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第一章 三角形
知识点一·三角形的有关概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的表示：用符号"△"表示，顶点为A、B、C 的三角形记作"△ABC"，读作"三角形ABC"。
3.三角形的三要素：三条边、三个内角、三个顶点。
4.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
知识点二·三角形的边角关系
1.°三边关系：三角形任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边。
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①判断三条线段能否组成三角形：只需验证较短两边之和大于最长边。
②已知两边求第三边范围：第三边大于两边之差，小于两边之和。
2.内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
3.外角性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
4.直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。
知识点三·三角形的分类
1.按角分类：
①锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；
②直角三角形：有一个角是直角的三角形；
③钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
2.按边分类：
①不等边三角形：三条边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形（相等的边叫腰，另一边叫底）；
③等边三角形：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。
知识点四·定义与命题
1.定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
2.命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
3.命题的结构：由条件和结论两部分组成，通常可以写成"如果……那么……"的形式。
4.真命题与假命题：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
5.定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，定理可以作为继续推理的依据。
知识点五·证明
1.证明的含义：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、
定理（包括推论），一步步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。
2.证明的一般步骤：
①根据题意，画出图形；
②在"已知"中写出条件，在"求证"中写出结论；
③在"证明"中写出推理过程。
3.反证法：先假设命题不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推理，最后得出与已知条件或定义、
基本事实、定理等矛盾，从而得出假设不成立，即所求证的命题正确。
知识点六·全等三角形
1.全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
3.表示方法：用符号"≌"表示，读作"全等于"。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写
在对应位置上。
4.对应元素：互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
5.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
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知识点七·三角形全等的判定
1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
2.边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
3.角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
4.角角边（AAS）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
6.注意：SSA（两边及其中一边的对角）和AAA（三角对应相等）不能判定两个三角形全等。
知识点八·角平分线与垂直平分线的性质
1.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2.角平分线的判定（逆定理）：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
4.线段垂直平分线的判定（逆定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
易错点1·三角形三边关系的应用
易错提醒
1.判断三条线段能否组成三角形时，只需验证较短两边之和大于最长边即可，不需要逐一验证三组不等
式。
2.已知两边长求第三边范围时，第三边大于两边之差且小于两边之和，注意差取绝对值。
3.等腰三角形已知两边求周长时，必须分类讨论哪条边是腰，并逐一验证是否满足三边关系，防止漏解
或多解。
【对点训练】1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，9cm
B．6cm，7cm，13cm
C．9cm，9cm，19cm
D．11cm，18cm，22cm
【对点训练】2．如图，小明为估计池塘岸边𝐴，𝐵间的距离，在池塘一侧选取了一点𝑂，测得𝑂𝐴= 20 m，
𝑂𝐵= 15 m，那么𝐴，𝐵间的距离可能是（ ）
A．5 m
B．35 m
C．40 m
D．23 m
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【对点训练】3．若a，b，c 是△𝐴𝐵𝐶的三条边长，则|𝑐+ 𝑎−𝑏| −|𝑐−𝑎−𝑏| −|𝑏+ 2𝑐|的化简结果为_______
【对点训练】4．若等腰三角形的两条边长为3 和8，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．14
B．16
C．19
D．14 或19
易错点2·三角形内角和与外角性质的混淆
易错提醒
1.三角形内角和为180°；外角是一边与另一边延长线组成的角，不是三角形内部的角。
2.外角等于与它不相邻的两个内角之和，关键词是"不相邻"，不能漏掉限定条件。
3.外角大于任何一个与它不相邻的内角，不是大于三角形的所有内角。
4.直角三角形的两个锐角互余（和为90°），这是内角和定理的推论，不要与外角性质混淆。
【对点训练】1．如图，AB ∥CD，直线𝐸𝐹分别交𝐴𝐵、𝐶𝐷于𝐸、𝐹，𝐸𝐺平分∠𝐵𝐸𝐹，若∠2 = 72°，则∠1的
度数为_________．
【对点训练】2．如图，∠𝐵= 46°，∠𝐴+ 10° = ∠1，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，则∠𝐴𝐶𝐷=________°．
【对点训练】3．如图，直线𝑙1∥𝑙2，直线AB 交𝑙1，𝑙2于D，B 两点，𝐴𝐶⊥𝐴𝐵交直线𝑙1于点C．若∠1 = 20°，
则∠2 =__________．
【对点训练】4．若△ABC 的三个内角∠𝐴, ∠𝐵, ∠𝐶满足关系式∠𝐵+ ∠𝐶= 3∠𝐴，则此三角形（ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是钝角三角形
C．一定有一个内角为45°
D．一定有一个内角为60°
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易错点3·三角形分类中的概念交叉
易错提醒
1.°等边三角形是特殊的等腰三角形，不是独立于等腰三角形之外的类别，按边分类时二者是包含关系。
2.°按角分类时，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角，其余角均为锐角。
3.°等腰直角三角形既是等腰三角形又是直角三角形，两种分类标准可以交叉，不要认为一个三角形只
能属于一类。
【对点训练】1．下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点训练】2．如图，点B 在∠𝐴的一条边上固定不动，点C 在∠𝐴的另一条边上可以任意移动，连接𝐵𝐶，
三角形𝐴𝐵𝐶（ ）
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形
A．只能是①
B．只能是④
C．可能是①②③
D．可能是①②③④
易错点4·定义与命题的区分及命题改写
易错提醒
1.定义是规定名称或术语意义的句子，命题是对事情作出判断的句子，二者功能不同，不能混为一谈。
2.命题必须作出判断，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。
3.将命题改写为"如果……那么……"形式时，条件和结论要准确区分，不能改变原意。
4.假命题也是命题，不能因为判断不正确就认为它不是命题。
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【对点训练】1．命题“对顶角相等”的题设是：___________．
【对点训练】2．下列语句表示命题的是（ ）
A．作∠𝐴的平分线
B．内错角不相等
C．直角都相等吗
D．画一条线段
易错点5·证明过程中的逻辑错误
易错提醒
1.证明必须从已知条件出发，不能把结论当作条件使用，否则犯循环论证的错误。
2.每一步推理都要有依据（定义、基本事实、定理、推论），不能"想当然"或跳步。
3.辅助线要用虚线画出，并在证明开头说明作法（如"连接XX""过点X 作XX⊥XX 于X"）。
4.反证法第一步是假设命题不成立（即结论的反面成立），不是假设结论成立。
【对点训练】1．A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进
行到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1 场球，由此可知，F队比赛场
数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【对点训练】2．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就
不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可
能正确的是（ ）
A．甲一个人去了
B．乙、丙两个人去了
C．甲、丙、丁三个人去了
D．四个人都去了
易错点6·全等三角形对应元素的确定
易错提醒
1.记两个三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上，不能随意排列，否则对应关系会错乱。
2.对应边、对应角是根据重合关系确定的，不是凭图形直观或长短大小判断。
3.公共边、公共角一定是对应边、对应角；但对应边、对应角不一定是公共的。
4.两条直线相交形成的对顶角是对应角。
【对点训练】1．如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴，𝐴𝐵和𝐶𝐷，𝐵𝐶和𝐷𝐴是对应边，则∠𝐵的对应角是（ ）
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A．∠𝐶𝐴𝐷
B．∠𝐷
C．∠𝐴𝐶𝐷
D．∠𝐴𝐶𝐵
【对点训练】2．如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB 的对应边是（ ）
A．DB
B．BC
C．CD
D．AD
【对点训练】3．如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴．下列结论：①𝐴𝐵与𝐴𝐷是对应边；②𝐴𝐶与𝐶𝐴是对应边；③∠𝐵𝐴𝐶与
∠𝐷𝐴𝐶是对应角；④∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐴𝐶𝐷是对应角．其中正确的是________．（填序号）
易错点7·全等三角形判定定理的误用
易错提醒
1.SAS 中的角必须是两边的夹角；SSA（两边及其中一边的对角）不能判定全等。
2.ASA 中的边必须是两角的夹边；AAS 是两角及其中一角的对边，二者不要混淆。
3.AAA（三角对应相等）只能判定三角形相似，不能判定全等。
4.HL 只适用于直角三角形，且必须是斜边和一条直角边对应相等，两条直角边对应相等用的是SAS。
5.判定全等至少要有一组边对应相等，全是角相等不行。
【对点训练】1．如图，∠𝐴= ∠𝐵，∠1 = ∠2，点D 在𝐴𝐶边上，𝐴𝐸和𝐵𝐷相交于点O．
(1)若∠2 = 40°，求∠𝐴𝐸𝐵的度数；
(2)若∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐶，求证：△𝐴𝐸𝐶≌△𝐵𝐸𝐷．
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【对点训练】2．如图，D、C、F、B 四点在一条直线上，𝐴𝐶= 𝐸𝐹，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐸𝐹⊥𝐵𝐷，垂足分别为点C、
点F，𝐶𝐷= 𝐵𝐹．求证：
(1)△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐹；
(2)𝐴𝐵∥𝐷𝐸．
【对点训练】3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐹在边𝐴𝐵上，且∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐶𝐹于点𝐷，𝐷𝐸∥𝐶𝐵
交𝐴𝐵于点𝐸．
(1)△𝐴𝐸𝐷与△𝐴𝐶𝐷全等吗？请说明理由；
(2)若𝐶𝐹= 7，𝐴𝐶= 8，𝐴𝐹= 5，求△𝐷𝐸𝐹的周长．
易错点8·角平分线与垂直平分线性质的误用
易错提醒
1.角平分线性质中的"距离"是指点到角两边的垂线段长度，不是任意线段的长度。
2.垂直平分线性质中的"两端点"是指被垂直平分的那条线段的两个端点，不是任意两点。
3.性质与判定（逆定理）要区分：已知平分线/垂直平分线→得距离相等是性质；已知距离相等→得点在平分
线/垂直平分线上是判定。
4.三角形三条角平分线交于一点（内心），三条垂直平分线交于一点（外心），交点位置不要记混。
【对点训练】1．有不在同一直线的𝐴, 𝐵, 𝐶三个村庄，现要建设一个活动中心，使三个村庄到活动中心的距
离相等，则活动中心应建在（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶三条中线的交点
B．△𝐴𝐵𝐶三条角平分线的交点
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C．△𝐴𝐵𝐶三条高线的交点
D．△𝐴𝐵𝐶三条边的垂直平分线的交点
【对点训练】2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶> 𝐴𝐶> 𝐴𝐵，以点A 为圆心，𝐴𝐵的长为半径作弧交𝐵𝐶于点D，再
分别以点D 和点C 为圆心，大于
1
2 𝐷𝐶的长为半径作弧，两弧分别相交于点M 和点N，作直线𝑀𝑁交𝐴𝐶于
点E，交𝐵𝐶于点F．若𝐵𝐷= 6，𝐷𝐹= 4，△𝐴𝐷𝐸的周长是15，则△𝐴𝐵𝐶的周长为（ ）
A．21
B．23
C．25
D．29
【对点训练】3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐵= 8，𝐶𝐷= 3，则△𝐴𝐵𝐷的面积是
（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（ ）．
A．2、3、6
B．3、5、9
C．3、6、9
D．3、7、9
2．图中的两个三角形全等，则∠𝛼的度数是（ ）
A．39°
B．70°
C．71°
D．无法确定
3．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
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C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
4．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 70°．以点𝐴为圆心，适当长为半径作弧，交𝐴𝐵于点𝑀，交𝐴𝐶于
点𝑁；分别以𝑀，𝑁为圆心，大于𝑀𝑁的一半的长为半径作弧，两弧在∠𝐵𝐴𝐶的内部相交于点𝑃；作射线
𝐴𝑃，交𝐵𝐶于点𝐷．则∠𝐵𝐴𝐷=（ ）
A．35°
B．40°
C．105°
D．115°
5．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1 = 120°，则∠2的度数是
（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．120°
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，边𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐵𝐶，𝐴𝐵于点𝐺，𝐷．若△𝐴𝐶𝐺的周长为31cm，𝐴𝐵= 20cm，
则△𝐴𝐵𝐶的周长为（ ）
A．31cm
B．41cm
C．51cm
D．61cm
7．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒𝐴𝐷，𝐵𝐶的中点𝑂固定在
一起，将两根木棒𝐴、𝐵端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得𝐶，𝐷之
间的距离即内径𝐴𝐵的长度．判定图中三角形全等的依据是（ ）
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A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是边𝐵𝐶的中点，E 是𝐴𝐷的中点，阴影部分的面积和为2，则△𝐴𝐵𝐶的面积是
___________ ．
9．如图，点𝐴，𝐶，𝐵，𝐷在同一条直线上，𝐵𝐸∥𝐷𝐹，∠𝐴= ∠𝐹，𝐴𝐵= 𝐹𝐷．若∠𝐹𝐶𝐷= 30°，∠𝐴= 80°，
则∠𝐷𝐵𝐸的度数为________°．
10．如图，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，交𝐵𝐶于点𝐷，𝐵𝐹⊥𝐴𝐸，交𝐴𝐶延长线于𝐹，且垂足
为𝐸，则以下结论：①𝐴𝐷= 𝐵𝐹；②𝐶𝐷= 𝐶𝐹；③𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐵；④𝐴𝐷= 2𝐵𝐸．正确的个数是________
个．
11．如图，在2 × 2的方格纸中，∠1 + ∠2 =__________ ．
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12．如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐵= ∠𝐷，𝐵𝐶= 𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，线段𝐴𝐶与线段𝐴𝐸相等吗？请
说明理由．
13．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点E 在边𝐶𝐷上，𝐵𝐶= 𝐸𝐶，且𝐶𝐴平分∠𝐵𝐶𝐸，F 是四边形𝐴𝐵𝐶𝐷外一点，连
接𝐴𝐹，𝐷𝐹．
(1)△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐶全等吗？请说明理由；
(2)若∠𝐵𝐴𝐹= 2∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐵= 85°，∠𝐷𝐴𝐹= 15°，求∠𝐴𝐷𝐸的度数．
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14．学习完《全等三角形》一章后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸𝐴 𝐵两点间距离”这一问题，
设计了如下方案．
课题
测量河两岸𝐴、𝐵两点间距离
测量工具
测角仪，卷尺
测量方案示意
图
测量步骤
①在点𝐵所在河岸同侧的平地上取点𝐶和点𝐷，使得点𝐴、𝐵、𝐶在一条直线上，且𝐶𝐷= 𝐵𝐶；
②测得∠𝐷𝐶𝐵= 98°，∠𝐴𝐷𝐶= 62°；
③在𝐶𝐷的延长线上取点𝐸，使得∠𝐵𝐸𝐶= 20°；
④测得𝐷𝐸的长度为26米．
(1)根据测量的各角度数，计算出∠𝐶𝐴𝐷=_____°，猜想𝐴、𝐵两点间的距离𝐴𝐵为_____米．
(2)请你借助全等三角形的知识证明此方案正确．
15．【综合与探究】
在△𝐴𝑂𝐵和△𝐶𝑂𝐷中，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐶= 𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，连接𝐴𝐶，𝐵𝐷．
(1)【模型呈现】如图1，𝐴，𝑂，𝐷三点共线，试判断𝐴𝐶与𝐵𝐷的数量关系，并说明理由；
(2)【模型应用】如图2，设𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑃，𝐴𝐶，𝑂𝐵相交于点𝑄，若∠𝐴𝑂𝐵= 50°，求∠𝐴𝑃𝐷的
度数．
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16．根据图形解决以下问题
(1)如图1，在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，直线𝑙经过点C，过点A 作𝐴𝐷⊥𝑙于点D，
过点B 作𝐵𝐸⊥𝑙于点E，求证：△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵；
(2)在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，点D 是直线𝐴𝐵上一动点，分别过点𝐴, 𝐵作直线𝐶𝐷
的垂线，垂足分别为点𝐸, 𝐹；
①如图2，点D 在线段𝐴𝐵上，△𝐴𝐸𝐶与△𝐶𝐹𝐵是否全等？请说明理由；
②如图3，点D 在线段𝐴𝐵延长线上，若𝐵𝐹= 1，𝐴𝐸= 3，请直接写出线段𝐸𝐹的长．
