2026-2027 学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第十五章 轴 对 称
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题：本题共8 小题，每小题3 分，共24 分。
1.下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，轴对称图形沿一条直线折叠后两边完全重合，中心
对称图形绕中心旋转180°后与原图重合。
【详解】
A. 是轴对称图形，旋转180°无法与原图重合，不是中心对称图形，错误；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，错误；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；
D. 沿直线折叠可重合，旋转180°也可与原图重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，正确。
故选：D。
2.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上一点(A,P,A′三点不共线)，下列结论不一定正确的
是( )
A. ∠ABC = ∠B′A′C′
B. 直线MN垂直平分线段AA′，CC′
C. △ABC与△A′B′C′的面积相等
D. △AA′P是等腰三角形
【答案】A
【分析】本题考查轴对称的性质，成轴对称的两个图形全等、面积相等，对称轴垂直平分对应点连线，对
称轴上的点到对应点距离相等。
【详解】
A. 成轴对称的图形对应角相等，∠ABC 与∠A'B'C'为对应角，选项角度表述错误，结论不一定正确；
B. 轴对称图形的对称轴垂直平分各组对应点连线，故直线MN 垂直平分AA'、CC'，正确；
C. 成轴对称的两个图形全等，全等图形面积相等，正确；
D. MN 垂直平分AA'，P 在对称轴上，故PA=PA'，△AA'P 为等腰三角形，正确。
故选：A。
3.已知等腰三角形的一内角度数为20∘，则它的顶角的度数为( )
A. 20∘
B. 80∘
C. 20∘或140∘
D. 140∘或80∘
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形角度分类讨论，已知内角未明确顶角或底角，需分两种情况计算，同时满足
三角形内角和定理。
【详解】
① 若20°为顶角，则底角=(180°−20°)÷2=80°，符合三角形角度规则；
② 若20°为底角，则顶角=180°−20°×2=140°，符合三角形角度规则；
综上，顶角度数为20°或140°。
故选：C。
4.如图，Rt △ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，分别以点A和点B为圆心，大于1
2AB的长为半径作弧，两弧相
交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( )
A. 20°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
【答案】B
【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图与性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，结合直角
三角形内角和计算角度。
【详解】
在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，∴ ∠BAC=180°−90°−30°=60°，
由作图可知，直线MN 是AB 的垂直平分线，∴ DA=DB，
根据等边对等角，∠DAB=∠B=30°，
∴ ∠CAD=∠BAC−∠DAB=60°−30°=30°。
故选：B。
5.在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他
们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜．为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的 ( )
A. 三边中线的交点处
B. 三条角平分线的交点处
C. 三边高的交点处
D. 三边垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等，以
此保证游戏公平。
【详解】
要使凳子到A、B、C 三名同学的距离相等，需找到到三角形三个顶点距离相等的点，
三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，满足公平游戏条件。
故选：D。
6.如图，在△ABC中，AB = AC.分别以点A和点B为圆心，大于1
2AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，
作直线MN，与AC交于点D，连接BD.若∠A = 42∘，则∠CBD的度数为( )
A. 21∘
B. 27∘
C. 30∘
D. 34.5∘
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形性质与线段垂直平分线综合计算，先求底角度数，再利用垂直平分线性质转
化角度求解。
【详解】
∵ AB=AC，∠A=42°，∴ △ABC 为等腰三角形，
∠ABC=∠ACB=(180°−42°)÷2=69°，
由作图知MN 是AB 的垂直平分线，∴ AD=BD，∠ABD=∠A=42°，
∴ ∠CBD=∠ABC−∠ABD=69°−42°=27°。
故选：B。
7.如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 100∘，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1
的位置，连接BB1，若BB1//AC1，则∠CAC1的大小是( )
A. 10∘
B. 20∘
C. 30∘
D. 40∘
【答案】B
【分析】本题考查图形旋转性质与等腰三角形、平行线性质综合，利用旋转前后边长、角度不变，结合平
行线内错角相等推导旋转角。
【详解】
∵ AB=AC，∠BAC=100°，∴ ∠ABC=∠ACB=40°，
由旋转性质得AB=AB₁，∠B₁AC₁=∠BAC=100°，
∵ BB₁∥AC₁，∴ ∠BB₁A=180°−100°=80°，
△ABB₁中，AB=AB₁，∴ ∠BAB₁=180°−80°×2=20°，
∴ ∠CAC₁=∠BAB₁=20°。
故选：B。
8.如图，已知在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且AE = CD，连接AD，BE交于点P，
过点B作BQ ⊥AD于点Q，PQ = 2，则BP的长为( )
A. 4.5
B.
3
C. 4
D. 6
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形全等判定与含30°直角三角形性质，先证三角形全等推导角度，再利用直角三
角形边角关系求线段长。
【详解】
∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE 和△ACD 中，AB=CA，∠BAE=∠ACD，AE=CD，
∴ △BAE≌△ACD（SAS），∴ ∠ABE=∠CAD，
∴ ∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∵ BQ⊥AD，∴ △BPQ 为直角三角形，∠PBQ=30°，
根据含30°直角三角形性质，BP=2PQ=2×2=4。
故选：C。
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.在△ABC中，已知AC = 13，BC = 10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为
．
【答案】23
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，转化三角形周长即可
求解。
【详解】
∵ DE 是AB 的垂直平分线，∴ AE=BE，
△BCE 的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
代入AC=13，BC=10，得周长=13+10=23。
10.如图，∠AOB = 30∘，P是∠AOB内部的一点，点P关于OA的对称点是M，点P关于OB的对称点是N，连接
MN.若MN = 8cm，则△MON的周长是 ．
【答案】24cm
【分析】本题考查轴对称的性质，点关于直线对称，对称轴垂直平分对应点连线，对应线段相等，结合角
度判定等边三角形求解周长。
【详解】
∵ P、M 关于OA 对称，P、N 关于OB 对称，∴ OM=OP，ON=OP，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴ OM=ON，∠MON=2∠AOB=2×30°=60°，
∴ △MON 为等边三角形，边长MN=8cm，
∴ △MON 周长=8×3=24cm。
11.如图，在△ABC中，ED//BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F.若FG = 4，ED = 8，则
EB + DC = ．
【答案】12
【分析】本题考查平行线性质与角平分线性质综合，利用等角对等边转化线段，整体代换求解线段和。
【详解】
∵ BG 平分∠EBC，∴ ∠EBG=∠GBC，
∵ ED∥BC，∴ ∠EGB=∠GBC，∴ ∠EBG=∠EGB，∴ EB=EG，
同理可证：DF=DC，
∴ EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12。
12.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(如图1).图2为某蝶几设计图，其中△ABD与
△CBD为两个全等的等腰直角三角形，已知点P与点A关于直线DQ对称，连接CP，DP.若∠ADQ = 25∘，则
∠DCP = ∘．
【答案】20
【分析】本题考查轴对称性质与等腰直角三角形角度计算，利用对称性质得等角、等边，逐步推导角度关
系。
【详解】
∵ △ABD、△CBD 为全等等腰直角三角形，∴ ∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD，
∵ 点P、A 关于DQ 对称，∴ ∠ADQ=∠PDQ=25°，AD=PD，
∴ ∠PDC=∠ADB+∠CDB−∠ADP=90°−50°=40°，CD=PD，
∴ △PDC 为等腰三角形，∠DCP=(180°−40°)÷2=20°。
三、解答题：本题共6 小题，共64 分。
13.(10 分)
如图，在四边形ABDC中，∠BAC = 100∘，连接AD，且AD平分∠BAC，∠ADB = 80∘，DE是△ABD的高．
(1)求证：△ABD是等腰三角形．
(2)若CD ⊥AC，求证：AB = 2AC．
【答案】(1)证明: ∵AD 平分∠BAC,∠BAC=100∘,
∴∠BAD=∠CAD=
1
2∠BAC=50∘.
∵∠ADB=80∘,∠ADB+∠ABD+∠BAD=180∘,
∴∠ABD=180∘-50∘-80∘=50∘.
∴∠ABD=∠BAD.
∴DA=DB.
∴△ABD 是等腰三角形.
(2) ∵DE ⊥AB,DB=DA,
∴AB=2AE.
∵CD ⊥AC,DE ⊥AB,
∴∠AED=∠ACD=90∘.
由(1)可知,∠EAD=∠CAD=
1
2∠BAC=50∘.
在△ADE 和△ADC 中,
∠AED = ∠ACD,
∠EAD = ∠CAD,
AD = AD.
∴△ADE≌△ADC(AAS).
∴AE=AC.
∴AB=2AC.
14.(7 分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(−4,4)，C(−2,1).
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
(2)在x轴上作一点P，使得BP + CP的值最小(保留作图痕迹)．
【答案】(1)解：如图，△A1B1C1 如图所示.
(2)解：如图，点P 即为所求.
15.(10 分)
如图，在△ABC中，∠B是锐角，AD ⊥BC于点D，且∠B = 2∠C，AB = 3.5，BD = 1，求DC的长．
小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下：
解：如图1，在线段DC上取一点E，使DE = DB，连接AE．
∵AD ⊥BC，DE = DB，
∴AD垂直平分BE．
∴AB = AE(依据1)．
∴∠B = ∠AEB(依据2)．
∵∠B = 2∠C，∴∠AEB = 2∠C.
又∵∠AEB = ∠EAC + ∠C，
∴∠EAC + ∠C = 2∠C.
∴∠EAC = ∠C. ∴AE = CE(依据3)．
∴AE = CE = AB．
∴DC = DE + CE = BD + AB = 1 + 3.5 = 4.5．
(1)上述解题过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是什么?
依据1:
．
依据2:
．
依据3:
．
(2)看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法：
解：如图2，延长DB到点E，使BE = AB，连接AE．
⋯⋯
请根据小创的思路写出完整的解题过程．
【答案】
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 ;
等边对等角;
等角对等边；
(2) ∵EB=AB,
∴∠E=∠EAB.
∴∠ABD=∠E+∠EAB=2∠E.
∵∠ABD=2∠C,
∴∠E=∠C.
∴AE=AC.
∵AD ⊥BC,
∴DC=ED=EB+BD=AB+BD=3.5+1=4.5.
16.(12 分)
如图，在四边形ABCD中，AB = AD，CB = CD，∠BAD = 60°，E为AD上一点，连接BD，CE相交于点F，
CE//AB．
(1)判断△DEF的形状，并说明理由．
(2)若AD = 12，CE = 8，求CF的长．
【答案】
(1) 解：△DEF 是等边三角形．
理由：
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD 是等边三角形．
∴∠ABD＝∠ADB＝60°．
∵CE// AB，
∴∠CED＝∠BAD＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°．
∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE．
∴△DEF 是等边三角形．
(2)连接AC．
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC 是线段BD 的垂直平分线．
∵△ABD 是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°．
∵CE// AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝∠DAC＝30°．
∴AE＝CE＝8．
∴DE＝AD-AE＝12-8＝4．
∵△DEF 是等边三角形，
∴EF＝DE＝4．
∴CF＝CE-EF＝8-4＝4．
17.(12 分)
如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于
点F，N，BE + FC = 7．
(1)求AE + AF的长．
(2)若∠EAF = 80∘，求∠BAC的度数．
【答案】
解:(1) ∵ME 是边AB 的垂直平分线,NF 是边AC 的垂直平分线,
∴BE=AE,FA=FC.
∴AE+AF=BE+FC=7.
(2) ∵BE=AE,FA=FC,
∴∠ABE=∠BAE,∠CAF=∠ACF.
∵∠ABE+∠BAE+∠EAF+∠CAF+∠ACF=180∘,∠EAF=80∘,
∴2(∠BAE+∠CAF)+80∘=180∘.
∴∠BAE+∠CAF=50∘.
∴∠BAC=∠BAE+∠CAF+∠EAF=130∘.
18.(13 分)
如图，已知等腰三角形ABC和等腰三角形CDE，AC = BC，CD = CE，∠ACB = ∠DCE = α，AD，BE相交
于点M．
(1)求证：AD = BE．
(2)用含α的式子表示∠AMB的度数．
(3)【拓展设问】连接MC，求证：MC平分∠AME．
【答案】
(1) 证明:
∵∠ACB=∠DCE=α,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE.
在△ACD 和△BCE 中,
CA = CB,
∠ACD = ∠BCE,
CD = CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE.
(2)由(1)可知, △ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE.
设BC,AD 交于点N.
∵∠MNC=∠CAD+∠ACB=∠CBE+∠AMB,
∴∠AMB=∠ACB=α.
(3)证明:过点C 分别作CP ⊥AD 于点P,CQ ⊥BE 于点Q.
∵△ACD≌△BCE,
∴S△ACD=S△BCE,AD=BE.
∴
1
2AD ⋅CP=
1
2BE ⋅CQ.
∴CP=CQ.
∴MC 平分∠AME.
