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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测09
第十五章 轴对称综合训练
一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1.武术是我国传统的体育项目.下列武术动作图形中，是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【详解】
A选项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意;
B选项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意;
C选项，是轴对称图形，故此选项符合题意;
D选项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故选C．
2.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ABC上，若∠1 = 24°，则∠2的度数为 ( )
A. 24°
B. 36°
C. 48°
D. 56°
【答案】B
【详解】如图所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC = 60°，
∴∠ABD = 180° −∠ABC = 120°，
∵∠1 = ∠BGD = 24°，
∴∠BDG = 180° −120° −24° = 36°，
∵太阳光线平行，
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∴DG//EF，
∴∠2 = ∠BDG = 36°.
故选B．
3.如图，在△ABC中，∠BAC = 75∘，∠ACB = 35∘，AC = 8，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，则AD + BD
的长为( )
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
【答案】B
【详解】在△ABC中，∠BAC = 75∘，∠ACB = 35∘，
∴∠ABC = 180∘−∠BAC −∠ACB = 70∘．
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC =
1
2 ∠ABC = 35∘，
∴∠DBC = ∠ACB，
∴BD = CD，
∴AD + BD = AD + CD = AC = 8，
故选B．
4.如图，在Rt ▵ABC中，∠ACB = 90∘，DE垂直平分AB交BC于点D，若▵ACD的周长为50cm，则AC +
BC =( )
A. 25cm
B. 45cm
C. 50cm
D. 55cm
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【答案】C
【解析】DE 垂直平分AB，根据垂直平分线性质，AD=BD。△ACD 周长
=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC。已知△ACD 周长为50cm，故AC+BC=50cm。
5.如图，在▵ABC中，AB = AC，∠BAC = 130∘，DA ⊥AC，则∠ADB =( )
A. 100∘
B. 115∘
C. 130∘
D. 145°
【答案】B
【解析】AB=AC，△ABC 为等腰三角形，∠B=∠ACB=(180°−130°)÷2=25°。DA⊥AC，故∠DAC=90°，
∠BAD=130°−90°=40°。在△ABD 中，∠ADB=180°−∠B−∠BAD=180°−25°−40°=115°。
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AB = AC，BC//x轴，若A(2,5)，B(−1,1)，则点
C的坐标为( )
A. (2,3)
B. (3,1)
C. (5,1)
D. (1,5)
【答案】C
【解析】BC 平行x 轴，所以B、C 两点纵坐标相同，均为1。AB=AC，说明点A 在BC 的垂直平分线
上，A 点横坐标为2。B 点横坐标为-1，B 到对称轴x=2 的水平距离为3，因此C 点横坐标为2+3=5，即
C(5,1)。
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7.《婕几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(“婕”同“蝶”)，如图，这是某蝶几设计图，其中△
ABD和△CBD为“大三斜”组件(“大三斜”组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位于点P处，点P与点
A关于直线DQ对称，连接CP，DP.若∠ADQ = 25∘，则∠DCP的度数为( )
A. 20°
B. 21°
C. 24°
D. 25°
【答案】A
【解析】△ABD、△CBD 为全等等腰直角三角形，∠ADC=90°。点P、A 关于DQ 对称，∠ADQ=25°，则
∠ADP=50°，PD=AD=CD。可推得∠PDC=40°，△PDC 为等腰三角形，∠DCP=(180°−140°)÷2=20°。
8.如图，在△ABC中，线段AC的垂直平分线分别交AC，AB于点E，D，连接CD.若AB = 12，BC = 9，则△
BCD的周长为 ( )
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
【答案】C
【解析】DE 是AC 的垂直平分线，根据性质AD=CD。△BCD 周长
=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=9+12=21。
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9.如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE ⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA = CQ时，
连接PQ交边AC于点D，则DE的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D.
5
3
【答案】A
【详解】过P作BC的平行线交AC于F，如图，
∴∠Q = ∠FPD．
∵△ABC是等边三角形，PF//BC，
∴∠A = 60∘，∠APF = ∠B = 60∘，∠AFP = ∠ACB = 60∘，
∴∠A = ∠APF = ∠AFP，
∴△APF是等边三角形，
∴AP = PF．
∵AP = CQ，
∴PF = CQ．
在△PFD和△QCD中，{
∠FPD = ∠Q,
∠PDF = ∠QDC,
PF = CQ,
∴△PFD ≌△QCD(AAS)，
∴FD = CD．
∵PE ⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE = EF，
∴AE + DC = EF + FD，
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∴DE =
1
2 AC．
∵AC = 4，
∴DE=2.
故选A．
10.如图，在四边形ABCD中，∠BAD = 120°，∠B = ∠D = 90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN
的周长最小，则∠AMN + ∠ANM的度数为 ( )
A. 130°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
【答案】B
【详解】分别作点A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，
则A′A″即为△AMN周长的最小值．
由轴对称的性质，得AM = A′M，AN = A″N，
所以∠MAB = ∠A′，∠NAD = ∠A″.
因为∠A′ + ∠A″ + ∠BAD = 180°，
所以∠A′ + ∠A″ = 180° −∠BAD = 60°，
所以∠AMN + ∠ANM = ∠A′ + ∠MAB + ∠NAD + ∠A″ = 2(∠A′ + ∠A″) = 120°．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11.若(a −3)2 + √ b −5 = 0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ．
【答案】11 或13
【解析】由非负数性质得a=3，b=5。分两种等腰三角形情况：①三边长3、3、5，周长=11；②三边长
3、5、5，周长=13，均满足三边关系。
12.如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F分别是AB上的两点，若∠CEB = 30∘，∠CDF = 40∘，则∠ECF的
度数为 ．
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【答案】100°
【解析】AB 垂直平分CD，所以EC=ED，FC=FD。∠CEB=30°，得∠ECD=15°；∠CDF=40°，得
∠FCD=40°。∠ECF=180°−15°−40°=100°。
13.如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BF与外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过点F作DF//BC，交AB于
点D，交AC于点E，若BD = 7，DE = 3，则CE的长为 ．
【答案】4
【解析】BF 平分∠ABC，DF∥BC，得∠DBF=∠DFB，BD=DF=7。DE=3，故EF=DF−DE=4。CF 平分外
角，EF∥BC，得CE=EF=4。
14.如图，在△ABC中，∠BAC = 90∘，AB = 6，AC = 8，BC = 10，BD是∠ABC的平分线.若P，Q分别是线
段BD和AB上的动点，则PA + PQ的最小值是
【答案】
24
5
【解析】作点Q 关于BD 的对称点，根据角平分线性质，最小值为AC 边上的高。利用面积法：
S△ABC=½AB·AC=½BC·h，代入数值解得h=
24
5 。
15.如图，在△ABC中，点B与点C关于直线DE对称，直线DE分别交AB，BC于点D，E，连接CD，CD平分
∠ACB，∠A = 60∘，则∠B的度数为 ．
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【答案】40°
【解析】B、C 关于DE 对称，DE 垂直平分BC，BD=CD，∠B=∠BCD。CD 平分∠ACB，∠BCD=∠ACD。
设∠B=x，则∠ACB=2x，三角形内角和60°+x+2x=180°，解得x=40°。
16.如图，已知∠MON = 30°，点A1，A2，A3 …在射线ON上，点B1，B2，B3 …在射线OM上，△A1B1A2、△
A2B2A3、△A3B3A4 …均为等边三角形，若OA1 = 2，则△A4B4A5的边长是 ．
【答案】16
【解析】∠MON=30°，等边三角形推导得：OA₁=2，△A₁B₁A₂边长为2，后续每一个等边三角形边长为前一
个的2 倍。依次为2、4、8、16，故△A₄B₄A₅边长为16。
三、解答题：本题共6 小题,第17 题6 分，第18~20 题每题8 分，第21 题10 分，第22 题12 分，共52
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(6 分)
如图，在▵ABC中，AD ⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD = DE．
(1)若∠BAE = 40∘，求∠C的度数；
(2)若▵ABC的周长为13cm，AC = 6cm，求DC的长．
【详解】
(1) 解： ∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB = AE = EC，
∴∠DAE =
1
2 ∠BAE = 20∘，∠C = ∠CAE，
∴∠AED = 90∘−∠DAE = 90∘−20∘= 70∘，
∴∠C =
1
2 ∠AED =
1
2 × 70∘= 35∘.
(2)∵▵ABC 的周长为 13cm ， AC = 6cm ，
∴AB + BE + EC = 7cm ，
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即 2DE + 2EC = 7cm ，
∴DE + EC = 3.5cm ，
∴DC 的长为 3.5cm .
18.(8分)
如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘，∠ABC = 30∘，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE = AC，连接DE．
(1)求证：DE = DB;
(2)连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由．
【详解】
(1)【证明】
∵∠ACB=90∘,∠ABC=30∘,
∴∠CAB=60∘.
∵AD 平分∠CAB,
∴∠DAB=
1
2 ∠CAB=30∘=∠ABC.
∴DA=DB.
∵CE=AC,BC⊥AE,
∴BC 是线段AE 的垂直平分线.
∴DE=DA.∴DE=DB.
(2)【解】△ABE 是等边三角形.
理由如下:
∵BC 是线段AE 的垂直平分线,
∴BA=BE.
又∵∠CAB=60∘,
∴△ABE 是等边三角形.
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19.(8分)
如图，点P在∠AOB的内部，且点P与点M关于OA对称，PM交OA于点Q，点P与点N关于OB对称，PN交OB于
点R，MN分别交OA，OB于点E，F．
(1)连接PE，PF，若MN = 15，求△PEF的周长;
(2)若PM = PN，求证：OP平分∠AOB．
【详解】
(1)解:∵点P 与点M 关于OA 对称,
∴ME=PE.
同理FN=PF,
∴△PEF 的周长为EP+EF+FP=ME+EF+FN=MN=15.
(2)证明:
∵PN=PM,点P,M 关于OA 对称,点P,N
关于OB 对称,
∴PQ⊥QA,PR⊥OB,QP=
1
2PM,PR=
1
2PN,
∴PQ=PR,
∴OP 平分∠AOB.
小学
初中
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20.(8分)
如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点
N，E，MD，NE的延长线交于点O．
(1)若BC = 12，求△ADE的周长．
(2)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．
【详解】
(1)解：∵AB，AC 的垂直平分线分别交BC 于点D，E，
∴AD＝BD，AE＝CE．
∴△ADE 的周长为AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝12．
(2)点O 在BC 的垂直平分线上．理由如下：
连接AO，BO，CO．
∵OM，ON 分别是AB，AC 的垂直平分线，
∴OA＝OB，OA＝OC．
∴OB＝OC．
∴点O 在BC 的垂直平分线上．
21.(10 分)
如图，在▵ABC中，AB = AC，D是边BC的中点，P是AD上任意一点，PE ⊥AB于点E，PF ⊥AC于点F.试说
明：
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(1)PE = PF；
(2)PB = PC．
【详解】
(1) ∵AB = AC，D是边BC的中点，
∴AD平分∠BAC.又PE ⊥AB于点E，PF ⊥AC于点F，
∴PE = PF.
(2)∵AB = AC，D是边BC的中点，
∴AD ⊥BC，
∴AD垂直平分BC.又P是AD上任意一点，
∴PB = PC.
22.(12 分)
已知，在△ABC中，∠ABC = ∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE ⊥AC交射线CA于点E．
(1)【观察发现】如图(1)，当点D在线段BC上时，写出∠BAC与∠EDC的数量关系并说明理由．
(2)【问题探究】当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由．
(3)【探究延伸】如图(2)，在(2)的条件下，点F为线段BC上一点，过点F作FG ⊥AC于点G，连接AF，且
∠AFG = ∠CFG，∠BAF = ∠BFA，延长ED，AB交于点K，求∠EKA的度数．
【详解】
(1)解:∠BAC=2∠EDC.
理由如下:
如图(1),作AH⊥BC 于H.
∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
∵AH⊥BC,
∴∠BAH=∠CAH,∠BAC=2∠CAH.
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∵DE⊥AC,
∴∠AHC=∠CED=90∘,
∴∠C+∠CAH=90∘,∠C+∠EDC=90∘,
∴∠CAH=∠EDC,
∴∠BAC=2∠EDC.
(2)如图(2)即为所作图形,∠BAC=2∠EDC.
理由:作AH⊥BC 于H.
同(1)可证∠BAC=2∠CAH.
∵DE⊥AC,AH⊥BC,
∴∠AHC=∠CED=90∘,
∴∠C+∠CAH=90∘,∠C+∠EDC=90∘,
∴∠CAH=∠EDC,
∴∠BAC=2∠EDC.
(3)如图(3),根据题意易证△AFG≌△CFG,则∠FAC=∠C.
设∠C=∠FAC=∠ABC=x,
则∠BAF=∠BFA=2x,
∴5x=180∘,
∴x=36∘,
∴∠EAK=∠ABC+∠C=72∘.
∵KE⊥EC,
∴∠E=90∘,
∴∠EKA=90∘-72∘=18∘.
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