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2025-2026 学年内蒙古包头市八年级（上）期末数学试卷
一、单选题(本题包括1-8 题，每小题3 分，共24 分．每小题只有一个选项符合题意，请将答题卡上对应
题目的答案标号涂黑)
1．（3 分）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化
规律所形成的知识体系和社会实践．是中国传统历法体系及其相关实践活动的重要组成部分，被誉为
“中国的第五大发明”．如图四幅作品分别代表“立春”“小满”“惊蛰”“芒种”，其中对应图形
是轴对称图形的是（ ）
A．
立春
B．
小满
C．
惊蛰D．
芒种
2．（3 分）下列计算中，正确的是（ ）
A．x2•x5＝x7
B．（3x2）2＝6x4
C．x6÷x3＝x2
D．2x2+3x2＝5x4
3．（3 分）观察下面图形，从图1 到图2 可用式子表示为（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
4．（3 分）如图，已知直线m∥n，线段AC 分别与直线m，n 相交于点B、点C，以点A 为圆心，AB 的
长为半径画弧交直线m 于点B，点D．若∠A＝70°，则α 的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
5．（3 分）若关于x 的方程
2
x−3 =1−
m
x−3
无解，则m 的值是（ ）
2
A．3
B．2
C．﹣3
D．﹣2
6．（3 分）如图，在△ABC 中，AC＝10，BC＝6，AB＝12，将点A 与点B 分别沿MN 和EF 折叠，使点
A、B 与点C 重合，则△NCF 的周长为（ ）
A．12
B．13
C．16
D．17
7．（3 分）某工厂计划生产300 个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多25%，结
果提前2 天完成任务．设原计划每天生产x 个零件，可列方程为（ ）
A．300
x −
300
(1+25 %)x =2
B．
300
(1+25 %)x −300
x =2
C．300
x −
300
x +25 % =2
D．
300
x +25 % −300
x =2
8．（3 分）如图，已知∠AOB＝120°，点D 是∠AOB 的平分线上的一个定点，点E、F 分别在射线OA 和
射线OB 上，且∠EDF＝60°，下列结论：①△DEF 是等边三角形；②当DE⊥OA 时，△DEF 的周长
最小；③当DE∥OB 时，∠DFB＝60°，其中正确的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
二、填空题(本题包括9-14 题，每小题3 分，共18 分．请将答案填写在答题卡对应题号的横线上)
9．（3 分）因式分解：a3﹣4ab2＝ ．
10．（3 分）科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约0.00000000028 米，其中0.00000000028 用科
学记数法表示为 ．
11．（3 分）已知8×2m×16m＝28，则m 的值为 ．
12．（3 分）如图，在△ABC 中，点D，E，F，分别为BC，AD，BE 的中点，S△BFD＝1，则S△ABC的值为
．
3
13．（3 分）已知4x2+kx+9 是一个完全平方式，那么k 的值为 ．
14．（3 分）已知：如图，在长方形ABCD 中，AB＝4，AD＝6．延长BC 到点E，使CE＝2，连接DE，
动点P 从点B 出发，以每秒2 个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，
当t 的值为 秒时，△ABP 和△DCE 全等．
三、解答题(本题包括15-20 题，共58 分．请将答案填写在答题卡对应题号的空白处，请勿将答案书写在
密封线内)
15．（9 分）计算与解方程：
（1）（x﹣3y）（xy2）2；
（2）（x+2y）（x﹣y）﹣（x﹣2y）2；
（3）x−2
x +3 =
3
x−3 +1．
16．（9 分）先化简，再求值：(a+1−
3
a−1 )÷
a
2−4
a
2−2a+1
，其中a＝﹣3．
17．（9 分）如图，在一个10×6 的正方形网格中，A，B，C 是其中的三个格点．请根据下列要求，完成
作图（仅用无刻度的直尺）及填空．
（1）画出△ABC 关于直线DE 对称的△A1B1C1；
（2）若格点P 到点A，C 的距离相等，则网格中满足条件的格点P 共有 个，请画出；
（3）在DE 上找一点M，使MB+MC 最小．
4
18．（9 分）如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为AC 中点，连接DE 并延长至点F 使得EF＝ED，
连接CF．
（1）求证：AB∥CF；
（2）若BD＝4，CF＝3，AC 平分∠BCF，求线段BC 的长度．
19．（9 分）2026 年元旦节即将来临，校团委准备订购一批具有陶味的文创产品．经过一系列的筛选，
最终决定由甲、乙两个厂家共同生产，并在元旦前赶制完成陶味文创产品共14100 件．经考察，乙工
厂生产陶味文创产品的数量比甲工厂生产陶味文创产品的数量的1.5 倍少900 件．
（1）求甲、乙两工厂各生产陶味文创产品多少件？
（2）在生产过程中，乙工厂每天生产陶味文创产品的数量是甲工厂每天生产陶味文创产品数量的1.2
倍，两个工厂同时开工制作，结果甲工厂比乙工厂提前5 天完成制作，求乙工厂每天生产多少件陶味
文创产品？
20．（13 分）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“中点”“中线”等条
件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法”，并
且该方法有着广泛的应用．
【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题：
（1）如图1，在△ABC 中，AB＝5，AC＝9，D 是BC 的中点，求AD 的取值范围．
解决思路：延长AD 到点E，使DE＝AD，连接BE，构造△ADC≌△EDB．通过求出线段AE 的取值范
围即可解决该问题．请你直接写出AD 的取值范围为 ；
（2）如图2，点D 为BC 的中点，∠ABD＝∠ECD＝∠ADE＝90°，AB＝10，CE＝22，求AE；
5
（3）如图3，在△ABD 和△ACE 中，∠DAB＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE．连接DE，BC，作
BC 边上的中线AF．请猜想DE 和AF 的数量关系并说明理由．
6
2025-2026 学年内蒙古包头市八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
A
C
D
A
A
D
9.a（a+2b）（a﹣2b） 10.2.8×10﹣10 11.1 12.8 13.±12 14.1 或7
选择题、填空题解法提示
8．解：如图所示，过点D 作DM⊥OA 于点M，作DN⊥OB 于点N，
∴∠OMD＝∠OND＝90°，
∴∠MDN＝360°﹣∠OMD﹣∠OND﹣∠AOB＝60°，
∴∠MDE+∠EDN＝∠EDN+∠NDF＝60°，
∴∠MDE＝∠NDF，
∵点D 是∠AOB 的平分线上的一个定点，DN⊥OB，DM⊥OA，
∴DM＝DN，
∴△MDE≌△NDF（ASA），
∴∠EDF＝60°，DE＝DF，
∴△DEF 是等边三角形，故①正确，符合题意；
根据点到直线垂线段最短可知当DE⊥OA 时，DE 的值最小，
∵△DEF 是等边三角形，
∴△DEF 的周长为3DE，此时周长最小，故②正确，符合题意；
当DE∥OB 时，
∵∠AOB＝120°，∴∠DEO＝180°﹣120°＝60°，
∵△DEF 是等边三角形，
∴∠EFD＝60°，DE＝EF＝EO，即点F，O 重合，
∴∠DFB＝∠AOB﹣∠EFD＝120°﹣60°＝60°，故③正确，符合题意；
故选：D．
14．解：设点P 的运动时间为t 秒，则BP＝2t，
7
当点P 在线段BC 上时，
∵四边形ABCD 为长方形，
∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，
此时有△ABP≌△DCE，
∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；
当点P 在线段AD 上时，
∵AB＝4，AD＝6，
∴BC＝6，CD＝4，
∴AP＝16﹣2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；
综上可知当t 为1 秒或7 秒时，△ABP 和△CDE 全等．
故答案为：1 或7．
解答题参考答案
15．解：（1）原式＝（x﹣3y）•x2y4
＝x3y4﹣3x2y5；
（2）原式＝x2﹣xy+2xy﹣2y2﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝x2﹣xy+2xy﹣2y2﹣x2+4xy﹣4y2
＝5xy﹣6y2；
（3）原方程去分母得：（x﹣2）（x﹣3）＝3（x+3）+（x+3）（x﹣3），
整理得：8x＝6，
解得：x = 3
4
，
经检验，当x = 3
4
时，（x+3）（x﹣3）≠0，
∴原分式方程的解为x = 3
4
．
16．解：原式=( a
2−1
a−1 −
3
a−1 )÷
a
2−4
a
2−2a+1
= a
2−4
a−1 ÷
a
2−4
a
2−2a+1
= a
2−4
a−1 ⋅a
2−2a+1
a
2−4
= a
2−4
a−1 ⋅(a−1)
2
a
2−4
＝a﹣1，
8
当a＝﹣3 时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
17．解：（1）△ABC 关于直线DE 对称的△A1B1C1，如图1 即为所求；
（2）如图2，P1，P2，P3，P4即为所求，则网格中满足条件的格点P 共有4 个，
故答案为：4；
（3）使MB+MC 最小的点M，如图3 即为所求．
9
18．（1）证明：∵点E 为AC 中点，
∴CE＝AE，
在△CEF 和△AED 中，
{
CE = AE
∠CEF =∠AED
EF = ED
，
∴△CEF≌△AED（SAS），
∴∠ECF＝∠A，
∴AB∥CF；
（2）解：延长CF 与BE 的延长相交于点H，如图所示：
由（1）的结论得：AB∥CH，
∴∠H＝∠DBE，
在△EFH 和△EDB 中，
{
∠H =∠DBE
∠FEH =∠DEB
EF = ED
，
∴△EFH≌△EDB（AAS），
∴HF＝BD，
∴HC＝CF+HF＝CF+BD，
∵BD＝4，CF＝3，
∴HC＝CF+BD＝7，
∵AC 平分∠BCF，
∴∠DBE＝∠CBH，
∴∠H＝∠CBH，
∴BC＝HC＝7，
即线段BC 的长为7．
19．解：（1）设甲工厂生产陶味文创产品x 件，则乙工厂生产陶味文创产品（1.5x﹣900）件，
由题意得：x+（1.5x﹣900）＝14100，
10
解得：x＝6000，
∴1.5x﹣900＝1.5×6000﹣900＝8100，
答：甲工厂生产陶味文创产品6000 件，则乙工厂生产陶味文创产品8100 件；
（2）设甲工厂每天生产陶味文创产品y 件，则乙工厂每天生产陶味文创产品1.2y 件，
由题意得：8100
1.2 y −6000
y
=5，
解得：y＝150，
经检验，y＝150 是原方程的解，且符合题意，
∴1.2y＝1.2×150＝180，
答：乙工厂每天生产陶味文创产品180 件．
20．解：（1）∵D 是BC 的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE 和△CDA 中，
{
BD =CD
∠BDE =∠CDA
DE = AD
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝9，
∵AB＝5，AC＝9，
由三角形三边关系可知，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，
即9﹣5＜AE＜9+5，
∴4＜AE＜14，
∵DE＝AD，
∴AE＝2AD，
∴4＜2AD＜14，
∴2＜AD＜7；
（2）延长ED 交AB 的延长线于H，
11
∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠HBD＝∠ECD＝90°，
∵点D 是BC 的中点，
∴BD＝CD，
在△BDH 和△CDE 中，
{
∠HBD =∠ECD =90°
BD =CD
∠BDH =∠CDE
，
∴△BDH≌△CDE（ASA），
∴BH＝CE，DH＝DE，
∴AH＝AB+BH＝AB+CE，
∵AB＝10，CE＝22，
∴AH＝10+22＝32，
∵∠ADE＝90°，∴AD⊥EH，
∵DH＝DE，
∴AD 为线段EH 的垂直平分线，
∴AE＝AH＝32；
（3）DE＝2AF，理由：
延长AF 到P，使FP＝FA，连接BP，延长FA，与DE 相交于点G，如图3，
∴AP＝2AF，
∵点F 是BC 的中点，
12
∴BF＝CF，
在△BFP 和△CFA 中，
{
BF =CF
∠BFP =∠CFA
FP = FA
，
∴△BFP≌△CFA（SAS），
∴∠P＝∠CAF，BP＝AC，
∴BP∥AC，
∴∠ABP+∠BAC＝180°，
∵△ABD 为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵△ACE 为等腰直角三角形，
∴AC＝AE，∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝180°，
∴∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠ABP＝∠DAE，
∵BP＝AC，AC＝AE，
∴BP＝AE，
在△ABP 和△DAE 中，
{
AB = AD
∠ABP =∠DAE
BP = AE
，
∴△ABP≌△DAE（SAS），
∴AP＝DE，∠BAP＝∠ADE，
∵AP＝2AF，
∴DE＝2AF．
