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考前突破 04 圆的相关证明与计算（2 大必考题型）
题型一：圆的基本性质的证明与计算
题型二：与切线有关的证明与计算
题型一：圆的基本性质的证明与计算
【中考母题学方法】
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的两条弦，点 与点 在
的两侧， 是 上一点（ ），连接 ，且 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的半径；
(2)如图2，若 ，求证： ．（请用两种证法解答）2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的两条弦，点 与点 在
的两侧， 是 上一点（ ），连接 ，且 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的半径；
(2)如图2，若 ，求证： ．（请用两种证法解答）
3．（2024·安徽·中考真题）如图， 是 的外接圆，D是直径 上一点， 的平分线交 于
点E，交 于另一点F， ．
(1)求证： ；
(2)设 ，垂足为M，若 ，求 的长．4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图， 中， ，D为 中点， ，
， 是 的外接圆．
(1)求 的长；
(2)求 的半径．
5．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与 相切于点A， 是 的直径，点C，D在l上，且位于点
A两侧，连接 ，分别与 交于点E，F，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 的半径 ， ， ，求 的长．6．（2024·新疆·中考真题）如图，在 中， 是 的直径，弦 交 于点E， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
7．（2024·贵州·中考真题）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上， 与半
圆相切于点C，与 的延长线相交于点D， 与 相交于点E， ．
(1)写出图中一个与 相等的角：______；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．8．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线 与 相切于点 ， 为 的直径，过点 作 于点
，延长 交直线 于点 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)如果 ， ，求 的半径．
9．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在 中， ， 为 的外接圆， 为 的切线，
为 的直径，连接 并延长交 于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．【中考模拟即学即练】
10．（2025·山东临沂·一模）如图， 为 的外接圆，直径 于 E ，过点 A 作 的切
线 与 的平分线交于点 F， 交 于点 G ，交 于点 H，交 于点 M，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
11．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图所示，圆内接四边形 中，点B平分 ， 平分 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求证： ．
(3)求证： ．12．（2024·湖北·模拟预测）如图，在 中，弦 ， 相交于点M，且 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ， ，若 是 的直径， ，求 的长．
13．（2024·贵州·模拟预测）如图，四边形 内接于 ， ， ， 交 于
点 ， ， ， 三点共线．
(1)图中与 相等的是_______；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．14．（2024·江苏南京·二模）如图， 、 是 的两条弦， 与 相交于点E， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，作直线 ，求证： ．
15．（2024·贵州黔东南·二模）如图， 是 的外接圆，且 过点 B作 ，垂足
为点E， 延长 交 于点D， 连接 ， 并延长 交 于点F．
(1)写出图中一个与 相等的角∶ ；
(2)求证∶
(3)若 ， 求 的半径．16．（2024·天津红桥·一模）已知 与 相切于点 ，直线 与 相交于 ， 两点 ，
为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ．
(1)如图①，若 为 的中点，求 的大小；
(2)如图②，连接 与 相交于点 ，求证： ．
17．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已知 的内接 为等边三角形，连接顶点C与圆心O，并延
长交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ．
(1)图中与 全等的三角形是 ，图中度数为 的角有 个 ；
(2)求证： ；
(3)连接 ， ，判断四边形 的形状，并说明理由．18．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图， 内接于⊙ 是⊙ 的直径， 为优弧 的中点，连
接 ，延长 交于点 ．
(1)求证： ．
(2)求证： ．
19．（2025·安徽·模拟预测）如图， 是⊙O的弦，半径 ，垂足为D，弦 与 交于点F，连
接 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．20．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图， 的直径 垂直弦 于点 E，F是圆上一点，D是 的中点，
连接 交 于点 G， 连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
21．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以 为直径的 上， 的平分线交 于点B，连
接 ， ， ，过点E作 ，垂足为H，交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 ．22．（2024·浙江·模拟预测）如图，AB是半径为 的 的直径， 是 的中点，连接CD交AB于点 ，
连接 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求AD的长．
(3)如图 ，作 于点 ，交AD于点 ，射线CB交AD的延长线于点 ，若 ，求 的长．
23．（2024·贵州黔东南·一模）如图， 为 的弦， 为 的直径， 与 相交于点 ，连接
， ， ，过点 作 于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若 ， ，求图中阴影部分的面积．24．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知： 为 的直径，弦 交 于点H，点F为弧 上一点，连
接 交 于点E，交 于点G， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 ， ， 时，求 的长．
25．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的两条弦，点 与点 在
的两侧， 是 上一点（ ），连接 ，且 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的半径；
(2)如图2，若 ，求证： ．（请用两种证法解答）26．（2024·湖北十堰·一模）如图，在 中，以 为直径作 ，交 于点 ，过 作 交
于点 ，连接 ．
(1)求证∶ ；
(2)若 ， ，求 的度数；
(3)若 ， ，求 的长．
27．（2024·湖南·模拟预测）如图（1）所示，已知在 中， ， 在边 上，点 为边
中点，为以 为圆心， 为半径的圆分别交 ， 于点 ， ，连接 交 于点 ．
(1)如果 ，求证：四边形 为平行四边形；
(2)如图（2）所示，连接 ，如果 ，求边 的长；
(3)连接 ，如果 是以 为腰的等腰三角形，且 ，求 的值．题型二：与切线有关的证明与计算
【中考母题学方法】
1．（2024·广西·中考真题）如图，已知 是 的外接圆， ．点D，E分别是 ， 的中
点，连接 并延长至点F，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证： 与 相切；
(3)若 ， ，求 的半径．
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图， 中， ， ， 经过B，C两点，与斜
边 交于点E，连接 并延长交 于点M，交 于点D，过点E作 ，交 于点F．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求 的长．
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图， 中， ，点 为 边上一点，以点 为圆心，
为半径作圆与 相切于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
4．（2024·四川广元·中考真题）如图，在 中， ， ， 经过A、C两点，交
于点D， 的延长线交 于点F， 交 于点E．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在 中，以 为直径的 交 于点 ，
垂足为 ． 的两条弦 相交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求扇形 的面积．
6．（2024·四川·中考真题）如图，AB为⊙O的弦，C为 的中点，过点C作 ，交 的延长线
于点D．连接 ．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若 ，求 的面积．7．（2024·辽宁·中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 在 上， ，
在 的延长线上， ．
(1)如图1，求证： 是 的切线；
(2)如图2，若 ， ，求 的长．
8．（2024·山东济宁·中考真题）如图， 内接于 ，D是 上一点， ．E是 外一点，
，连接 ．(1)若 ，求 的长；
(2)求证： 是 的切线．
9．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图， 内接于 ， 为 的直径，点D为 上一点，
，延长 至E，使得 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
10．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知 是 的直径， 是 的弦，点 在 外，延长 ，
相交于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ， ．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 的半径为6，点 为线段 的中点， ，求 的长．
11．（2024·四川雅安·中考真题）如图， 是 的直径，点C是 上的一点，点P是 延长线上的
一点，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求证： ；
(3)若 于D， ， ，求 的长．
12．（2024·四川巴中·中考真题）如图， 内接于 ，点 为 的中点，连接 ， 平分
交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线．(2)求证： ．
(3)若 ， ，求 的长．
13．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在 中， 是直径， 是弦，且 ，垂足为 ，
， ，在 的延长线上取一点 ，连接 ，使 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的长．
14．（2023·湖南张家界·中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上
一点，连接 ， ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求 的长．
15．（2024·西藏·中考真题）如图， 是 的直径，C，D是 上两点，连接 ， ， 平分
， ，交 延长线于点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为5， ，求 的长．
16．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形 中， ，延长 至点
E，使 ，延长 至点F，连结 ，使 ．
(1)若 ， 为直径，求 的度数．(2)求证：① ；② ．
17．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知 内接于 ， 是 的直径， 的平分线交
于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的直径．
18．（2024·山东济南·中考真题）如图， 为 的直径，点 在 上，连接 ，点 在
的延长线上， ．(1)求证： 与 相切；
(2)若 ，求 的长．
19．（2024·内蒙古·中考真题）如图， 内接于 ，直径AB交CD于点 ，过点 作射线 ，使得
，延长 交过点 的切线于点 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ．
①求DE的长；
②求 的半径．
20．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知 的圆心O在 的边 上，与 相交于A、E两点，
且与边 相切于点D，连结 ．(1)若 ，求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
21．（2024·山东日照·中考真题）如图1， 为 的直径， 是 上异于 的任一点，连接
，过点A作射线 为射线 上一点，连接 ．
【特例感知】
（1）若 ．则 _______．
（2）若点 在直线 同侧，且 ，求证：四边形 是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有 ，连接 ．
（3）如图2，当 与 相切时，求 的长度；
（4）求 长度的取值范围．
22．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形 中， ．点 在射线 上运动（不与点 ，
点 重合）， 关于 的轴对称图形为 ．(1)当 时，试判断线段 和线段 的数量和位置关系，并说明理由；
(2)若 ， 为 的外接圆，设 的半径为 ．
①求 的取值范围；
②连接 ，直线 能否与 相切？如果能，求 的长度；如果不能，请说明理由．
【中考模拟即学即练】
23．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知四边形 中， ，点 是 的中点，
，以 为直径作半圆 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 与 的交点 是 的中点， 的半径为2，求 的长．
24．（2024·河北·模拟预测）如图1，在 中， ， ， ，延长 至点D，
使 ，连接 ，以 为直径的 绕点A顺时针旋转．(1)如图2， 旋转 °时， 与 第一次相切．
(2)在（1）的条件下，判断 与 的位置关系并加以证明．
(3)如图3，若 与 相切于点M，与 相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值．
25．（2024·云南昆明·模拟预测）如图， 为 的直径，点E，F是 上异于A，B的两点，延长
相交于点D，在 的延长线上取点C，连接 ，已知 ， ，
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为2， ，求 的长．
26．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知AB为 的直径， 为 上一点， 为 延长线上一点，连
接CD，过点 作 于点 ，交CD于点 ，且满足 ．(1)求证：直线CD是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
27．（2024·云南昆明·一模）如图， 与等边 的边 ， 分别交于点D，E， 是直径，过点
D作 于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)连接 ，当 是 的切线时，求 的半径r与等边 的边长a之间的数量关系．
28．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形 中， 平分 ．点 O在 上，以点O为圆心，
为半径，作 与 相切于点B， 延长线交 于点 E，交AD于点 F，连接 ，DE．(1)求证：CD是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
29．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为 的 中， 是 的直径， 是过 上一点
的直线，且 于点 ， 平分 ，点 是 的中点， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的长．
30．（2025·湖北黄石·一模）如图， 内接于 ， 为直径，作 交 于点E，且
．(1)求证：直线 是 的切线．
(2)如果 ， ，求图中阴影部分的面积．
31．（2025·广西柳州·一模）如图， 是 的直径，四边形 内接于 ，连接 ， ，
过点 作 交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的半径为5，求 的长．32．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D（点D
与点A不重合），交 于点E，过点E作 于点F，交 的延长线于点G．
(1)求证： 是 的切线；
(2)如图1，若 ；求 的半径；
(3)如图2，连接 ，交点为H，当 时，求线段 的长．
33．（2024·湖南·模拟预测）如图， 为 的直径，C为 上一点，连接 ，过C作 于点
D，过C作 ，使 ，其中 交 的延长线于点E．
(1)求证： 是 的切线．
(2)如图2，点F是 上一点，且满足 ，连接 并延长交 的延长线于点G．
①试探究线段 与 之间满足的数量关系；
②若 ， ，求线段 的长．34．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，过 上的动点 作 的切线AD，在 上取点 （异于点
），使得 ，弦 ，连接 交 于点 ，连接 并延长，交AB于点 ，连接 ．
(1)求证：AB是 的切线；
(2)记 ， ； 的面积分别为 ， ， ，当 时，求 的值；
(3)设 的半径为 ，当 时，求四边形 的面积．（用含 的式子表示）
