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2025-2026 学年内蒙古赤峰市松山区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题8 个小题，每小题3 分，共24 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，
请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.）
1．（3 分）在美术字中，有些汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）下列算式中，计算正确的是（ ）
A．3x3+2x3＝5x6
B．x3•x3＝x9
C．（2x2）3＝6x6
D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2
3．（3 分）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如
图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC 的中点O 固定，只要测得C，D 之间的距离，就可知道内径AB 的长
度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．HL
4．（3 分）我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其创新采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，
将实现30 年超长防腐寿命的突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅
有0.00000000034m，请将0.00000000034 用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×109
B．0.34×10﹣9
C．3.4×1010
D．3.4×10﹣10
5．（3 分）在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab 的图形是（ ）
A．
B．
2
C．
D．
6．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴负半轴于点M，交y
轴负半轴于点N，再分别以点M，N 为圆心，大于1
2 MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．
若点P 的坐标为（a，b），则a 与b 的数量关系为（ ）
A．a+b＝0
B．a+b＞0
C．a﹣b＝0
D．a﹣b＞0
7．（3 分）把分式ab
a+b
中的a，b 都扩大3 倍，那么分式的值（ ）
A．不变
B．扩大为原来的3 倍
C．扩大为原来的9 倍
D．缩小为原来的1
3
8．（3 分）如图，△ABC 中，∠ABC、∠EAC 的角平分线BP、AP 交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，
PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP 平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3
二、填空题（本大题共有4 小题，每小题3 分，共12 分）
9．（3 分）赤峰城区中学附近新建若干过街天桥，天桥的桥梁拉杆，都是三角形结构，这是利用三角形
的 性．
10．（3 分）因式分解﹣2x3+8x＝ ．
11 ．（3 分）已知关于x 的分式方程
a
x−3 +
2
3−x = 1
2
的解为正数，关于y 的不等式组
{
y −1
2
−2＜7−2 y
2
2 y −1≥a−2 y
恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a 的积是 ．
12．（3 分）如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，
制成一个高为a 的长方体形状的无盖纸盒．若纸盒的容积为4a2b，底面长方形的一边长为b（b＜
4a），则这个长方形纸板的面积是 ．
三、解答题（本大题共6 小题，满分64 分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤）
13．（10 分）（1）化简：
a
a−2 ÷(
a
a−2 + 4 a
4−a
2 )，在﹣2≤a≤2 的整数范围内选择你最喜欢的a 的值
代入式子中，求出代数式的值；
（2）解分式方程：
1
x−2 +2= 3−x
2−x
．
14．（10 分）如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1，（画三角形时，三条边要用中性笔描黑）并写出点
A1、B1、C1的坐标；
（2）点A 关于x 轴的对称点为点D，E 为x 轴上一点，且S△ADE＝6，求点E 的坐标．
4
15．（10 分）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D，交AB 于点E．
（1）求∠DBC 的度数；
（2）若AE＝6，△BCD 的周长为19，求BC 的长．
16．（10 分）随着人口的增加和城市化进程的加快，为了预防污水排放量不断增加而导致水体污染，高
新区进行了污水治理，现需铺设一段全场为4600 米的污水排放管道，铺了1600 米后，为了尽量减少
施工对城市交通所造成的影响，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了25%，共用50
天完成了全部任务．
（1）求原来每天铺设多少米管道？
（2）若承包商安排工人加班后每天支付给工人工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工
资224000 元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？
17．（12 分）如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，点P 在AB 上，过点P 作PE⊥AC，垂足为E，延
长BC 到点Q，使CQ＝PA，连接PQ 交AC 于点D，求：线段DE 的长（用含a 的代数式表示）．
18．（12 分）某数学活动小组在做三角板游戏时，发现把两个大小不同的含有45°角的三角板△ABC 和
5
△DCE 如图摆放时（∠BCA＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CE＝CD）有以下规律：如果作CF⊥BD，垂足
为F．那么就会有如下结论：（1）△AEC≌△BDC；（2）BE＝2DF+AE．你同意这个小组的结论吗？
请说明理由．
6
2025-2026 学年内蒙古赤峰市松山区八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
D
D
C
B
D
9.稳定 10.﹣2x（x﹣2）（x+2） 11.3 12.12a2+6ab
选择题、填空题解法提示
8．解：①过点P 作PD⊥AC 于D，
∵PB 平分∠ABC，PA 平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PN＝PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P 在∠ACF 的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM 和Rt△PAD 中，
{
PM = PD
PA = PA ，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA 平分∠CAE，BP 平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM= 1
2
∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
7
故选：D．
12．解：设长方体底面的另一边长为x，
则根据长方体的体积公式可得，4a2b＝abx，
解得x＝4a，
所以长方形纸板的长为4a+a+a＝6a，
长方形纸板的面积是＝6a×（2a+b）＝12a2+6ab，
故答案为：12a2+6ab．
解答题参考答案
13．解：（1）原式=
a
a−2 ÷(
a
a−2 −4 a
a
2−4
)
=
a
a−2 ÷[ a(a+2)
a
2−4
−4 a
a
2−4
]
=
a
a−2 ÷[
a(a+2)
(a+2)(a−2) −
4 a
(a+2)(a−2) ]
=
a
a−2 ÷
a(a−2)
(a+2)(a−2)
=
a
a−2 × (a+2) (a−2)
a (a−2)
= a+2
a−2
，
根据分式有意义的条件可知a≠±2 且a≠0，
当a＝1 时，原式= 1+2
1−2 = 3
−1 =−3；
（2）原方程可化为
1
x−2 +2=−3−x
x−2
，
两边同时乘以（x﹣2）得：1+2（x﹣2）＝﹣（3﹣x），
去括号得：1+2x﹣4＝﹣3+x，
整理得：x＝0，
8
检验：当x＝0 时，x﹣2≠0，
∴原方程的解为x＝0．
14．解：（1）△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1，如图即为所求；
由图可知，A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4）；
（2）∵点A（1，1），点A 关于x 轴的对称点为点D，
∴D（1，﹣1），
∴AD＝2，
∵E 为x 轴上一点，
∴设E（x，0），
∴S△ADE= 1
2 ×2×| x−1|=6，
∴|x﹣1|＝6，
解得：x＝﹣5 或x＝7，
∴E（﹣5，0）或E（7，0）．
15．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ABC+∠C+∠A＝180°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵MN 垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；
（2）∵MN 垂直平分AB，
9
∴AB＝2AE，AD＝BD．
∵AE＝6，
∴AC＝AB＝2AE＝12，
∵BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝19，
∴BC＝19﹣12＝7．
16．解：（1）设原来每天铺设x 米管道，由题意得，
1600
x
+
3000
(1+25 %)x =50，
解得x＝80，
经检验，x＝80 是原方程的解，且符合题意，
答：原来每天铺设80 米管道；
（2）设安排工人加班前每天应支付工人y 元，由题意得，
1600
80
y +30(1+20 %) y =224000，
解得y＝4000，
答：安排工人加班前每天应支付工人4000 元．
17．解：如图，过P 点作PN∥BC 交AC 于点N，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵PN∥BC，
∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠ACB，
∴∠APN＝∠PAN＝∠A＝60°，
∴△PNA 是等边三角形，
∴AP＝PN，
∵AP＝CQ，
∴PN＝CQ，
∵PN∥CQ，
10
∴∠Q＝∠NPD，
∴△PND≌△QCD（AAS），
∴ND＝CD，
∵PE⊥AN，
∴AE＝EN，
∴AE +CD = EN + ND = 1
2 CA，
即DE = 1
2 CA，
∵AC＝a，
∴DE = 1
2 a．
18．解：（1）∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE+∠ECB＝∠ECB+∠DCB＝90°．
∴∠ACE＝∠DCB．
在△AEC 和△BDC 中，
{
AC = BC
∠ACE =∠BCD
EC = DC
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）；
（2）同意，理由如图：
如图，延长DF 至点G，使FG＝DF，连接CG．
由条件可知CD＝CG，
∴∠CDF＝∠G．
∵△AEC≌△BDC（SAS），
∴EC＝DC，∠A＝∠DBC，∠AEC＝∠BDC，AE＝BD，∠ACE＝∠BCD，
∴CG＝EC，
∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝45°+∠ACE，∠CDF＝∠CBD+∠BCD＝45°+∠BCD，
11
∴∠BEC＝∠CDF，
∴∠G＝∠BEC．
∴∠A＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠DBC，
在△CBG 和△CBE 中，
{
∠GBC =∠EBC
∠G =∠BEC
CG =CE
，
∴△CGB≌△CEB（AAS）．
∴BG＝BE．
∵BG＝BD+DF+FG＝BD+2DF，
∴BE＝2DF+AE．
