文档文本内容
1 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题29 一元一次不等式的应用
（题型突破·举一反三）
题型01 销售问题
题型02 工程问题
题型03 行程问题
题型04 运输问题
题型05 比赛积分问题
题型06 水费电费问题
题型07 方案设计问题
题型08 最值问题
题型09 合算问题
题型10 几何图形问题
题型11 和差倍分问题
▌题型01 销售问题
（1）设价列式：设进价、售价或数量为未知数，根据销售额、利润、利润率等公式建立不等式（组）。
（2）双量关系：常见两个等量关系，如“总进价=进价×数量”与“总利润=（售价-进价）×数量”组合。
（3）理清公式：熟记利润=售价-进价、利润率=利润/进价×100%等基本关系。
（4）单位统一：涉及折扣时，先将折扣价表示为原价的十分之几（如六折=0.6 倍）。
【典例1】（2026 春•新城区校级期末）2026 马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连
续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等
技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B 两种型号
智能机器人进行快递分拣．若买1 台A 型机器人、2 台B 型机器人，共需200 万元；若买2 台A 型机器
人、3 台B 型机器人，共需340 万元．
2 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）求A、B 两种型号智能机器人的单价．
（2）该企业现计划采购A 型和B 型机器人共20 台，且总费用不超过1400 万元．最多能买A 型机器人
多少台？
【分析】（1）设A、B 两种型号智能机器人的单价分别为x 万元，y 万元，根据买1 台A 型机器人、2 台
B 型机器人，共需200 万元；买2 台A 型机器人、3 台B 型机器人，共需340 万元列出方程组即可得到答
案；
（2）设买A 型机器人a 台，则买B 型机器人（20﹣a）台，根据总费用不超过1400 万元列出不等式，即
可得到答案．
【解答】解：（1）设A、B 两种型号智能机器人的单价分别为x 万元，y 万元，
由题意得{ 𝑥+ 2𝑦= 200
2𝑥+ 3𝑦= 340，
解得{𝑥= 80
𝑦= 60，
答：A 种型号智能机器人的单价为80 万元，B 种型号智能机器人的单价为60 万元；
（2）该企业现计划采购A 型和B 型机器人共20 台，且总费用不超过1400 万元．
设买A 型机器人a 台，
由题意得80a+60（20﹣a）≤1400，
解得a≤10，
答：最多能买A 型机器人10 台．
【变式1-1】（2026•文昌校级一模）某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的
高性能平板（A 型）和基础平板（B 型）．已知A 型平板的单价比B 型平板贵600 元．若采购2 台A 型
平板比采购3 台B 型平板多花费200 元．
（1）求A 型平板和B 型平板的单价；
（2）若集训队共需配备10 台平板电脑，且总采购预算不超过14400 元，则最多能采购A 型平板多少台？
【分析】（1）设A 型平板单价为x 元，B 型平板单价为y 元，根据等量关系，列出二元一次方程组，求
解即可；
（2）设能采购A 型平板a 台，则采购B 型平板（10﹣a）台，根据题意，列出一元一次不等式，再根据
实际意义即可求解．
【解答】解：（1）设A 型平板单价为x 元，B 型平板单价为y 元，
3 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
根据题意得{ 𝑥−𝑦= 600
2𝑥−3𝑦= 200，
解得{𝑥= 1600
𝑦= 1000，
答：A 型平板单价为1600 元，B 型平板单价为1000 元；
（2）设能采购A 型平板a 台，则采购B 型平板（10﹣a）台．
根据题意得1600a+1000（10﹣a）≤14400，
解得𝑎≤7 1
3，
因为a 为非负整数，所以a 的最大值为7，
答：最多能采购A 型平板7 台．
【变式1-2】（2026 春•思明区校级期末）为打造低碳社区，某社区决定购买A、B 两种太阳能路灯安装在社
区公共区域，升级改造现有照明系统．已知A 种路灯的单价是40 元/盏，B 种路灯的单价是60 元/盏，该
社区计划购买A、B 两种路灯共10 盏，且购买总费用不超过450 元，最多可以购买多少盏B 种路灯？
【分析】设可以购买x 盏B 种路灯，则可以购买（10﹣x）盏A 种路灯，根据题意列出一元一次不等式，
解不等式即可得出结果．
【解答】解：设可以购买x 盏B 种路灯，
40（10﹣x）+60x≤450，
解得：x≤2.5，
∵x 为非负整数，
∴x 的最大值为2，
∴最多可以购买2 盏B 种路灯．
【变式1-3】（2026•辽宁）乡村振兴，辽宁在行动．某助农直播间销售我省的大米和小米两种农产品．开播
伊始，第一单售出大米和小米各1 袋，收款100 元；第二单售出2 袋大米和3 袋小米，收款240 元．
（1）大米和小米每袋各多少元？
（2）仓库中剩余大米、小米各25 袋，若大米售价不变，小米降价销售，为保证剩余大米、小米的销售额
不低于2450 元，则每袋小米至多降价多少元？
【分析】（1）设每袋大米x 元，每袋小米y 元，根据“第一单售出大米和小米各1 袋，收款100 元；第
二单售出2 袋大米和3 袋小米，收款240 元”，可列出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设每袋小米降价m 元，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合销售总额不低于2450 元，可列
出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每袋大米x 元，每袋小米y 元，
根据题意得：{𝑥+ 𝑦= 100
2𝑥+ 3𝑦= 240，
解得：{𝑥= 60
𝑦= 40．
答：每袋大米60 元，每袋小米40 元；
4 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）设每袋小米降价m 元，
根据题意得：60×25+25（40﹣m）≥2450，
解得：m≤2，
∴m 的最大值为2．
答：每袋小米至多降价2 元．
▌题型02 工程问题
（1）设效列式：设工作效率为未知数，根据“工作量=工作效率×工作时间”及合作、先后完成方式列不
等式（组）。
（2）总量归一：常将工作总量设为1，分别用未知数表示各自效率，根据工作过程建立两个不等关系。
【典例1】（2026 春•海珠区期末）在装修施工过程中，两位施工人员要同时用一辆手推车将一批瓷砖用电
梯运送上楼．电梯额定载重量为1010kg，已知他俩的体重分别为65kg 和75kg，手推车的质量为20kg，
一箱瓷砖的质量约为50kg，那么他俩用电梯一次最多能将多少箱瓷砖运送上楼？
【分析】根据电梯总载重不超过额定载重的限制，设瓷砖箱数为未知数，列出不等式求解，结合瓷砖箱数
为正整数的要求，取最大正整数即可得到结果．
【解答】解：设一次能将x 箱瓷砖运送上楼，根据题意，得65+75+20+50x≤1010，
整理得160+50x≤1010，
移项得50x≤1010﹣160，
合并得50x≤850，
解得x≤17，
∵x 是正整数，
∴x 的最大值为17，
答：他俩用电梯一次最多能将17 箱瓷砖运送上楼．
【变式1-1】（2025 春•同步）某工程队计划招聘从事甲、乙两种工作的工人共150 名．根据工程需要，从
事乙工种的人数不少于从事甲工种人数的2 倍，那么从事甲工种的工人最多可招聘多少名？
【分析】设甲工种人数为x，则乙工种人数为150﹣x，根据乙工种人数不少于甲工种人数的2 倍，列出不
等式求解即可．
【解答】解：设从事甲工种的工人数为x 名，则从事乙工种的工人数为（150﹣x）名．
由题意，得150﹣x≥2x，解得x≤50．
5 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
答：从事甲工种的工人最多可招聘50 名．
【变式1-2】（2025•长春一模）一个工程队原定在10 天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3，
由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．以后6 天内平均每天至少要挖土多少m3？
【分析】设以后6 内，平均每天要挖掘xm3 土方，根据题意可知原定在10 天，已经干了两天，还要求提
前2 天，即为要6 天至少挖掘（600﹣120）m3 的土方，根据题意可得不等式，解不等式即可．
【解答】解：设平均每天挖土xm3，
由题意得：（10﹣2﹣2）x≥600﹣120，
解得：x≥80．
答：平均每天至少挖土80m3．
【变式1-3】（2026 春•德惠市校级期中）有一段6000 米的道路由甲、乙两个工程队负责完成，已知甲工程
队每天完成600 米，乙工程队每天完成300 米．若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完
成剩余的任务，设两工程队合作施工x 天．
（1）用含x 的代数式表示甲队单独工作天数；
（2）如果甲队每天需工程费7000 元，乙队每天需工程费5000 元，且支付工程队总费用不超过79000 元，
请列不等式求出x 的最大值．
【分析】（1）根据工作量、工作时间和工作效率之间的关系即可得出答案；
（2）设两工程队合作施工x 天，根据支付工程队总费用不超过79000 元，列出不等式，求出不等式的解
集，即可得出答案．
【解答】解：（1）设甲队先单独工作a 天，
根据题意得：600a+（600+300）x＝6000，
∴a＝10−3
2x，
答：甲队单独工作（10−3
2x）天；
（2）根据题意得：7000×（10−3
2x）+（7000+5000）x≤79000，
解得：x≤6，
∴x 的最大值为6．
▌题型03 行程问题
（1）理清类型：分清相遇问题（路程和=总路程）或追及问题（路程差=初始距离）；
（2）设速列式：常设速度未知数，根据时间、路程的两个等量关系列一元一次不等式（组）求解；
（3）画线段图：画出运动过程示意图，标注已知路程、时间，直观呈现等量关系；
（4）统一单位：速度、时间、路程单位务必统一（如km 与h，m 与min)，避免计算错误．
6 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【典例1】（2026 春•永春县期中）“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有166 千米的
路程，需要不超过2 小时送到，前80 分钟已经走了120 千米，后40 分钟的速度至少为多少才能不延误
时间？
【分析】设后40 分钟的速度为x 千米/小时，利用路程＝速度×时间，结合需要不超过2 小时送到，可列
出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：设后40 分钟的速度为x 千米/小时，
根据题意得：120+ 40
60x≥166，
解得：x≥69，
∴x 的最小值为69．
答：后40 分钟的速度至少为69 千米/小时才能不延误时间．
【变式1-1】（2026 春•兴宁区校级同步）某运动员5000m 长跑的个人最好成绩为16min45s．在一次5000m
长跑比赛中，他跑完前3000m 用时10min30s．如果这名运动员希望在本次比赛中获得的成绩不低于自己
的个人最好成绩，那么在剩下的路程中，他的平均速度至少要为多少？
【分析】设在剩下的路程中，他的平均速度至少要为xm/s，由题意可知跑完后2000m 的时间最少为
16min45s﹣10min30s＝6min15s＝375s，据此列不等式求解即可．
【解答】解：由题意可知跑完后2000m 的时间最少为16min45s﹣10min30s＝6min15s＝375s，
设在剩下的路程中，他的平均速度为xm/s，
根据题意列一元一次不等式可得：375x≥2000，
解得𝑥≥16
3 ．
答：他的平均速度至少要为
16
3 𝑚/𝑠．
【变式1-2】（2025•绿园区校级三模）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆
炸前跑到400m 以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是0.8cm/s，人跑步的速度是5m/s，问：导火线
必须超过多长，才能保证操作人员的安全？
【分析】设导火线的长度为xm，根据题意列出不等式，进而得出答案．
【解答】解：设导火线的长度为xm，
𝑥
0.8 ＞
400
5 ，
7 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解得：x＞64，
答：导火线必须超过64m，才能保证操作人员的安全．
【变式1-3】A，B，C，D 四座小山的山脚到学校的路程分别是9km，11km，12km，14km．学校准备组织一
次八年级学生登山活动，计划在上午8 时出发，以平均每小时4km 的速度前进，登山和在山顶活动的时
间为1 小时，下山的时间为30 分钟，再以平均每小时3km 的速度返回，在下午4 时30 分前赶回学校．你
认为学校可计划登哪几座山？请说明理由．
【分析】设路程为x 千米，根据在下午4 时3（0 分）前赶回学校，得出不等式求出x 的取值范围，继而
可作出判断．
【解答】解：A、B 两座小山符合计划，理由：
设路程为x 千米，
∵出发时间为
𝑥
4，回家时间
𝑥
3，总共花费时间8.5 小时，活动时间加登山下山时间为1.5 小时，
∴
𝑥
4 +
𝑥
3 ＜8.5 −1.5，
解得：x＜12，
∴A、B 两座小山符合计划．
▌题型04 运输问题
1. 数量关系
每辆车载重 × 车辆数 ≥ 需要运输货物总质量（运得完）
每车运费 × 车辆数 ≤ 预算总运费（费用不超预算）
关键点：车辆只能取整数，解出不等式之后，要取符合题意的整数解。
2. 解题步骤
（1）设未知数：一般设需要安排 𝑥 辆运输车（𝑥 为正整数）；
（2） 找不等关系：抓关键词：至少、至多、不超过、不少于；
（3）列一元一次不等式，求解；
（4）结合实际，取整数解，作答。
【典例1】（2026 春•郸城县月考）某快递公司承接一批包裹运输业务，若单独用A 型货车运输，需要12 天
完成；若单独用B 型货车运输，需要18 天完成．
（1）若先由A 型货车运输3 天，再由A、B 型货车合作运输，还需要多少天完成？
（2）已知A 型货车每天运输费用为1800 元，B 型货车每天运输费用为1000 元，且每辆货车每天的燃油
8 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
费为50 元．若总费用不超过25000 元，求A 型货车最多运输多少天．（运输天数均为正整数）
【分析】（1）设总运输量为单位“1”，A、B 型货车合作运输，还需要m 天完成运输业务．根据A 型货
车3 天的运输量与A、B 型货车合作运输m 天完成的运输量之和等于总运输量，建立方程，解方程即可；
（2）设A 型货车运输x 天，B 型货车运输y 天，先根据A、B 型货车总运输量为单位“1”，建立等量关
系，得到
𝑥
12 +
𝑦
18 = 1，化简得𝑦= 36−3𝑥
2
，再表示出总费用，根据总费用不超过25000 元，解不等式并
结合x，y 为正整数，可求得x 的最大值．
【解答】解：（1）设总运输量为单位“1”，A、B 型货车合作运输，还需要m 天完成运输业务．
由题意得：
1
12 × 3 + (
1
12 +
1
18)𝑚= 1，
解得：m＝5.4，
答：A、B 型货车合作运输，还需要5.4 天完成运输业务．
（2）设A 型货车运输x 天，B 型货车运输y 天，
则
𝑥
12 +
𝑦
18 = 1，即3x+2y＝36，
∴𝑦= 36−3𝑥
2
．
总费用：
1800x+1000y+50（x+y）≤25000，
将𝑦= 36−3𝑥
2
代入不等式，得：1800𝑥+ 1000(36−3𝑥
2
) + 50(𝑥+ 36−3𝑥
2
) ≤25000，
化简得：
1800𝑥+ 18000 −1500𝑥+ 50(36−𝑥
2
) ≤25000，
18000+900+275x≤25000，
275x≤6100，
∴𝑥≤22 2
11，
∴x 的最大值为22，
∵𝑦= 36−3𝑥
2
，x，y 为正整数，
∴y＞0，
即
36−3𝑥
2
＞0，
解得x＜12，
又∵y 为正整数，
∴36﹣3x 为偶数，
∵36 为偶数，
∴3x 为偶数，
9 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴x 为偶数，
∵x＜12，x 为正整数，
∴x 最大值取10，此时y＝3，符合题意．
答：A 型货车最多运输10 天．
【变式1-1】（2025 春•千阳县期末）现用甲，乙两种运输车，将40 吨救灾物资运往灾区，甲种运输车每辆
载重5 吨，乙种运输车每辆载重4 吨，安排甲、乙两种车辆合计不超过9 辆，则甲种运输车至少应安排
几辆？
【分析】设安排甲种运输车x 辆，则安排乙种运输车
40−5𝑥
4
辆，根据甲、乙两种车辆合计不超过9 辆建立
不等式求解即可．
【解答】解：设安排甲种运输车x 辆，则安排乙种运输车
40−5𝑥
4
辆．
根据题意列一元一次不等式得，
𝑥+ 40−5𝑥
4
≤9，
整理得，4x+40﹣5x≤36，
解得x≥4，
答：甲种运输车至少需要4 辆．
【变式1-2】（2025 春•米脂县期末）某水果批发商要将一批车厘子和草莓运至甲地，该批发商找了8 辆货
车进行运输．为节约成本，每辆货车只能装同一种水果且装满，每辆货车可以装4 吨车厘子或3 吨草莓，
水果批发商需要运出两种水果不少于30 吨，那么运输车厘子的货车至少需要多少辆？
【分析】设运输车厘子的货车需要x 辆，则运输草莓的货车需要（8﹣x）辆，根据水果批发商需要运出两
种水果不少于30 吨，可列出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：设运输车厘子的货车需要x 辆，则运输草莓的货车需要（8﹣x）辆，
根据题意得：4x+3（8﹣x）≥30，
解得：x≥6，
∴x 的最小值为6．
答：运输车厘子的货车至少需要6 辆．
【变式1-3】（2025•黄龙县开学）某微型货车最大载重量为1600kg，现接到装运一批设备的任务，每套设备
由2 个A 部件和1 个B 部件组成，需成套装运．已知1 个A 部件和3 个B 部件总质量为210kg，2 个A
部件和1 个B 部件的质量相等．
（1）求1 个A 部件和1 个B 部件的质量各是多少千克？（用二元一次方程组求解）
（2）为防止A、B 部件在运输中挤压破损，微型货车加装了质量为160kg 的垫板和隔板，求该微型货车
一次最多可装运多少套设备？
10 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）设1 个A 部件的质量是x 千克，1 个B 部件的质量是y 千克，根据“1 个A 部件和3 个B
部件总质量为210kg，2 个A 部件的质量和1 个B 部件的质量相等”建立二元一次方程组求解；
（2）该微型货车一次最多可装运m 套设备，计算出一套设备的重量，则由题意建立一元一次不等式求解．
【解答】解：（1）设1 个A 部件的质量是x 千克，1 个B 部件的质量是y 千克．根据题意列二元一次方
程得：
{𝑥+ 3𝑦= 210
2𝑥= 𝑦
，
解得：{𝑥= 30
𝑦= 60，
答：1 个A 部件30 千克，1 个B 部件60 千克；
（2）该微型货车一次最多可装运m 套设备，根据题意列一元一次不等式得：
（2×30+1×60）m≤1600﹣160，
整理得，120m≤1440，
∴m≤12，
∴m 的最大值为12，
答：一次最多可装运12 套设备．
▌题型05 比赛积分问题
（1）设未知数。
（2）找两个关键关系
总场次关系：胜场+平场+负场=总比赛场数
总积分关系：胜场积分+平场积分+负场积分=总积分。
（3）转化为不等式。
（4）求整数解：场次必须是非负整数，据此确定取值范围。
【典例1】（2026 春•广州校级月考）某次知识竞赛共有20 道选择题，对于每一道题，若答对了，则得10
分；若答错了或不答，则扣5 分．请问至少要答对几道题，总得分才不少于90 分？
【分析】根据题目给出的得分规则列出不等关系，解不等式后取符合题意的最小正整数即可．
【解答】解：设答对了x 道题，则答错或不答的题目共有（20﹣x）道，根据题意得，
10x﹣5（20﹣x）≥90，
解得𝑥≥38
3 ．
因为x 为正整数，
11 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
所以x 的最小值为13．
答：至少要答对13 道题，总得分才不少于90 分．
【变式1-1】（2026 春•淮南期末）项目学习：体育比赛计分
某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11 个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与
其他班分别进行一场比赛，每班需进行10 场比赛），平局进行加时比赛分出胜负．
下表是其中两个球队的积分：
队名
胜（场数）
负（场数）
积分
蓝天队
6
4
22
雄鹰队
4
6
18
用方程（组）或不等式完成下列三个任务：
（1）任务一：根据上表内容求出该比赛的计分规则；（即胜一场积几分，负一场积几分）
（2）任务二：梦想队想让自己队的胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由；
（3）任务三：雄狮队了解到，该校上届获得冠军的战王队积分是24 分．雄狮队想要在本届比赛中超越上
届冠军（计分规则不变），请直接写出他们至少要胜多少场．
【分析】（1）任务一：设胜一场积x 分，负一场积y 分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组
即可；
（2）任务二：设梦想队胜了m 场，则负了（10﹣m）场，根据梦想队想让胜场积分与负场积分相同，列
出一元一次方程，解方程，即可得出结论；
（3）任务三：设他们要胜n 场，则负（10﹣n）场，根据该校上届获得冠军的积分是24 分，雄狮队在本
届比赛中想要超越上届冠军，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）任务一：设胜一场积x 分，负一场积y 分，
由题意列二元一次方程组得，{6𝑥+ 4𝑦= 22
4𝑥+ 6𝑦= 18，
解得{𝑥= 3
𝑦= 1，
答：胜一场积3 分，负一场积1 分；
（2）任务二：不能实现，理由如下：
设梦想队胜了m 场，
由题意列一元一次方程得，3m＝10﹣m，
解得m＝2.5，
∵2.5 不是整数，不符合题意，
∴不能实现；
（3）任务三：设他们要胜n 场，则负（10﹣n）场，
12 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
由题意列一元一次不等式得，3n+（10﹣n）＞24，
解得n＞7，
∵n 是整数，
∴n 取8．
答：至少胜8 场．
【变式1-2】（2026•姜堰区一模）甲、乙两队进行了7 场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3 分，平
一场得1 分，负一场得0 分．
（1）若甲队负了2 场，则甲队的得分能否为10 分？请说明理由；
（2）若乙队保持不败，得分超过15 分，求乙队至少胜了多少场？
【分析】（1）已知甲队负2 场，设胜x 场、平y 场，根据总场数列等式，结合得分列方程，联立求解，
判断场次是否为非负整数即可；
（2）乙队不败即只有胜、平两种结果，设胜x 场，则平（7﹣x）场，依据得分超15 分列不等式，求出最
小整数解．
【解答】解：（1）甲队共赛7 场，负2 场，设甲队胜x 场，平y 场，
根据题意，得
{𝑥+ 𝑦= 7 −2
3𝑥+ 𝑦= 10 ，
解得{𝑥= 2.5
𝑦= 2.5，
∵场次不能为小数，
∴甲队得分不能为10 分；
（2）设乙队胜x 场，则平（7﹣x）场，
3x+（7﹣x）＞15，
解得x＞4，x 为正整数，
∴x 最小取5，
答：乙队至少胜5 场．
【变式1-3】（2025 秋•瑞安市期中）浙BA 城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，如表是10 月11
日，温州队所在的A 组比赛积分表的部分信息：
A 组积分
排名
队伍
胜负
积分
2
温州队
7 胜0 负
4
金华队
6 胜2 负
14 分
5
余姚队
5 胜3 负
13 分
6
台州队
4 胜4 负
12 分
13 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）求温州队的积分．
（2）温州队所在的A 组共有11 支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计
小组赛结束后，积分达到37 分，会获得小组冠军，问温州队要获得A 组第一至少还要胜几场？
【分析】（1）设胜1 场积x 分，负1 场积y 分，则温州队的积分为7x 分，根据表中信息列出二元一次方
程组，解方程组，即可解决问题；
（2）设温州队要获得A 组第一要胜a 场，则负（20﹣a）场，根据积分达到37 分，会获得小组冠军，列
出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题．
【解答】解：（1）设胜1 场积x 分，负1 场积y 分，则温州队的积分为7x 分，
根据题意可得：{6𝑥+ 2𝑦= 14
4𝑥+ 4𝑦= 12，
解方程组得：{𝑥= 2
𝑦= 1，
∴7x＝14，
答：温州队的积分为14 分；
（2）由题意可知，温州队一共要进行2×（11﹣1）＝20 场比赛，
设温州队要获得A 组第一要胜a 场，则负（20﹣a）场，
根据题意可得：2a+（20﹣a）×1≥37，
解得：a≥17，
∴a 的最小值为17，
此时，a﹣7＝10，
答：温州队要获得小组第一至少还要胜10 场．
▌题型06 水费电费问题
（1）先判断：有没有“超过标准”
题目一般会给两种情况：
用量少：没超标，只按一种价格算
用量多：超标了，分两段算。
（2）设未知数，标准内每单位费用：𝑥，超过部分每单位费用：𝑦。
（3）列两个不等式。
（4）解不等式组。
【典例1】（2026 春•赣榆区校级月考）我市出台了居民用水“阶梯价格”制度，计划引导市民节约用水，
14 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
用水价格的标准：不超过15m3 水费价格是x 元/m3，超过15m3 的部分价格是y 元m3，已知该市某户居民
今年3 月份用水17m3，缴纳水费70 元；4 月份用水19m3，缴纳水费80 元．
（1）求出x，y 的值；
（2）该户居民计划5 月份水费支出不超过95 元，那么该户居民5 月份最多可用水多少立方米？
【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可；
（2）设该户居民5 月份最多可用水a 立方米，根据（1）中的分档收费标准列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）∵不超过15m3 水费价格是x 元/m3，超过15m3 的部分价格是y 元/m3，
∴根据题意，得{15𝑥+ (17 −15)𝑦= 70
15𝑥+ (19 −15)𝑦= 80，
解得：{𝑥= 4
𝑦= 5．
（2）设该户居民5 月份最多可用水a 立方米，
根据题意，得15×4+5（a﹣15）≤95．
解得a≤22．
答：该户居民5 月份最多可用水22 立方米．
【变式1-1】（2026 春•蜀山区校级期末）某市自来水公司实行阶梯式收费，收费标准如表所示：
月用水量a/m3
a≤20
20＜a≤30
a＞30
收费标准/元•m
﹣3
2.49
3.07
？
9 月份小华家缴纳水费87.8 元，小莉家缴纳水费102.4 元，并且小华家的用水量恰好是小莉家的
8
9．
（1）若小明家9 月份用水量是xm3（20＜x≤30），则小明家9 月份需要缴纳的水费为 （3.07x﹣11.6
） 元（用含x 的代数式表示）；若小明家9 月缴纳的水费不超过74.36 元，求小明家9 月用水量最多
是多少？
（2）求月用水量大于30m3 时的收费标准．
【分析】（1）根据阶梯收费规则，分两段计算水费化简得到代数式，再根据水费限制判断用水量所在区
间，列一元一次不等式求解最大用水量；
（2）先根据已有的阶梯水费计算结果，判断小华家和小莉家用水量都超过30m3，再设超过30m3 后的单
价和小莉家用水量，根据两家水费和用水量的关系列方程组求解单价．
【解答】解：（1）当20＜x≤30 时，
前20m3 的水费为20×2.49＝49.8（元），超过20m3 部分的水费为3.07（x﹣20）元．
∴总水费为49.8+3.07（x﹣20）＝（3.07x﹣11.6）元；
若小明家9 月缴纳水费不超过74.36 元，
当x＝30 时总水费为3.07×30﹣11.6＝80.5（元），
15 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵74.36＜80.5，
∴小明家用水量满足20＜x≤30．
列不等式得3.07x﹣11.6≤74.36．
解得x≤28．
答：小明家9 月用水量最多是28m3．
故答案为：（3.07x﹣11.6）；
（2）∵30m3 的水费为80.5 元，小华家缴纳水费87.8 元＞80.5 元，且小华家用水量是小莉家的
8
9，
∴两家用水量都超过30m3．
设月用水量大于30m3 时的收费标准为k 元/m3，小莉家用水量为ym3，则小华家用水量为
8
9 𝑦𝑚3，
根据题意列方程组：{
20 × 2.49 + 10 × 3.07 + 𝑘(𝑦−30) = 102.4
20 × 2.49 + 10 × 3.07 + 𝑘(8
9 𝑦−30) = 87.8，
两式相减得
𝑘𝑦
9 = 14.6，
即ky＝131.4．
将ky＝131.4 代入ky﹣30k＝21.9，
得131.4﹣30k＝21.9．
解得k＝3.65．
答：月用水量大于30m3 时的收费标准是3.65 元/m3．
【变式1-2】（2026 春•开州区期末）我国绝大多数城市推行阶梯水价，其目的是通过“多用多付”的价格机
制，直接激励节水，最终服务于水资源可持续利用与国家水安全的长远目标．居民生活用水通常按户计
费，原则上以年为计量周期，重庆市开州区居民生活用水收费标准（户内人口不超过4 人）如下：
第一阶梯2.5 元/立方米（0m3≤每户每年水量≤270m3）；
第二阶梯3.50 元/立方米（270m3＜每户每年水量≤360m3）；
第三阶梯5 元/立方米（每户每年水量＞360m3）．
（1）王瀚与李诺家庭的居民户内人口都为3 人，王诺家庭年用水量在第一阶梯，李诺家庭年用水量在第
二阶梯，两个家庭年用水量共550m3，年用水费共1405 元，请求出王瀚与李诺家庭的年用水量分别是多
少m3；
（2）刘莎家庭的居民户内人口为4 人，2025 年全年水费不少于1000 元，请列不等式求出刘莎家庭2025
年用水量至少为多少m3．
【分析】（1）设王瀚家用水量为xm3（第一阶梯：0＜x≤270），则李诺家用水量为
（550﹣x）m3（第二阶梯：270＜550﹣x≤360）．水费规则：王瀚家水费：2.5x，李诺家水费：270×2.5+3.5
（550﹣x﹣270），两家水费相加等于总水费1405 元，列一元一次方程求解；
（2）用水270m3 水费：270×2.5；用水360m3 水费：270×2.5+（360﹣270）×3.5，
16 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
对比1000 元，判断用水量超过360m3，设用水量为ym3（y＞360），列水费不等式求解最小值．
【解答】解：（1）设王瀚家庭年用水量为xm3，则李诺家庭年用水量为（550﹣x）m3．
根据题意可得：0＜x≤270，270＜550﹣x≤360．
李诺家处于第二阶梯，水费计算：270×2.5+3.5×[（550﹣x）﹣270]，
故可列方程为：
2.5x+270×2.5+3.5（550﹣x﹣270）＝1405，
解得x＝250，
李诺家用水量：550﹣250＝300m3，
所以王瀚家庭年用水量250m3，李诺家庭年用水量300m3．
（2）270m3 水费：270×2.5＝675 元，
360m3 水费：675+（360﹣270）×3.5＝990 元，
说明用水量y＞360，
超出部分按5 元/m3 计费．根据题意可得：
990+5（y﹣360）≥1000，
解得y≥362，
所以刘莎家庭2025 年用水量至少为362m3．
【变式1-3】（2026•湖北模拟）为倡导绿色出行，某小区引入了智能充电桩为电动汽车充电，充电功率恒定
为7kW（即每小时充电7 度），充电桩采用分时段计费模式，标准如表．
充电时段
收费标准（元/度）
峰时（8：00～22：00）
1
谷时（22：00～次日8：00）
0.5
为鼓励用户错峰充电，运营商推出“谷时充电卡”：一次性支付固定月费20 元后，当月谷时充电费用享
受6 折优惠，峰时电价不变．电动汽车每次不中断充电5 小时为完全充电．
（1）设小明某日20：00 开始充电，当次充电费用为21 元，且未使用充电卡，求充电时长；
（2）小明计划在某月进行4 次完全充电，若他每次于21：00 开始充电，请计算使用充电卡与不使用充
电卡的各自费用，并判断哪种方式更省钱；
（3）小明购买了“谷时充电卡”，为了享受最大优惠，他决定每次充电都安排在谷时进行．若计划本月
进行n 次完全充电，且使用充电卡后的总充电费用都不高于不使用充电卡的费用，求n 的最小值．
【分析】（1）设充电时长为t 小时，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）分别求出未使用卡费用，使用卡费用，即可求解；
（3）根据使用充电卡后的总充电费用都不高于不使用充电卡的费用，列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设充电时长为t 小时，
由题意得，7×2×1+7×0.5×（t﹣2）＝21，
17 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解得t＝4．
答：充电时长为4 小时．
（2）从21：00 开始充5 小时，峰时1 小时，谷时4 小时，
未使用卡费用＝（7×1×1+7×0.5×4）×4＝84 元，
使用卡费用＝（7×1×1+7×0.5×0.6×4）×4+20＝81.6 元，
∵81.6＜84，
答：使用充电卡更省钱．
（3）计划本月进行n 次完全充电，且使用充电卡后的总充电费用都不高于不使用充电卡的费用，则：
由题意得20+7×0.5×0.6×5n≤7×0.5×5n
解得𝑛≥20
7 ，
∵n 为整数，
∴n 的最小值为3．
▌题型07 方案设计问题
（1）审题设元，找出关键量，设为未知数；
（2）找不等关系，抓住关键词：不超过、至少、至多、不少于、不大于、小于、剩余、不够、恰好、最多
等；
（3）列不等式（组），根据不等关系列出式子；
（4）解不等式（组）；
（5）确定整数解，实际问题中：人数、件数、车辆数、房间数必须是正整数；
（6）根据整数解写方案，每个整数解对应一种方案，逐一列出；
（7）最优方案选择．
【典例1】（2026•科尔沁区校级二模）某家居商场销售A、B 两种型号的吊灯，A 种型号吊灯每个进价为200
元，B 种型号吊灯每个进价为150 元，下表是近两天的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A 种型号
B 种型号
第一天
3 个
6 个
1800 元
第二天
5 个
8 个
2640 元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
18 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）求A、B 两种型号吊灯的销售单价；
（2）若商场准备用不多于5400 元的金额再采购这两种型号的吊灯共30 个，求A 种型号的吊灯最多能采
购多少个？
（3）在（2）的条件下，商场销售完这30 个吊灯能否实现利润不少于1060 元的目标？若能，请给出所有
相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设A 种型号吊灯的销售单价为x 元，B 种型号吊灯的销售单价为y 元，根据第一天和第二
天的销售收入列出方程组，求解即可；
（2）设采购A 种型号吊灯a 个，则采购B 种型号吊灯（30﹣a）个，根据“用不多于5400 元的金额再采
购这两种型号的吊灯”列出不等式，求解即可；
（3）根据“商场销售完这30 个吊灯实现利润不少于1060 元的目标”列出不等式，求出整数解即可解答．
【解答】解：（1）设A 种型号吊灯的销售单价为x 元，B 种型号吊灯的销售单价为y 元，
依题意，得{3𝑥+ 6𝑦= 1800
5𝑥+ 8𝑦= 2640，
解得{𝑥= 240
𝑦= 180．
答：A 种型号吊灯的销售单价为240 元，B 种型号吊灯的销售单价为180 元．
（2）设采购A 种型号吊灯a 个，则采购B 种型号吊灯（30﹣a）个，
依题意，得200a+150（30﹣a）≤5400，
解得a≤18．
答：A 种型号的吊灯最多能采购18 个．
（3）能实现．理由如下：
依题意，得（240﹣200）a+（180﹣150）（30﹣a）≥1060，
解得a≥16．
又∵a≤18，
∴16≤a≤18．
∵a 为整数，
∴a＝16，17，18．
∴共有三种采购方案，
方案1：采购A 种型号吊灯16 个，B 种型号吊灯14 个；
方案2：采购A 种型号吊灯17 个，B 种型号吊灯13 个；
方案3：采购A 种型号吊灯18 个，B 种型号吊灯12 个．
【变式1-1】（2026 春•平城区期末）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T 恤．已知购进甲种T 恤
3 件和乙种T 恤4 件共需430 元；购进甲种T 恤2 件和乙种T 恤5 件共需450 元．
（1）求甲、乙两种T 恤每件的进价分别是多少元？
19 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T 恤共100 件，要求购进两种T 恤的总费用不超过6540
元，并且购进的甲种T 恤的数量的三倍不超过乙种T 恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙
两种T 恤的方案．
【分析】（1）设甲种T 恤每件的进价为x 元，乙种T 恤每件的进价为y 元，根据题意列出二元一次方程
组即可求解；
（2）设购买甲种T 恤m 件，则购买乙种T 恤（100﹣m）件，根据题意列出不等式组即可求解．
【解答】解：（1）设甲种T 恤每件的进价为x 元，乙种T 恤每件的进价为y 元，
由题意得{3𝑥+ 4𝑦= 430
2𝑥+ 5𝑦= 450，
解得{𝑥= 50
𝑦= 70．
答：甲种T 恤每件的进价为50 元，乙种T 恤每件的进价为70 元．
（2）设购买甲种T 恤m 件，
由题意得{50𝑚+ 70(100 −𝑚) ≤6540
3𝑚≤100 −𝑚
，
解得23≤m≤25，
∵m 为整数，
∴m＝23，24，25，
当m＝24 时，100﹣m＝100﹣24＝76，
当m＝23 时，100﹣m＝100﹣23＝77，
当m＝25 时，100﹣m＝100﹣25＝75，
方案一，购买甲种T 恤24 件，购买乙种T 恤76 件；
方案二，购买甲种T 恤23 件，购买乙种T 恤77 件；
方案三，购买甲种T 恤25 件，购买乙种T 恤75 件．
【变式1-2】（2026 春•颍东区期末）近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用
场景不断拓展．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B 两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息
如下：
信息一
A 型机器人台数
B 型机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
260
3
2
360
信息二
A 型机器人每台每天可分拣快递22 万件：
B 型机器人每台每天可分拣快递18 万件．
（1）求A、B 两种型号智能机器人的单价；
20 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）现该企业准备购买A、B 两种型号智能机器人共10 台，需要每天分拣快递不少于200 万件，则该企
业最少需要购买几台A 种型号智能机器人？
（3）要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750 万元，则有哪几种购买方案？
【分析】（1）设A 种型号智能机器人的单价为x 万元，B 种型号智能机器人的单价为y 万元，根据信息
一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该企业需要购买A 型智能机器人a 台，则需要购买B 型智能机器人（10﹣a）台，根据需要每天
分拣快递不少于200 万件，列出一元一次不等式，解不等式即可；
（3）根据（2）以及购买机器人的总费用不超过750 万元列出不等式组，求出a 的取值范围即可．
【解答】解：（1）设A 种型号智能机器人的单价为x 万元，B 种型号智能机器人的单价为y 万元，
由题意得：{𝑥+ 3𝑦= 260
3𝑥+ 2𝑦= 360，
解得：{𝑥= 80
𝑦= 60．
答：A 种型号智能机器人的单价为80 万元，B 种型号智能机器人的单价为60 万元；
（2）设该企业需要购买A 型智能机器人a 台，则需要购买B 型智能机器人（10﹣a）台，
由题意得：22a+18（10﹣a）≥200，
解得：a≥5，
答：该企业最少需要购买5 台A 种型号智能机器人；
（3）根据题意得：80a+60（10﹣a）＝20a+600≤750，
解得a≤7.5，
∵a≥5，
∴5≤a≤7.5，
∵a 为正整数，
∴a 的取值为5，6，7，
∴该企业购买智能机器人方案有三种：
方案一：购买A 型智能机器人5 台，则需要购买B 型智能机器人5 台；
方案二：购买A 型智能机器人6 台，则需要购买B 型智能机器人4 台；
方案三：购买A 型智能机器人7 台，则需要购买B 型智能机器人3 台．
【变式1-3】（2026 春•城关区校级期中）根据下列表格信息，完成相应任务
信息一
某校七年级举行了线上知识竞赛，竞赛共有30 道题
目，每道题目都给出了四个答案，其中只有一个答案正
确，参赛者选对得4 分，不选或选错扣2 分，得分不低
于78 分者获奖
信息二
为奖励获奖同学，学校准备购买A，B 两种文具作为奖
21 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
品，已知购买1 个A 文具和4 个B 文具共需44 元，购
买来2 个A 文具和3 个B 文具所花的钱一样多
信息三
学校计划用于本次活动的总费用（包括线上平台使用费
和奖品费）不超过850 元，其中支付线上平台使用费为
180 元，剩余的钱用于购买两种文具共60 个，其中A
文具大于45 个
解决问题
任务一
小明是获奖者，他至少选对了多少道题？
任务二
求A 文具和B 文具的单价
任务三
该校共有哪几种购买方案
【分析】任务一：设小明选对x 道题，则不选或者选错（30﹣x）道题，利用得分＝4×选对题目数﹣2×
不选或者选错题目数，结合得分不低于78 分，可列出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，
即可得出结论；
任务二：设A 型文具的单价是a 元，B 型文具的单价是b 元，根据“购买1 个A 型文具和4 个B 型文具
共需44 元，购买2 个A 型文具和购买3 个B 型文具所花的钱一样多”，可列出关于a，b 的二元一次方
程组，解之即可得出结论；
任务三：设购买A 型文具m 个，则购买B 型文具（60﹣m）个，利用本次活动的总费用＝支付线上平台
使用费+单价×数量，结合本次活动的总费用不超850 元且购买A 型文具数量大于45 个，可列出关于m
的一元一次不等式组，解之可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：任务一：设小明选对x 道题，则不选或者选错（30﹣x）道题，
根据题意得：4x﹣2（30﹣x）≥78，
解得：x≥23，
∴x 的最小值为23．
答：小明至少应选对23 道题；
任务二：设A 型文具的单价是a 元，B 型文具的单价是b 元，
根据题意得：{𝑎+ 4𝑏= 44
2𝑎= 3𝑏
，
∴{𝑎= 12
𝑏= 8 ．
答：A 型文具的单价是12 元，B 型文具的单价是8 元；
任务三：设购买A 型文具m 个，则购买B 型文具（60﹣m）个，
根据题意得：{
180 + 12𝑚+ 8(60 −𝑚) ≤850
𝑚＞45
，
∴45＜𝑚≤95
2 ，
22 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
又∵m 为正整数，
∴m 可以为46，47，
∴该校共有2 种购买方案，
方案1：购买A 型文具46 个，B 型文具14 个；
方案2：购买A 型文具47 个，B 型文具13 个．
▌题型08 最值问题
1. 设未知数，一般设关键变量（如产品件数、生产数量）
2. 根据限制条件列出一元一次不等式，求出变量取值范围
3. 结合所求目标函数（利润、费用），判断增减性：
- 目标随未知数增大而变大 → 取变量最大整数解得最大值
- 目标随未知数增大而变小 → 取变量最小整数解得最小值
4. 代入计算最值，写出完整作答
注意：一元一次不等式最值，最值一定出现在取值范围的端点整数处。
【典例1】（2026 春•龙马潭区月考）综合与实践
生活中的数学：确定最省钱的租车方案
素材一
平安租车公司有A，B 两种型号的客车可供选择，下
表是公司租车记录单上的部分信息：
租用A 型客车数
量
租用B 型客车数
量
租金总费用
3
2
3800
1
3
3600
素材二
A 型客车每辆有25 个座位，B 型客车每辆有55 个座
位．
素材三
“传承红色基因．立志科技报国．精进龙马精神”，
二十八中以此为主题，组织本校师生参加重庆研学活
动，最初计划租用A、B 两种型号的大客车共18 辆
（每种型号至少一辆）送900 名师生（含教官）参加
此次活动，交通费支出预算为17600 元．
23 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
任务一
根据公司租车记录单上的信息，确定A，B 两种型号
客车每辆的租金分别是多少元．
任务二
请你设计租车方案？哪种租车方案最省钱？
【分析】（1）设每辆A 型号客车的租金是x 元，每辆B 型号客车的租金是y 元，根据公司租车记录单上
的部分信息，可列出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m 辆A 型号客车，则租用（18﹣m）辆B 型号客车，根据每种型号至少一辆，送900 名师生
（含教官）参加此次活动，交通费支出预算为17600 元，可列出关于m 的一元一次不等式组求解，即可
得出各租车方案．
【解答】解：（1）设每辆A 型号客车的租金是x 元，每辆B 型号客车的租金是y 元，
∵{3𝑥+ 2𝑦= 3800
𝑥+ 3𝑦= 3600 ，
计算得：{𝑥= 600
𝑦= 1000，
答：每辆A 型号客车的租金是600 元，每辆B 型号客车的租金是1000 元；
（2）设租用m 辆A 型号客车，
∴{
600𝑚+ 1000(18 −𝑚) ≤17600
25𝑚+ 55(18 −𝑚) ≥900
𝑚≥1
18 −𝑚≥1
，
∴1≤m≤3，m＝1 或m＝2 或m＝3，
当m＝1 时，则18﹣m＝17（辆），此时，租车费用为17600（元），
当m＝2 时，则18﹣m＝16（辆），此时，租车费用为17200（元），
当m＝3 时，则18﹣m＝15（辆），此时，租车费用为16800（元），
∵17600＞17200＞16800，
∴最省钱的方案为租用A 型3 辆，B 型15 辆，
答：共有三种可行租车方案：①租用A 型1 辆，B 型17 辆；②租用A 型2 辆，B 型16 辆；③租用A 型
3 辆，B 型15 辆；最省钱的方案为租用A 型3 辆，B 型15 辆．
【变式1-1】（2026•桂林模拟）为助力乡村振兴，广西玉林市容县某沙田柚专业合作社计划购进甲、乙两种
智能分选设备，用于沙田柚自动化分级处理．已知购买甲种设备3 台，乙种设备1 台，共需30 万元；购
买甲种设备2 台，乙种设备3 台，共需55 万元．求：
（1）求甲、乙两种智能分选设备每台各多少万元？
（2）该合作社计划一共购进10 台这两种设备，且总费用不超过68 万元．若甲种设备每台年均可处理沙
田柚60 吨，乙种设备每台年均可处理沙田柚90 吨．请你设计购买方案，使年均处理沙田柚总量最大，
并求出最大总量．
【分析】（1）设甲种设备每台x 万元，乙种设备每台y 万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
24 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）设购买甲种设备a 台，则乙种设备（10﹣a）台（a≥0），先列不等式求出a 的取值范围，设年均处
理总量为W，得到W 关于a 的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设甲种设备每台x 万元，乙种设备每台y 万元．
可列出：
{ 3𝑥+ 𝑦= 30
2𝑥+ 3𝑦= 55，
∴{ 𝑥= 5
𝑦= 15．
答：甲种设备每台5 万元，乙种设备每台15 万元．
（2）设购买甲种设备a 台，则乙种设备（10﹣a）台（a≥0）．
由题可得：5a+15（10﹣a）≤68，
∴a≥8.2，
∴可判断a 可取9，10．
设年均处理总量为W，
∴W＝60a+90（10﹣a）＝900﹣30a，
∴当a＝9 时，W 最大，
此时，甲种设备9 台，乙种设备1 台，
最大总量为W＝900﹣30×9＝630 吨．
答：购买甲种设备9 台、乙种设备1 台时，年均处理沙田柚总量最大，最大总量为630 吨
【变式1-2】（2026 春•海淀区校级期末）利用一元一次不等式（组）解决问题：
某汽车销售公司计划购买并销售A 型和B 型两种型号的新能源汽车共20 辆，其中A 型车至少10 辆，这
两款汽车每辆车的进价和售价如表所示：
类型
进价（万元/辆）
售价（万元/辆）
A 型
27
27.8
B 型
24.4
25.8
为了保证将这20 辆车全部售出后，所得利润要超过20.5 万元，那么该公司有哪几种购买方案，哪种购买
方案的利润最大，最大利润是多少万元？请通过计算说明．
【分析】根据利润等于每辆车的利润乘以数量建立不等式求解即可．
【解答】解：设购买A 型汽车x 辆，x≥10，
根据题意可得：（27.8﹣27）x+（25.8﹣24.4）（20﹣x）＞20.5，
解得：x＜12.5，
∴10≤x＜12.5，
∴x 的值为10 或11 或12，
当x＝10 时，20﹣x＝10，
当x＝11 时，20﹣x＝9，
25 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当x＝12 时，20﹣x＝8，
∵27.8﹣27＝0.8＜25.8﹣24.4＝1.4，
∴要使总利润最大，则B 种型号的汽车要最多，
∴当x＝10，20﹣x＝10 时，总利润最大，最大为10×0.8+10×1.4＝22 万元；
答：一共有三种方案：方案一、购买A 种型号的汽车10 辆，购买B 种型号的汽车10 辆；方案二、购买
A 种型号的汽车11 辆，购买B 种型号的汽车9 辆；方案三、购买A 种型号的汽车12 辆，购买B 种型号
的汽车8 辆；当购买A 种型号的汽车10 辆，购买B 种型号的汽车10 辆时所获利润最大，最大为22 万
元．
【变式1-3】（2026 春•姜堰区校级月考）某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低
碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们
完成下面的活动报告．
活动课题
了解“新能源汽车充电难”问题
活动目的
运用方程与一元一次不等式解决新能源汽
车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出
行”．
活动素材
某小区计划新建地上和地下两类充电桩，
每个充电桩的占地面积如下：
地上充电桩
地下充电桩
每个充电桩占
地面积/m2
3
1
已知新建1 个地上充电桩和2 个地下充电
桩需要0.8 万元，新建2 个地上充电桩和1
个地下充电桩需要0.7 万元．
问题一
该小区新建一个地上充电桩和一个地下充
电桩各需要多少万元．
问题二
若该小区计划用不超过16.3 万元的资金新
建60 个充电桩，则最多可以建多少个地下
充电桩？
问题三
考虑到充电设备对小区居住环境的影响，
在问题二的条件下，且地下充电桩的数量
不少于40 个，则共有几种建造方案？请列
出所有方案．哪种方案占地面积最小．
26 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】问题一：找准等量关系，设未知数后列出二元一次方程组求解，得到单个地上和地下充电桩的建
造费用；
问题二：设地下充电桩数量，根据总资金限制列出一元一次不等式，求解得出地下充电桩的最大数量；
问题三：结合资金限制和地下充电桩数量的下限，列出一元一次不等式组，找出整数解得到所有建造方
案，再计算各方案的占地面积并比较大小，确定占地面积最小的方案．
【解答】解：问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要x 万元，新建一个地下充电桩需要y 万元，
根据题意得：{𝑥+ 2𝑦= 0.8
2𝑥+ 𝑦= 0.7，
解得：{𝑥= 0.2
𝑦= 0.3，
答：该小区新建一个地上充电桩需要0.2 万元，新建一个地下充电桩需要0.3 万元；
问题二：设建造m 个地下充电桩，则建造（60﹣m）个地上充电桩，
根据题意得：0.2（60﹣m）+0.3m≤16.3，
化简得：12﹣0.2m+0.3m≤16.3，
0.1m≤4.3，
解得：m≤43，
答：最多可以建43 个地下充电桩；
问题三：设建造m 个地下充电桩，则建造（60﹣m）个地上充电桩，
根据题意得：{
𝑚≥40
0.2(60 −𝑚) + 0.3𝑚≤16.3，
解不等式组得：40≤m≤43，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为40，41，42，43，
∴共有4 种建造方案，方案1：建造40 个地下充电桩，20 个地上充电桩方案2：建造41 个地下充电桩，
19 个地上充电桩方案3：建造42 个地下充电桩，18 个地上充电桩方案4：建造43 个地下充电桩，17 个
地上充电桩，
方案1 的占地面积为1×40+3×20＝100（平方米），
方案2 的占地面积为1×41+3×19＝98（平方米），
方案3 的占地面积为1×42+3×18＝96（平方米），
方案4 的占地面积为1×43+3×17＝94（平方米），
∵100＞98＞96＞94，
∴方案4 占地面积最小，
答：共有4 种建造方案，分别为上述方案，方案4 占地面积最小．
▌题型09 合算问题
27 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1. 核心思路是：列费用表达式 → 找临界点 → 根据不等式确定哪种方案更省钱。
2. 解题思路
（1）设未知数：一般设“数量/时间/重量”为𝑥 。
（2）写出两种方案的费用代数式：
- 费用 = 固定费用 + 单价 × 数量
（3）列不等式比较大小：
- 方案 A 更划算：A 费用 < B 费用
- 两者一样：A 费用 = B 费用
- 方案 B 更划算：A 费用 > B 费用
（4）解不等式，结合实际意义（如 x 为正整数）下结论。
（5）答：说明在什么范围内选哪个方案。
【典例1】（2026 春•九台区期末）【问题情境】
小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B 两种款式的运动盲盒作为奖品．
素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15 个A
款运动盲盒、10 个B 款运动盲盒，共需230 元；若买25 个A 款运动盲盒、25 个B 款运动盲盒，共需450
元．
素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动：
甲商店：用35 元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8 折出售（已
知小明在此之前不是该商店的会员）；乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9 折出售．
【解决问题】
（1）在无促销活动时，求A 款运动盲盒和B 款运动盲盒的销售单价各是多少元？
（2）小明计划在促销期间购买A，B 两款运动盲盒共40 个，其中A 款运动盲盒m 个（0＜m＜40），若
小明在甲商店成为会员购买，共需要 （1.6m+291） 元；若在乙商店购买，共需要 （1.8m+288）
元；（均用含m 的代数式表示）
（3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A 款运动盲盒的数量m 在什么范围内时，去甲商店更
合算？
【分析】（1）设A 款盲盒销售单价为x 元，B 款盲盒销售的单价为y 元，根据题意列出二元一次方程组，
解方程，即可求解；
（2）根据题意列出在甲商店购买的费用的代数式和在乙商店购买费用的代数式，即可求解；
（3）结合题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设在无促销活动时，A 款盲盒销售单价为x 元，B 款盲盒销售的单价为y 元，
28 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
由题意得，{15𝑥+ 10𝑦= 230
25𝑥+ 25𝑦= 450，
解得{𝑥= 10
𝑦= 8 ，
答：在无促销活动时，A 款盲盒销售单价为10 元，B 款单价销售单价为8 元；
（2）依题意，若在甲商店购买，共需要35+0.8×10m+0.8×8×（40﹣m）＝1.6m+291（元），
若在乙商店购买，共需要0.9×10m+0.9×8×（40﹣m）＝1.8m+288（元），
故答案为：（1.6m+291）；（1.8m+288）．
（3）当1.6m+291＜1.8m+288，
解得m＞15，
∴15＜m＜40；
答：购买A 款运动盲盒的数量在15＜m＜40 范围内时，去甲商店更合算．
【变式1-1】（2026 春•宁江区校级期末）李老师预购买一些盲盒作为期末奖品．已知2 个A 款盲盒，5 个B
款盲盒共需60 元；4 个A 款盲盒，3 个B 款盲盒共需64 元．解答下列问题：
（1）求A 款盲盒和B 款盲盒的销售单价各是多少元？
（2）正逢开展“618”促销活动，线下实体店优惠方案：会员卡35 元，成为会员后凭会员卡购买店内任
何商品可享受8 折优惠（已知小昕不是该实体店的会员）；线上淘宝店优惠方案：一律按商品价格的9 折
出售且包邮．
①小昕计划在促销期间购买A、B 两款盲盒共40 个，其中A 款盲盒m 个，若在线下实体店购买．所需费
用 （1.6m+291） 元；若在线上淘宝店购买，所需费用 （1.8m+288） 元．（均用含m 的代数式
表示）
②请你帮小昕算一算，购买A 款盲盒的数量的范围是 16≤m≤39 时，线下购买方式更合算．
【分析】（1）设A 款盲盒的销售单价是x 元/个，B 款盲盒的销售单价是y 元/个，根据“知2 个A 款盲
盒，5 个B 款盲盒共需60 元；4 个A 款盲盒，3 个B 款盲盒共需64 元”，可列出关于x，y 的二元一次
方程组，解之即可得出结论；
（2）①利用总价＝单价×数量，结合线下实体店及线上淘宝店给出的优惠方案，即可用含m 的代数式表
示出在线下实体店购买及在线上淘宝店购买所需费用；
②由线下购买方式更合算，可列出关于m 的一元一次不等式，解之可得出m 的取值范围，结合m，（40
﹣m）均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设A 款盲盒的销售单价是x 元/个，B 款盲盒的销售单价是y 元/个，
根据题意得：{2𝑥+ 5𝑦= 60
4𝑥+ 3𝑦= 64，
解得：{𝑥= 10
𝑦= 8 ．
答：A 款盲盒的销售单价是10 元/个，B 款盲盒的销售单价是8 元/个；
29 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）①根据题意得：若在线下实体店购买．所需费用为35+10×0.8m+8×0.8（40﹣m）＝（1.6m+291）
元；
若在线上淘宝店购买，所需费用为10×0.9m+8×0.9（40﹣m）＝（1.8m+288）元．
故答案为：（1.6m+291），（1.8m+288）；
②根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288，
解得：m＞15，
又∵m，（40﹣m）均为正整数，
∴16≤m≤39，
∴购买A 款盲盒的数量的范围是16≤m≤39 时，线下购买方式更合算．
故答案为：16≤m≤39．
【变式1-2】（2026 春•龙华区校级期中）某商场开展促销活动，出售甲、乙两种商品，活动方案有如下两
种：
甲商品
乙商品
售价（单位：元）
100
20
促销方案一
买一件甲商品，赠送一件乙商品
促销方案二
甲商品和乙商品都打九折
（备注：参加方案一，则不能参加方案二；参加方案二，则不能参加方案一）
（1）若某单位购买甲商品x 件，购买乙商品的件数比甲商品多20 件，
选用方案一需花费 （100x+400） 元；
选用方案二需花费 （108x+360） 元；（用含x 的代数式填空）
（2）在（1）问的条件下，请问购买甲商品多少件时，选择方案一与选择方案二的花费相同？
（3）在（1）问的条件下，请根据购买甲商品的件数x 的不同范围，选择哪种促销方案更合算．
【分析】（1）设购买甲件商品x 件，购买乙商品的件数（x+20）件，求出方案一费用100x+20×20；方
案二费用：[100x+20（x+20）]×0.9，
（2）根据（1）的代数式列出方程，即可求解；
（3）用方案一的费用减去方案二的费用，进而得出结论．
【解答】解：（1）设购买甲件商品x 件，
选用方案一需花费100x+20×20＝（100x+400）元；
选用方案二需花费[100x+20（x+20）]×0.9＝（108x+360）元；
故答案为：（100x+400），（108x+360）；
（2）根据题意列一元一次方程得，100x+20×20＝[100x+20（x+20）]×0.9，
解得：x＝5，
答：购买甲商品5 件时，选择方案一与选择方案二的花费相同；
30 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（3）100x+20×20﹣[100x+20（x+20）]×0.9＝40﹣8x，
当x＜5 时，40﹣8x＞0，方案一花费比方案二大，
购买甲商品小于5 件时选择方案二促销方案才能获得最大优惠，
当x＞5 时，40﹣8x＜0，方案一花费比方案二小，
大于5 件时选择方案一促销方案才能获得最大优惠．
【变式1-3】（2026 春•惠州期末）根据以下素材，探究并完成任务．
背
景
目前，无人机外卖已在深圳、北京、上海、广州、香港实现常态化运营，其中深圳覆盖范围最广．
素
材
1
某商店在无促销活动时，若买5 件A 商品，8
件B 商品，共需要2400 元；若买8 件A 商品，
5 件B 商品，共需2280 元．
素
材
2
该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：
①若消费者用250 元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；
②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
问题解决
任
务
1
该商店在无促销活动时，求A，B 商品的销售单价分别是多少元？
任
务
2
某科技公司计划在促销期间购买A，B 两款商品共30 件，其中A 商品购买a 件（0＜a＜30），
①若使用无人机配送商品，则共需要 （4750﹣30a） 元；
②若不使用无人机配送商品，则共需要 （4800﹣32a） 元．
（结果用含a 的代数式表示，要求化简）
任
务
3
请你帮该科技公司算一算，在任务2 的条件下，购买A 商品的数量在什么范围内时，使用无人机配
送商品更合算？
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，即可求解；
（2）先确定购买B 商品的数量为（30﹣a）件，再根据两种促销方案的折扣规则，结合任务1 求得的单
价，分别计算使用无人机配送和不使用无人机配送时的总费用，用含a 的代数式表示；
（3）根据使用无人机配送更合算，建立一元一次不等式，求解不等式并结合a 的范围，确定购买A 商品
数量的范围．
【解答】解：（1）设该商店在无促销活动时，A 商品的销售单价是x 元，B 商品的销售单价是y 元，
由题意列二元一次方程组得，{5𝑥+ 8𝑦= 2400
8𝑥+ 5𝑦= 2280，
31 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解得{𝑥= 160
𝑦= 200．
答：该商店在无促销活动时，A 商品的销售单价是160 元，B 商品的销售单价是200 元．
（2）由题意得，A 商品购买a 件，B 商品购买（30﹣a）件，
①若使用无人机配送商品，共需要250+160×0.75a+200×0.75（30﹣a）＝4750﹣30a（元）；
②若不使用无人机配送商品，共需要160×0.8a+200×0.8（30﹣a）＝4800﹣32a（元）．
故答案为：（4750﹣30a），（4800﹣32a）；
（3）由题意列一元一次不等式得：4750﹣30a＜4800﹣32a，
解得a＜25，
∵0＜a＜30，
∴0＜a＜25．
答：当0＜a＜25 时，使用无人机配送商品更合算．
▌题型10 几何图形问题
解题步骤：
①设未知数（设边长为x）；
②根据周长、面积、三边关系列出一元一次不等式；
③解不等式；
④结合几何隐含条件：边长必须大于0，舍去不合理解，写出答案。
【典例1】（2026 春•沙坪坝区校级期中）“争创文明城市，建设美丽沙坪坝”．沙坪坝某居民小区为了绿
化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76 米的长方形空地（如图），设计成9 块相同的小长方
形，如图所示．并计划在空地上种上各种花卉．要完成这次绿化工程，沙坪坝区预计花费不超过75600 元．
（1）小长方形的长和宽各是多少米？
（2）绿化工程每平方米的造价最多为多少元？
小学
初中
32 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）设小长方形的长是x 米，宽是y 米，根据长方形的对边相等及长方形空地的周长为76 米，
可列出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设绿化工程每平方米的造价是m 元，利用总价＝单价×面积，结合总价不超过75600 元，可列出关
于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设小长方形的长是x 米，宽是y 米，
根据题意得：{2𝑥= 5𝑦
2(2𝑥+ 𝑥+ 2𝑦) = 76，
解得：{𝑥= 10
𝑦= 4 ．
答：小长方形的长是10 米，宽是4 米；
（2）设绿化工程每平方米的造价是m 元，
根据题意得：10×4×9m≤75600，
解得：m≤210，
∴m 的最大值为210．
答：绿化工程每平方米的造价最多为210 元．
【变式1-1】（2025 春•新城区校级月考）某展览馆为适应更多会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，
已知该展馆地面为长40 米，宽30 米的长方形，现计划将其分成两个同样大的长方形展览区，其余部分
为等宽的通道，设通道的宽度为x 米．
（1）若一个长方形展览区的宽度至少是通道宽度的2.25 倍，求通道的最大宽度；
（2）已知通道宽度最终确定为4 米，工程负责人准备用A，B 两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料
铺设通道，经市场调查发现，用A 种彩砖铺设展览区每平方米需要90 元，用B 种彩砖铺设展览区每平方
米需要60 元，若铺设展览区的总费用不超过45540 元，求最多购买多少平方米A 种彩砖？
33 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）根据一个长方形展览区的宽度至少是通道宽度的2.25 倍，可列出关于x 的一元一次不等式，
解之取其中的最大值，即可得出结论；
（2）设购买y 平方米A 种彩砖，则购买（2×32×9﹣y）平方米y 种彩砖，利用总价＝单价×数量，结合
总价不超过45540 元，可列出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵该展馆地面为长40 米，宽30 米的长方形，通道的宽度为x 米，
∴一个长方形展览区的宽度是
30−3𝑥
2
．
根据题意得：
30−3𝑥
2
≥2.25x，
解得：x≤4，
∴x 的最大值为4．
答：通道的最大宽度为4 米；
（2）当通道宽度为4 米时，一个长方形展览区的长为40﹣2×4＝32（米），宽为
30−3×4
2
=9（米），
设购买y 平方米A 种彩砖，则购买（2×32×9﹣y）平方米y 种彩砖，
根据题意得：90y+60（2×32×9﹣y）≤45540，
解得：y≤366，
∴y 的最大值为366．
答：最多购买366 平方米A 种彩砖．
【变式1-2】（2025 春•遂宁期末）如图一张规格为6dm×8dm 的大纸板有两种剪裁方式分别可得到A 型长
方形纸板和B 型正方形纸板，再制作成横式和竖式两种无盖长方体纸盒（盖在上方）．已知一张大纸板
可以恰好裁成8 张A 型长方形纸板或者恰好裁成12 张B 型正方形纸板．
（1）制作一个横式纸盒需要A 型长方形纸板 3 张，制作一个竖式纸盒需要A 型长方形纸板 4 张．
（2）若用7 张大纸板裁成A 型长方形纸板，用2 张大纸板剪裁B 型正方形纸板，且裁成的A、B 两种型
号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？
34 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（3）如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m 个，若可用于剪裁的大纸板不超过18 张，求m 的最大值．
【分析】（1），观察几何体可得答案；
（2），设可制作横式纸盒x 个，竖式纸盒y 个，根据题意列出方程组，求出解；
（3），设制作横式纸盒和竖式纸盒均为m 个，表示出A 形纸板需要7m 张，B 形纸板需要3m 张，再根
据题意列出不等式，求出解集．
【解答】解：（1）制作一个横式纸盒需要A 型长方形纸板3 张，制作一个竖式纸盒需要A 型长方形纸板
4 张．
故答案为：3，4；
（2）设可制作横式纸盒x 个，竖式纸盒y 个，根据题意列二元一次方程组得，
{3𝑥+ 4𝑦= 7 × 8
2𝑥+ 𝑦= 2 × 12，
解得{𝑥= 8
𝑦= 8，
∴可制作横式纸盒8 个，竖式纸盒8 个；
（3）∵制作横式纸盒和竖式纸盒均为m 个，
∴A 形纸板需要（3m+4m）＝7m 张，B 形纸板需要（2m+m）＝3m 张，
∴根据题意列一元一次不等式得，
7𝑚
8 +
3𝑚
12 ≤18，
解得m≤16，
∴m 的最大值为16．
【变式1-3】某工厂准备用图甲所示的A 型正方形板材和B 型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两
种无盖箱子．
（1）若现有A 型板材150 张，B 型板材300 张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用不超过24000 元的资金去购买A、B 两种型号板材，制作竖式、横式无盖箱子共100
个，已知A 型板材每张20 元，B 型板材每张60 元，问最多可以制作竖式无盖箱子多少个？
（3）若该工厂新购得65 张规格为3m×3m 的C 型正方形板材，将其全部切割成A 型或B 型板材（不计
损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，要求竖式无盖箱子不少于10 个，且材料恰好用完，则最多
可以制作竖式无盖箱子多少个？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，再解方程组即可解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得最多可以制作竖式无盖箱子多少个；
35 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（3）根据题意可以列出相应的二元一次方程，再根据a 为整数和a≥10，即可解答本题．
【解答】解：（1）设可制作竖式无盖箱子m 个，可制作横式无盖箱子n 个，依题意有
{𝑚+ 2𝑛= 150
4𝑚+ 3𝑛= 300，
解得{𝑚= 30
𝑛= 60 ．
故可制作竖式无盖箱子30 个，可制作横式无盖箱子60 个；
（2）由题意可得，
1 个竖式无盖箱子需要1 个A 型和4 个B 型，1 个横式无盖箱子需要2 个A 型和3 个B 型，
设竖式无盖箱子x 个，则横式无盖箱子（100﹣x）个，
（20+4×60）x+（2×20+3×60）（100﹣x）≤24000，
解得x≤50，
故x 的最大值是50，
答：最多可以制作竖式无盖箱子50 个；
（3）C 型可以看成三列，每一列可以做成3 个A 型或1 个B 型，65 个C 型就有65×3＝195 列，
∵材料恰好用完，
∴最后A 型的数量一定是3 的倍数，
设竖式a 个，横式b 个，
∵1 个竖式无盖箱子需要1 个A 型和4 个B 型，1 个横式无盖箱子需要2 个A 型和3 个B 型，1 个B 型
相当于3 个A 型，
∴（1+4×3）a+（2+3×3）b＝195×3，
∴13a+11b＝585，
∵a、b 均为整数，a≥10，
∴{𝑎= 45
𝑏= 0 ，{𝑎= 34
𝑏= 13，{𝑎= 23
𝑏= 26，{𝑎= 12
𝑏= 39．
故最多可以制作竖式无盖箱子45 个．
▌题型11 和差倍分问题
1. 一元一次不等式的“和差倍分”问题，核心就是：先把这些“多几、少几、几倍、几分之几”翻译成代
36 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
数式，再根据“至少、至多、不超过、不少于”列出不等式。
2. 解题步骤
（1）设未知数：一般问什么就设什么为 𝑥 。
（2）表示相关量：用 x 表示题目中的“和、差、倍、分”。
（3） 找不等关系：圈出“至少、至多、超过、不足”等关键词。
（4）列一元一次不等式。
（5） 解不等式，注意结果要符合实际意义（比如人数不能是负数、小数等）。
（6） 写出符合题意的答案（别忘了写单位、答句）。
【典例1】（2026•天宁区校级二模）苏超比赛期间，某商店购进A、B 两种品牌的足球进行销售．销售5 个
A 品牌和10 个B 品牌足球的利润和为700 元，销售10 个A 品牌和5 个B 品牌足球的利润和为800 元．
（1）求每个A 品牌和B 品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100 个，若购进A 品牌足球的数量不超过B 品牌足球个数的4 倍，求
最少购买多少个B 品牌的足球．
【分析】（1）设每个A 品牌足球的销售利润为x 元，每个B 品牌足球的销售利润为y 元，根据“销售5
个A 品牌和10 个B 品牌足球的利润和为700 元，销售10 个A 品牌和5 个B 品牌足球的利润和为800
元”，可列出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m 个B 品牌的足球，则购买（100﹣m）个A 品牌的足球，根据购进A 品牌足球的数量不超
过B 品牌足球个数的4 倍，可列出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个A 品牌足球的销售利润为x 元，每个B 品牌足球的销售利润为y 元，
根据题意得：{5𝑥+ 10𝑦= 700
10𝑥+ 5𝑦= 800，
解得：{𝑥= 60
𝑦= 40．
答：每个A 品牌足球的销售利润为60 元，每个B 品牌足球的销售利润为40 元；
（2）设购买m 个B 品牌的足球，则购买（100﹣m）个A 品牌的足球，
根据题意得：100﹣m≤4m，
解得：m≥20，
∴m 的最小值为20．
答：最少购买20 个B 品牌的足球．
【变式1-1】（2026 春•铜仁市期末）某超市第一次用7000 元购进甲、乙两种商品，甲商品件数是乙商品件
数的2 倍，两种商品的进价、售价如表：
进价（元/件）
售价（元/件）
37 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
甲
40
50
乙
60
80
（1）求超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件．
（2）超市第二次仍按原进价采购，甲购进数量不变，乙购进数量是第一次的3 倍，甲保持原价销售，乙
每件直接降价a 元销售．若第二次全部售完后总利润不低于1600 元，求a 的最大值．
【分析】（1）设第一次购进乙商品x 件，则甲商品件数为2x 件，根据题意列出一元一次方程，据此求解
即可；
（2）根据题意列出不等式，据此求解即可．
【解答】解：（1）设第一次购进乙商品x 件，
40×2x+60x＝7000，
解得x＝50，
2x＝2×50＝100（件），
答：第一次购进甲商品100 件，乙商品50 件；
（2）根据题意得100×（50﹣40）+50×3×[（80﹣a）﹣60]≥1600，
解得a≤16，
答：a 的最大值为16．
【变式1-2】（2026 春•青山区期末）一条食品包装生产线完成智能化升级后，每个月生产的无菌纸盒包装
饮料的数量是原来月均产量的1.7 倍．升级后，该生产线8 个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量比原来
12 个月的生产量至少多1000 万盒，该生产线原来平均每月的产量至少是多少万盒？
【分析】设原来平均每月产量为x 万盒，分别表示出升级后8 个月产量和原来12 个月产量，根据“升级
后8 个月产量比原来12 个月产量至少多1000 万盒”列不等式求解．
【解答】解：设这条生产线原来平均每月的产量为x 万盒，则升级后的月产量为1.7x 万盒．
根据题意，升级后8 个月的产量比原来12 个月的产量至少多1000 万盒得：
8×1.7x﹣12x≥1000，
化简得：1.6x≥1000，
解得：x≥625，
答：这条生产线原来平均每月的产量至少是625 万盒．
【变式1-3】（2026 春•香坊区期末）某超市到批发市场选购甲、乙两种笔袋，如表是近两次的购买情况．
购买次数
购买数量
购买费用
甲种
乙种
第一次
4 个
7 个
260
第二次
6 个
3 个
240
（1）求超市到批发市场购进甲、乙两种笔袋的进价分别为每个多少元？
38 / 38
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）超市老板第三次计划购进相同数量的甲、乙两种笔袋．根据学生需求，超市老板在实际进货中决定
购进甲种笔袋数量比计划增加30 个，实际购进乙种笔袋的数量比实际购进甲种笔袋数量的2 倍少28 个，
且甲种笔袋实际购进数量不超过乙种笔袋实际购进数量的
2
3．超市老板第三次计划至少购进多少个甲种笔
袋？
【分析】（1）设甲种笔袋每个x 元，乙种笔袋每个y 元，根据题意列二元一次方程组即可求解；
（2）设第三次计划购进甲种笔袋a 个，实际购进（a+30）个，实际购进乙种笔袋的数量为：2（a+30）﹣
28＝（2a+32）个，根据甲种笔袋实际购进数量不超过乙种笔袋实际购进数量的
2
3，列出不等式，解不等式
即可．
【解答】解：（1）设甲种笔袋每个进价x 元，乙种笔袋每个进价y 元，
根据题意，得{4𝑥+ 7𝑦= 260
6𝑥+ 3𝑦= 240，
解得：{𝑥= 30
𝑦= 20，
答：甲种笔袋每个进价30 元，乙种笔袋每个进价20 元；
（2）设第三次计划购进甲种笔袋a 个，实际购进（a+30）个，实际购进乙种笔袋的数量为：2（a+30）﹣
28＝（2a+32）个，
根据题意得：a+30≤2
3（2a+32），
解得a≥26，
答：超市老板第三次计划至少购进26 个甲种笔袋．
