐴𝐸𝐶和△𝐶𝐹𝐵中，{
∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°
𝐶𝐴= 𝐶𝐵
，
∴△𝐴𝐸𝐶≌△𝐶𝐹𝐵(AAS)．
②4
【分析】（1）利用同角的余角相等证得∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，证明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵即可；
（2）①利用同角的余角相等证得∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹，根据AAS证明△𝐴𝐸𝐶≌△𝐶𝐹𝐵；②利用同角的余角
相等证得∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹，根据AAS证明△𝐴𝐸𝐶≌△𝐶𝐹𝐵，再利用等量代换即可．
【详解】（1）解：略
（2）解：①略
②∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，𝐵𝐹⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐸= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，
又∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹= 90° −∠𝐵𝐶𝐹，
在△𝐴𝐸𝐶和△𝐶𝐹𝐵中，{
∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°
𝐶𝐴= 𝐶𝐵
，
∴△𝐴𝐸𝐶≌△𝐶𝐹𝐵(AAS)，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐹= 1, 𝐴𝐸= 𝐶𝐹= 3，
∴𝐸𝐹= 𝐶𝐹+ 𝐶𝐸= 3 + 1 = 4．
