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1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题29 一元一次不等式的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 销售问题 题型02 工程问题 题型03 行程问题 题型04 运输问题 题型05 比赛积分问题 题型06 水费电费问题 题型07 方案设计问题 题型08 最值问题 题型09 合算问题 题型10 几何图形问题 题型11 和差倍分问题 ▌题型01 销售问题 （1）设价列式：设进价、售价或数量为未知数，根据销售额、利润、利润率等公式建立不等式（组）。 （2）双量关系：常见两个等量关系，如“总进价=进价×数量”与“总利润=（售价-进价）×数量”组合。 （3）理清公式：熟记利润=售价-进价、利润率=利润/进价×100%等基本关系。 （4）单位统一：涉及折扣时，先将折扣价表示为原价的十分之几（如六折=0.6 倍）。 【典例1】（2026 春•新城区校级期末）2026 马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连 续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等 技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B 两种型号 智能机器人进行快递分拣．若买1 台A 型机器人、2 台B 型机器人，共需200 万元；若买2 台A 型机器 人、3 台B 型机器人，共需340 万元． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）求A、B 两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A 型和B 型机器人共20 台，且总费用不超过1400 万元．最多能买A 型机器人 多少台？ 【变式1-1】（2026•文昌校级一模）某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的 高性能平板（A 型）和基础平板（B 型）．已知A 型平板的单价比B 型平板贵600 元．若采购2 台A 型 平板比采购3 台B 型平板多花费200 元． （1）求A 型平板和B 型平板的单价； （2）若集训队共需配备10 台平板电脑，且总采购预算不超过14400 元，则最多能采购A 型平板多少台？ 【变式1-2】（2026 春•思明区校级期末）为打造低碳社区，某社区决定购买A、B 两种太阳能路灯安装在社 区公共区域，升级改造现有照明系统．已知A 种路灯的单价是40 元/盏，B 种路灯的单价是60 元/盏，该 社区计划购买A、B 两种路灯共10 盏，且购买总费用不超过450 元，最多可以购买多少盏B 种路灯？ 3 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026•辽宁）乡村振兴，辽宁在行动．某助农直播间销售我省的大米和小米两种农产品．开播 伊始，第一单售出大米和小米各1 袋，收款100 元；第二单售出2 袋大米和3 袋小米，收款240 元． （1）大米和小米每袋各多少元？ （2）仓库中剩余大米、小米各25 袋，若大米售价不变，小米降价销售，为保证剩余大米、小米的销售额 不低于2450 元，则每袋小米至多降价多少元？ ▌题型02 工程问题 （1）设效列式：设工作效率为未知数，根据“工作量=工作效率×工作时间”及合作、先后完成方式列不 等式（组）。 （2）总量归一：常将工作总量设为1，分别用未知数表示各自效率，根据工作过程建立两个不等关系。 【典例1】（2026 春•海珠区期末）在装修施工过程中，两位施工人员要同时用一辆手推车将一批瓷砖用电 梯运送上楼．电梯额定载重量为1010kg，已知他俩的体重分别为65kg 和75kg，手推车的质量为20kg， 一箱瓷砖的质量约为50kg，那么他俩用电梯一次最多能将多少箱瓷砖运送上楼？ 【变式1-1】（2025 春•同步）某工程队计划招聘从事甲、乙两种工作的工人共150 名．根据工程需要，从 事乙工种的人数不少于从事甲工种人数的2 倍，那么从事甲工种的工人最多可招聘多少名？ 4 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2025•长春一模）一个工程队原定在10 天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3， 由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．以后6 天内平均每天至少要挖土多少m3？ 【变式1-3】（2026 春•德惠市校级期中）有一段6000 米的道路由甲、乙两个工程队负责完成，已知甲工程 队每天完成600 米，乙工程队每天完成300 米．若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完 成剩余的任务，设两工程队合作施工x 天． （1）用含x 的代数式表示甲队单独工作天数； （2）如果甲队每天需工程费7000 元，乙队每天需工程费5000 元，且支付工程队总费用不超过79000 元， 请列不等式求出x 的最大值． ▌题型03 行程问题 （1）理清类型：分清相遇问题（路程和=总路程）或追及问题（路程差=初始距离）； （2）设速列式：常设速度未知数，根据时间、路程的两个等量关系列一元一次不等式（组）求解； （3）画线段图：画出运动过程示意图，标注已知路程、时间，直观呈现等量关系； （4）统一单位：速度、时间、路程单位务必统一（如km 与h，m 与min)，避免计算错误． 5 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026 春•永春县期中）“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有166 千米的 路程，需要不超过2 小时送到，前80 分钟已经走了120 千米，后40 分钟的速度至少为多少才能不延误 时间？ 【变式1-1】（2026 春•兴宁区校级同步）某运动员5000m 长跑的个人最好成绩为16min45s．在一次5000m 长跑比赛中，他跑完前3000m 用时10min30s．如果这名运动员希望在本次比赛中获得的成绩不低于自己 的个人最好成绩，那么在剩下的路程中，他的平均速度至少要为多少？ 【变式1-2】（2025•绿园区校级三模）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆 炸前跑到400m 以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是0.8cm/s，人跑步的速度是5m/s，问：导火线 必须超过多长，才能保证操作人员的安全？ 6 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】A，B，C，D 四座小山的山脚到学校的路程分别是9km，11km，12km，14km．学校准备组织一 次八年级学生登山活动，计划在上午8 时出发，以平均每小时4km 的速度前进，登山和在山顶活动的时 间为1 小时，下山的时间为30 分钟，再以平均每小时3km 的速度返回，在下午4 时30 分前赶回学校．你 认为学校可计划登哪几座山？请说明理由． ▌题型04 运输问题 1. 数量关系 每辆车载重 × 车辆数 ≥ 需要运输货物总质量（运得完） 每车运费 × 车辆数 ≤ 预算总运费（费用不超预算） 关键点：车辆只能取整数，解出不等式之后，要取符合题意的整数解。 2. 解题步骤 （1）设未知数：一般设需要安排 𝑥 辆运输车（𝑥 为正整数）； （2） 找不等关系：抓关键词：至少、至多、不超过、不少于； （3）列一元一次不等式，求解； （4）结合实际，取整数解，作答。 【典例1】（2026 春•郸城县月考）某快递公司承接一批包裹运输业务，若单独用A 型货车运输，需要12 天 完成；若单独用B 型货车运输，需要18 天完成． （1）若先由A 型货车运输3 天，再由A、B 型货车合作运输，还需要多少天完成？ （2）已知A 型货车每天运输费用为1800 元，B 型货车每天运输费用为1000 元，且每辆货车每天的燃油 费为50 元．若总费用不超过25000 元，求A 型货车最多运输多少天．（运输天数均为正整数） 7 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2025 春•千阳县期末）现用甲，乙两种运输车，将40 吨救灾物资运往灾区，甲种运输车每辆 载重5 吨，乙种运输车每辆载重4 吨，安排甲、乙两种车辆合计不超过9 辆，则甲种运输车至少应安排 几辆？ 【变式1-2】（2025 春•米脂县期末）某水果批发商要将一批车厘子和草莓运至甲地，该批发商找了8 辆货 车进行运输．为节约成本，每辆货车只能装同一种水果且装满，每辆货车可以装4 吨车厘子或3 吨草莓， 水果批发商需要运出两种水果不少于30 吨，那么运输车厘子的货车至少需要多少辆？ 【变式1-3】（2025•黄龙县开学）某微型货车最大载重量为1600kg，现接到装运一批设备的任务，每套设备 由2 个A 部件和1 个B 部件组成，需成套装运．已知1 个A 部件和3 个B 部件总质量为210kg，2 个A 部件和1 个B 部件的质量相等． （1）求1 个A 部件和1 个B 部件的质量各是多少千克？（用二元一次方程组求解） （2）为防止A、B 部件在运输中挤压破损，微型货车加装了质量为160kg 的垫板和隔板，求该微型货车 一次最多可装运多少套设备？ 8 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型05 比赛积分问题 （1）设未知数。 （2）找两个关键关系 总场次关系：胜场+平场+负场=总比赛场数 总积分关系：胜场积分+平场积分+负场积分=总积分。 （3）转化为不等式。 （4）求整数解：场次必须是非负整数，据此确定取值范围。 【典例1】（2026 春•广州校级月考）某次知识竞赛共有20 道选择题，对于每一道题，若答对了，则得10 分；若答错了或不答，则扣5 分．请问至少要答对几道题，总得分才不少于90 分？ 【变式1-1】（2026 春•淮南期末）项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11 个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与 其他班分别进行一场比赛，每班需进行10 场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是其中两个球队的积分： 队名 胜（场数） 负（场数） 积分 蓝天队 6 4 22 雄鹰队 4 6 18 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： （1）任务一：根据上表内容求出该比赛的计分规则；（即胜一场积几分，负一场积几分） （2）任务二：梦想队想让自己队的胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由； （3）任务三：雄狮队了解到，该校上届获得冠军的战王队积分是24 分．雄狮队想要在本届比赛中超越上 届冠军（计分规则不变），请直接写出他们至少要胜多少场． 9 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026•姜堰区一模）甲、乙两队进行了7 场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3 分，平 一场得1 分，负一场得0 分． （1）若甲队负了2 场，则甲队的得分能否为10 分？请说明理由； （2）若乙队保持不败，得分超过15 分，求乙队至少胜了多少场？ 【变式1-3】（2025 秋•瑞安市期中）浙BA 城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，如表是10 月11 日，温州队所在的A 组比赛积分表的部分信息： A 组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7 胜0 负 4 金华队 6 胜2 负 14 分 5 余姚队 5 胜3 负 13 分 6 台州队 4 胜4 负 12 分 （1）求温州队的积分． （2）温州队所在的A 组共有11 支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计 小组赛结束后，积分达到37 分，会获得小组冠军，问温州队要获得A 组第一至少还要胜几场？ 10 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型06 水费电费问题 （1）先判断：有没有“超过标准” 题目一般会给两种情况： 用量少：没超标，只按一种价格算 用量多：超标了，分两段算。 （2）设未知数，标准内每单位费用：𝑥，超过部分每单位费用：𝑦。 （3）列两个不等式。 （4）解不等式组。 【典例1】（2026 春•赣榆区校级月考）我市出台了居民用水“阶梯价格”制度，计划引导市民节约用水， 用水价格的标准：不超过15m3 水费价格是x 元/m3，超过15m3 的部分价格是y 元m3，已知该市某户居民 今年3 月份用水17m3，缴纳水费70 元；4 月份用水19m3，缴纳水费80 元． （1）求出x，y 的值； （2）该户居民计划5 月份水费支出不超过95 元，那么该户居民5 月份最多可用水多少立方米？ 【变式1-1】（2026 春•蜀山区校级期末）某市自来水公司实行阶梯式收费，收费标准如表所示： 月用水量a/m3 a≤20 20＜a≤30 a＞30 收费标准/元•m ﹣3 2.49 3.07 ？ 9 月份小华家缴纳水费87.8 元，小莉家缴纳水费102.4 元，并且小华家的用水量恰好是小莉家的 8 9． （1）若小明家9 月份用水量是xm3（20＜x≤30），则小明家9 月份需要缴纳的水费为 元（用 含x 的代数式表示）；若小明家9 月缴纳的水费不超过74.36 元，求小明家9 月用水量最多是多少？ （2）求月用水量大于30m3 时的收费标准． 11 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026 春•开州区期末）我国绝大多数城市推行阶梯水价，其目的是通过“多用多付”的价格机 制，直接激励节水，最终服务于水资源可持续利用与国家水安全的长远目标．居民生活用水通常按户计 费，原则上以年为计量周期，重庆市开州区居民生活用水收费标准（户内人口不超过4 人）如下： 第一阶梯2.5 元/立方米（0m3≤每户每年水量≤270m3）； 第二阶梯3.50 元/立方米（270m3＜每户每年水量≤360m3）； 第三阶梯5 元/立方米（每户每年水量＞360m3）． （1）王瀚与李诺家庭的居民户内人口都为3 人，王诺家庭年用水量在第一阶梯，李诺家庭年用水量在第 二阶梯，两个家庭年用水量共550m3，年用水费共1405 元，请求出王瀚与李诺家庭的年用水量分别是多 少m3； （2）刘莎家庭的居民户内人口为4 人，2025 年全年水费不少于1000 元，请列不等式求出刘莎家庭2025 年用水量至少为多少m3． 【变式1-3】（2026•湖北模拟）为倡导绿色出行，某小区引入了智能充电桩为电动汽车充电，充电功率恒定 为7kW（即每小时充电7 度），充电桩采用分时段计费模式，标准如表． 充电时段 收费标准（元/度） 峰时（8：00～22：00） 1 谷时（22：00～次日8：00） 0.5 为鼓励用户错峰充电，运营商推出“谷时充电卡”：一次性支付固定月费20 元后，当月谷时充电费用享 受6 折优惠，峰时电价不变．电动汽车每次不中断充电5 小时为完全充电． （1）设小明某日20：00 开始充电，当次充电费用为21 元，且未使用充电卡，求充电时长； （2）小明计划在某月进行4 次完全充电，若他每次于21：00 开始充电，请计算使用充电卡与不使用充 电卡的各自费用，并判断哪种方式更省钱； （3）小明购买了“谷时充电卡”，为了享受最大优惠，他决定每次充电都安排在谷时进行．若计划本月 进行n 次完全充电，且使用充电卡后的总充电费用都不高于不使用充电卡的费用，求n 的最小值． 12 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型07 方案设计问题 （1）审题设元，找出关键量，设为未知数； （2）找不等关系，抓住关键词：不超过、至少、至多、不少于、不大于、小于、剩余、不够、恰好、最多 等； （3）列不等式（组），根据不等关系列出式子； （4）解不等式（组）； （5）确定整数解，实际问题中：人数、件数、车辆数、房间数必须是正整数； （6）根据整数解写方案，每个整数解对应一种方案，逐一列出； （7）最优方案选择． 【典例1】（2026•科尔沁区校级二模）某家居商场销售A、B 两种型号的吊灯，A 种型号吊灯每个进价为200 元，B 种型号吊灯每个进价为150 元，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A 种型号 B 种型号 第一天 3 个 6 个 1800 元 第二天 5 个 8 个 2640 元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B 两种型号吊灯的销售单价； （2）若商场准备用不多于5400 元的金额再采购这两种型号的吊灯共30 个，求A 种型号的吊灯最多能采 购多少个？ （3）在（2）的条件下，商场销售完这30 个吊灯能否实现利润不少于1060 元的目标？若能，请给出所有 相应的采购方案；若不能，请说明理由． 13 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•平城区期末）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T 恤．已知购进甲种T 恤 3 件和乙种T 恤4 件共需430 元；购进甲种T 恤2 件和乙种T 恤5 件共需450 元． （1）求甲、乙两种T 恤每件的进价分别是多少元？ （2）为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T 恤共100 件，要求购进两种T 恤的总费用不超过6540 元，并且购进的甲种T 恤的数量的三倍不超过乙种T 恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙 两种T 恤的方案． 【变式1-2】（2026 春•颍东区期末）近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用 场景不断拓展．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B 两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息 如下： 信息一 A 型机器人台数 B 型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A 型机器人每台每天可分拣快递22 万件： B 型机器人每台每天可分拣快递18 万件． （1）求A、B 两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、B 两种型号智能机器人共10 台，需要每天分拣快递不少于200 万件，则该企 业最少需要购买几台A 种型号智能机器人？ （3）要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750 万元，则有哪几种购买方案？ 14 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•城关区校级期中）根据下列表格信息，完成相应任务 信息一 某校七年级举行了线上知识竞赛，竞赛共有30 道题 目，每道题目都给出了四个答案，其中只有一个答案正 确，参赛者选对得4 分，不选或选错扣2 分，得分不低 于78 分者获奖 信息二 为奖励获奖同学，学校准备购买A，B 两种文具作为奖 品，已知购买1 个A 文具和4 个B 文具共需44 元，购 买来2 个A 文具和3 个B 文具所花的钱一样多 信息三 学校计划用于本次活动的总费用（包括线上平台使用费 和奖品费）不超过850 元，其中支付线上平台使用费为 180 元，剩余的钱用于购买两种文具共60 个，其中A 文具大于45 个 解决问题 任务一 小明是获奖者，他至少选对了多少道题？ 任务二 求A 文具和B 文具的单价 任务三 该校共有哪几种购买方案 15 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型08 最值问题 1. 设未知数，一般设关键变量（如产品件数、生产数量） 2. 根据限制条件列出一元一次不等式，求出变量取值范围 3. 结合所求目标函数（利润、费用），判断增减性： - 目标随未知数增大而变大 → 取变量最大整数解得最大值 - 目标随未知数增大而变小 → 取变量最小整数解得最小值 4. 代入计算最值，写出完整作答 注意：一元一次不等式最值，最值一定出现在取值范围的端点整数处。 【典例1】（2026 春•龙马潭区月考）综合与实践 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有A，B 两种型号的客车可供选择，下 表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A 型客车数 量 租用B 型客车数 量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材二 A 型客车每辆有25 个座位，B 型客车每辆有55 个座 位． 素材三 “传承红色基因．立志科技报国．精进龙马精神”， 二十八中以此为主题，组织本校师生参加重庆研学活 动，最初计划租用A、B 两种型号的大客车共18 辆 （每种型号至少一辆）送900 名师生（含教官）参加 此次活动，交通费支出预算为17600 元． 任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定A，B 两种型号 客车每辆的租金分别是多少元． 任务二 请你设计租车方案？哪种租车方案最省钱？ 16 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026•桂林模拟）为助力乡村振兴，广西玉林市容县某沙田柚专业合作社计划购进甲、乙两种 智能分选设备，用于沙田柚自动化分级处理．已知购买甲种设备3 台，乙种设备1 台，共需30 万元；购 买甲种设备2 台，乙种设备3 台，共需55 万元．求： （1）求甲、乙两种智能分选设备每台各多少万元？ （2）该合作社计划一共购进10 台这两种设备，且总费用不超过68 万元．若甲种设备每台年均可处理沙 田柚60 吨，乙种设备每台年均可处理沙田柚90 吨．请你设计购买方案，使年均处理沙田柚总量最大， 并求出最大总量． 【变式1-2】（2026 春•海淀区校级期末）利用一元一次不等式（组）解决问题： 某汽车销售公司计划购买并销售A 型和B 型两种型号的新能源汽车共20 辆，其中A 型车至少10 辆，这 两款汽车每辆车的进价和售价如表所示： 类型 进价（万元/辆） 售价（万元/辆） A 型 27 27.8 B 型 24.4 25.8 为了保证将这20 辆车全部售出后，所得利润要超过20.5 万元，那么该公司有哪几种购买方案，哪种购买 方案的利润最大，最大利润是多少万元？请通过计算说明． 17 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•姜堰区校级月考）某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低 碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们 完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提 倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占 地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面 积/m2 3 1 已知新建1 个地上充电桩和2 个地下充电桩需要0.8 万元， 新建2 个地上充电桩和1 个地下充电桩需要0.7 万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少 万元． 问题二 若该小区计划用不超过16.3 万元的资金新建60 个充电桩， 则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件 下，且地下充电桩的数量不少于40 个，则共有几种建造方 案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 18 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型09 合算问题 1. 核心思路是：列费用表达式 → 找临界点 → 根据不等式确定哪种方案更省钱。 2. 解题思路 （1）设未知数：一般设“数量/时间/重量”为𝑥 。 （2）写出两种方案的费用代数式： - 费用 = 固定费用 + 单价 × 数量 （3）列不等式比较大小： - 方案 A 更划算：A 费用 < B 费用 - 两者一样：A 费用 = B 费用 - 方案 B 更划算：A 费用 > B 费用 （4）解不等式，结合实际意义（如 x 为正整数）下结论。 （5）答：说明在什么范围内选哪个方案。 【典例1】（2026 春•九台区期末）【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B 两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15 个A 款运动盲盒、10 个B 款运动盲盒，共需230 元；若买25 个A 款运动盲盒、25 个B 款运动盲盒，共需450 元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35 元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8 折出售（已 知小明在此之前不是该商店的会员）；乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9 折出售． 【解决问题】 （1）在无促销活动时，求A 款运动盲盒和B 款运动盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A，B 两款运动盲盒共40 个，其中A 款运动盲盒m 个（0＜m＜40），若 小明在甲商店成为会员购买，共需要 元；若在乙商店购买，共需要 元；（均用含 m 的代数式表示） （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A 款运动盲盒的数量m 在什么范围内时，去甲商店更 合算？ 19 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2026 春•宁江区校级期末）李老师预购买一些盲盒作为期末奖品．已知2 个A 款盲盒，5 个B 款盲盒共需60 元；4 个A 款盲盒，3 个B 款盲盒共需64 元．解答下列问题： （1）求A 款盲盒和B 款盲盒的销售单价各是多少元？ （2）正逢开展“618”促销活动，线下实体店优惠方案：会员卡35 元，成为会员后凭会员卡购买店内任 何商品可享受8 折优惠（已知小昕不是该实体店的会员）；线上淘宝店优惠方案：一律按商品价格的9 折 出售且包邮． ①小昕计划在促销期间购买A、B 两款盲盒共40 个，其中A 款盲盒m 个，若在线下实体店购买．所需费 用 元；若在线上淘宝店购买，所需费用 元．（均用含m 的代数式表示） ②请你帮小昕算一算，购买A 款盲盒的数量的范围是 时，线下购买方式更合算． 【变式1-2】（2026 春•龙华区校级期中）某商场开展促销活动，出售甲、乙两种商品，活动方案有如下两 种： 甲商品 乙商品 售价（单位：元） 100 20 促销方案一 买一件甲商品，赠送一件乙商品 促销方案二 甲商品和乙商品都打九折 （备注：参加方案一，则不能参加方案二；参加方案二，则不能参加方案一） （1）若某单位购买甲商品x 件，购买乙商品的件数比甲商品多20 件， 选用方案一需花费 元； 选用方案二需花费 元；（用含x 的代数式填空） （2）在（1）问的条件下，请问购买甲商品多少件时，选择方案一与选择方案二的花费相同？ （3）在（1）问的条件下，请根据购买甲商品的件数x 的不同范围，选择哪种促销方案更合算． 20 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2026 春•惠州期末）根据以下素材，探究并完成任务． 背 景 目前，无人机外卖已在深圳、北京、上海、广州、香港实现常态化运营，其中深圳覆盖范围最广． 素 材 1 某商店在无促销活动时，若买5 件A 商品，8 件B 商品，共需要2400 元；若买8 件A 商品， 5 件B 商品，共需2280 元． 素 材 2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250 元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 任 务 1 该商店在无促销活动时，求A，B 商品的销售单价分别是多少元？ 任 务 2 某科技公司计划在促销期间购买A，B 两款商品共30 件，其中A 商品购买a 件（0＜a＜30）， ①若使用无人机配送商品，则共需要 元； ②若不使用无人机配送商品，则共需要 元． （结果用含a 的代数式表示，要求化简） 任 务 3 请你帮该科技公司算一算，在任务2 的条件下，购买A 商品的数量在什么范围内时，使用无人机配 送商品更合算？ 21 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型10 几何图形问题 解题步骤： ①设未知数（设边长为x）； ②根据周长、面积、三边关系列出一元一次不等式； ③解不等式； ④结合几何隐含条件：边长必须大于0，舍去不合理解，写出答案。 【典例1】（2026 春•沙坪坝区校级期中）“争创文明城市，建设美丽沙坪坝”．沙坪坝某居民小区为了绿 化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76 米的长方形空地（如图），设计成9 块相同的小长方 形，如图所示．并计划在空地上种上各种花卉．要完成这次绿化工程，沙坪坝区预计花费不超过75600 元． （1）小长方形的长和宽各是多少米？ （2）绿化工程每平方米的造价最多为多少元？ 22 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】（2025 春•新城区校级月考）某展览馆为适应更多会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造， 已知该展馆地面为长40 米，宽30 米的长方形，现计划将其分成两个同样大的长方形展览区，其余部分 为等宽的通道，设通道的宽度为x 米． （1）若一个长方形展览区的宽度至少是通道宽度的2.25 倍，求通道的最大宽度； （2）已知通道宽度最终确定为4 米，工程负责人准备用A，B 两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料 铺设通道，经市场调查发现，用A 种彩砖铺设展览区每平方米需要90 元，用B 种彩砖铺设展览区每平方 米需要60 元，若铺设展览区的总费用不超过45540 元，求最多购买多少平方米A 种彩砖？ 【变式1-2】（2025 春•遂宁期末）如图一张规格为6dm×8dm 的大纸板有两种剪裁方式分别可得到A 型长 方形纸板和B 型正方形纸板，再制作成横式和竖式两种无盖长方体纸盒（盖在上方）．已知一张大纸板 可以恰好裁成8 张A 型长方形纸板或者恰好裁成12 张B 型正方形纸板． （1）制作一个横式纸盒需要A 型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A 型长方形纸板 张． （2）若用7 张大纸板裁成A 型长方形纸板，用2 张大纸板剪裁B 型正方形纸板，且裁成的A、B 两种型 号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ （3）如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m 个，若可用于剪裁的大纸板不超过18 张，求m 的最大值． 23 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】某工厂准备用图甲所示的A 型正方形板材和B 型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两 种无盖箱子． （1）若现有A 型板材150 张，B 型板材300 张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？ （2）若该工厂准备用不超过24000 元的资金去购买A、B 两种型号板材，制作竖式、横式无盖箱子共100 个，已知A 型板材每张20 元，B 型板材每张60 元，问最多可以制作竖式无盖箱子多少个？ （3）若该工厂新购得65 张规格为3m×3m 的C 型正方形板材，将其全部切割成A 型或B 型板材（不计 损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，要求竖式无盖箱子不少于10 个，且材料恰好用完，则最多 可以制作竖式无盖箱子多少个？ ▌题型11 和差倍分问题 1. 一元一次不等式的“和差倍分”问题，核心就是：先把这些“多几、少几、几倍、几分之几”翻译成代 数式，再根据“至少、至多、不超过、不少于”列出不等式。 2. 解题步骤 （1）设未知数：一般问什么就设什么为 𝑥 。 （2）表示相关量：用 𝑥 表示题目中的“和、差、倍、分”。 （3） 找不等关系：圈出“至少、至多、超过、不足”等关键词。 （4）列一元一次不等式。 （5） 解不等式，注意结果要符合实际意义（比如人数不能是负数、小数等）。 （6） 写出符合题意的答案（别忘了写单位、答句）。 24 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026•天宁区校级二模）苏超比赛期间，某商店购进A、B 两种品牌的足球进行销售．销售5 个 A 品牌和10 个B 品牌足球的利润和为700 元，销售10 个A 品牌和5 个B 品牌足球的利润和为800 元． （1）求每个A 品牌和B 品牌足球的销售利润； （2）商店计划购进两种品牌足球共100 个，若购进A 品牌足球的数量不超过B 品牌足球个数的4 倍，求 最少购买多少个B 品牌的足球． 【变式1-1】（2026 春•铜仁市期末）某超市第一次用7000 元购进甲、乙两种商品，甲商品件数是乙商品件 数的2 倍，两种商品的进价、售价如表： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 40 50 乙 60 80 （1）求超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件． （2）超市第二次仍按原进价采购，甲购进数量不变，乙购进数量是第一次的3 倍，甲保持原价销售，乙 每件直接降价a 元销售．若第二次全部售完后总利润不低于1600 元，求a 的最大值． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2026 春•青山区期末）一条食品包装生产线完成智能化升级后，每个月生产的无菌纸盒包装 饮料的数量是原来月均产量的1.7 倍．升级后，该生产线8 个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量比原来 12 个月的生产量至少多1000 万盒，该生产线原来平均每月的产量至少是多少万盒？ 【变式1-3】（2026 春•香坊区期末）某超市到批发市场选购甲、乙两种笔袋，如表是近两次的购买情况． 购买次数 购买数量 购买费用 甲种 乙种 第一次 4 个 7 个 260 第二次 6 个 3 个 240 （1）求超市到批发市场购进甲、乙两种笔袋的进价分别为每个多少元？ （2）超市老板第三次计划购进相同数量的甲、乙两种笔袋．根据学生需求，超市老板在实际进货中决定 购进甲种笔袋数量比计划增加30 个，实际购进乙种笔袋的数量比实际购进甲种笔袋数量的2 倍少28 个， 且甲种笔袋实际购进数量不超过乙种笔袋实际购进数量的 2 3．超市老板第三次计划至少购进多少个甲种笔 袋？
