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考前突破 04 圆的相关证明与计算（2 大必考题型）
题型一：圆的基本性质的证明与计算
题型二：与切线有关的证明与计算
题型一：圆的基本性质的证明与计算
【中考母题学方法】
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的两条弦，点 与点 在
的两侧， 是 上一点（ ），连接 ，且 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的半径；
(2)如图2，若 ，求证： ．（请用两种证法解答）
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出 ，结合
，可得出 ，在 中，利用勾股定理求解即可；
（2）法一：过O作 于F，利用垂径定理等可得出 ，然后利用 定理证明
，得出 ，然后利用平行线的判定即可得证；
法二：连接 ，证明 ，得出 ，然后利用平行线的判定即可得证
【详解】（1）解∶∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径为3；
（2）证明：法一：过O作 于F，
∴ ，
∵
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
法二：连接 ，∵AB是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全
等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．
2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的两条弦，点 与点 在
的两侧， 是 上一点（ ），连接 ，且 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的半径；
(2)如图2，若 ，求证： ．（请用两种证法解答）
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出 ，结合
，可得出 ，在 中，利用勾股定理求解即可；
（2）法一：过O作 于F，利用垂径定理等可得出 ，然后利用 定理证明
，得出 ，然后利用平行线的判定即可得证；
法二：连接 ，证明 ，得出 ，然后利用平行线的判定即可得证
【详解】（1）解∶∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径为3；
（2）证明：法一：过O作 于F，
∴ ，
∵
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
法二：连接 ，∵AB是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全
等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．
3．（2024·安徽·中考真题）如图， 是 的外接圆，D是直径 上一点， 的平分线交 于
点E，交 于另一点F， ．
(1)求证： ；
(2)设 ，垂足为M，若 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2) ．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解
题的关键．
（1）由等边对等角得出 ，由同弧所对的圆周角相等得出 ，由对顶角相等得
出 ，等量代换得出 ，由角平分线的定义可得出 ，由直径所对
的圆周角等于 可得出 ，即可得出 ，即
．
（2）由（1）知， ，根据等边对等角得出 ，根据等腰三角形三线合一的性质可得
出 ， 的值，进一步求出 ， ，再利用勾股定理即可求出 ．【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又 与 都是 所对的圆周角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
故 ，
即 ．
（2）由（1）知， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ， ，
∴圆的半径 ，
∴ ，
在 中．
，
∴
即 的长为 ．
4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图， 中， ，D为 中点， ，
， 是 的外接圆．(1)求 的长；
(2)求 的半径．
【答案】(1)
(2) 的半径为
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理．
（1）易证 ，得到 ，即可解答；
（2）过点A作 ，垂足为E，连接 ，并延长交 于F，连接 ，在 中，通过解直
角三角形得到 ， ，由 得到 ．设 ，则 ，
，在 中，根据勾股定理构造方程，求得 ， ，由 得到
，根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
．
，即
，D为AB中点，
，
∴
．
（2）解：过点A作 ，垂足为E，连接 ，并延长交 于F，连接 ，在 中， ．
又 ，
．
∴在 中， ．
，
．
设 ，则 ， ．
∵在 中， ，
，即 ，
解得 ， （舍去）．
， ．
∵ ，
．
CF为 的直径，
．
．
，即 的半径为 ．
5．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与 相切于点A， 是 的直径，点C，D在l上，且位于点
A两侧，连接 ，分别与 交于点E，F，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 的半径 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】（1）利用切线和直径的性质求得 ，再利用等角的余角相等即可证明
；
（2）先求得 ， ，证明 和 是等腰直角三角形，求得 的长，再证明
，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵直线l与 相切于点A，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵直线l与 相切于点A，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ 也是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知
识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．（2024·新疆·中考真题）如图，在 中， 是 的直径，弦 交 于点E， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用圆周角定理可得出 ， ，然后根据相似三角形的判定即可
得证；
（2）利用勾股定理可求出 ， ，利用等面积法求出 ，可求出 ，然后利用（1）中
求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，
又 ，
∴ ；
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴E到 、 的距离相等，
设E到 的距离为 ，C到 的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握这
些性质是解题的关键．
7．（2024·贵州·中考真题）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上， 与半
圆相切于点C，与 的延长线相交于点D， 与 相交于点E， ．(1)写出图中一个与 相等的角：______；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)
(3)
【分析】（1）利用等边对等角可得出 ，即可求解；
（2）连接 ，利用切线的性质可得出 ，利用等边对等角和对顶角的性质可得出
，等量代换得出 ，然后利用三角形内角和定理求出 ，即可得
证；
（3）设 ，则可求 ， ， ， ，在 中，利
用勾股定理得出 ，求出x的值，利用 可求出 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）；
（2）证明：连接 ，
，
∵ 是切线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ， （舍去）
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用
以上知识是解题的关键．
8．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线 与 相切于点 ， 为 的直径，过点 作 于点
，延长 交直线 于点 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)如果 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质可得出 ，结合题意可证 ，即得出 ，再根据等边对等角可得出 ，即得出 ，即 平分 ；
（2）设 的半径为r，则 ， ．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即
可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
∵直线 与 相切于点 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 平分 ；
（2）解：设 的半径为r，则 ， ．
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为4．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判
定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键．
9．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在 中， ， 为 的外接圆， 为 的切线，
为 的直径，连接 并延长交 于点E．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：
（1）连接 并延长，交 于点 ，连接 ，易证 垂直平分 ，圆周角定理，切线的性质，推出
四边形 为矩形，即可得证；
（2）由（1）可知 ，勾股定理求出 的长，设 的半径为 ，在 中，利用勾股
定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接 并延长，交 于点 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ；
（2）由（1）知四边形 为矩形， ， ，
∴ ，
∴ ，设 的半径为 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ；
即： 的半径为 ．
【中考模拟即学即练】
10．（2025·山东临沂·一模）如图， 为 的外接圆，直径 于 E ，过点 A 作 的切
线 与 的平分线交于点 F， 交 于点 G ，交 于点 H，交 于点 M，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明 ， ，可得 ，可得 ，结
合 平分 可得结论；
（2）求解 ，结合 ，可得 ，证明 ，可得
， ，证明 ，结合相似三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明： ∵ 为 的直径， ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ．
（2）解：∵ ，由（1）得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴在 中，
∴ ，
，
∴ ，
又∵ 是 的切线，
∴ 即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，垂径定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，相似
三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．
11．（2024·广东·模拟预测）综合运用如图所示，圆内接四边形 中，点B平分 ， 平分 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求证： ．
(3)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由点B平分 ，可知 ，由 平分 ，可知 ，
即可证明结论；
（2）结合题意可知 ， ， ，设 ， ，则
， ，结合 ，求得 ，再求得
，即可证明结论；
（3）如图， 过点 作 ， 在 上取点 ，使 ，连接 ， 则 ，可知
，得 ，可证 ，得 ，可知
，根据 即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵点B平分 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵点B平分 ，
∴ ，则 ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，则 ，
设 ， ，则 ， ，
∴
∴ ，则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）如图， 过点 作 ， 在 上取点 ，使 ，连接 ， 则 ．
∴ ．
∵点 平分 ，
∴ ，则 ，
∴ ．∴ ，
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，弦与弧之间的关系，等腰三角形的判定及性质，全等三角
形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
12．（2024·湖北·模拟预测）如图，在 中，弦 ， 相交于点M，且 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ， ，若 是 的直径， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，
（1）由 ，推出 ，推出 ；
（2）根据圆周角定理得出 ，因为 ，所以得出 ， ，再得出
，运用勾股定理列式得出 ，运用等腰三角形的三线合一得出 ，再结合勾
股定理内容，即可作答．
【详解】（1）证明： ，，
，
；
（2）解：如图， 是 的直径，
，
，
，
∴在 中，由勾股定理得 ，
，
设 ，则 ，
∵ ，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
，
， ，
，
在 中由勾股定理得 ．
13．（2024·贵州·模拟预测）如图，四边形 内接于 ， ， ， 交 于
点 ， ， ， 三点共线．(1)图中与 相等的是_______；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，求出结果即可；
（2）由 得 ，根据等边对等角得 ，则 ，由圆
周角定理得到 ，则 ，即可得到结论；
（3）连接 ，过点 作 于点 ，证明 ，得出 ，根据等腰三角形的性质求
出 ，根据 ，得出 ，求出 ，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）证明： ，
，
，
，
，
，
，
∴ ．
（3）解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，， ，
．
，
．
四边形 内接于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了锐角三角函数、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出
辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．
14．（2024·江苏南京·二模）如图， 、 是 的两条弦， 与 相交于点E， ．(1)求证： ；
(2)连接 ，作直线 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出 ，进而可得 ；
（2）因为 所以 ，即 结合 ，得出E、O都在 的垂直平分线上，
即可作答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
（2）证明：连接 、 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴E、O都在 的垂直平分线上，
∴
15．（2024·贵州黔东南·二模）如图， 是 的外接圆，且 过点 B作 ，垂足
为点E， 延长 交 于点D， 连接 ， 并延长 交 于点F．
(1)写出图中一个与 相等的角∶ ；
(2)求证∶
(3)若 ， 求 的半径．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)见解析
(3) 的半径为
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质；
（1）根据圆周角可得 ；
（2）延长 交 于 ，根据垂径定理的推论可得 ， ，即可由 得到
，进而得到 ，由三线合一即可得到
（3）连 ，由勾股定理求得 ，进而依次得到 ， ， ，再求出
，最后在 中利用勾股定理求半径即可．
【详解】（1）由圆周角可得： ，
故答案为： （答案不唯一）；
（2）延长 交 于 ，∵ 延长 交 于点F
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）连 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，∴
中， ，
∴
解得 ，
∴ 的半径为 ．
16．（2024·天津红桥·一模）已知 与 相切于点 ，直线 与 相交于 ， 两点 ，
为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ．
(1)如图①，若 为 的中点，求 的大小；
(2)如图②，连接 与 相交于点 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解答
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．
（1）连接 ，如图①，先根据切线的性质得到 ，再利用余弦的定义求出 ，接着
根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，所以 ，然后利用互余得到 的度数；
（2）连接 ，如图②，根据垂径定理得到 ，再利用等角的余角相等得到 ，加上
，从而得到 ．
【详解】（1）解：连接 ，如图①，
与 相切于点 ，
，，
为 的中点，
，
，
在 中， ，
，
点 为 的中点，
，
，
；
（2）证明：连接 ，如图②，
点 为 的中点，
，
，
，
又 ，
，
，
，
．
17．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已知 的内接 为等边三角形，连接顶点C与圆心O，并延
长交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ．(1)图中与 全等的三角形是 ，图中度数为 的角有 个 ；
(2)求证： ；
(3)连接 ， ，判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1) ，4
(2)见解析
(3)四边形 为菱形，见解析
【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及圆周角定理、等边三角形的性质以及菱形的判定等知识点．
（1）根据外接圆的定义得出 是三角形 的中线，再根据等边三角形的性质证明
即可；
（2）根据外接圆的定义和等边三角形的性质得出 ，在根据圆周角定理证明 即可得证；
（3）根据 角直角三角形的性质得出四边形 的四边相等即可判断其形状．
【详解】（1） 为等边三角形，
，
圆 是 的外接圆，
， ， ，
；
根据圆周角可得
故答案为： ，4；
（2） 已知 是等边三角形 的外接圆，
点 是等边三角形 的外心，
， ．
，
是直径，
，由圆周角定理可知， ，
，
；
（3）四边形 为菱形．
证明： ， ，
，
同理可证， ，
，
四边形 为菱形．
18．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图， 内接于⊙ 是⊙ 的直径， 为优弧 的中点，连
接 ，延长 交于点 ．
(1)求证： ．
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查垂径定理的推论、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、平
行线的性质等知识，熟练掌握垂径定理的推论是解答的关键．
（1）延长 交 于F，先根据垂径定理的推论得到 垂直平分 ，进而 ，然后根据等腰三
角形的三线合一性质可得结论；
（2）根据圆周角定理和平行线的判定证明 ，然后根据平行线的性质和等腰三角形的判定与性质
可证得结论．
【详解】（1）证明：延长 交 于F，∵ 为优弧 的中点，
∴ ， ，即 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 是⊙ 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19．（2025·安徽·模拟预测）如图， 是⊙O的弦，半径 ，垂足为D，弦 与 交于点F，连
接 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理．
（1）由垂径定理，得 ， ，由圆周角定理，得 ；
（2）可证 得 ； 中，勾股定理求得 ，于是 ．
【详解】（1）证明：∵ ， 是 的半径，
∴ ， （垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
∴ （同弧或等弧所对的圆周角相等）；
（2）解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ （相似三角形对应边成比例），
∵ ，
∴ ，
在 中 ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
20．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图， 的直径 垂直弦 于点 E，F是圆上一点，D是 的中点，
连接 交 于点 G， 连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用 证明 ，即可得到 ；
（2）连接 ，求出直径 的长，即得半径 ，求出 ，由（1）知 ，
再求出 ，利用勾股定理求出 ，根据垂径定理即可求出 ．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中点，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∵直径 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆的基本性
质、三角形全等的判定定理是解题的关键．
21．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以 为直径的 上， 的平分线交 于点B，连
接 ， ， ，过点E作 ，垂足为H，交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据直角三角形中两锐角互余得出 ，根据直径所对的圆周角是
直角得出 ，根据直角三角形中两锐角互余得出 ，根据等角的余角相等得
出 ，根据同弧所对的圆周角相等得出 ，根据有两个角对应相等的两个三角
形是相似三角形得出 ，根据相似三角形的对应边之比相等即可证明 ；
（2）连接 ，过点G作 ，垂足为K，过点G作 ，垂足为M，根据直径所对的圆周角
是直角得出 ，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出
，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 ，根据等腰直角三角形的性质和特殊角的三角函数值求出 ， ，根据锐角三角函数的定义和同弧所对
的圆周角相等求出 ， ，根据三角形的面积求出 ， ，即可
求出 ．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
是直径，
，
，
，
，
又 ，
，
，
；
（2）解：如图，连接 ，过点G作 ，垂足为K，过点G作 ，垂足为M，
是直径，，
又 平分 ， ，
， ，
在等腰直角 中， ，
，
，
， ，
，
，则 ，
，
，
，即 ，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是
直角，同弧所对的圆周角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，角平分线的性质等，正确做出辅助线，通
过三角形的面积求出 是解题的关键．
22．（2024·浙江·模拟预测）如图，AB是半径为 的 的直径， 是 的中点，连接CD交AB于点 ，
连接 ．(1)求证： ．
(2)若 ，求AD的长．
(3)如图 ，作 于点 ，交AD于点 ，射线CB交AD的延长线于点 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（ ）根据题意得出 ，即可证明 ，得到 垂直平分AD，即可证明结论．
（ ）延长 交AD于点 ，连结BD，证明 ，根据相似三角形的性质得到比例关系计算即
可；
（ ）由勾股定理得 ，再证明 和 ，可得 ，即得
，设 ，利用勾股定理求出 即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的中点
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ 垂直平分AD，
∴ ；
（2）解：如图，延长 交AD于点 ，连接BD，
∵ ，
∴ ，
∵AB是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵AB是 的直径，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了弧弦圆心角之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定理，相似三角形的判
定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
23．（2024·贵州黔东南·一模）如图， 为 的弦， 为 的直径， 与 相交于点 ，连接
， ， ，过点 作 于点 ．(1)求证： ；
(2)当 时，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理求出 ， ，根据直角三角形的性
质求出 ，则 ，再根据角的和差即可得证；
（2）根据圆周角、弧的关系求出 ，再根据垂径定理推理即可得证；
（3）结合（2）求出 ， ，由勾股定理得到 ，再根据图中阴影部分的面积
求解即可．
【详解】（1）证明： 为 的直径，
，
，
，
，
，即 ，
，
；
（2）证明： ，
，
为 的直径，
；
（3）解：连接 ，如图所示：由（2）知， ， ，
，
， ，
， ，
，
，
图中阴影部分的面积 ．
【点睛】题考查了扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练运用扇形面积的计算、
垂径定理、圆周角定理是解题的关键．
24．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知： 为 的直径，弦 交 于点H，点F为弧 上一点，连
接 交 于点E，交 于点G， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 ， ， 时，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（ ）利用圆周角定理，三角形的外角的性质得到 ，则 ，利用垂径定理
的推论解答即可得出结论；
（ ）利用圆周角定理与已知条件得到 ，利用圆周角定理和三角形的外角的性质，
等腰三角形的判定定理得到 ，利用圆周角定理和勾股定理得到 ，利用三角形的面
积公式求得 ，利用垂径定理得到 ，再根据面积可得 ，将数值代入运算即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ；
（2）解：∵ 为 的直径， ；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点G到 和 的距离相等
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的外角的性质，直角三角形的性
质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
25．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的两条弦，点 与点 在
的两侧， 是 上一点（ ），连接 ，且 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的半径；
(2)如图2，若 ，求证： ．（请用两种证法解答）
【答案】(1)3
(2)见解析【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出 ，结合
，可得出 ，在 中，利用勾股定理求解即可；
（2）法一：过O作 于F，利用垂径定理等可得出 ，然后利用 定理证明
，得出 ，然后利用平行线的判定即可得证；
法二：连接 ，证明 ，得出 ，然后利用平行线的判定即可得证
【详解】（1）解∶∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径为3；
（2）证明：法一：过O作 于F，
∴ ，
∵
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
法二：连接 ，
∵AB是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全
等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．
26．（2024·湖北十堰·一模）如图，在 中，以 为直径作 ，交 于点 ，过 作 交
于点 ，连接 ．
(1)求证∶ ；
(2)若 ， ，求 的度数；
(3)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)(3)
【分析】（1）利用平行线的性质，等腰三角形的性质，等量代换思想证明即可；
（2）首先根据题意解得 ，进而可得 ，结合 ，易知 ，
根据 ，即可获得答案；
（3）首先根据三角形中位线的性质可得 ，结合 易得 ，证明 ，
结合相似三角形的性质即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ；
（2）∵ 为 直径，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ；
（3）∵ 为 中点，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 为 直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知
识，熟练运用所学知识是解题关键．
27．（2024·湖南·模拟预测）如图（1）所示，已知在 中， ， 在边 上，点 为边
中点，为以 为圆心， 为半径的圆分别交 ， 于点 ， ，连接 交 于点 ．
(1)如果 ，求证：四边形 为平行四边形；
(2)如图（2）所示，连接 ，如果 ，求边 的长；
(3)连接 ，如果 是以 为腰的等腰三角形，且 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)【分析】（1）根据等边对等角得出 、 ，等量代换得出 ，则
，根据 是 的中点、 ，则 是 的中位线，则 ，进而证明结论；
（2）设 ， ，则 ，由（1）可得 则
，等量代换得出 ，进而证明 可得 ，
在 中， ，则 ，据此列方程求解即可；
（3）分 、 两种情况分别求解即可．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵
∴ ，
∴
∴ ，
∵ 是 的中点， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：设 ， ，则 ，
由（1）可得
∴ ，
∴ ，
又∵
∴ ,
∴ ，即 ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，解得： 或 （舍去）
∴ ；
（3）解：①当 时，点 与点 重合，舍去；②当 时，如图所示，延长 交 于点P，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
连接 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、
等腰三角形的定义、圆的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
题型二：与切线有关的证明与计算
【中考母题学方法】
1．（2024·广西·中考真题）如图，已知 是 的外接圆， ．点D，E分别是 ， 的中
点，连接 并延长至点F，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证： 与 相切；
(3)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明 ， ，再证明 ，可得 ， ，再
进一步解答即可；
（2）如图，连接 ，证明 ，可得 过圆心，结合 ，证明 ，从而可得结论；
（3）如图，过 作 于 ，连接 ，设 ，则 ，可得 ，求解，可得 ，求解 ，设 半径为 ，可得 ，
再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）证明：如图，连接 ，
∵ ， 为 中点，
∴ ，
∴ 过圆心，
∵ ，
∴ ，
而 为半径，
∴ 为 的切线；
（3）解：如图，过 作 于 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 半径为 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判
定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图， 中， ， ， 经过B，C两点，与斜
边 交于点E，连接 并延长交 于点M，交 于点D，过点E作 ，交 于点F．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，延长 ，交 于点 ，连接 根据直径所对的圆周角是直角求出
，得 ， ，由 可得 ，从而可证明 是
的切线；
（2）由 得 ，即 ，证明 ，得 ，由
得 ，故可得 ，由勾股定理求出 ，得 ，由勾股定理求
出 ， ，根据 求出 ，进一步求出
【详解】（1）证明：连接 ，延长 ，交 于点 ，连接 如图，
∵
∴ 是等腰直角三角形，∴
∵ 是 的直径，
∴
∴
∴
∴
∵
∴ 即
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在等腰直角三角形 中， ,
∴ ，
解得， ，
∴ ，∴
在 中，
∴ ，
又 ，
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定
理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键．
3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图， 中， ，点 为 边上一点，以点 为圆心，
为半径作圆与 相切于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据题意可得 ，根据余角的性质可得 ，根据圆周角定
理可得 ，等量代换即可得证；
（2）在 中，勾股定理求得 ,证明 ，设 的半径为r，则
， ，在 中， ，解方程即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵AB为切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：在 中， ，
∵ ，
在 和 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 的半径为r，则 ， ，
在 中， ，
解得 ，
∴ 半径的长为3
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知
识是解题的关键．
4．（2024·四川广元·中考真题）如图，在 中， ， ， 经过A、C两点，交
于点D， 的延长线交 于点F， 交 于点E．(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据 ，可得
，问题得证；
（2）过点C作 于点H，根据等腰直角三角形的性质有 ，结合 ，可
得 ，即 ，利用勾股定理可得 ．在 中，根据 ，设半
径为r，即有 ，问题得解．
【详解】（1）证明：连接 ．
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 为 的切线．
（2）过点C作 于点H，
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
在 中，∵ ，
设半径为r，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问
题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在 中，以 为直径的 交 于点 ，
垂足为 ． 的两条弦 相交于点 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求扇形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，利用等边对等角，圆周角定理等可得出 ，由垂直的定义得出
，等量代换得出 ，即 ，然后根据切线的判定即可得证；
（2）先利用含 的直角三角形的性质求出 ，同时求出 ，进而求出 ，利
用等边对等角，三角形外角的性质等可求出 ， ，证明 是等边三角形，得
出 ， ，进而求出 ，在 中，利用余弦定义可求出 ，最后利
用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又 是 的半径；
∴ 是 的切线；（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴扇形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三
角形的应用，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
6．（2024·四川·中考真题）如图，AB为⊙O的弦，C为 的中点，过点C作 ，交 的延长线
于点D．连接 ．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键．（1）由垂径定理的推论可知 ，据此即可求证；
（2）利用勾股定理求出 即可求解；
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的弦，C为 的中点，
由垂径定理的推论可知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
7．（2024·辽宁·中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 在 上， ，
在 的延长线上， ．
(1)如图1，求证： 是 的切线；
(2)如图2，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接 ，则 ，故 ，由 ，得到 ，而
，则 ，由 ，得 ，因此 ，
故 ，则 是 的切线；（2）连接 ，可得 ，则 ，故 ，由
，得 ，那么 长为 ．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接 ，
由（1）得 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 长为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正
确添加辅助线是解决本题的关键．
8．（2024·山东济宁·中考真题）如图， 内接于 ，D是 上一点， ．E是 外一点，
，连接 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)求证： 是 的切线．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据 可得 ，然后证明 ，根据全等三角形
的性质可得答案；
（2）连接 ，首先证明 ，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求
出 ，然后计算出 即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图，连接 ，
由（1）得： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是半径，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切
线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
9．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图， 内接于 ， 为 的直径，点D为 上一点，
，延长 至E，使得 ．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，易得 ，圆周角定理得到 ，进而得到
，证明 ，推出 ，进而得到 ，即可得
证；
（2）等角的三角函数相等，得到 ，证明 ，得到
，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接 ，则： ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）∵ ，∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
由（1）知： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即： ，
解得： （舍去）或 ，
∴
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知
识点，并灵活运用，是解题的关键．
10．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知 是 的直径， 是 的弦，点 在 外，延长 ，
相交于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为6，点 为线段 的中点， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据等边对等角和对顶角相等可推出 ， ，
结合 和三角形内角和，从而推出 ，得证；（2）由（1）可知 ，可证 ，推出 ，再由勾股定理可得 ，利用
点 为线段 的中点，可得 ，从而得到 ，从而得到 ，即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
， ，
， ，
，
，
又 ，
，
，
，
是 的切线；
（2）解：如（1）图， ，
又 ， ，
，
，
的半径为6， ，
，
，即 ，
又 点 为线段 的中点，
，
，
，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角
形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
11．（2024·四川雅安·中考真题）如图， 是 的直径，点C是 上的一点，点P是 延长线上的
一点，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求证： ；
(3)若 于D， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先由直径得到 ，然后利用等边对等角得到 ，等量代换得到
，进而证明即可；
（2）利用 得到 ，求出 ，然后利用直角三角形两锐角互余得到
，进而求解即可；
（3）设 ，证明出 ，得到 ，然后表示出 ，然后利用
勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）设 ，
在 中， ，
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，整理得 ，
解得 ， （舍去），
故 ．
【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握
以上知识点．
12．（2024·四川巴中·中考真题）如图， 内接于 ，点 为 的中点，连接 ， 平分
交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)求证： ．
(3)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）如图，连接 ，证明 ，结合 ，可得 ，从而可得结论；
（2）证明 ， ，结合 ， ，再
进一步可得结论；
（3）如图，连接 ，证明 ，再证明 ，可得 ，结合 ，从而可
得答案；
【详解】（1）证明：如图，连接 ，∵点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且OD是 的半径，
∴DF是 的切线；
（2）证明：∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，而 ，
∴ ，
∵四边形 为 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，经检验，符合题意；
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性
质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
13．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在 中， 是直径， 是弦，且 ，垂足为 ，
， ，在 的延长线上取一点 ，连接 ，使 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出
辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，等量代换得到 ，得到 ，
根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到 ，根据勾股定理得到 ，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： 是直径， 是弦，且 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，，
．
14．（2023·湖南张家界·中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上
一点，连接 ， ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的判定，连接 ，证明出 即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角
形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由 ，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得 ，再根据相似三角形的性
质可求出答案．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
是 的直径，
，
，
又 ，，
又 ．
，即 ，
是 的切线；
（2）解： ， ，
，
在 中， ， ，
，则 ，
，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
，即 ，解得 或 （舍去），
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线
的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
15．（2024·西藏·中考真题）如图， 是 的直径，C，D是 上两点，连接 ， ， 平分
， ，交 延长线于点E．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 的半径为5， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出 ，根据圆周角定理得出
，证明 ，根据平行线的性质得出 ，得出
，即可证明结论；
（2）根据 ，得出 ，解直角三角形得出 ，证明 ，
解直角三角形得出 ，根据勾股定理得出 ，解直角三角
形得出 ，根据勾股定理得出 ，最后求出结果即
可．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 的半径为5，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的
性质，余角的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
16．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形 中， ，延长 至点
E，使 ，延长 至点F，连结 ，使 ．
(1)若 ， 为直径，求 的度数．
(2)求证：① ；② ．
【答案】(1)
(2)①见详解；②见详解
【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由 为直径，得到 ，故 ，由 ，
得到 ；
（2）①由四点共圆得 ，而 ，等量代换得到 ，故
；
②过点D作 平行线交 于点G，可证明 ， ，因此得到 ，
由 ，得到 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明①：∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
②过点D作 平行线交 于点G，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性
质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
17．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知 内接于 ， 是 的直径， 的平分线交
于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的直径．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）连接 ，由角平分线可得 ，又由 可得 ，即得
，由 得 ，进而可得 ，即得 ，即
可求证；
（ ） 是 的直径可得 ，又由（ ）知 ，
由 ， ，进而可得 ，再根据 ，
， ，可得 ，得到 ，
，解 得到 ，再解 即可求解；
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定
理是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 是 半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 的直径为 ．
18．（2024·山东济南·中考真题）如图， 为 的直径，点 在 上，连接 ，点 在的延长线上， ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）证明 ，即可证明 是 的切线；
（2）连接 ，先计算 ，再计算 ，后得到
解答即可．
本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是
解题的关键．
【详解】（1）解： 所对的弧是同弧
，
，
，
即 ，
为直径，
，
，
，
，
，与 相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在 中， ，
，
，
．
19．（2024·内蒙古·中考真题）如图， 内接于 ，直径AB交CD于点 ，过点 作射线 ，使得
，延长 交过点 的切线于点 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ．
①求DE的长；
②求 的半径．
【答案】(1)证明见解析；(2)① ；② ．
【分析】（ ）连接 ，则 ，可得 ，由 可得
，进而由等腰三角形的性质可得 ，得到 ，即可求证；
（ ）①证明 得到 ，据此即可求解；②由①可得 ，进而得
， ，利用勾股定理得 ，再证明 ，
得到 ，即可得 ，求出 即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵AB是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：①∵ 是 的切线，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AB是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定
和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
20．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知 的圆心O在 的边 上，与 相交于A、E两点，
且与边 相切于点D，连结 ．
(1)若 ，求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径长为3
【分析】（1）连接 ，则 ，所以 ，由切线的性质得 ，则 ，
而 ，所以 ，即可推导出 ，进而证明 是 的切线；
（2）由 ，得 ，由 是 的直径，得 ，由 ，
，得 ，而 ，即可证明 ，得 ，则
，于是得 ，求得 ，则 的半径长为3．
【详解】（1）证明：连接 ，则 ，∴ ，
∵ 的圆心O在 上，且与边 相切于点D，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，且 ，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径长为3．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识．综合运用以上知识是解题的关键．
21．（2024·山东日照·中考真题）如图1， 为 的直径， 是 上异于 的任一点，连接
，过点A作射线 为射线 上一点，连接 ．
【特例感知】
（1）若 ．则 _______．
（2）若点 在直线 同侧，且 ，求证：四边形 是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有 ，连接 ．
（3）如图2，当 与 相切时，求 的长度；
（4）求 长度的取值范围．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3） （4）
【分析】（1）根据直径性质得到， ,根据 ， ，运用勾股定理可得 ；
（2）根据 ． ，得到 ．得到 ，结合 ， 得到
，得到 ，得到四边形 是平行四边形；
（3）连接 ．根据 ，得到 ， ，根据切线性质得到，
．得到 ， ．得到 ，得到 ，运用勾股定理得
；
（4）过点A作射线 ，使 ，连接 ．得到 ， ，根据． ，可得 ，根据 ，得到 ，得
，得到 ．根据 ，得到 ，即得
．
【详解】（1）解：∵ 为 的直径，
∴ ,
∵ ， ，
∴
故答案为： ；
（2）证明：∵ 为 的直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴四边形 是平行四边形．
（3）解：如图，连接 ．
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴
∴ ．
∴ ，
在 中， ，
∴在 中， ；
（4）解：如图，过点A作 ，使 ，连接 ．
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理推论，圆切线性质，平行四边形的判定，
含30°的直角三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数解直角 三角形，相似三角形的判
定和性质，是解决问题的关键．
22．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形 中， ．点 在射线 上运动（不与点 ，
点 重合）， 关于 的轴对称图形为 ．
(1)当 时，试判断线段 和线段 的数量和位置关系，并说明理由；
(2)若 ， 为 的外接圆，设 的半径为 ．
①求 的取值范围；
②连接 ，直线 能否与 相切？如果能，求 的长度；如果不能，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)① 且 ；②能，
【分析】（1）由菱形的性质可得 ， ，再结合轴对称的性质可得结论；
（2）①如图，设 的外接圆为 ，连接 交 于 ．连接 ， ， ， ，证明
为等边三角形， 共圆， ， 在 上， ，过 作
于 ，当 时， 最小，则 最小，再进一步可得答案；②如图，以 为圆心， 为
半径画圆，可得 在 上，延长 与 交于 ，连接 ，证明 ，可
得 ， 为等边三角形，证明 ，可得： ，
，过 作 于 ，再进一步可得答案．【详解】（1）解： ， ；理由如下：
∵在菱形 中， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由对折可得： ，
∴ ；
（2）解：①如图，设 的外接圆为 ，连接 交 于 ．连接 ， ， ， ，
∵四边形 为菱形， ，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ 共圆， ， 在 上，
∵ ，
∴ ，
过 作 于 ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， 最小，则 最小，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；点E不与B、C重合，
，且 ，
∴ 的取值范围为 且 ；
② 能为 的切线，理由如下：
如图，以 为圆心， 为半径画圆，
∵ ，
∴ 在 上，
延长 与 交于 ，连接 ，
同理可得 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
由对折可得： ， ，
过 作 于 ，
∴设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，锐角
三角函数的应用，勾股定理的应用，切线的性质，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【中考模拟即学即练】
23．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知四边形 中， ，点 是 的中点，
，以 为直径作半圆 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 与 的交点 是 的中点， 的半径为2，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】本题考查切线的判定与性质，解直角三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及
等边三角形的判定和性质是正确解答的关键．
（1）根据全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得 ，进而可得 是等边三角形，
再根据直角三角形的边角关系进行计算即可．
【详解】（1）证明：如图，延长 交 的延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，
点 是 的中点，
，
又 ， ，
，
，
，即 ，
，
，
即点 在 上，
是 的切线；
（2）解：如图，连接 ，
点 是 的中点， ，
，
是等边三角形，
，
的半径 ，
，
在 中， ， ，．
24．（2024·河北·模拟预测）如图1，在 中， ， ， ，延长 至点D，
使 ，连接 ，以 为直径的 绕点A顺时针旋转．
(1)如图2， 旋转 °时， 与 第一次相切．
(2)在（1）的条件下，判断 与 的位置关系并加以证明．
(3)如图3，若 与 相切于点M，与 相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值．
【答案】(1)90
(2) 与 相切，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质结合圆的切线可得答案；
（2）证明四边形 为矩形，可得 ，可得 是 的切线；
（3）如图，连接 ，则 ，作 于 ，证明四边形 为矩形，可得
， 证明 为等边三角形，可得 ，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：当 与 相切时，
∴ ，
∴ ，
∴旋转角为 ；
（2）解： 与 相切，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，∴ ，
∵ 为直径，
∴ 是 的切线．
（3）解：如图，连接 ，则 ，作 于 ，
而 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，切线的判定与性质，矩形的判定与性质，
扇形面积的计算，掌握基础知识是解本题的关键．
25．（2024·云南昆明·模拟预测）如图， 为 的直径，点E，F是 上异于A，B的两点，延长
相交于点D，在 的延长线上取点C，连接 ，已知 ， ，
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为2， ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】（1）连接 ，由圆内接四边形的性质结合已知求得 ，得到 ，由圆周角
定理求得 ，根据等腰三角形的性质求得 ，结合已知得到 ，
推出 ，即可证明结论成立；
（2）证明 ，推出 ，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵点 在 上，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接 ，∵ 的半径为2，
∴ ，
∴直径 ，
由（1）得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质．正确引
出辅助线解决问题是解题的关键．
26．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知AB为 的直径， 为 上一点， 为 延长线上一点，连
接CD，过点 作 于点 ，交CD于点 ，且满足 ．
(1)求证：直线CD是 的切线；(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据垂直定义可得 ，从而可得 ，再根据等腰三角形的性质，
可得 ，从而可得 ，进而可得 ，即可得证；
（2）由 得 ，由 及三角形中位线定理得 ， ，由 ，
设 ， ，由 得 ，则 ，即可得 的值．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵
，
∵ ，
， ；
，
设 ， ，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，
解直角三角形等知识，
27．（2024·云南昆明·一模）如图， 与等边 的边 ， 分别交于点D，E， 是直径，过点
D作 于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)连接 ，当 是 的切线时，求 的半径r与等边 的边长a之间的数量关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，证得 ，进而可得 ，然后根据 ，即可
求证；
（2）根据 中， ，可得 ，进而求得 ；再借助 是 的
切线，推出 ，代入求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线．
（2）解：由（1）知： ，则 ， ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，即 ．
【点睛】本题主要考查切线的判定定理和性质定理、等边三角形的性质、等边对等角、含30度的直角三角
形的性质，熟练掌握切线的性质和判定定理和含30度的直角三角形的性质是解题的关键．
28．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形 中， 平分 ．点 O在 上，以点O为圆心，
为半径，作 与 相切于点B， 延长线交 于点 E，交AD于点 F，连接 ，DE．
(1)求证：CD是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2) 的长为
【分析】（1）连接 ，证明 ，得到 ，即可求证；
（2）由 ， ，可得 垂直平分 ， ，进而可得
，即可求出 ，再利用勾股定理得到 的长即可．
【详解】（1）如图，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 相切于点B，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是 的切线；
（2）∵ ， ，
∴ 垂直平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点晴】本题主要考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的
判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是
解决此题的关键．
29．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为 的 中， 是 的直径， 是过 上一点
的直线，且 于点 ， 平分 ，点 是 的中点， ．(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查圆的切线，圆周角定理、相似三角形的判定及性质；
（1）连接 ，由 平分 ， ，可得 ， ，根据 ，得
，即可证明CD是 的切线；
（2）由 是 的中位线，得 ，再证明 ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接 ，如图：
平分 ，
．
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： 是 的中点，且 ，
是 的中位线， ，，
．
是 的直径，
．
又 ，
，
，即 ，
．
30．（2025·湖北黄石·一模）如图， 内接于 ， 为直径，作 交 于点E，且
．
(1)求证：直线 是 的切线．
(2)如果 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，可得 ，然后推导 ，即可解题；
（2）先根据正弦得到 ，即可求出 ，然后根据
解题即可．
【详解】（1）证明：连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 为 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，解直角三角
形，掌握切线的判定和性质是解题的关键．31．（2025·广西柳州·一模）如图， 是 的直径，四边形 内接于 ，连接 ， ，
过点 作 交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的半径为5，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接 ，由 ， 是半径，可得 ，由 是 的直径，可
得 ，则 ， ，进而结论得证；
（2）由勾股定理得， ，由 是 的直径，可得 ，证明 ，则
，代入数据计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ， ，
， 是半径，
，
是 的直径，
，即 ，
，
，
，是半径，
是 的切线；
（2）解：由题意知， ，
由勾股定理得， ；
是 的直径，
；
，
，
，
，即 ，
解得， ；
的长为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的判定与性
质等知识，证明切线与相似是解题的关键．
32．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D（点D
与点A不重合），交 于点E，过点E作 于点F，交 的延长线于点G．
(1)求证： 是 的切线；
(2)如图1，若 ；求 的半径；
(3)如图2，连接 ，交点为H，当 时，求线段 的长．
【答案】(1)见解析(2)
(3)
【分析】（1）连接 ，由圆周角定理可得 ，即 ，再根据等腰三角形性质可得
，由半径相等和等边对顶角得出 ，推出 ，根据平行线的判定
可得 ，由 得出 半径 ，再运用切线的判定即可证得结论；
（2）先证得 ，得出 ，求得 ，即可求得答案；
（3）先证得 是等边三角形，可得 ， ，再利
用直角三角形性质可得 ，推出 ，进而得出
．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ 的半径为 ；
（3）解：如图2，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形性质，等边三角形的判定和性
质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图
形解决问题，属于中考常考题型．
33．（2024·湖南·模拟预测）如图， 为 的直径，C为 上一点，连接 ，过C作 于点
D，过C作 ，使 ，其中 交 的延长线于点E．
(1)求证： 是 的切线．
(2)如图2，点F是 上一点，且满足 ，连接 并延长交 的延长线于点G．
①试探究线段 与 之间满足的数量关系；
②若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)① ，理由见解析；②
【分析】（1）如图1，连接 ，根据等边对等角得 ，由垂直定义得 ，
根据等量代换可得 ，即 ，可得结论；
（2）①如图2，过O作 于点H，证明 ，则 ，得 ；
②过点C作 ，连接BF，过点C作 ，先根据勾股定理求 ，则，设 ，则 ，根据勾股定理列方程得： ，可得x的值，
证明 ，列比例式可得 的长，再求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：①线段 与 之间满足的数量关系是 ，
理由如下：过O作 于点H，连接 ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∵ 为公共边，
∴ ，
∴ ，∴ ；
②过点C作 ，连接 ，过点C作 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①得： ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等和相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的切线的判定，
第2问的最后一问有难度，证明 是关键．
34．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，过 上的动点 作 的切线AD，在 上取点 （异于点
），使得 ，弦 ，连接 交 于点 ，连接 并延长，交AB于点 ，连接 ．
(1)求证：AB是 的切线；
(2)记 ， ； 的面积分别为 ， ， ，当 时，求 的值；
(3)设 的半径为 ，当 时，求四边形 的面积．（用含 的式子表示）【答案】(1)见解析
(2)
(3) ．
【分析】（1）如图，连接 、 ，BD，由切线的性质得 ，由 ，
，得 ， ，从而得
，进而根据切线的性质定理即可证明结论成立；
（2）证明 ，得 ，进而得 ，又 ，得
，求解一元二次方程得 ，或 （舍去） ，从而得
，于是即可得解；
（3）连接 并延长交 于 ，交CD于 ，连接 ， ，BD， ，证明 ，得
，进而得 ，再证
，得 ， ，得 ， ，得
，从而 ，得 ，进而证明 ， ，
，在 和 中，利用勾股定理求解得 ， ，
，从而即可得解．
【详解】（1）解：如图，连接 、 ，BD，∵AD是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴AB是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 和 等高，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，或 （舍去）
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去）；
（3）解：连接 并延长交 于 ，交CD于 ，连接 ， ，BD， ，
∵ ， ，
∴点 在线段BD的垂直平分线上，点 在线段BD的垂直平分线上，
∴ 垂直平分BD，
∴ ，
由 得 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（ ）得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 即 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴平行四边形 的面积 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定及性质，切线的判定及性质，相似三角形的判定及
性质，等腰三角形的判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，线段垂直平分线的判定，熟练掌握切线
的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
