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专题29 一元一次不等式的应用
（题型突破·举一反三）
▌题型01 销售问题
【典例1】
【解答】解：（1）设A、B 两种型号智能机器人的单价分别为x 万元，y 万元，
由题意得{ 𝑥+ 2𝑦= 200
2𝑥+ 3𝑦= 340，
解得{𝑥= 80
𝑦= 60，
答：A 种型号智能机器人的单价为80 万元，B 种型号智能机器人的单价为60 万元；
（2）该企业现计划采购A 型和B 型机器人共20 台，且总费用不超过1400 万元．
设买A 型机器人a 台，
由题意得80a+60（20﹣a）≤1400，
解得a≤10，
答：最多能买A 型机器人10 台．
【变式1-1】
【解答】解：（1）设A 型平板单价为x 元，B 型平板单价为y 元，
根据题意得{ 𝑥−𝑦= 600
2𝑥−3𝑦= 200，
解得{𝑥= 1600
𝑦= 1000，
答：A 型平板单价为1600 元，B 型平板单价为1000 元；
（2）设能采购A 型平板a 台，则采购B 型平板（10﹣a）台．
根据题意得1600a+1000（10﹣a）≤14400，
解得𝑎≤7 1
3，
因为a 为非负整数，所以a 的最大值为7，
答：最多能采购A 型平板7 台．
【变式1-2】
【解答】解：设可以购买x 盏B 种路灯，
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40（10﹣x）+60x≤450，
解得：x≤2.5，
∵x 为非负整数，
∴x 的最大值为2，
∴最多可以购买2 盏B 种路灯．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设每袋大米x 元，每袋小米y 元，
根据题意得：{𝑥+ 𝑦= 100
2𝑥+ 3𝑦= 240，
解得：{𝑥= 60
𝑦= 40．
答：每袋大米60 元，每袋小米40 元；
（2）设每袋小米降价m 元，
根据题意得：60×25+25（40﹣m）≥2450，
解得：m≤2，
∴m 的最大值为2．
答：每袋小米至多降价2 元．
▌题型02 工程问题
【典例1】
【解答】解：设一次能将x 箱瓷砖运送上楼，根据题意，得65+75+20+50x≤1010，
整理得160+50x≤1010，
移项得50x≤1010﹣160，
合并得50x≤850，
解得x≤17，
∵x 是正整数，
∴x 的最大值为17，
答：他俩用电梯一次最多能将17 箱瓷砖运送上楼．
【变式1-1】
【解答】解：设从事甲工种的工人数为x 名，则从事乙工种的工人数为（150﹣x）名．
由题意，得150﹣x≥2x，解得x≤50．
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答：从事甲工种的工人最多可招聘50 名．
【变式1-2】
【解答】解：设平均每天挖土xm3，
由题意得：（10﹣2﹣2）x≥600﹣120，
解得：x≥80．
答：平均每天至少挖土80m3．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设甲队先单独工作a 天，
根据题意得：600a+（600+300）x＝6000，
∴a＝10−3
2x，
答：甲队单独工作（10−3
2x）天；
（2）根据题意得：7000×（10−3
2x）+（7000+5000）x≤79000，
解得：x≤6，
∴x 的最大值为6．
▌题型03 行程问题
【典例1】
【解答】解：设后40 分钟的速度为x 千米/小时，
根据题意得：120+ 40
60x≥166，
解得：x≥69，
∴x 的最小值为69．
答：后40 分钟的速度至少为69 千米/小时才能不延误时间．
【变式1-1】
【解答】解：由题意可知跑完后2000m 的时间最少为16min45s﹣10min30s＝6min15s＝375s，
设在剩下的路程中，他的平均速度为xm/s，
根据题意列一元一次不等式可得：375x≥2000，
解得𝑥≥16
3 ．
答：他的平均速度至少要为
16
3 𝑚/𝑠．
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【变式1-2】
【解答】解：设导火线的长度为xm，
𝑥
0.8 ＞
400
5 ，
解得：x＞64，
答：导火线必须超过64m，才能保证操作人员的安全．
【变式1-3】
【解答】解：A、B 两座小山符合计划，理由：
设路程为x 千米，
∵出发时间为
𝑥
4，回家时间
𝑥
3，总共花费时间8.5 小时，活动时间加登山下山时间为1.5 小时，
∴
𝑥
4 +
𝑥
3 ＜8.5 −1.5，
解得：x＜12，
∴A、B 两座小山符合计划．
▌题型04 运输问题
【典例1】
【解答】解：（1）设总运输量为单位“1”，A、B 型货车合作运输，还需要m 天完成运输业务．
由题意得：
1
12 × 3 + (
1
12 +
1
18)𝑚= 1，
解得：m＝5.4，
答：A、B 型货车合作运输，还需要5.4 天完成运输业务．
（2）设A 型货车运输x 天，B 型货车运输y 天，
则
𝑥
12 +
𝑦
18 = 1，即3x+2y＝36，
∴𝑦= 36−3𝑥
2
．
总费用：
1800x+1000y+50（x+y）≤25000，
将𝑦= 36−3𝑥
2
代入不等式，得：1800𝑥+ 1000(36−3𝑥
2
) + 50(𝑥+ 36−3𝑥
2
) ≤25000，
化简得：
1800𝑥+ 18000 −1500𝑥+ 50(36−𝑥
2
) ≤25000，
18000+900+275x≤25000，
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275x≤6100，
∴𝑥≤22 2
11，
∴x 的最大值为22，
∵𝑦= 36−3𝑥
2
，x，y 为正整数，
∴y＞0，
即
36−3𝑥
2
＞0，
解得x＜12，
又∵y 为正整数，
∴36﹣3x 为偶数，
∵36 为偶数，
∴3x 为偶数，
∴x 为偶数，
∵x＜12，x 为正整数，
∴x 最大值取10，此时y＝3，符合题意．
答：A 型货车最多运输10 天．
【变式1-1】
【解答】解：设安排甲种运输车x 辆，则安排乙种运输车
40−5𝑥
4
辆．
根据题意列一元一次不等式得，
𝑥+ 40−5𝑥
4
≤9，
整理得，4x+40﹣5x≤36，
解得x≥4，
答：甲种运输车至少需要4 辆．
【变式1-2】
【解答】解：设运输车厘子的货车需要x 辆，则运输草莓的货车需要（8﹣x）辆，
根据题意得：4x+3（8﹣x）≥30，
解得：x≥6，
∴x 的最小值为6．
答：运输车厘子的货车至少需要6 辆．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设1 个A 部件的质量是x 千克，1 个B 部件的质量是y 千克．根据题意列二元一次方
程得：
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{𝑥+ 3𝑦= 210
2𝑥= 𝑦
，
解得：{𝑥= 30
𝑦= 60，
答：1 个A 部件30 千克，1 个B 部件60 千克；
（2）该微型货车一次最多可装运m 套设备，根据题意列一元一次不等式得：
（2×30+1×60）m≤1600﹣160，
整理得，120m≤1440，
∴m≤12，
∴m 的最大值为12，
答：一次最多可装运12 套设备．
▌题型05 比赛积分问题
【典例1】
【解答】解：设答对了x 道题，则答错或不答的题目共有（20﹣x）道，根据题意得，
10x﹣5（20﹣x）≥90，
解得𝑥≥38
3 ．
因为x 为正整数，
所以x 的最小值为13．
答：至少要答对13 道题，总得分才不少于90 分．
【变式1-1】
【解答】解：（1）任务一：设胜一场积x 分，负一场积y 分，
由题意列二元一次方程组得，{6𝑥+ 4𝑦= 22
4𝑥+ 6𝑦= 18，
解得{𝑥= 3
𝑦= 1，
答：胜一场积3 分，负一场积1 分；
（2）任务二：不能实现，理由如下：
设梦想队胜了m 场，
由题意列一元一次方程得，3m＝10﹣m，
解得m＝2.5，
∵2.5 不是整数，不符合题意，
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∴不能实现；
（3）任务三：设他们要胜n 场，则负（10﹣n）场，
由题意列一元一次不等式得，3n+（10﹣n）＞24，
解得n＞7，
∵n 是整数，
∴n 取8．
答：至少胜8 场．
【变式1-2】
【解答】解：（1）甲队共赛7 场，负2 场，设甲队胜x 场，平y 场，
根据题意，得
{𝑥+ 𝑦= 7 −2
3𝑥+ 𝑦= 10 ，
解得{𝑥= 2.5
𝑦= 2.5，
∵场次不能为小数，
∴甲队得分不能为10 分；
（2）设乙队胜x 场，则平（7﹣x）场，
3x+（7﹣x）＞15，
解得x＞4，x 为正整数，
∴x 最小取5，
答：乙队至少胜5 场．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设胜1 场积x 分，负1 场积y 分，则温州队的积分为7x 分，
根据题意可得：{6𝑥+ 2𝑦= 14
4𝑥+ 4𝑦= 12，
解方程组得：{𝑥= 2
𝑦= 1，
∴7x＝14，
答：温州队的积分为14 分；
（2）由题意可知，温州队一共要进行2×（11﹣1）＝20 场比赛，
设温州队要获得A 组第一要胜a 场，则负（20﹣a）场，
根据题意可得：2a+（20﹣a）×1≥37，
解得：a≥17，
∴a 的最小值为17，
此时，a﹣7＝10，
答：温州队要获得小组第一至少还要胜10 场．
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▌题型06 水费电费问题
【典例1】
【解答】解：（1）∵不超过15m3 水费价格是x 元/m3，超过15m3 的部分价格是y 元/m3，
∴根据题意，得{15𝑥+ (17 −15)𝑦= 70
15𝑥+ (19 −15)𝑦= 80，
解得：{𝑥= 4
𝑦= 5．
（2）设该户居民5 月份最多可用水a 立方米，
根据题意，得15×4+5（a﹣15）≤95．
解得a≤22．
答：该户居民5 月份最多可用水22 立方米．
【变式1-1】
【解答】解：（1）当20＜x≤30 时，
前20m3 的水费为20×2.49＝49.8（元），超过20m3 部分的水费为3.07（x﹣20）元．
∴总水费为49.8+3.07（x﹣20）＝（3.07x﹣11.6）元；
若小明家9 月缴纳水费不超过74.36 元，
当x＝30 时总水费为3.07×30﹣11.6＝80.5（元），
∵74.36＜80.5，
∴小明家用水量满足20＜x≤30．
列不等式得3.07x﹣11.6≤74.36．
解得x≤28．
答：小明家9 月用水量最多是28m3．
故答案为：（3.07x﹣11.6）；
（2）∵30m3 的水费为80.5 元，小华家缴纳水费87.8 元＞80.5 元，且小华家用水量是小莉家的
8
9，
∴两家用水量都超过30m3．
设月用水量大于30m3 时的收费标准为k 元/m3，小莉家用水量为ym3，则小华家用水量为
8
9 𝑦𝑚3，
根据题意列方程组：{
20 × 2.49 + 10 × 3.07 + 𝑘(𝑦−30) = 102.4
20 × 2.49 + 10 × 3.07 + 𝑘(8
9 𝑦−30) = 87.8，
两式相减得
𝑘𝑦
9 = 14.6，
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即ky＝131.4．
将ky＝131.4 代入ky﹣30k＝21.9，
得131.4﹣30k＝21.9．
解得k＝3.65．
答：月用水量大于30m3 时的收费标准是3.65 元/m3．
【变式1-2】
【解答】解：（1）设王瀚家庭年用水量为xm3，则李诺家庭年用水量为（550﹣x）m3．
根据题意可得：0＜x≤270，270＜550﹣x≤360．
李诺家处于第二阶梯，水费计算：270×2.5+3.5×[（550﹣x）﹣270]，
故可列方程为：
2.5x+270×2.5+3.5（550﹣x﹣270）＝1405，
解得x＝250，
李诺家用水量：550﹣250＝300m3，
所以王瀚家庭年用水量250m3，李诺家庭年用水量300m3．
（2）270m3 水费：270×2.5＝675 元，
360m3 水费：675+（360﹣270）×3.5＝990 元，
说明用水量y＞360，
超出部分按5 元/m3 计费．根据题意可得：
990+5（y﹣360）≥1000，
解得y≥362，
所以刘莎家庭2025 年用水量至少为362m3．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设充电时长为t 小时，
由题意得，7×2×1+7×0.5×（t﹣2）＝21，
解得t＝4．
答：充电时长为4 小时．
（2）从21：00 开始充5 小时，峰时1 小时，谷时4 小时，
未使用卡费用＝（7×1×1+7×0.5×4）×4＝84 元，
使用卡费用＝（7×1×1+7×0.5×0.6×4）×4+20＝81.6 元，
∵81.6＜84，
答：使用充电卡更省钱．
（3）计划本月进行n 次完全充电，且使用充电卡后的总充电费用都不高于不使用充电卡的费用，则：
由题意得20+7×0.5×0.6×5n≤7×0.5×5n
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解得𝑛≥20
7 ，
∵n 为整数，
∴n 的最小值为3．
▌题型07 方案设计问题
【典例1】
【解答】解：（1）设A 种型号吊灯的销售单价为x 元，B 种型号吊灯的销售单价为y 元，
依题意，得{3𝑥+ 6𝑦= 1800
5𝑥+ 8𝑦= 2640，
解得{𝑥= 240
𝑦= 180．
答：A 种型号吊灯的销售单价为240 元，B 种型号吊灯的销售单价为180 元．
（2）设采购A 种型号吊灯a 个，则采购B 种型号吊灯（30﹣a）个，
依题意，得200a+150（30﹣a）≤5400，
解得a≤18．
答：A 种型号的吊灯最多能采购18 个．
（3）能实现．理由如下：
依题意，得（240﹣200）a+（180﹣150）（30﹣a）≥1060，
解得a≥16．
又∵a≤18，
∴16≤a≤18．
∵a 为整数，
∴a＝16，17，18．
∴共有三种采购方案，
方案1：采购A 种型号吊灯16 个，B 种型号吊灯14 个；
方案2：采购A 种型号吊灯17 个，B 种型号吊灯13 个；
方案3：采购A 种型号吊灯18 个，B 种型号吊灯12 个．
【变式1-1】
【解答】解：（1）设甲种T 恤每件的进价为x 元，乙种T 恤每件的进价为y 元，
由题意得{3𝑥+ 4𝑦= 430
2𝑥+ 5𝑦= 450，
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解得{𝑥= 50
𝑦= 70．
答：甲种T 恤每件的进价为50 元，乙种T 恤每件的进价为70 元．
（2）设购买甲种T 恤m 件，
由题意得{50𝑚+ 70(100 −𝑚) ≤6540
3𝑚≤100 −𝑚
，
解得23≤m≤25，
∵m 为整数，
∴m＝23，24，25，
当m＝24 时，100﹣m＝100﹣24＝76，
当m＝23 时，100﹣m＝100﹣23＝77，
当m＝25 时，100﹣m＝100﹣25＝75，
方案一，购买甲种T 恤24 件，购买乙种T 恤76 件；
方案二，购买甲种T 恤23 件，购买乙种T 恤77 件；
方案三，购买甲种T 恤25 件，购买乙种T 恤75 件．
【变式1-2】
【解答】解：（1）设A 种型号智能机器人的单价为x 万元，B 种型号智能机器人的单价为y 万元，
由题意得：{𝑥+ 3𝑦= 260
3𝑥+ 2𝑦= 360，
解得：{𝑥= 80
𝑦= 60．
答：A 种型号智能机器人的单价为80 万元，B 种型号智能机器人的单价为60 万元；
（2）设该企业需要购买A 型智能机器人a 台，则需要购买B 型智能机器人（10﹣a）台，
由题意得：22a+18（10﹣a）≥200，
解得：a≥5，
答：该企业最少需要购买5 台A 种型号智能机器人；
（3）根据题意得：80a+60（10﹣a）＝20a+600≤750，
解得a≤7.5，
∵a≥5，
∴5≤a≤7.5，
∵a 为正整数，
∴a 的取值为5，6，7，
∴该企业购买智能机器人方案有三种：
方案一：购买A 型智能机器人5 台，则需要购买B 型智能机器人5 台；
方案二：购买A 型智能机器人6 台，则需要购买B 型智能机器人4 台；
方案三：购买A 型智能机器人7 台，则需要购买B 型智能机器人3 台．
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【变式1-3】
【解答】解：任务一：设小明选对x 道题，则不选或者选错（30﹣x）道题，
根据题意得：4x﹣2（30﹣x）≥78，
解得：x≥23，
∴x 的最小值为23．
答：小明至少应选对23 道题；
任务二：设A 型文具的单价是a 元，B 型文具的单价是b 元，
根据题意得：{𝑎+ 4𝑏= 44
2𝑎= 3𝑏
，
∴{𝑎= 12
𝑏= 8 ．
答：A 型文具的单价是12 元，B 型文具的单价是8 元；
任务三：设购买A 型文具m 个，则购买B 型文具（60﹣m）个，
根据题意得：{
180 + 12𝑚+ 8(60 −𝑚) ≤850
𝑚＞45
，
∴45＜𝑚≤95
2 ，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为46，47，
∴该校共有2 种购买方案，
方案1：购买A 型文具46 个，B 型文具14 个；
方案2：购买A 型文具47 个，B 型文具13 个．
▌题型08 最值问题
【典例1】
【解答】解：（1）设每辆A 型号客车的租金是x 元，每辆B 型号客车的租金是y 元，
∵{3𝑥+ 2𝑦= 3800
𝑥+ 3𝑦= 3600 ，
计算得：{𝑥= 600
𝑦= 1000，
答：每辆A 型号客车的租金是600 元，每辆B 型号客车的租金是1000 元；
（2）设租用m 辆A 型号客车，
∴{
600𝑚+ 1000(18 −𝑚) ≤17600
25𝑚+ 55(18 −𝑚) ≥900
𝑚≥1
18 −𝑚≥1
，
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∴1≤m≤3，m＝1 或m＝2 或m＝3，
当m＝1 时，则18﹣m＝17（辆），此时，租车费用为17600（元），
当m＝2 时，则18﹣m＝16（辆），此时，租车费用为17200（元），
当m＝3 时，则18﹣m＝15（辆），此时，租车费用为16800（元），
∵17600＞17200＞16800，
∴最省钱的方案为租用A 型3 辆，B 型15 辆，
答：共有三种可行租车方案：①租用A 型1 辆，B 型17 辆；②租用A 型2 辆，B 型16 辆；③租用A 型
3 辆，B 型15 辆；最省钱的方案为租用A 型3 辆，B 型15 辆．
【变式1-1】
【解答】解：（1）设甲种设备每台x 万元，乙种设备每台y 万元．
可列出：
{ 3𝑥+ 𝑦= 30
2𝑥+ 3𝑦= 55，
∴{ 𝑥= 5
𝑦= 15．
答：甲种设备每台5 万元，乙种设备每台15 万元．
（2）设购买甲种设备a 台，则乙种设备（10﹣a）台（a≥0）．
由题可得：5a+15（10﹣a）≤68，
∴a≥8.2，
∴可判断a 可取9，10．
设年均处理总量为W，
∴W＝60a+90（10﹣a）＝900﹣30a，
∴当a＝9 时，W 最大，
此时，甲种设备9 台，乙种设备1 台，
最大总量为W＝900﹣30×9＝630 吨．
答：购买甲种设备9 台、乙种设备1 台时，年均处理沙田柚总量最大，最大总量为630 吨
【变式1-2】
【解答】解：设购买A 型汽车x 辆，x≥10，
根据题意可得：（27.8﹣27）x+（25.8﹣24.4）（20﹣x）＞20.5，
解得：x＜12.5，
∴10≤x＜12.5，
∴x 的值为10 或11 或12，
当x＝10 时，20﹣x＝10，
当x＝11 时，20﹣x＝9，
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当x＝12 时，20﹣x＝8，
∵27.8﹣27＝0.8＜25.8﹣24.4＝1.4，
∴要使总利润最大，则B 种型号的汽车要最多，
∴当x＝10，20﹣x＝10 时，总利润最大，最大为10×0.8+10×1.4＝22 万元；
答：一共有三种方案：方案一、购买A 种型号的汽车10 辆，购买B 种型号的汽车10 辆；方案二、购买
A 种型号的汽车11 辆，购买B 种型号的汽车9 辆；方案三、购买A 种型号的汽车12 辆，购买B 种型号
的汽车8 辆；当购买A 种型号的汽车10 辆，购买B 种型号的汽车10 辆时所获利润最大，最大为22 万
元．
【变式1-3】
【解答】解：问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要x 万元，新建一个地下充电桩需要y 万元，
根据题意得：{𝑥+ 2𝑦= 0.8
2𝑥+ 𝑦= 0.7，
解得：{𝑥= 0.2
𝑦= 0.3，
答：该小区新建一个地上充电桩需要0.2 万元，新建一个地下充电桩需要0.3 万元；
问题二：设建造m 个地下充电桩，则建造（60﹣m）个地上充电桩，
根据题意得：0.2（60﹣m）+0.3m≤16.3，
化简得：12﹣0.2m+0.3m≤16.3，
0.1m≤4.3，
解得：m≤43，
答：最多可以建43 个地下充电桩；
问题三：设建造m 个地下充电桩，则建造（60﹣m）个地上充电桩，
根据题意得：{
𝑚≥40
0.2(60 −𝑚) + 0.3𝑚≤16.3，
解不等式组得：40≤m≤43，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为40，41，42，43，
∴共有4 种建造方案，方案1：建造40 个地下充电桩，20 个地上充电桩方案2：建造41 个地下充电桩，
19 个地上充电桩方案3：建造42 个地下充电桩，18 个地上充电桩方案4：建造43 个地下充电桩，17 个
地上充电桩，
方案1 的占地面积为1×40+3×20＝100（平方米），
方案2 的占地面积为1×41+3×19＝98（平方米），
方案3 的占地面积为1×42+3×18＝96（平方米），
方案4 的占地面积为1×43+3×17＝94（平方米），
∵100＞98＞96＞94，
∴方案4 占地面积最小，
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答：共有4 种建造方案，分别为上述方案，方案4 占地面积最小．
▌题型09 合算问题
【典例1】
【解答】解：（1）设在无促销活动时，A 款盲盒销售单价为x 元，B 款盲盒销售的单价为y 元，
由题意得，{15𝑥+ 10𝑦= 230
25𝑥+ 25𝑦= 450，
解得{𝑥= 10
𝑦= 8 ，
答：在无促销活动时，A 款盲盒销售单价为10 元，B 款单价销售单价为8 元；
（2）依题意，若在甲商店购买，共需要35+0.8×10m+0.8×8×（40﹣m）＝1.6m+291（元），
若在乙商店购买，共需要0.9×10m+0.9×8×（40﹣m）＝1.8m+288（元），
故答案为：（1.6m+291）；（1.8m+288）．
（3）当1.6m+291＜1.8m+288，
解得m＞15，
∴15＜m＜40；
答：购买A 款运动盲盒的数量在15＜m＜40 范围内时，去甲商店更合算．
【变式1-1】
【解答】解：（1）设A 款盲盒的销售单价是x 元/个，B 款盲盒的销售单价是y 元/个，
根据题意得：{2𝑥+ 5𝑦= 60
4𝑥+ 3𝑦= 64，
解得：{𝑥= 10
𝑦= 8 ．
答：A 款盲盒的销售单价是10 元/个，B 款盲盒的销售单价是8 元/个；
（2）①根据题意得：若在线下实体店购买．所需费用为35+10×0.8m+8×0.8（40﹣m）＝（1.6m+291）
元；
若在线上淘宝店购买，所需费用为10×0.9m+8×0.9（40﹣m）＝（1.8m+288）元．
故答案为：（1.6m+291），（1.8m+288）；
②根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288，
解得：m＞15，
又∵m，（40﹣m）均为正整数，
∴16≤m≤39，
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∴购买A 款盲盒的数量的范围是16≤m≤39 时，线下购买方式更合算．
故答案为：16≤m≤39．
【变式1-2】
【解答】解：（1）设购买甲件商品x 件，
选用方案一需花费100x+20×20＝（100x+400）元；
选用方案二需花费[100x+20（x+20）]×0.9＝（108x+360）元；
故答案为：（100x+400），（108x+360）；
（2）根据题意列一元一次方程得，100x+20×20＝[100x+20（x+20）]×0.9，
解得：x＝5，
答：购买甲商品5 件时，选择方案一与选择方案二的花费相同；
（3）100x+20×20﹣[100x+20（x+20）]×0.9＝40﹣8x，
当x＜5 时，40﹣8x＞0，方案一花费比方案二大，
购买甲商品小于5 件时选择方案二促销方案才能获得最大优惠，
当x＞5 时，40﹣8x＜0，方案一花费比方案二小，
大于5 件时选择方案一促销方案才能获得最大优惠．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设该商店在无促销活动时，A 商品的销售单价是x 元，B 商品的销售单价是y 元，
由题意列二元一次方程组得，{5𝑥+ 8𝑦= 2400
8𝑥+ 5𝑦= 2280，
解得{𝑥= 160
𝑦= 200．
答：该商店在无促销活动时，A 商品的销售单价是160 元，B 商品的销售单价是200 元．
（2）由题意得，A 商品购买a 件，B 商品购买（30﹣a）件，
①若使用无人机配送商品，共需要250+160×0.75a+200×0.75（30﹣a）＝4750﹣30a（元）；
②若不使用无人机配送商品，共需要160×0.8a+200×0.8（30﹣a）＝4800﹣32a（元）．
故答案为：（4750﹣30a），（4800﹣32a）；
（3）由题意列一元一次不等式得：4750﹣30a＜4800﹣32a，
解得a＜25，
∵0＜a＜30，
∴0＜a＜25．
答：当0＜a＜25 时，使用无人机配送商品更合算．
▌题型10 几何图形问题
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【典例1】
【解答】解：（1）设小长方形的长是x 米，宽是y 米，
根据题意得：{2𝑥= 5𝑦
2(2𝑥+ 𝑥+ 2𝑦) = 76，
解得：{𝑥= 10
𝑦= 4 ．
答：小长方形的长是10 米，宽是4 米；
（2）设绿化工程每平方米的造价是m 元，
根据题意得：10×4×9m≤75600，
解得：m≤210，
∴m 的最大值为210．
答：绿化工程每平方米的造价最多为210 元．
【变式1-1】
【解答】解：（1）∵该展馆地面为长40 米，宽30 米的长方形，通道的宽度为x 米，
∴一个长方形展览区的宽度是
30−3𝑥
2
．
根据题意得：
30−3𝑥
2
≥2.25x，
解得：x≤4，
∴x 的最大值为4．
答：通道的最大宽度为4 米；
（2）当通道宽度为4 米时，一个长方形展览区的长为40﹣2×4＝32（米），宽为
30−3×4
2
=9（米），
设购买y 平方米A 种彩砖，则购买（2×32×9﹣y）平方米y 种彩砖，
根据题意得：90y+60（2×32×9﹣y）≤45540，
解得：y≤366，
∴y 的最大值为366．
答：最多购买366 平方米A 种彩砖．
【变式1-2】
【解答】解：（1）制作一个横式纸盒需要A 型长方形纸板3 张，制作一个竖式纸盒需要A 型长方形纸板
4 张．
故答案为：3，4；
（2）设可制作横式纸盒x 个，竖式纸盒y 个，根据题意列二元一次方程组得，
{3𝑥+ 4𝑦= 7 × 8
2𝑥+ 𝑦= 2 × 12，
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解得{𝑥= 8
𝑦= 8，
∴可制作横式纸盒8 个，竖式纸盒8 个；
（3）∵制作横式纸盒和竖式纸盒均为m 个，
∴A 形纸板需要（3m+4m）＝7m 张，B 形纸板需要（2m+m）＝3m 张，
∴根据题意列一元一次不等式得，
7𝑚
8 +
3𝑚
12 ≤18，
解得m≤16，
∴m 的最大值为16．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设可制作竖式无盖箱子m 个，可制作横式无盖箱子n 个，依题意有
{𝑚+ 2𝑛= 150
4𝑚+ 3𝑛= 300，
解得{𝑚= 30
𝑛= 60 ．
故可制作竖式无盖箱子30 个，可制作横式无盖箱子60 个；
（2）由题意可得，
1 个竖式无盖箱子需要1 个A 型和4 个B 型，1 个横式无盖箱子需要2 个A 型和3 个B 型，
设竖式无盖箱子x 个，则横式无盖箱子（100﹣x）个，
（20+4×60）x+（2×20+3×60）（100﹣x）≤24000，
解得x≤50，
故x 的最大值是50，
答：最多可以制作竖式无盖箱子50 个；
（3）C 型可以看成三列，每一列可以做成3 个A 型或1 个B 型，65 个C 型就有65×3＝195 列，
∵材料恰好用完，
∴最后A 型的数量一定是3 的倍数，
设竖式a 个，横式b 个，
∵1 个竖式无盖箱子需要1 个A 型和4 个B 型，1 个横式无盖箱子需要2 个A 型和3 个B 型，1 个B 型
相当于3 个A 型，
∴（1+4×3）a+（2+3×3）b＝195×3，
∴13a+11b＝585，
∵a、b 均为整数，a≥10，
∴{𝑎= 45
𝑏= 0 ，{𝑎= 34
𝑏= 13，{𝑎= 23
𝑏= 26，{𝑎= 12
𝑏= 39．
故最多可以制作竖式无盖箱子45 个．
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▌题型11 和差倍分问题
【典例1】
【解答】解：（1）设每个A 品牌足球的销售利润为x 元，每个B 品牌足球的销售利润为y 元，
根据题意得：{5𝑥+ 10𝑦= 700
10𝑥+ 5𝑦= 800，
解得：{𝑥= 60
𝑦= 40．
答：每个A 品牌足球的销售利润为60 元，每个B 品牌足球的销售利润为40 元；
（2）设购买m 个B 品牌的足球，则购买（100﹣m）个A 品牌的足球，
根据题意得：100﹣m≤4m，
解得：m≥20，
∴m 的最小值为20．
答：最少购买20 个B 品牌的足球．
【变式1-1】
【解答】解：（1）设第一次购进乙商品x 件，
40×2x+60x＝7000，
解得x＝50，
2x＝2×50＝100（件），
答：第一次购进甲商品100 件，乙商品50 件；
（2）根据题意得100×（50﹣40）+50×3×[（80﹣a）﹣60]≥1600，
解得a≤16，
答：a 的最大值为16．
【变式1-2】
【解答】解：设这条生产线原来平均每月的产量为x 万盒，则升级后的月产量为1.7x 万盒．
根据题意，升级后8 个月的产量比原来12 个月的产量至少多1000 万盒得：
8×1.7x﹣12x≥1000，
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化简得：1.6x≥1000，
解得：x≥625，
答：这条生产线原来平均每月的产量至少是625 万盒．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设甲种笔袋每个进价x 元，乙种笔袋每个进价y 元，
根据题意，得{4𝑥+ 7𝑦= 260
6𝑥+ 3𝑦= 240，
解得：{𝑥= 30
𝑦= 20，
答：甲种笔袋每个进价30 元，乙种笔袋每个进价20 元；
（2）设第三次计划购进甲种笔袋a 个，实际购进（a+30）个，实际购进乙种笔袋的数量为：2（a+30）﹣
28＝（2a+32）个，
根据题意得：a+30≤2
3（2a+32），
解得a≥26，
答：超市老板第三次计划至少购进26 个甲种笔袋．
